Cosmología hoy: una revisión

H
Revista Integración
Escuela de Matemáticas
Universidad Industrial de Santander
Vol. 25, No. 2, 2007, pág. 99–129
Cosmología hoy: una revisión
Jorge L. Cervantes Cota∗ & Santiago De Lope Amigo∗
Resumen. Se presenta un resumen del modelo estándar de cosmología, des-
de su origen hasta hoy. Se discuten primero los resultados observacionales
recientes, entre los cuales están las diversas mediciones de la RCF, de supernovas tipo Ia y catálogos de galaxias; se mencionan resultados importantes
de las simulaciones cosmológicas de N -cuerpos. A continuación se presenta
una parte teórica que analiza los modelos de FRW, y enseguida se discuten
los problemas de la constante cosmológica, de inflación y de oscilaciones
acústicas. Finalmente se presentan las ideas generales de quintaesencia.
Abstract. A summary of the standard model of cosmology from it origins
until today are presented. Firstly, recent observational results, among which
are: the various measurements of the RCF, type Ia supernovae, galaxies
catalog; significant results of N -body cosmological simulations are reported.
Right after there is a theoretical part which analyzes the FRW models.
Following, the problem of the cosmological constant, inflation and acoustic
oscillations are discussed. Finally, the general ideas behind quintessence
are presented.
1.
Introducción
El propósito de esta revisión es mostrar un panorama general de la cosmología moderna. Esta rama de la ciencia está pasando por una era revolucionaria, fundamentalmente
porque las observaciones recientes de alta precisión han reducido considerablemente las
especulaciones teóricas, y a su vez han abierto nuevas ventanas del cosmos. La historia
reciente de la cosmología tiene sus orígenes hacia finales de los años 40 del siglo pasado,
0 Palabras
y frases claves: Cosmología, materia oscura, energía oscura.
Key words: Cosmology, dark matter, dark energy.
PACS: 98.80.-k, 95.35.+d, 95.36.+x.
∗0 Depto. de Física, Instituto Nacional de Investigaciones Nucleares, A.P. 18-1027, México D.F. 11801,
México. e-mail: [email protected]
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cuando George Gamow predijo que el universo comienza de un estado muy denso, caracterizado por una densidad enorme y a temperaturas muy altas. Este escenario, llamado
gran explosión, predice que la materia y la luz estaban en estados energéticos muy altos,
y ambas componentes se comportaban como un fluido de radiación, siguiendo la ley de
Stephan–Boltzman. Este estado inicial dejó una huella en la actual radiación cósmica
de fondo (RCF). Según el escenario de Gamov, esta radiación se puede medir hoy en
día con una temperatura de solamente pocos grados Kelvin; lo cual es posible, porque
la expansión del universo enfría cualquier componente de la densidad. R. Dicke y otros,
iniciaron la carrera por descubrir esta radiación proveniente del cosmos, y en 1965, A.
Penzias y R.W. Wilson de los laboratorios Bell descubrieron por azar esta forma de
la radiación, confirmando el escenario general de la gran explosión (ver las referencias
originales publicadas en [1]).
Con el curso de los años el escenario de la gran explosión fue aceptado. Sin embargo, algunas preguntas seguían abiertas. Por ejemplo, se necesitaba establecer si esta radiación
era de naturaleza planckiana, para confirmar que el universo estaba en equilibrio térmico
en su inicio. Otra pregunta era si el universo era perfectamente isotrópico o poseía pequeñas anisotropías. Hacia finales de los años 80 del siglo pasado una versión moderna
del experimento de Penzias y Wilson fue llevado a cabo. Este experimento, realizado por
el satélite Explorador del Fondo Cósmico (COBE, por sus siglas en inglés), iniciando así,
una nueva era experimental de alta precisión en cosmología. El equipo de COBE reveló
por primera vez a comienzos de la década de los 90, que el universo sí estuvo en equilibrio,
al establecer que la radiación es tipo cuerpo negro, y de hecho es el mejor cuerpo negro
descubierto en la naturaleza hasta hoy en día. Por otro lado, COBE también descubrió
que el universo era casi homogéneo e isotrópico, pero no perfectamente. Las minúsculas
anisotropías descubiertas por COBE fueron las responsables de la posterior formación
de estrellas, galaxias, cúmulos de galaxias, y de todas las macro-estructuras de nuestro
universo actual.
El origen de estas minúsculas anisotropías se deben, muy probablemente, a fluctuaciones
de campos cuánticos fundamentales de la naturaleza, los cuales estaban presentes en el
universo muy temprano. Las teorías modernas de campos cuánticos, junto con modelos
cosmológicos, ayudan a entender cómo es que las pequeñas fluctuaciones se desarrollaron
para pasar a escalas cósmicas, permitiendo a COBE detectarlas. Este satélite y otras pruebas cosmológicas, como los globos BOOMERANG y MAXIMA, y más recientemente el
satélite WMAP, junto con las mediciones de supernovas tipo Ia (SNe Ia) llevadas a cabo
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por los grupos “Supernova Cosmology Project” (SCP) y por “High-Z Supernova Search
Team” (HZT), así como los catálogos de galaxias “2-degree Field” (2dF) y “Sloan Digital Sky Survey” (SDSS), han confirmado cada vez con mayor presición las predicciones
teóricas del modelo cosmológico de la gran explosión, así como también han abierto la
posibilidad de probar teorías y escenarios aplicables al universo muy temprano, como la
inflación, o en las actuales épocas, como la quintaesencia. De esta manera, la cosmología,
que era una ciencia puramente teórica, hoy en día está sujeta a pruebas de alta precisión
a la luz de estas nuevas observaciones; para una revisión técnica de todos estos asuntos
(ver [2]).
A continuación se presentan algunos de los aspectos más importantes que la cosmología
está tratando hoy en día. Este trabajo esta organizado como sigue: en la segunda y
tercer sección se presentan, respectivamente, la información sobre datos observaciones
relevantes y los aspectos teóricos de la cosmología. Se sigue este orden para dar, primero,
un panorama observacional sin entrar en la teoría. Segundo, dado que los datos observacionales están pasando por una era revolucionaria, y comenzando con ellos, el lector
será motivado y recibirá información actualizada. Así entonces, en la sección de teoría se
podrá hacer referencia directa a las observaciones.
2.
Datos observacionales
Recientemente se han realizado diversas observaciones que han cambiado nuestra visión
del cosmos, diferente a la que se tenía al inicio de la década pasada. Primero se va a dar
una descripción cualitativa de estas observaciones de modo que se obtenga una visión
general del estado actual del universo. Después, en la sección 3, se explicar el modelo
teórico estándar de cosmología, en donde se hará mención a los datos observacionales
que se dan a continuación.
2.1.
Radiación cósmica de fondo
Si observamos el cielo, y no importa en qué dirección se haga, encontraremos que siempre
que hay radiación, ella viene hacia nosotros. Ésta radiación es la luz que fue producida en
la gran explosión, durante las primeras etapas de la evolución del universo. Después de
los primeros minutos de su evolución, el universo produjo los primeros átomos y algunos
isótopos: Hidrógeno, helio, deuterio, litio, y algunos otros pocos elementos de la tabla
periódica [3]; el resto fue producido dentro de las estrellas, pero mucho después. Algunos
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otros componentes también fueron producidos, por ejemplo, los neutrinos y los fotones
primordiales (luz). Los neutrinos se desacoplan de la materia muy temprano, después
de los primeros segundos en la evolución, y de hecho deben estar presente hoy en día
como un fondo cósmico de neutrinos con una temperatura de aproximadamente 2K;
exactamente es Tν0 = (4/11)1/3 Tγ0 = 1,945 K, donde se ha tomado el valor actual de la
temperatura de la luz como Tγ0 = 2,725 K [4]. Sin embargo, los neutrinos interactúan
sólo débilmente, por lo que son extremadamente difíciles de ser detectarlos. Pero la luz y
la materia continuaron interactuando por cientos de miles de años, hasta que el universo
tenía aproximadamente 380.000 años después de la gran explosión, cuando los fotones
se desacoplaron. La superficie de la última interacción, cuando la luz fue dispersada
por último, se llama superficie de última dispersión (SUD). Después de esto, la luz ha
estado viajando hacia nosotros casi sin interacción, salvo efectos secundarios [5]. La luz
es caracterizada por su intensidad, longitud de onda y polarización, y sucede que esta luz
tiene un máximo en su intensidad que corresponde a microondas con una temperatura de
2,725 K, por cual a veces es referida como RFC de microondas (RCFM). Los cosmólogos
encuentran que esta RCFM es, por tanto, una herramienta muy útil para describir las
primeras etapas de nuestro universo. Esta es la razón por la cual la RCFM ha llegado a
ser tan importante.
