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ALCALÁ-NEME
CÁLCULO I-ANÁLISIS MATEMÁTICO I
Integración
ALCALÁ-NEME
UNSL
2015
(UNSL Integración
)
2015
1 / 35
Integral Inde…nida
Dada una función f en un intervalo abierto (…nito o in…nito) I ,
existe alguna solución de
ALCALÁ-NEME
dy
= f (x ) ,
dx
(UNSL Integración
)
x 2 I.
2015
2 / 35
Integral Inde…nida
Dada una función f en un intervalo abierto (…nito o in…nito) I ,
existe alguna solución de
dy
= f (x ) ,
x 2 I.
dx
Sí sabemos que, en caso de existir una función F solución , también
son soluciones todas las funciones F + C con C constante y
ninguna otra.
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
2015
2 / 35
Integral Inde…nida
Dada una función f en un intervalo abierto (…nito o in…nito) I ,
existe alguna solución de
dy
= f (x ) ,
x 2 I.
dx
Sí sabemos que, en caso de existir una función F solución , también
son soluciones todas las funciones F + C con C constante y
ninguna otra.
Una función F cuya derivada es f en cierto intervalo es llamada
una primitiva o una integral inde…nida de f en ese intervalo.
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
2015
2 / 35
Integral Inde…nida
Dada una función f en un intervalo abierto (…nito o in…nito) I ,
existe alguna solución de
dy
= f (x ) ,
x 2 I.
dx
Sí sabemos que, en caso de existir una función F solución , también
son soluciones todas las funciones F + C con C constante y
ninguna otra.
Una función F cuya derivada es f en cierto intervalo es llamada
una primitiva o Runa integral inde…nida de f en ese intervalo.
Notaremos con f (x ) dx, una primitiva de la función f . Así, por
ejemplo,
Z
ALCALÁ-NEME
cos xdx
= sin x,
Z
=
x 2 dx
(UNSL Integración
)
1 3
x .
3
2015
2 / 35
Integral Inde…nida
Pero también
ALCALÁ-NEME
Z
Z
cos x
= sin x + 1 y
x 2 dx
=
(UNSL Integración
)
1 3
x + 32.
3
2015
3 / 35
Integral Inde…nida
Pero también
Z
Z
cos x
= sin x + 1 y
x 2 dx
=
1 3
x + 32.
3
Debemos tener la precaución de entender que
operaciones y que
Z
ALCALÁ-NEME
R
f (x ) dx son
f (x ) dx = F (x ) en I signi…ca que F 0 (x ) = f (x ), 8x 2 I .
(UNSL Integración
)
2015
3 / 35
Integral Inde…nida
Cuando F es una primitiva cualquiera,
ALCALÁ-NEME
Z
f (x ) dx = F (x ) + C .
(UNSL Integración
)
2015
4 / 35
Integral Inde…nida
Cuando F es una primitiva cualquiera,
Z
f (x ) dx = F (x ) + C .
Dos primitivas podrían no diferir en una constante.
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
2015
4 / 35
Integral Inde…nida
Cuando F es una primitiva cualquiera,
Z
f (x ) dx = F (x ) + C .
Dos primitivas podrían no diferir en una constante.
En algunos libros se puede encontrar que
ALCALÁ-NEME
Z
1
dx = ln jx j .
x
(UNSL Integración
)
2015
4 / 35
Integral Inde…nida
Cuando F es una primitiva cualquiera,
Z
f (x ) dx = F (x ) + C .
Dos primitivas podrían no diferir en una constante.
En algunos libros se puede encontrar que
Z
1
dx = ln jx j .
x
En efecto, ambas funciones tienen su dominio en
d
Ω = ( ∞, 0) [ (0, +∞) y, en ese conjunto, dx
ln jx j = x1 . Pero Ω
no es un intervalo.
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
2015
4 / 35
Integral Inde…nida
Podemos construir una primera tabla de integrales inmediatas:
ALCALÁ-NEME
Z
x c dx =
x c +1
+ K,
c +1
(UNSL Integración
)
para c 6=
1
2015
5 / 35
Integral Inde…nida
Podemos construir una primera tabla de integrales inmediatas:
ALCALÁ-NEME
Z
x c dx =
x c +1
+ K,
c +1
(UNSL Integración
)
para c 6=
1
2015
5 / 35
Integral Inde…nida
Podemos construir una primera tabla de integrales inmediatas:
ALCALÁ-NEME
Z
Z
x c dx =
x
1
x c +1
+ K,
c +1
dx = ln x + K
(UNSL Integración
)
para c 6=
1
en (0, +∞) ,
2015
5 / 35
Integral Inde…nida
Podemos construir una primera tabla de integrales inmediatas:
ALCALÁ-NEME
Z
Z
x c dx =
Z
x
x
1
1
x c +1
+ K,
c +1
dx = ln x + K
dx = ln ( x ) + K
(UNSL Integración
)
para c 6=
1
en (0, +∞) ,
en ( ∞, 0) .