Cabe mencionar que en 1965 Penzias y Wilson descubrieron la RCFM utilizando una
antena de microonda ultra-sensible para estudiar las emisiones de radio de la Vía Láctea.
Ellos observaron que había un cierto ruido en estas emisiones que no tenían ninguna
explicación evidente. Inicialmente pensaron que estas emisiones eran debidas a nidos
de palomas que estaban sobre la antena, pero después de que éstos fueron quitados, el
ruido continuaba. Lo interesante sobre este ruido es que provenía de todas las direcciones
y aparecía emanar de fuera de la galaxia. Esto sugería que su origen era de naturaleza
cosmológica, no local. Más adelante se concluyó que lo que Penzias y Wilson descubrieron
era la RCF. Esta radiación tiene una temperatura de 2,725 K en todas las direcciones
y si se traza el espectro de cuerpo negro para esta temperatura, se puede encontrar que
el pico está en una longitud de onda de 2-milímetros, correspondiendo a la radiación de
la microondas. Aunque Penzias y Wilson no proporcionaron la explicación teórica para
este ruido (así lo reportaron ellos), no obstante recibieron el premio Nobel de física. La
explicación teórica fue hecha inmediatamente por los científicos R. H. Dicke, P. J. E.
Peebles, P. G. Roll, D.T. Willkinsson (ver citas originales en [1]). El descubrimiento de
la RCFM fue de hecho muy importante al dar certidumbre sobre un origen caliente y
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denso de nuestro universo.
COBE
Los modelos cosmológicos predicen que la RCF no debería ser tan isotrópica como se
parecía ser: en un mundo perfectamente isotrópico y simétrico, las perturbaciones existentes como las galaxias, las estrellas, los planetas y nosotros mismos ¡no podrían existir!
Así, puesto que observamos estas estructuras hoy, los modelos cosmológicos reales deben
de incorporar cierto grado de inhomogeneidad y anisotropía. Por lo tanto, en cierto punto del pasado debió haber existido anisotropías en la densidad y, por lo tanto, en la
radiación. Específicamente, debió haber anisotropías en la SUD. Lo que vemos hoy en la
RCF se cree es una impresión de la última dispersión, como una huella digital del origen
del cosmos. Se esperaba entonces que se pudieran observar anisotropías en la RCF, de
otro modo, ¡nuestra propia existencia no podría ser explicada!
Sin embargo, la antena que Penzias y Wilson usaron no tenía suficiente resolución para
detectar anisotropías en la RCF. En los años 70 llegó a estar claro que se necesitaban
medidas más exactas de la RCF. Las medidas deseadas deberían evitar la interferencia de
la atmósfera de la Tierra. Por lo tanto, era necesario un satélite, el cual fue lanzado por
la NASA en noviembre de 1989 y llamado COBE. COBE fue diseñado específicamente
para hacer las medidas más exactas de la RCF en aquella época. El espectrofotómetro
FIRAS de COBE midió la forma del espectro, encajando perfectamente con la fórmula de
planckiana para la radiación de cuerpo negro [6, 4]. Así, fue probado experimentalmente
que la luz es casi isotrópica, con desviaciones solamente de una parte en cien mil, i.e.,
δT /T ∼ 10−5 , en diversas direcciones del espacio. Observar la RCF con esta presición no
fue una tarea fácil. Se requirió lanzar a COBE sobre la atmósfera de la Tierra y enfriarlo
abajo de 1,5 K, de modo que la radiación del instrumento no interfiriera con las medidas
que se harían. De hecho, este gran logro fue posible debido al desarrollo tecnológico en
aquella época, y debido al esfuerzo del equipo de los científicos organizados por George
Smoot y John Mather, quienes por estos descubrimientos fueron galardonados con el
premio Nobel de física en el año 2006.
El equipo científico de COBE anunció en 1992 que habían detectado las anisotropías en
la RCF [7], que fueron detectadas para ángulos grandes en el cielo y de más de 7 grados,
escalas que son mucho más grandes que las implicadas en la formación de galaxias. El
descubrimiento provocó mucho entusiasmo entre los científicos, puesto que los resultados
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confirmaban el modelo de perturbaciones iniciales y eran parte del modelo de la gran
explosión que habían sido predichos por modelos inflacionarios durante los años 80s
[8, 9, 10].
BOOMERANG AND MAXIMA
Aunque las medidas de COBE eran asombrosas, las medidas a ángulos pequeños de los
anisotropías eran necesarias. Si se pudieran medir las anisotropías en escalas de menos
de un grado en el cielo, entonces se podrían analizar las perturbaciones que dieron origen
a la formación de la estructura de cúmulos de galaxias, galaxias y otras. Esto representó
un gran desafío tecnológico. Los experimentos con base en la Tierra necesitan superar
las emisiones atmosféricas grandes que interfieren con las ténues intensidades de la RCF.
Por ende, los experimentos se debían realizar en lugares donde la atmósfera es fría y
muy seca, como en el Polo Sur o en las cimas de montañas altas. El problema con estos
experimentos es que se debe llevar toda la instrumentación en un globo y la duración de
los vuelos de estos globos es limitada, así como las regiones del cielo que pueden cubrir.
El globo BOOMERANG (Balloon Observations of Millimetric Extragalactic Radiation
and Geophysics, en inglés) fue uno de los que se propusieron para medir los anisotropías
en escalas angulares pequeñas. BOOMERANG, que realizó su primer vuelo largo sobre
el antártida en 1998, consistía de 16 detectores sin polarizar que funcionaban en cuatro
diversas longitudes de onda. La sensibilidad del instrumento permitió una medida de las
fluctuaciones de la temperatura de la RCF sobre una amplia gama de escalas angulares.
Otro experimento de este estilo fue MAXIMA (Millimeter Anisotropy Experiment Imaging Array, en inglés), el cual consistió de un arreglo de bolómetros de 16 pixeles enfriados
a una temperatura de 100 mK, para alcanzar alta sensibilidad. La instrumentación también fue puesta en un globo, el cual exploraba la misma porción del cielo dos veces en
un tiempo de más que una hora. Esto se hizo para comparar los datos de ambas exploraciones y para ver si había algún ruido debido al instrumento mismo. Así, se eliminaba
el ruido de las medidas para alcanzar la mejor señal de la RCF. Se realizaron dos de
estos vuelos, MAXIMA-1 en 1998 y MAXIMA-2 en 1999. Antes de estos años hubo otros
experimentos con menos presición que no se mencionaran.
El modelo estándar de cosmología predice que desde que se crearon los primeros elementos
químicos durante la nucleosíntesis hasta la SUD, el universo está compuesto principalmente por un plasma de iones de hidrógeno, electrones y fotones. Se asume que este
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plasma tiene pequeñas fluctuaciones que a la postre servirán como semillas de la formación de estructura que vemos hoy en día. A su vez, estas fluctuaciones tienen un patrón
oscilatorio, por lo que se pueden ver como oscilaciones acústicas, en escalas angulares
pequeñas (θ ≤ 1), los cuales deben haber dejado una impresión anisotrópica en la RCF
(ver una discusión más detallada en la sección 3.11). Las oscilaciones amplificarían, en
última instancia, una cresta o valle en la longitud de onda de la RCF y esto puede ser
determinado analizando cuidadosamente la radiación que viene a nosotros de la SUD.
La meta científica principal de BOOMERANG y de MAXIMA fue la de medir los picos
acústicos del espectro angular a pequeños ángulos de la RCF. Uno de los principales
resultados de ambos experimentos, publicados en el año 2000 [11, 12], fue la localización
del primer pico acústico. La figura 1 es un diagrama del espectro de potencias medido por
BOOMERANG y MAXIMA-1. Una de las implicaciones teóricas de esta medida es que
el universo es esencialmente plano, no curvo. La discusión teórica de este aspecto será
considerada en la siguiente sección donde se verá que estos resultados son compatibles
con otras mediciones y con cierto modelo teórico.
Figura 1. Gráfica del espectro de potencias de la RCF medido por BOOMERANG (negro) y
MAXIMA-1 (rojo). El pico acústico principal se puede observar en l ≈ 200. Figura tomada de
[13].
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WMAP
El Satélite WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe, en inglés) fue lanzado el 30
de junio del 2001 para medir las anisotropías de RCF con una precisión mayor que los
experimentos anteriores, y ha estado produciendo una distribución completa de temperaturas con una la resolución de 13 arco-minutos. Esta misión tiene un nivel de ruido muy
bajo por pixel, ya que fue calibrada muy finamente, y además proporcionó observaciones
de frecuencias múltiples. Los datos de WMAP tienen 45 veces la sensibilidad y 33 veces
la resolución angular de la misión COBE. WMAP ha dado tres entregas de datos correspondientes al primer, tercer y quinto año de mediciones (ver [14]). La Figura 2 muestra
el mapa del cielo de temperatura producido por WMAP en su quinto año de mediciones.
Las fluctuaciones de la temperatura, es decir, la diferencia de la temperatura en la cual
las anisotropías fueron descubiertas, son del orden de 10−5 K.
Figura 2. Mapa de cielo de las anisotropías en la temperatura de la RCF producido por WMAP
y corresponde a 5 años de datos. Los colores azules corresponden a temperaturas más bajas y
los rojos a temperaturas más altas, tomado de [15].
La figura 3 es un gráfico del espectro de potencias medido por WMAP, cuya resolución
angular es mucho mayor que las medidas por BOOMERANG o MAXIMA. En esta figura
1 únicamente se puede distinguir claramente el primer pico de Doppler, mientras que en
la Figura 3 los picos secundarios son evidentes. Este es un ejemplo de como la cosmología
observacional ha incrementado su presición, lo que a su vez implica la depuración de
modelos teóricos, como se verá más adelante.
2.2.
La constante de Hubble
Hacia finales de los años 20 del siglo pasado el astrónomo Edwin Hubble descubrió que
varios objetos se alejaban de la Tierra. Estos objetos que Hubble pensó como las galaxias,
cumplían con el principio de que cuanto más lejanos estaban, más rápido parecían alejarse
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Figura 3. Se muestran los espectros de potencia de la temperatura (TT) y de la polarización
(TE) de la RCF después de 5 años de datos de WMAP. Estos datos muestran con mayor claridad
el tercer pico (TT) y datos para l-grandes en el espectro TE, tomado de [15].
de nosotros. Este principio se puede explicar mediante el efecto de Doppler, el cual
establece que cuando un objeto móvil emite la luz y cuanto más rápido se aleja de
nosotros, más grande es su longitud de onda. Esto genera un corrimiento hacia frecuencias
más pequeñas cuando se mide donde estamos. Este efecto en el cambio de la frecuencia
se le llama corrimiento hacia el rojo, que se denota con la letra z, y se puede expresar
como
1+z ≡
λ
a
= ,
λ0
a0
donde λ y λ0 son las longitudes de onda emitida y medida hoy en día, respectivamente,
y a es el factor de expansión o factor de escala del universo.
Hubble graficó la velocidad de las galaxias contra su distancia. La pendiente de este
gráfico da la razón de expansión del universo, conocido hoy día como constante de Hubble,
es un parámetro cosmológico fundamental; dado que en términos del factor de escala es
H = ȧ/a, donde el punto indica derivada con respecto al tiempo. Se debe mencionar que
Hubble confundió algunos de los objetos que él creyó inicialmente ser galaxias con otros
objetos astronómicos. Además, el método que él usó para calibrar distancias no era muy
exacto, puesto que él confundió dos clases de cefeidas variables. Sin embargo, el hecho
de que estos objetos se alejaban de la Tierra podría significar solamente dos cosas: o
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estamos en una cierta clase de posición privilegiada en nuestro universo en el cual vemos
la expansión, o bien cada galaxia se aleja de la otra en el universo. La segunda explicación
fue la correcta: uno no espera que estemos en un marco de referencia privilegiado en la
Tierra.
Para la época, la comunidad científica creía que el universo era estático. Es decir, solamente los objetos astronómicos locales –como las estrellas– debían moverse, pero los
objetos distantes debían estar estáticos en el cielo. Años atrás, cuando Einstein descubrió
que sus ecuaciones cosmológicas predecían que el universo se expande (ver la sección 3.8),
entonces introdujo una constante cosmológica (Λ) en sus ecuaciones para forzar las soluciones del modelo a ser estáticas. Como a la luz del descubrimiento de Hubble, a finales de
los años 20 del siglo pasado, el universo no podía ser estático, entonces Einstein admitió
que la constante cosmológica era el error más grande de su vida.
Comúnmente la constante de Hubble, H, se expresa en términos de la cantidad adimensional h, siendo H = h 100 km/s/Mpc. Actualmente la constante de Hubble se mide
usando varios métodos, pero el que ha causado más expectativa es el empleado en las
supernovas tipo Ia, que a continuación se describe.
2.3.
Supernovas Tipo Ia
Una fuente de información para medir la constante de Hubble son las supernovas tipo Ia.
Una supernova ocurre cuando una estrella se colapsa debido a su presión gravitacional,
y después estalla debido a la acción de fuerzas nucleares. Esta explosión produce varias
formas de radiación electromágnetica que se pueden detectar a largas distancias. Un
tipo de supernovas son las Ia, las cuales son pobres en hidrógeno y tienen un pico en
sus curvas de luz. Además, normalmente no hay nebulosas planetarias a su alrededor.
Se cree que el origen de este tipo supernovas está en los sistemas binarios de estrellas
que consisten de una gigante roja y una enana blanca. La gigante roja es más grande,
pero tiene menos masa que la enana blanca. La enana comienza a adquirir la masa de la
gigante, y la presión gravitacional interna de la enana se balancea con la presión de la
degeneración del electrón. Esta presión de degeneración del electrón es debida al principio
de la exclusión de Pauli que prohibe que dos electrones ocupen el mismo estado cuántico.
Este equilibrio entre la presión gravitacional y la presión de degeneración del electrón
continúa mientras que la masa de la enana blanca aumenta. Sin embargo, se alcanza un
límite cuando la enana blanca adquiere una masa de 1,44 veces la masa de nuestro Sol.
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Este límite se conoce como el límite de Chandrasekhar. A partir de este punto la presión
gravitacional excede la presión de degeneración, y la fusión de los núcleos del carbón
comienza dentro de la enana blanca. Esto produce una explosión repentina de energía
que destruye eventualmente la enana blanca. Ya que sabemos exactamente en qué punto
se alcanza este límite, podemos saber la intensidad de la radiación electromágnetica que se
emite. Esto, aunado al hecho que normalmente no hay nebulosas planetarias alrededor de
estos objetos, nos provee una manera única de medir distancias. De esta manera sabemos
qué tan intensas son las supernovas tipo Ia, y todas parecen tener la misma intensidad.
Así, cuanto más lejanas las supernovas son, menos intensa es la luz que recibimos de
ellas.