2015
5 / 35
Integral Inde…nida
ALCALÁ-NEME
Z
sin x dx =
(UNSL Integración
)
cos x + C
2015
6 / 35
Integral Inde…nida
ALCALÁ-NEME
Z
sin x dx =
Z
cos x + C
cos x dx = sin x + C
(UNSL Integración
)
2015
6 / 35
Integral Inde…nida
ALCALÁ-NEME
Z
sin x dx =
Z
Z
cos x + C
cos x dx = sin x + C
dx
= tan x + C
cos2 x
(UNSL Integración
)
2015
6 / 35
Integral Inde…nida
ALCALÁ-NEME
Z
Z
sin x dx =
Z
Z
cos x + C
cos x dx = sin x + C
dx
= tan x + C
cos2 x
dx
=
sin2 x
cot x + C =
(UNSL Integración
)
1
+C
tan x
2015
6 / 35
Integral Inde…nida
ALCALÁ-NEME
Z
p
dx
1
x2
= arcsin x + C , en ( 1, 1)
(UNSL Integración
)
2015
7 / 35
Integral Inde…nida
ALCALÁ-NEME
Z
p
dx
1
x2
Z
= arcsin x + C , en ( 1, 1)
e x dx = e x + C
(UNSL Integración
)
2015
7 / 35
Integral Inde…nida
Cada propiedad de la derivación se convierte en una propiedad de su
operación inversa: la integración inde…nida.
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
2015
8 / 35
Integral Inde…nida
Cada propiedad de la derivación se convierte en una propiedad de su
operación inversa: la integración inde…nida.
ALCALÁ-NEME
Linealidad
Z
(λf (x ) + µg (x )) dx = λ
(UNSL Integración
)
Z
f (x )dx + µ
Z
g (x )dx.
2015
8 / 35
Integral Inde…nida
Cada propiedad de la derivación se convierte en una propiedad de su
operación inversa: la integración inde…nida.
ALCALÁ-NEME
Linealidad
Z
(λf (x ) + µg (x )) dx = λ
(UNSL Integración
)
Z
f (x )dx + µ
Z
g (x )dx.
2015
8 / 35
Integral Inde…nida
Cada propiedad de la derivación se convierte en una propiedad de su
operación inversa: la integración inde…nida.
Linealidad
Z
(λf (x ) + µg (x )) dx = λ
Z
Z
g (x )dx.
xdx
Z
f (x )dx + µ
Ejemplo
Z
p
5x 3 + 3 x
1
cos2 x
dx
= 5
5
ALCALÁ-NEME
Z
x 3 dx + 3
Z
p
1 4
2 3
x +3 x2
4
3
(UNSL Integración
)
dx
=
cos2 x
tan x + C
2015
8 / 35
Integral Inde…nida: sustitución
Sustitución: A partir de la regla de la cadena:
ALCALÁ-NEME
d
f (g (x )) = f 0 (g (x )) g 0 (x ) ,
dx
(UNSL Integración
)
2015
9 / 35
Integral Inde…nida: sustitución
Sustitución: A partir de la regla de la cadena:
ALCALÁ-NEME
d
f (g (x )) = f 0 (g (x )) g 0 (x ) ,
dx
(UNSL Integración
)
2015
9 / 35
Integral Inde…nida: sustitución
Sustitución: A partir de la regla de la cadena:
d
f (g (x )) = f 0 (g (x )) g 0 (x ) ,
dx
se deduce que
ALCALÁ-NEME
Z
f 0 (g (x )) g 0 (x ) dx = f (g (x ))
(UNSL Integración
)
2015
9 / 35
Integral Inde…nida: sustitución
Sustitución: A partir de la regla de la cadena:
d
f (g (x )) = f 0 (g (x )) g 0 (x ) ,
dx
se deduce que
Z
f 0 (g (x )) g 0 (x ) dx = f (g (x ))
Haciendo u = g (x ) y
ALCALÁ-NEME
Z
du
dx
= g 0 (x ) obtenemos:
f 0 (u ) du = f (u ) + C = f (g (x )) + C
(UNSL Integración
)
2015
9 / 35
Integral Inde…nida: sustitución
Ejemplo: calculemos
ALCALÁ-NEME
Z
2
e x 2xdx
(UNSL Integración
)
2015
10 / 35
Integral Inde…nida: sustitución
Ejemplo: calculemos
Z
Si se hace la sustitución u = x 2 ,
ALCALÁ-NEME
2
e x 2xdx
du
dx
= 2x
(UNSL Integración
)
2015
10 / 35
Integral Inde…nida: sustitución
Ejemplo: calculemos
Z
Si se hace la sustitución u = x 2 ,
Z
ALCALÁ-NEME
2
e x 2xdx =
Z
eu
2
e x 2xdx
du
dx
= 2x
du
dx =
dx
(UNSL Integración
)
Z
e u du = e u = e x
2
2015
10 / 35
Integral Inde…nida: sustitución
Ejemplo: Calculemos la integral
ALCALÁ-NEME
I =
Z
2x + 1
dx.