Desde hace unos diez años se han estado analizando datos de estas supernovas para
medir más exactamente la constante de Hubble. Esto lo han realizado principalmente
los grupos, SCP [16] y HZT [17], mencionados en la seción 1,(ver [18] para mayores
detalles). El resultado es una constante de Hubble muy superior a lo que se pensaba hace
más de diez años para distancias cercanas (z < 0,1), H0 ≈ 72 (km/s)/megaparsec [18].
Además, la longitud de onda de la luz que llega de lugares más lejanos (z > 0,1) llega
más elongada, lo cual es consistente con un modelo de expansión acelerada del universo.
De aquí proviene la evidencia experimental más sólida para la energía oscura, desde hace
ya diez años. El esquema para obtener estas mediciones utiliza la luminosidad, que es la
magnitud absoluta
M = −19,5 ± 0,2
(1)
y la magnitud aparente m, dada por la relación
m = M + 25 + 5 (cz)Ln(cz) − 5LnH0 ,
(2)
en donde H0 es el valor de la constante de Hubble hoy en día, z es el corrimiento hacia el
rojo, que definimos antes, λo es la longitud de onda recibida y λ es la longitud de onda en
el momento de emisión. Debido al efecto Doppler, la luz recibida es corrida al rojo por la
acción de la supernova que se encuentra en expansion cósmica. Así, z ∼ 0 corresponde a
los objetos próximos –o que han experimentado menos expansión–, mientras que z’s más
grandes corresponden a objetos más lejanos, o que han experimentado más expansión.
Ajustando la mejor curva de la figura 4 uno puede conseguir un valor para H0 . El valor
típico aceptado en la actualidad es [18]:
H0 = 72 ± 8
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km 1
.
s Mpc
(3)
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La constante de Hubble está relacionada con otros parámetros cosmológicos. Podemos
definir Ωm ≡
8πGρ
3H 2
y ΩΛ ≡
8πGΛ
3H 2 c2 .
El parámetro Ω se llama el parámetro de densidad total,
que se compone de materia y de un término de constante cosmológica. Estos parámetros
se pueden calcular. La expresión usada normalmente utilizada para magnitud aparente
es
(4)
m = M + 25 − 5 LnH0 + 5 Ln(dL (z; ΩΛ ), Ωm )),
donde dL ≡ Ls /(4πF ) es la distancia lumínica, donde a su vez Ls es la luminosidad
absoluta y F es el flujo de energía a una distancia dL . De nuevo ajustamos la curva a
los valores obtenidos y después encontramos los valores apropiados para Ωm y ΩΛ . Los
valores actuales de estos parámetros son
Ωm = 0,23
(ver Tabla 1). Esto implica que Ωk ≡
kc2
a2 H 2
y
(5)
ΩΛ = 0,72
es prácticamente cero, lo que implica que el
universo es prácticamente plano.
Los grupos SCD y HZT también descubrieron que para valores grandes de z, las galaxias
que albergan a las supernovas, se expanden mucho más rápido de lo que sería predicho
por la ley de Hubble estándar (ver Figura 4). La conclusión es que hay un exceso en la
aceleración de las galaxias, el cual podría ser provocado por la presencia de una constante
cosmológica con valor de Λ = 10−120 Mpl 4 , donde Mpl = 1019 GeV/c2 es la masa de
Planck. Otra posibilidad es que halle una nueva esencia cósmica, llamada quintaesencia,
típicamente consistente de campos escalares. Es decir, una nueva y quinta esencia presente
en el cosmos, diferente a las cuatro ya antes conocidas: fotones, bariones, neutrinos, y
materia oscura. Genéricamente al agente que produce está expansión extra se llama
energía oscura, ya que ni se ve ni se siente: sólo actúa gravitacionalmente a distancias
cosmológicas. Quizás más correctamente se la debería llamar energía transparente, ya
que actúa como un gran medio óptico que desvía la luz y según su energía asociada.
2.4.
Catálogos de galaxias
El cátalogo de corrimientos al rojo de galaxias 2dF es un proyecto que utilizó un telescopio de 4 metros con un campo visual de 2 grados. Este proyecto terminó en junio del 2003,
durante este tiempo examinó 245.591 objetos, incluyendo los quásares y las galaxias, y
obtuvo la información de cada uno de estos objetos tales como los espectros, sus corrimientos y otras informaciónes relevantes. Con el catálogo 2dF los científicos midieron de
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Type Ia Supernovae
26
0.0001
Perlmutter, Physics Today (2003)
22
Supernova Cosmology Project
High-Z Supernova Search
pty
Calan/Tololo
Supernova Survey
m
0 e
25
0.01
20
18
0.1
y
erg
0.2
24
0.4
0.6
1.0
um
magnitude
14
0.01
u
ac
m
uu
vac
ut
o
h
it
1
rgy
ne
e
w
23
0.02
22
en
hv
wit
16
1
mass
density
0.001
fainter
Relative brightness
24
0.04
0.1
Accelerating
Universe
Decelerating
Universe
21
20
0.2
0.4
0.6
1.0
redshift
0.8
0.7
0.6
0.5
Scale of the Universe
[relative to today's scale]
Figura 4. Se muestran datos de m vs. z del grupo SCP. La pendiente de las curvas determina
la constante de Hubble, donde se muestra la necesidad de una constante o función cosmológica,
tomado de [19].
nuevo la constante de Hubble y también obtuvieron las funciones de la luminosidad para
las galaxias con diversos tipos espectrales. El proyecto 2dF fue muy importante puesto
que proporcionó mucha información sobre la distribución de la materia de nuestro universo. El equipo de los mismos científicos está actualmente trabajando en la continuación
de este proyecto, este vez llamado catálogo 6dF ya que están utilizando un telescopio con
ángulo del campo visual de seis grados en el cielo, el cual mide más de ocho veces el área
que cubría el 2dF, correspondientes al hemisferio sur.
Con éste catálogo ha sido posible predecir diferentes aspectos la formación de estructura
del universo. Por ejemplo, el estudio de la distribución espacial de objetos como función
de los tipos de espectros o distorsiones en el espacio del corrimiento al rojo, del espectro
de potencias como función de la longitud de onda del objeto cósmico (galaxias, cúmulos,
etc.) y finalmente, la determinación con todo esto de los parámetros cosmológicos antes
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Jorge L. Cervantes Cota & Santiago De Lope Amigo
mencionados. Los parámetros obtenidos de los datos finales del catálogo 2dF y las mediciones de la RCF arrojan los siguientes resultados [20]. El parámetro de densidad total
es Ω = 0,237 ± 0,020 y el de densidad bariónica Ωb = 0,041 ± 0,002, con una constante
de Hubble de H0 = 74 ± 2km/s/Mpc, un índice espectral escalar de ns = 0,954 ± 0,023,
y la constante de la ecuación de estado igual a ω = −0,85+0,18
−0,17 . Con más y más datos
espectrales tendremos constricciones mayores a estos parámetros (ver más información
en [21]).
Otro proyecto de esta clase es el catálogo SDSS (Sloan Digital Sky Survey, en inglés),
un ambicioso proyecto que pretende medir más de un cuarto del cielo, y determinar
las distancias y brillos de más de un millón de galaxias y cuasares. Diversos análisis
detallados de los datos han sido publicados recientemente [22] en los que analizan tridimensionalmente más de 200 mil galaxias. Los datos arrojan los parámetros cosmológicos
h Ωm = 0,213 ± 0,023, Ωb /Ωm = 0,17 y el parámetro de Hubble h = 0,72 (para mayor
información ver [23]).
2.5.
Simulaciones de N -cuerpos
Quisiéramos mencionar de otro tipo de “experimentos” que también son importantes y
consistentes con los parámetros mencionados arriba. Se trata de simulaciones cosmológicas numéricas de formación de estructura en el cosmos, en los cuales principalmente
se usa principalmente el método de N -cuerpos. Estas simulaciones, conocidas como de
N -cuerpos, resuelven cuerpo a cuerpo la gravitación newtoniana en un universo en expansión. Hay una larga historia de desarrollo de esta disciplina que va desde principios
de los años 80s hasta la fecha. Desde entonces, las simulaciones arrojaban resultados
inconsistentes con los mapas de galaxias de la época si no se consideraba una constante cosmológica y una componente grande de materia oscura. Más aún, otros resultados
importantes aparecieron a mediados de los años 90 [24] donde se muestra la predicción
del tipo de distribución esperada por estos experimentos, el ya famoso perfíl NFW, que
es válido para halos de materia oscura a diversas escalas astronómicas. Una simulación
muy detallada de estos resultados se realizó hace pocos años [25] y se emplearon más
de diez mil millones de partículas para simular una extensión de 2000 millones de años
luz al cubo, abarcando alrededor de 20 millones de galaxias en formación. Estas simulaciones demostraron ser consistentes con los valores de los parámetros cosmológicos arriba
mencionados.
[Revista Integración
Cosmología hoy: una revisión
113
Hemos presentado hasta ahora las observaciones cosmológicas principales y las evidencias
de los “experimentos” numéricos. Ahora, procedemos a explicar la teoría dentro de la cual
se entienden estas observaciones.
2.6.
Resumen de mediciones
En esta sección transcribimos los resultados experimentales reportados en [15], donde se
deducen de los datos de cinco años de mediciones de WMAP, en combinación con los
datos más recientes de supernovas y de oscilaciones acústicas en la distribución de galaxias
(BAO, Baryon Acoustic Oscillations, en inglés). Los principales datos se encuentran en
la Tabla 1.
Descripción
Símbolo
Valor dado por WMAP+SN+BAO
Edad del universo
t0
13,73 ± 0,12 Giga años
Constante de Hubble
H0
70,1 ± 1,3 km/s/Mpc
Densidad de bariones
Ωb
0,0462 ± 0,0015
Densidad de materia oscura
Ωmo
0,233 ± 0,013
Densidad de energía oscura
ΩΛ
0,721 ± 0,015
Índice espectral escalar
ns
0,960+0,014
−0,013
Corrimiento al rojo en la
igualdad materia-radiación
zeq
3280+88
−89
Edad en SUD
tSUD
375 938+3148
−3115 años
Corrimiento al rojo en SUD
zSUD
1091,00+0,72
−0,73
Densidad total
Ω
1,0052 ± 0,0064
Ecuación de estado
ω
−0,972+0,061
−0,060
Tabla 1. Resumen de los principales parámetros cosmológicos, asumiendo válida la RG. Datos
tomados de [15].
Vol. 25, No. 2, 2007]
114
3.
Jorge L. Cervantes Cota & Santiago De Lope Amigo
Cosmología teórica
La compresión de la cosmología puede ser hecha siempre y cuando se analicen las ecuaciones del modelo teórico subyacente. El modelo teórico le da sentido a los datos observacionales. Según lo mencionado anteriormente, la cosmología está pasando por una época
muy emocionante. Los nuevos telescopios y satélites equipados con instrumentos sensibles de alta tecnología nos han dado una visión totalmente diferente de nuestro universo
en la última década. Muchas teorías del universo, que se creían validas en el pasado, han
tenido que ser desechadas a la luz de esta nueva información. No obstante, el trabajo de
los teóricos por muchos años fue muy importante porque contribuyó, aun con la carencia
de observaciones exactas, a la comprensión de escenarios y teorías cosmológicas, así como
también al desarrollo de las matemáticas subyacentes.
El propósito de esta sección no es hacer una comprensión meticulosa de las ecuaciones y
de la teoría, sino entender el significado físico de las ecuaciones. El estudio de la teoría
de la relatividad general (RG) de Albert Einstein es esencial para entender la cosmología
moderna. Incluso si uno todavía no ha tomado un curso en este campo, uno debe poder
entender cualitativamente la naturaleza de algunas ecuaciones. Sin embargo, debe decirse,
que entender cualitativamente la cosmología no es suficiente, puesto que en un cierto
punto se debe profundizar en las ecuaciones. Solamente de esa manera se puede entender
completamente este campo.
3.7.
Elementos de relatividad general
La teoría de relatividad general, RG, se utiliza extensamente en cosmología hoy en día.
Las matemáticas detrás de la teoría son algo elaboradas y salen del alcance de este
estudio. Sin embargo, haremos una discusión general sobre la teoría y sobre la física
detrás de las matemáticas. La ecuación de campo de la RG es
1
8πG
Rµν − R gµν = 4 (Tµν + Λ gµν ),
2
c
(6)
donde c (≡ 3 × 1010cm/s) es la velocidad de la luz y G (≡ 6,67 × 10−8cm3 /g s2 ) es la constante de gravitación universal de Newton. Esta ecuación tensorial representa diez ecuaciones diferenciales parciales acopladas, máslas simplificaciones que vienen de la liberdad
de norma de la teoría. Esto parece complicado, ¡y lo es!; pero hay algunos casos simétricos
importantes en los cuales se encuentra una solución relativamente fácil. Algo importante
de la teoría es que la gravedad no está considerada como fuerza, sino como un efecto
[Revista Integración
Cosmología hoy: una revisión
115
de la curvatura del espacio–tiempo, este último en términos matemáticos de variedad.
El espacio y el tiempo se consideran en esta ecuación como una entidad, mezclados el
uno con el otro en el tensor métrico, gµν . Así, el lado izquierdo de la ecuación representa
la geometría del espacio–tiempo. Con el tensor métrico se construye el tensor de Ricci,
α
Rµν , que su vez se construye contrayendo (α = β) el tensor de Riemann, Rµβν
, que es
proporcional al cambio de los vectores cuando se transportan paralelamente en un circuito cerrado del espacio–tiempo, es decir, contiene toda la información de la curvatura
del espacio–tiempo. Cabe mencionar que hay tres convenciones de signos que dan lugar
a diversas representaciones de la ecuación (6). Así, que no se sorprenda si aparece el lado
derecho de esta ecuación con signo menos. El lado derecho de la ecuación está determinado por el contenido energético del fluido o materia a considerar como sistema. El tensor
Tµν se llama tensor del energía-momento, e involucra a la materia, la presión, y todos los
tipos de energías asociadas al fluido. Así, la presión y la energía mismos pueden modificar
la estructura del espacio–tiempo en la teoría de RG. Finalmente, el último término del
lado derecho de la ecuación (6) es el término de constante cosmológica (Λ), que fue introducido originalmente por Einstein para hacer estático su modelo del universo, de lo cual
después se arrepintió al conocer los resultados Hubble sobre la expansión del universo.
Sin embargo, sucede que otra solución posible con este término constante implica una
expansión exponencial, acelerada, que será importante para la descripción moderna del
universo muy temprano, y también de hoy en día.
3.8.