+x +1
x2
(UNSL Integración
)
2015
11 / 35
Integral Inde…nida: sustitución
Ejemplo: Calculemos la integral
I =
Z
2x + 1
dx.
+x +1
x2
Haciendo la sustitución u = x 2 + x + 1, resulta
du = (2x + 1) dx. Entonces,
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
du
dx
= 2x + 1. i.e.
2015
11 / 35
Integral Inde…nida: sustitución
Ejemplo: Calculemos la integral
I =
Z
2x + 1
dx.
+x +1
x2
Haciendo la sustitución u = x 2 + x + 1, resulta
du = (2x + 1) dx. Entonces,
I =
Z
du
dx
= 2x + 1. i.e.
1
du = ln u = ln x 2 + x + 1 + C .
u
La validez del resultado es en toda la recta, ya que x 2 + x + 1 > 0 8x.
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
2015
11 / 35
Integral Inde…nida: Integración por partes
Integración por partes, se deduce dela regla de derivación de un
producto.
d
d
d
(f (x ) g (x )) =
f (x ) g (x ) + f (x )
g (x )
dx
dx
dx
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
2015
12 / 35
Integral Inde…nida: Integración por partes
Integración por partes, se deduce dela regla de derivación de un
producto.
d
d
d
(f (x ) g (x )) =
f (x ) g (x ) + f (x )
g (x )
dx
dx
dx
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
2015
12 / 35
Integral Inde…nida: Integración por partes
Integración por partes, se deduce dela regla de derivación de un
producto.
d
d
d
(f (x ) g (x )) =
f (x ) g (x ) + f (x )
g (x )
dx
dx
dx
resulta
d
d
d
f (x )
g (x ) =
(f (x ) g (x )) g (x )
f (x )
dx
dx
dx
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
2015
12 / 35
Integral Inde…nida: Integración por partes
Integración por partes, se deduce dela regla de derivación de un
producto.
d
d
d
(f (x ) g (x )) =
f (x ) g (x ) + f (x )
g (x )
dx
dx
dx
resulta
d
d
d
f (x )
g (x ) =
(f (x ) g (x )) g (x )
f (x )
dx
dx
dx
Integrando
miembro a miembro y usando la linealidad
R d
( dx
h (x ) dx = h (x )),
ALCALÁ-NEME
Z
f (x )
d
g (x ) dx = f (x ) g (x )
dx
(UNSL Integración
)
Z
g (x )
d
f (x ) dx,
dx
2015
12 / 35
Integral Inde…nida: Integración por partes
Integración por partes, se deduce dela regla de derivación de un
producto.
d
d
d
(f (x ) g (x )) =
f (x ) g (x ) + f (x )
g (x )
dx
dx
dx
resulta
d
d
d
f (x )
g (x ) =
(f (x ) g (x )) g (x )
f (x )
dx
dx
dx
Integrando
miembro a miembro y usando la linealidad
R d
( dx
h (x ) dx = h (x )),
ALCALÁ-NEME
Z
f (x )
d
g (x ) dx = f (x ) g (x )
dx
(UNSL Integración
)
Z
g (x )
d
f (x ) dx,
dx
2015
12 / 35
Integral Inde…nida: Integración por partes
Integración por partes, se deduce dela regla de derivación de un
producto.
d
d
d
(f (x ) g (x )) =
f (x ) g (x ) + f (x )
g (x )
dx
dx
dx
resulta
d
d
d
f (x )
g (x ) =
(f (x ) g (x )) g (x )
f (x )
dx
dx
dx
Integrando
miembro a miembro y usando la linealidad
R d
( dx
h (x ) dx = h (x )),
Z
o bien,
ALCALÁ-NEME
d
g (x ) dx = f (x ) g (x )
dx
Z
g (x )
f (x ) g 0 (x ) dx = f (x ) g (x )
Z
g (x ) f 0 (x ) dx.