Modelos de Friedmann-Robertson-Walker
El modelo cosmológico más simple hace uso del principio cosmológico, el cual indica que
en escalas grandes el universo es homogéneo e isotrópico. Homogéneo en este contexto
significa que en escala de cientos de megaparsecs, la masa y la energía están igualmente
distribuidas. Isotrópico significa que no importa en qué dirección miramos, las características físicas del universo siguen siendo muy parecidas. Este principio era una hipótesis
hace algunos años, pero ahora, a la luz de las observaciones a gran escala descritas en
la sección 2, podemos utilizarlo con toda seguridad: ¡el modelo cosmológico más simple
es el correcto! Para calcular las ecuaciones cosmológicas resultantes de la ecuación (6),
debemos introducir una métrica o un elemento de línea. El principio cosmológico impone algunas restricciones a éste modelo. El modelo cosmológico apropiado es dado en
Vol. 25, No. 2, 2007]
116
Jorge L. Cervantes Cota & Santiago De Lope Amigo
coordenadas esféricas (r, θ, φ) como
dr2
2
2
2
2
2
ds = c dt − a (t)
+ r dθ + r sin θdφ ,
1 − kr2
2
2
2
2
(7)
donde a(t) es una escala cosmológica típica, llamada factor de escala, mencionado en la
sección 2.2, que mide la evolución de cualquier escala física de longitud del universo. k es
una constante, que se puede escalar para ser +1, −1 y 0, respectivamente, que determina
la geometría del universo. Si k = 0 se considera que el universo es plano, si k = −1 que es
abierto o hiperbólico, y si k = +1 que el universo es cerrado o parabólico. A su vez, para
el tensor de energía-momento se asume un fluido perfecto, que en este contexto toma la
forma
Tµν = ρc2 uµ uν + p(uµ uν − gµν ),
(8)
donde uµ = δµ0 es la cuadri–velocidad del fluido en coordenadas comóviles, ρ y p son la
densidad y la presión del fluido, respectivamente. Si introducimos esto en la ecuación (6),
obtenemos las ecuaciones de Friedmann–Robertson–Walker (FRW):
2
kc2
ȧ
8πG
H2 ≡
=
ρc2 + Λ − 2
2
a
3c
a
(9)
y
ä
4πG
= − 2 (ρc2 + 3p − 2Λ) ,
(10)
a
3c
donde H es el parámetro de Hubble mencionado atrás, el cual tiene dimensiones del
tiempo inverso, y por lo tanto, H −1 sirve como medida de la edad del universo. Como
explicamos en la sección 2.2, lo que esta constante nos dice es cómo es la expansión del
universo, es decir, cuanto mayor es la distancia (el factor de escala), más rápido se alejan
los objetos astronómicos de nosotros, según la ley de Hubble. Sin embargo, ver sección
2.3, la evidencia demuestra que si miramos atrás en el tiempo, este parámetro no es una
constante. Esto a su vez nos indica que desde los tiempos recientes (z ∼ 0,5) hemos
entrado en una era en cual la constante Λ domina la solución de las ecuaciones (9) y (10)
(ver la sección 3.9).
Es importante notar que hay una tercera ecuación que se puede derivar de las ecuaciones
(9) y (10):
ρ̇ + 3H(ρ + p/c2 ) = 0 .
(11)
Esta ecuación es la ley de la conservación del tensor de energía-momento y representa la
continuidad de la materia y energía del fluido. Esta ecuación también se puede obtener
tomando la derivada covariante del tensor de energía-momento igual a cero, T µν;ν = 0.
[Revista Integración
Cosmología hoy: una revisión
117
El sistema de ecuaciones (9)–(10) consiste de tres ecuaciones diferenciales ordinarias,
debido a que el principio cosmológico nos impone sólo dependencia temporal sobre los
potenciales de la métrica, esencialmente, que el factor de escala sólo dependa del tiempo,
a(t). Las variables del sistema son tres: a(t), ρ(t) y p(t), y sólo dos ecuaciones del sistema
son linealmente independientes. Para resolver el sistema se necesita entonces especificar
una relación entre p y ρ, es decir, una ecuación de estado. Típicamente, se asume un
fluido barotrópico, caracterizado por la condición
p/c2 = ωρ,
(12)
donde ω es una constante adimensional que se determina mediante la microfísica o por
experimentos, dependiendo de la información que tenemos del fluido. Si ω es constante,
podemos integrar la ecuación de continuidad
ρ=
Mω
,
a3(1+ω)
(13)
donde Mω es una constante de la integración que se relaciona con la masa-energía del
fluido. En general, el valor de ω depende del tipo de fluido que representa. En particular,
para un fluido sin la presión, llamado en cosmología polvo, se tiene que ω = 0, y por lo
tanto ρ =
M0
a3 .
Esto es lo que uno espera, que la densidad sea igual a la masa total (M0 )
dividida por el volumen total (∼ a3 ).
Al reemplazar en (9) la solución dada en (13) se obtienen las soluciones para el factor de
escala. Las más sencillas de ellas son aquellas curvatura nula (k = 0), a saber,
1
2
a(t) = [6πGMω (1 + ω)2 ] 3(1+ω) (t − to ) 3(1+ω)
 32
1/4
(t − to )1/2 ,
ω = 31 radiación,
 ( 3 πGM 31 )
1/3
2/3
=
(6πGM0 )
(t − to ) ,
ω = 0 polvo,

(24πGM1 )1/6 (t − to )1/3 ,
ω = 1 fluido rígido.
(14)
De esta ecuación se ve de inmediato que a0 = 0 en t = t0 , y de (13) que ρ0 = ∞. Por
tanto, la solución presenta una singularidad en t = t0 . Normalmente se toma a t0 = 0
como el inicio de la gran explosión, hace 13 700 millones de años, aproximadamente. Más
exactamente, lo que la singularidad nos muestra es la imposibilidad de una descripción
física del modelo en t = 0. De hecho el modelo de FRW es adecuado a partir del tiempo
de Planck tpl = 10−43 s, escala determinada por la constante de Newton, tpl = lpl /c con
p
lpl = G~/c3 = 10−33 cm.
Nótese que utilizando las definiciones de los parámetros de la densidad definidos en la
Vol. 25, No. 2, 2007]
118
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sección 2.3, la ecuación (9) se puede escribir de la forma
(15)
Ω ≡ Ωm + ΩΛ = 1 + Ωk .
Así, los diversos valores para los parámetros de la densidad (Ωm , ΩΛ ) impondrán diversos
valores para el término de la curvatura. Por ejemplo, si Ω > 1, resulta que k, o bien Ωk , es
mayor de cero, lo que implica un universo con una curvatura positiva (universo cerrado).
Si Ω < 1, entonces Ωk < −1, lo cual corresponde a una curvatura negativa (universo
abierto). Un valor crítico se obtiene obviamente cuando Ω = 1, donde la curvatura
espacial es nula, Ωk = 0. De hecho, el valor de la densidad de energía para la cual
Ω = (ρc2 + Λ)/ρc c2 = 1 se conoce como densidad crítica, donde ρc ≡ 3H 2 /8πG.
La integración de la ecuación (15) proporciona la evolución del factor de escala. Según
se explicó en la sección 2, las observaciones actuales favorecen los valores (Ωm , ΩΛ ) ≈
(0,3, 0,7): el universo se parece ser casi plano, Ω = 1, es decir, Ωk ∼ 0. Entonces, el
universo se expandirá por siempre. Además, desde épocas recientes, z ∼ O(1), la expansión es acelerada. Pareciera que estamos viviendo en una época peculiar hoy en día,
dado que los parámetros Ωm ∼ ΩΛ , cuando en general son funciones del tiempo y han
tenido valores muy distintos en el pasado, pero hoy coinciden [26]. Esta coincidencia, que
hace que el presente sea acelerado, puede ser una curiosidad, sin embargo, sería deseable
entenderla más a profundidad desde el contexto de una teoría cosmológica completa.
La ecuación (10) se puede escribir, en términos del parámetro de desaceleración q ≡
−ä a/ȧ2 como
q=
1
(1 + 3ω)Ωm − ΩΛ ,
2
(16)
de donde se observa que una constante cosmológica positiva actúa como un agente de
aceleración (q < 0).
3.9.
La constante cosmológica
Como mencionamos en la sección 2.2, Einstein en su trabajo original quería que su modelo
del universo fuera estático, pero de sus ecuaciones se obtenía un universo en expansión y
esto contradecía lo que los astrónomos de ese tiempo creían, que el universo era estático,
un universo que estuvo por siempre y estaría por siempre estático. Einstein buscó entonces
soluciones en las cuales las derivadas del factor de escala fuesen nulas. Pero no es posible
de obtener, según lo muestra la ecuación (10) con p = 0 y Λ = 0. Es por esto que Einstein
inventó el término de constante cosmológica Λ. Esta constante no afecta la invariancia
[Revista Integración
Cosmología hoy: una revisión
119
ante difeomorfismos (transformación de coordenadas) de su teoría, ecuación (6), que es
algo fundamental a mantener. Las ecuaciones (9) y (10) con Λ 6= 0 nos indican que la
constante cosmológica hace que la densidad efectiva aumente y la presión disminuya, es
decir, la presión aumenta pero con signo negativo, y esto a su vez permite una solución
con ä = ȧ = 0, donde la constante a es el tamaño del universo de curvatura cerrada.
Hemos visto ya cómo el descubrimiento Hubble de los años 20 mostró que las galaxias se
alejaban de la Tierra, y esto a su vez implicaba que la derivada del factor de escala no era
nula. Este hecho forzó a Einstein más tarde a declarar que la inclusión de la constante
cosmológica era la equivocación más grande de su vida.
El tema de la constante cosmológica fue abandonada por muchos años. Sólo hasta hace
poco tiempo ha ganado importancia otra vez. Tomando como base el modelo matemático anterior y las observaciones cada vez más precisas mostradas en la sección 2, todo
parece indicar la presencia de una constante cosmológica que domina la dinámica del
cosmos desde hace pocos giga-años (z ∼ O(1)). Esto nos lleva a concluir que el universo
parece estar acelerándose, más que frenándose. Esto se puede entender cualitativamente
de la siguiente manera. Pensemos en un ejemplo que nos ayude a entender a manera de
analogía. Si estamos en la superficie de la Tierra y lanzamos una pelota en la dirección
vertical, la velocidad de la pelota va disminuyendo paulatinamente antes de alcanzar su
altura máxima. Después se vendrá abajo para caer sobre la Tierra. Si imaginamos esto
en una escala cosmológica grande sería natural pensar que el universo se expandirá pero
desaceleradamente, hasta que alcance un cierto valor crítico y después tendería a colapsar. Esto sucedería si el universo fuese cerrado, con k = +1, pero esto es exactamente lo
que no está sucediendo. De observaciones mencionadas sabemos que el universo se está
expandiendo, y de manera acelerada. Algo debe estar empujando al universo hacia su
expansión. Pero la materia tendría el efecto opuesto (veáse la ecuación (10)). Así pues,
debe ser algo “nuevo”. Una posibilidad es que sea la presencia del vacío cuántico de algún
campo fundamental, lo que proporcione la fuente de energía positiva y presión negativa.
Precisamente éste es el efecto de la constante cosmológica. Genéricamente se lo llama a
este agente energía oscura, como mencionamos antes.
Por consiguiente, para explicar lo que estamos observando en el universo estamos forzados, al igual que Einstein lo estuvo, introducir de nuevo la constante cosmológica. Lo
irónico es que con las mismas ecuaciones cosmológicas introduzcamos una constante, pero
esta vez con un valor diferente, para obtener el efecto contrario a lo estático, que es una
expansión acelerada. La física detrás de la constante cosmológica es hoy confusa puesto
Vol. 25, No. 2, 2007]
120
Jorge L. Cervantes Cota & Santiago De Lope Amigo
que las teorías de la gran unificación predicen un valor típico de la energía del vacío del
orden de Λteo = Mpl4 , pero el valor ajustado de las observaciones es Λobs = 10−120 Mpl4 :
¡un valor muchísimo más pequeño! No hay manera teórica, de origen fundamental, para
explicar el valor favorecido por las observaciones. Éste es el problema de la constante
cosmológica.
Ahora pensemos que estamos en un espacio vacío, sin materia y ninguna densidad de
la energía, y también supongamos que el universo es plano. Bajo estas suposiciones la
solución a las ecuaciones (9) y (10) se conoce como la solución de de Sitter:
a = ao eHt ,
(17)
donde H resulta ser constante. Esta solución exponencial se cree que pudo haber ocurrido
en las épocas muy tempranas de nuestro universo cuando no había tanta masa y ni presión
positiva, así que Λ dominó la dinámica del universo temprano. Este período se llama
inflación, y lo consideraremos abajo. También, esta solución, pero ahora aplicada a la era
actual, parece ser uno de los candidatos fuertes para explicar la dinámica observacional
explicada en la sección 2. Si en la época actual es válida, tenemos que p = −ρ = −Λobs ,
es decir que ω = −1, lo cual es compatible con las observaciones mostradas en la tabla 1.
3.10.
Inflación
El modelo de la gran explosión es acertado al explicar el escenario general del principio
del universo. Sin embargo tiene algunos problemas que no se podrían entender sin la inclusión de la física de partículas y campos a temperaturas muy altas. El esquema teórico
apropiado fue desarrollado en los años 70 y aplicado a la cosmología desde principios de
los años ochenta 80 (del siglo pasado). De esta manera, un nuevo escenario fue propuesto:
inflación, que amplía la física más allá de la gran explosión, basado en el modelo estándar de partículas elementales, a distancias mucho más pequeñas y energías muy altas,
basados en teorías de gran unificación. Ha habido una evolución en los modelos inflacionarios, después de más de dos décadas de modelos, pero las características importantes
se plantearon desde los primeros años.
Recordemos la motivación principal para inventar la inflación. Uno de los problemas del
modelo de la gran explosión se conoce como el problema del horizonte. Sabemos que la
velocidad de la luz es la velocidad máxima permisible en el universo. Todos los acontecimientos en el universo están “conectados” si están dentro de este límite de velocidad.
Por ejemplo, no podemos ver qué está sucediendo ahora en la galaxia de Andrómeda. Mi
[Revista Integración
Cosmología hoy: una revisión
121
evento, considerar qué está sucediendo alrededor de mí, y el acontecimiento de la galaxia
de Andrómeda están causalmente desconectados actualmente, solamente estarán conectados cuando la luz que viaja desde Andrómeda llegue a mí, y la mía llegue allá. Podemos
representar esta idea mejor con la ayuda de los conos de luz, en el cual se grafican los
eventos como puntos en un diagrama del espacio tiempo. Los eventos dentro del cono
están causalmente conectados, los de afuera no, cuando fijamos un tiempo en particular.
Ahora bien, el problema del horizonte se puede plantear como sigue: cuando miramos el
cielo vemos que la RCF tiene un perfil de temperaturas característica de cuerpo negro
de alrededor de 2,7 K. Todas las regiones del cielo parecen tener esta temperatura con
una diferencia pequeña de solamente de 10−5 K. Esto sugiere que el universo entero que
estamos viendo hoy debió estar en equilibrio térmico en algún momento del pasado, y
puesto que observamos la luz de la SUD, entonces la isotropía debió haber estado presente
en la época de la SUD. Pero la teoría muestra que los espacios causalmente conectados,
que evolucionan como dH ∼ H −1 ∼ t, disminuyen en el pasado en relación al factor de
expansión del universo que va como a ∼ tn , con n < 1, ver ecuación (14). De esta manera,
la causalidad presente implica no-causalidad en el pasado, entonces en la SUD muchos
conos de luz no estuvieron causalmente conectados. El número de regiones causalmente
desconectas es cien mil, (dH /L)3 = tSUD /t0 ∼ 10−5 . Entonces, en este contexto, no hubo
manera de que el equilibrio térmico se pudo haber alcanzado en la SUD; sin embargo, hoy
observamos luz que sí estuvo en equilibrio en esa época. De hecho vimos antes que este
equilibrio fue muy bueno ya que la RCF tiene un perfil exacto de cuerpo negro. A esta
contradicción de las mediciones con la teoría se conoce como el problema del horizonte.
El escenario inflacionario, que primero fue propuesto por A. Starobinsky [27] y por A.
Guth [28], resolvió el problema del horizonte, pero algunos otros problemas aparecieron
(para ver un repaso de los diez problemas fundamentales ver [29]). Este escenario propone
que la energía de los campos de la unificación cuánticos, que es del orden de energías de
la escala de Planck(∼ 1019 GeV) o un poco menores, estaba presente durante un período
muy breve en la época más temprana de nuestro universo, cuando el universo nacía en
tiempos de la escala de Planck, tpl ∼ 10−43 s. Esta energía del vacío desempeña el papel
de una constante cosmológica en las ecuaciones de FRW. Como vimos en la ecuación (17),
el universo se expande muy rápidamente: el factor de escala cambia exponencialmente.