f (x )
Z
(UNSL Integración
)
d
f (x ) dx,
dx
2015
12 / 35
Integral Inde…nida: Integración por partes
Otro modo:
ALCALÁ-NEME
f (x ) = u,
(UNSL Integración
)
g (x ) = v ,
2015
13 / 35
Integral Inde…nida: Integración por partes
Otro modo:
f (x ) = u,
resulta
ALCALÁ-NEME
du
= f 0 (x ) ,
dx
f 0 (x ) dx = du,
(UNSL Integración
)
g (x ) = v ,
dv
= g 0 (x )
dx
g 0 (x ) dx = dv
2015
13 / 35
Integral Inde…nida: Integración por partes
Otro modo:
f (x ) = u,
resulta
du
= f 0 (x ) ,
dx
g (x ) = v ,
dv
= g 0 (x )
dx
f 0 (x ) dx = du,
g 0 (x ) dx = dv
R
R
Luego
f (x ) g 0 (x ) dx = f (x ) g (x )
g (x ) f 0 (x ) dx , es:
Z
ALCALÁ-NEME
udv = uv
(UNSL Integración
)
Z
vdu.
2015
13 / 35
Integral Inde…nida: Integración por partes
Ejemplo:
ALCALÁ-NEME
I =
Z
ln xdx
(UNSL Integración
)
2015
14 / 35
Integral Inde…nida: Integración por partes
Ejemplo:
I =
Interpretando
ALCALÁ-NEME
ln x = u
dx = dv
Z
ln xdx
se deduce que
(UNSL Integración
)
du = x1 dx
.
v =x
2015
14 / 35
Integral Inde…nida: Integración por partes
Ejemplo:
I =
Interpretando
ln x = u
dx = dv
Z
ln xdx
du = x1 dx
.
v =x
se deduce que
Luego,
ALCALÁ-NEME
I =
Z
udv = uv
Z
vdu = x ln x
(UNSL Integración
)
Z
1
x dx = x ln x
x
x.
2015
14 / 35
Integral Inde…nida: Integración por partes
Ejemplo:
I =
Interpretando
ln x = u
dx = dv
Z
ln xdx
du = x1 dx
.
v =x
se deduce que
Luego,
I =
Z
udv = uv
Z
vdu = x ln x
Z
1
x dx = x ln x
x
x.
Comprobando:
ALCALÁ-NEME
d
(x ln x
dx
x ) = ln x + x
(UNSL Integración
)
1
x
1 = ln x.
2015
14 / 35
Integral Inde…nida: Funciones racionales
Funciones racionales
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
2015
15 / 35
Integral Inde…nida: Funciones racionales
Funciones racionales
Una función racional f (x ) = P (x )
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
Q (x ),
2015
15 / 35
Integral Inde…nida: Funciones racionales
Funciones racionales
Una función racional f (x ) = P (x ) Q (x ),
Podemos suponer gr (P (x )) < gr (Q (x )) . que haciendo la división
entera P (x ) = Q (x )S (x ) + R (x ) con gr (R (x )) < gr (Q (x )). Luego
R
P
=S+ ,
Q
Q
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
2015
15 / 35
Integral Inde…nida: Funciones racionales
Ejemplo:
Z
ALCALÁ-NEME
dx
=
(x a )n
(x a) n +1 si n 6=
ln (x a) si n = 1
1
n +1
(UNSL Integración
)
1
.
2015
16 / 35
Integral Inde…nida: Funciones racionales
Ejemplo:
Z
Ejemplo:
ALCALÁ-NEME
(x a) n +1 si n 6=
ln (x a) si n = 1
1
n +1
dx
=
(x a )n
I =
Z
1
.
dx
= arctan x + C
x2 + 1
(UNSL Integración
)
2015
16 / 35
Integral Inde…nida: Funciones racionales
Ejemplo:
I =
ALCALÁ-NEME
Z
(x
1
2) (x
(UNSL Integración
)
3)
dx
2015
17 / 35
Integral Inde…nida: Funciones racionales
Ejemplo:
I =
Z
(x
1
2) (x
3)
dx
Buscamos constantes A, B tales que
A
x
ALCALÁ-NEME
2
+
B
x
3
=
(x
(UNSL Integración
)
1
2) (x
3)
2015
17 / 35
Integral Inde…nida: Funciones racionales
Ejemplo:
I =
Z
(x
1
2) (x
3)
dx
Buscamos constantes A, B tales que
A
x
2
+
B
x
3
=
(x
1
2) (x
3)
Efectuando la suma del miembro izquierdo
ALCALÁ-NEME
Ax 3A + Bx 2B
(A + B ) x ( 3A 2B )
=
(x 2) (x 3)
(x 2) (x 3)
(UNSL Integración
)
2015
17 / 35
Integral Inde…nida: Funciones racionales
Igualando:
ALCALÁ-NEME
A+B = 0
3A + 2B =
(UNSL Integración
)
1
.
2015
18 / 35
Integral Inde…nida: Funciones racionales
Igualando:
ALCALÁ-NEME
A+B = 0
3A + 2B =
(UNSL Integración
)
1
.
2015
18 / 35
Integral Inde…nida: Funciones racionales
Igualando:
A+B = 0
3A + 2B =
La solución es A =
I =
ALCALÁ-NEME
Z
dx
x
2
+
Z
1
.
1, B = 1. Luego
dx
x
3
= ln (x
(UNSL Integración
)
3)
ln (x
2) = ln
x
x
3
+ C.
2
2015
18 / 35
Integral Inde…nida: Funciones racionales
Ejemplo:
ALCALÁ-NEME
I =
Z
x +1
(x
1)2 (x
(UNSL Integración
)
2)
dx.
2015
19 / 35
Integral Inde…nida: Funciones racionales
Ejemplo:
I =
Z
x +1
(x
1)2 (x
2)
dx.
Ahora buscamos constantes A, B, C tales que
x +1
(x
2
1) (x
ALCALÁ-NEME
2)
=
=
=
A
x
A (x
1
+
B
(x
1) (x
1)
2
+
C
x
2) + B (x
2
2) + C (x
(x 1)2 (x 2)
(A + C ) x 2 + ( 3A + B 2C ) x + (2A
(x 1)2 (x 2)
(UNSL Integración
)
1)2
2B + C )
2015
.
19 / 35
Integral Inde…nida: Funciones racionales
El sistema:
ALCALÁ-NEME
8
< A+C
3A + B 2C
:
2A 2B + C
(UNSL Integración
)
=0
=1 .
=1
2015
20 / 35
Integral Inde…nida: Funciones racionales
El sistema:
8
< A+C
3A + B 2C
:
2A 2B + C
La solución es A =
ALCALÁ-NEME
3, B =
2, C = 3. Por lo tanto,
x +1
(x
2
1) (x
2)
x +1
(x
2
1) (x
=0
=1 .
=1
2)
=
=
A
x
1
+
B
(x
3
+
x 1 (x
(UNSL Integración
)
1)
2
+
2
+
2
1)
C
x
2
3
x
2
2015
20 / 35
Integral Inde…nida: Funciones racionales
Ejemplo:
ALCALÁ-NEME
I
=
3
Z
dx
x
3 ln (x
1
2
Z
1) + 2
dx
(x
1
x
(UNSL Integración
)
1)
1
2
+3
+ 3 ln (x
Z
dx
x
2
=
2) + C .
2015
21 / 35
Integral De…nida
INTEGRALE DEFINIDA
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
2015
22 / 35
Integral De…nida
Pensemos en una operación que, …jado un intervalo [a, b ], permite
asociar a cada función f de una cierta clase un número real
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
2015
23 / 35
Integral De…nida
Pensemos en una operación que, …jado un intervalo [a, b ], permite
asociar a cada función f de una cierta clase un número real
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
2015
23 / 35
Integral De…nida
Pensemos en una operación que, …jado un intervalo [a, b ], permite
asociar a cada función f de una cierta clase un número real
ALCALÁ-NEME
f 7 !
Z b
f =
a
(UNSL Integración
)
Z b
f (x ) dx,
a
2015
23 / 35
Integral De…nida
Pensemos en una operación que, …jado un intervalo [a, b ], permite
asociar a cada función f de una cierta clase un número real
f 7 !
Z b
f =
a
Z b
f (x ) dx,
a
el cual representa el área asignada entre las cotas a y b, por los
lados y entre el grá…co de f y el eje x.
Este un número real y se llama integral de…nida de f entre a y b.
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
2015
23 / 35
Integral De…nida
Pensemos en una operación que, …jado un intervalo [a, b ], permite
asociar a cada función f de una cierta clase un número real
f 7 !
Z b
f =
a
Z b
f (x ) dx,
a
el cual representa el área asignada entre las cotas a y b, por los
lados y entre el grá…co de f y el eje x.
Este un número real y se llama integral de…nida de f entre a y b.
Las propiedades de la integral de…nida admiten en todos los casos una
referencia al cálculo de áreas que ella resuelve y son fácilmente
aceptables.
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
2015
23 / 35
Integral De…nida
Propiedades de la integral de…nida:
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
2015
24 / 35
Integral De…nida
Propiedades de la integral de…nida:
Linealidad: Si f y g son funciones integrables en el intervalo
[a, b ], también lo es f + g y se tiene que
ALCALÁ-NEME
Z b
a
(f + g ) =
Z b
a
(UNSL Integración
)
f +
Z b
g.
a
2015
24 / 35
Integral De…nida
Propiedades de la integral de…nida:
Linealidad: Si f y g son funciones integrables en el intervalo
[a, b ], también lo es f + g y se tiene que
ALCALÁ-NEME
Z b
a
(f + g ) =
Z b
a
(UNSL Integración
)
f +
Z b
g.
a
2015
24 / 35
Integral De…nida
Propiedades de la integral de…nida:
Linealidad: Si f y g son funciones integrables en el intervalo
[a, b ], también lo es f + g y se tiene que
Z b
(f + g ) =
Z b
f +
a
a
Z b
g.
a
De igual manera, si c es una constante, cf es integrable y
ALCALÁ-NEME
Z b
cf = c
a
(UNSL Integración
)
Z b
f
a
2015
24 / 35
Integral De…nida
Propiedades de la integral de…nida:
Linealidad: Si f y g son funciones integrables en el intervalo
[a, b ], también lo es f + g y se tiene que
Z b
(f + g ) =
Z b
f +
a
a
Z b
g.
a
De igual manera, si c es una constante, cf es integrable y
Z b
cf = c
a
Monotonía: Si f (x )
f
a
g (x ) para todo x 2 [a, b ] entonces
Z b
f
a
ALCALÁ-NEME
Z b
(UNSL Integración
)
Z b
g.
a
2015
24 / 35
Integral De…nida
Aditividad de dominio: Si a
ALCALÁ-NEME
Z b
a
f =
c
Z c
a
(UNSL Integración
)
b entonces
f +
Z b
f
c
2015
25 / 35
Integral De…nida
Aditividad de dominio: Si a
ALCALÁ-NEME
Z b
a
f =
c
Z c
a
(UNSL Integración
)
b entonces
f +
Z b
f
c
2015
25 / 35
Integral De…nida
Aditividad de dominio: Si a
Z b
Ejemplo: f (x ) = 1
ALCALÁ-NEME
Z b
b entonces
Z c
f +
dx = b
a
f =
a
c
a
Z b
f
c
a
(UNSL Integración
)
2015
25 / 35
Integral De…nida
Aditividad de dominio: Si a
Z b
f +
dx = b
a
f =
Z b
a
si M = maxx 2[a,b ] f (x ), entonces
ALCALÁ-NEME
b entonces
Z c
a
Ejemplo: f (x ) = 1
c
a
Rb
a
f
c
f (x )dx
(UNSL Integración
)
Z b
M
Rb
a
dx = M (b
a ).
2015
25 / 35
Integral De…nida
Aditividad de dominio: Si a
Z b
f +
dx = b
a
f =
Z b
a
si M = maxx 2[a,b ] f (x ), entonces
Ra
Ejemplo: a fdx = 0;
ALCALÁ-NEME
Z a
a
f =
Z a
a
f +
Z a
a
b entonces
Z c
a
Ejemplo: f (x ) = 1
c
a
Rb
a
Z b
f (x )dx
f . Luego,
Z a
a
(UNSL Integración
)
f
c
f =
M
Rb
Z a
a
a
f
dx = M (b
Z a
a ).
f = 0.
a
2015
25 / 35
Integral De…nida
Propiedad:
Ejemplo:
Rb
a
f (x )dx =
Ra
b
f (x )dx.
Z b
f
Z b
a
a
jf j
La demostración es simple, como
ALCALÁ-NEME
jf j
f
(UNSL Integración
)
jf j .
2015
26 / 35
Integral De…nida
Propiedad:
Ejemplo:
Rb
a
f (x )dx =
Ra
b
f (x )dx.
Z b
f
Z b
a
a
jf j
La demostración es simple, como
jf j
Integrando
Z b
a
ALCALÁ-NEME
jf j
jf j .
f
Z b
a
(UNSL Integración
)
f
Z b
a
jf j ,
2015
26 / 35
Integral De…nida
Teorema (Teorema Fundamental del Cálculo).Sea f una función
continua en el intervalo [a, b ] y de…namos
F (x ) =
Z x
f (t ) dt,
a
x
b
a
Entonces F es diferenciable en (a, b ) con F 0 (x ) = f (x ).
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
2015
27 / 35
Integral De…nida
Demostración:
ALCALÁ-NEME
F (x + h )
h
F (x )
=
R x +h
a
f (t ) dt
h
(UNSL Integración
)
Rx
a
f (t ) dt
,
2015
28 / 35
Integral De…nida
Demostración:
ALCALÁ-NEME
F (x + h )
h
=
R x +h
a
F (x )
f (t ) dt +
h
=
Ra
x
R x +h
a
Rx
f (t ) dt
h
f (t ) dt
(UNSL Integración
)
=
1
h
a
Z x +h
f (t ) dt
,
f (t ) dt
x
2015
28 / 35
Integral De…nida
Demostración:
F (x + h )
h
=
mientras que
1
h
ALCALÁ-NEME
Z x +h
x
R x +h
a
F (x )
=
f (t ) dt +
h
f (x ) dt =
f (x )
h
Ra
x
R x +h
a
f (t ) dt
Z x +h
Rx
f (t ) dt
h
dt =
x
(UNSL Integración
)
=
1
h
a
Z x +h
f (t ) dt
,
f (t ) dt
x
f (x )
(x + h
h
x ) = f (x )
2015
28 / 35
Integral De…nida
Demostración:
F (x + h )
h
=
mientras que
1
h
Z x +h
x
R x +h
a
F (x )
f (x )
h
a
=
f (t ) dt +
h
f (x ) dt =
R x +h
Ra
x
dt =
x
luego
ALCALÁ-NEME
f (t ) dt
Z x +h
f (x ) =
1
h
Rx
f (t ) dt
h
Z x +h
=
1
h
a
Z x +h
f (t ) dt
,
f (t ) dt
x
f (x )
(x + h
h
x ) = f (x )
f (x ) dt
x
(UNSL Integración
)
2015
28 / 35
Integral De…nida
Luego, para h > 0,
F (x + h )
h
ALCALÁ-NEME
F (x )
f (x )
=
Z x +h
x
(UNSL Integración
)
f (t ) dt
Z x +h
f (x ) dt =
x
2015
29 / 35
Integral De…nida
Luego, para h > 0,
F (x + h )
h
Z x +h
ALCALÁ-NEME
x
F (x )
(f (t )
f (x )
=
Z x +h
f (t ) dt
x
f (x )) dt
1
h
Z x +h
x
(UNSL Integración
)
Z x +h
f (x ) dt =
x
jf (x )
f (t )j dt
2015
29 / 35
Integral De…nida
Luego, para h > 0,
F (x + h )
h
Z x +h
ALCALÁ-NEME
x
F (x )
(f (t )
f (x )
=
Z x +h
f (t ) dt
x
f (x )) dt
1
h
Z x +h
f (x ) dt =
x
Z x +h
jf (x )
f (t )j dt
max
jf (x )
f (t )j
x
t 2[x ,x +h ]
(UNSL Integración
)
h
! 0.
h h !0
2015
29 / 35
Integral De…nida
Luego, para h > 0,
F (x + h )
h
Z x +h
F (x )
(f (t )
=
f (x )
Z x +h
f (t ) dt
x
1
h
f (x )) dt
x
Z x +h
f (x ) dt =
x
Z x +h
jf (x )
f (t )j dt
max
jf (x )
f (t )j
x
t 2[x ,x +h ]
h
! 0.
h h !0
El cálculo con h < 0 es similar
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
2015
29 / 35
Integral De…nida
Teorema (Regla de Barrow): Si f es continua en [a,Rb ] y F es
cualquier primitiva de f en ese interval, o sea si F = f en [a, b ] ,
entonces
Z
b
f (x ) dx = F (b )
F (a ) .
a
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
2015
30 / 35
Integral De…nida
Demostración: Poniendo G (x ) =
es una primitiva de f .
ALCALÁ-NEME
Rx
a
(UNSL Integración
)
f (t ) dt, el TFC asegura que G
2015
31 / 35
Integral De…nida
Rx
Demostración: Poniendo G (x ) = a f (t ) dt, el TFC asegura que G
es una primitiva de f .
Entonces, por el teorema de unicidad, existe una constante C tal que
G (x )
ALCALÁ-NEME
F (x ) = C , 8x 2 [a, b ] .
(UNSL Integración
)
2015
31 / 35
Integral De…nida
Rx
Demostración: Poniendo G (x ) = a f (t ) dt, el TFC asegura que G
es una primitiva de f .
Entonces, por el teorema de unicidad, existe una constante C tal que
G (x )
F (x ) = C , 8x 2 [a, b ] .
Evaluando en x = a, como G (a) = 0, C =
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
F (a ) .
2015
31 / 35
Integral De…nida
Rx
Demostración: Poniendo G (x ) = a f (t ) dt, el TFC asegura que G
es una primitiva de f .
Entonces, por el teorema de unicidad, existe una constante C tal que
G (x )
F (x ) = C , 8x 2 [a, b ] .
Evaluando en x = a, como G (a) = 0, C =
Entonces G (x ) = F (x ) F (a) 8x 2 [a, b ] .
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
F (a ) .
2015
31 / 35
Integral De…nida
Rx
Demostración: Poniendo G (x ) = a f (t ) dt, el TFC asegura que G
es una primitiva de f .
Entonces, por el teorema de unicidad, existe una constante C tal que
G (x )
F (x ) = C , 8x 2 [a, b ] .
Evaluando en x = a, como G (a) = 0, C =
Entonces G (x ) = F (x ) F (a) 8x 2 [a, b ] .
En particular,
G (b ) =
Z b
f (x ) dx = F (b )
F (a ) .
F (a ) .
a
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
2015
31 / 35
Integral De…nida
Sustitución:
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
2015
32 / 35
Integral De…nida
Sustitución:
ALCALÁ-NEME
Sea g una función con derivada continua en el intervalo [a, b ].
(UNSL Integración
)
2015
32 / 35
Integral De…nida
Sustitución:
ALCALÁ-NEME
Sea g una función con derivada continua en el intervalo [a, b ].
Sea f una función continua en la imagen de g . Entonces
(UNSL Integración
)
2015
32 / 35
Integral De…nida
Sustitución:
ALCALÁ-NEME
Sea g una función con derivada continua en el intervalo [a, b ].
Sea f una función continua en la imagen de g . Entonces
(UNSL Integración
)
2015
32 / 35
Integral De…nida
Sustitución:
ALCALÁ-NEME
Sea g una función con derivada continua en el intervalo [a, b ].
Sea f una función continua en la imagen de g . Entonces
Z b
a
f [g (x )] g 0 (x ) dx =
Z g (b )
g (a )
f (u ) du
Si u = g (x ) y du = g 0 (x ) dx.
(UNSL Integración
)
2015
32 / 35
Integral De…nida
Sustitución:
ALCALÁ-NEME
Sea g una función con derivada continua en el intervalo [a, b ].
Sea f una función continua en la imagen de g . Entonces
Z b
a
f [g (x )] g 0 (x ) dx =
Z g (b )
g (a )
f (u ) du
Si u = g (x ) y du = g 0 (x ) dx.
Cuando x recorre valores entre a y b, u = g (x ) recorrerá valores
entre g (a) y g (b ) .
(UNSL Integración
)
2015
32 / 35
Integral De…nida
Ejemplo:
Z π
π
2
2
sin x cos xdx =
Z 0
2
u du =
1
Z 1
0
2
u du =
1 3
u
3
1
=
0
1
3
con la sustitución u = sin x, du = cos xdx.
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
2015
33 / 35
Integral De…nida
Integración por partes:
ALCALÁ-NEME
Z b
a
udv =
uv jba
(UNSL Integración
)
Z b
vdu
a
2015
34 / 35
Integral De…nida
Integración por partes:
ALCALÁ-NEME
Z b
a
udv =
uv jba
(UNSL Integración
)
Z b
vdu
a
2015
34 / 35
Integral De…nida
Integración por partes:
Z b
a
Ejemplo:
ALCALÁ-NEME
R2
1
udv =
uv jba
Z b
vdu
a
ln xdx = . Reemplazando:
u = ln x ) du =
dv
1
dx
x
= dx ) v = x
(UNSL Integración
)
2015
34 / 35
Integral De…nida
Integración por partes:
Z b
uv jba
udv =
a
Ejemplo:
ALCALÁ-NEME
R2
1
Z b
vdu
a
ln xdx = . Reemplazando:
u = ln x ) du =
dv
Z 2
1
= dx ) v = x
ln xdx = x ln x j21
= 2 ln 2
1
dx
x
1 ln 1
Z 2
1
1
x dx = x ln x j21
x
(2
1) = 2 ln 2
(UNSL Integración
)
x j21
1
2015
34 / 35
UF
FIN
ALCALÁ-NEME
(UNSL Integración
)
2015
35 / 35