Con esta solución, sucede que la región de la cual uno recibe la información –a través de
luz–, llamado horizonte de eventos, llega a ser constante e igual a H −1 . Entonces, veamos
cómo es la evolución de las regiones causalmente conectadas para permitir entender cómo
Vol. 25, No. 2, 2007]
122
Jorge L. Cervantes Cota & Santiago De Lope Amigo
eventos causales hoy habían estado conectados en el pasado. La forma de los conos de
luz cambia de tal manera que dH = H −1 (eHt − 1), con H constante, mientras que una
escala típica evoluciona como L ∼ eHt , de tal manera que
dH
L
=
H −1 (eHt −1) >
∼
L∗ eHt
1 − e−Ht y
−1
, los eventos estaban inicialmente conectados. Después de
para escalas iniciales L∗ <
∼H
algunos e-folds el horizonte causal es tan grande como cualquier escala de longitud que
fuese más pequeña que el horizonte. Por lo tanto, si el pedazo original, que constituía
nuestro universo inicial, estaba causalmente conectado, y en equilibrio1 , y después de
la inflación, esta región de causalidad es exponencialmente más grande. Entonces, todo
nuestro universo actual observado (universo aparente) puede provenir del pedazo original.
Por lo tanto, en algún tiempo posterior, por ejemplo, en la SUD el universo puede tener
todas las regiones mencionadas, 105 –¡y más que eso!–, causalmente conectadas, por
lo tanto se soluciona el problema del horizonte. De hecho, si la etapa de la inflación es
suficientemente larga, pudieran existir hoy en día regiones que siguen siendo tan distantes
de uno que no están en contacto, aunque vienen originalmente del mismo pedazo original
causal; estarán en contacto de nuevo cuando la luz alcance estos puntos distantes.
Tomando en cuenta la inflación, una escala original de longitud L∗ evoluciona según la
fórmula, dada por la expansión del factor de escala, en diferentes épocas (sin tomar en
cuanta la aceleración actual):
L = L ∗ eN
teq
tf
1/2 t
teq
2/3
.
(18)
El primer término se debe a la etapa inflacionaria, el segundo a la etapa dominada por
la radiación y la tercera a la etapa dominada por la materia. De esta manera podemos
averiguar cuál es el número mínimo N , el número de e-folds de inflación, necesario para
que las escalas físicas crezcan a un valor razonable hoy en día. La solución está dada por:
1
Ln
1
teq
2
tn
N=
log
− log
− log
.
(19)
log e
L∗
2
tf
3
teq
En principio uno puede substituir el valor tf ≈ N H∗−1 en la ecuación (19) e intentar
resolverla para N , pero no hay una solución analítica. Es un hecho práctico que tf ≈
102 H∗−1 y esto genera una buena aproximación. Las condiciones físicas del comienzo
del modelo típico inflacionario son: L∗ = H∗−1 ≈ 10−1 Mpl /T∗2 . T∗ es la temperatura que
1 Uno puede imaginar que en etapa inicial del universo el pedazo original poseía algunas inhomogeneidades y anisotropías, y una distribución de partículas o campos de una manera caótica. En un cierto
momento posterior, después de la escala de Planck, 103 tpl , uno espera que las anisotropías en la métrica
y las inhomogeneidades se amortigüen, y debido a procesos estadísticos, que el universo se termalice en
alguna escala local (< dH ), la cual ahora estamos llamando pedazo original [28].
[Revista Integración
123
Cosmología hoy: una revisión
caracteriza a alguna transición de fase y es del orden de T∗ = 1014 GeV. Entonces, H∗−1 =
10−24 cm, t∗ = 10−35 s,
teq
tf
=
1012 s
10−33 s
= 1045 ,
t0
teq
=
1017 s
1012 s
= 105 , y
L0
L∗
=
1028 cm
10−24 cm
= 1052
para dar como solución N = 60,2. Éste es el número de veces mínimo necesario que debe
el universo inflarse para obtener una expansión correcta, con condiciones de energía en
la escala de las teorías de gran unificación.
Hay otro problema que el modelo de la gran explosión encuentra; se conoce como el
problema de la planitud. Esencialmente implica que tenemos que ajustar exactamente
las condiciones iniciales de la densidad crítica para explicar la curvatura del espacio que
estamos viendo hoy. Resulta que la solución con Ω = 1 no es estable, así que uno tiene
que ajustar muy cuidadosamente las condiciones iniciales, e.g. en los tiempos de Planck
a Ω = 1 ± 10−59. Si no, el universo no sería como el que parece ser hoy con Ω = 1 ± 10−1,
ver tabla 1. La inflación también resuelve este problema, porque con un gran aumento
del factor de escala no se necesita ajustar fino las condiciones iniciales en la densidad.
Incluso si el universo no estaba muy cerca de ser plano al inicio, después de la inflación
se verá localmente plano. La inflación hace el factor de escala crezca e60 ∼ 1026 veces su
tamaño inicial: fue un período de la expansión enorme. En la comparación, si el universo
tuviera el tamaño de un átomo, después de la inflación tuviera el tamaño de una galaxia
entera. Así, una predicción robusta de inflación es que Ω0 ≈ 1, lo cual es favorecido por
las mediciones de los últimos años, como lo muestran los datos de la tabla 1.
Si inflación no hubiera ocurrido, entonces el universo se habría colapsado en sí mismo
en mucho menos que un segundo. Así, la inflación parece ser inevitable. Se cree que la
inflación pudo haber ocurrido entre 10−43 y 10−34 segundos después de la gran explosión,
aunque también hay escenarios de inflación en la escala electrodébil (ver por ejemplo
[30]). También se cree que antes de la inflación coexistían fuerzas de unificación con la
gravedad. La energía del vacío prohibía a la fuerza superunificadora la separación en las
fuerzas fuertes, débiles y electromagnéticas. Este estado inestable, al enfriarse, condujo
eventualmente transiciones de fase entre diversos estados de los campos. La transición, a
partir de un estado a otro, hizo la densidad de la energía constante por un cierto tiempo,
por lo menos ∆t ∼ 60H −1 , durante el cual la inflación ocurrió.
Es interesante que las observaciones cosmológicas antedichas parecen implicar una expansión acelerada actual, es decir, una época de la inflación moderna. La inflación sucedió
entonces en los primeros tiempos, muy al principio del universo, y está sucediendo hoy,
en la etapa dominada por la energía oscura.
Vol. 25, No. 2, 2007]
124
Jorge L. Cervantes Cota & Santiago De Lope Amigo
Finalmente queremos mencionar que la energía de vacío responsable de la inflación está
asociada con algún campo escalar, el cual experimenta fluctuaciones cuánticas alrededor
de cierto valor cuántico. La teoría de fluctuaciones cuánticas en un espacio de de Sitter
fue desarrollada por Bunch y Davis [31] y fue aplicada por varios autores [8, 9, 10] al universo inflacionario. Podemos pensar que estas fluctuaciones se traducen en fluctuaciones
del contenido energético del sistema, incluyendo a la curvatura del espacio. De esta manera, se generan fluctuaciones escalares (materia) y tensoriales (ondas gravitacionales)
primordiales durante la inflación. Si λ es una escala típica al principio del universo tal
que λ < H −1 entonces su evolución futura se puede ilustrar como lo muestra la figura 5.
Las fluctuaciones iniciales están causalmente conectadas dentro del horizonte de eventos,
H −1 , y se expanden exponencialmente durante la inflación, para después expandirse con
a ∼ tn con n < 1. Las fluctuaciones salen del horizonte de eventos y mucho tiempo
después vuelven a entrar generando las anisotropías que quedaron marcadas en la SUD,
las cuales observamos hoy en día con el satélite WMAP. Cabe mencionar que el espectro
de perturbaciones típicamente predicho por los modelos de inflación es tipo HarrisonZeldóvich con índice espectral, ns ∼ 1, lo cual coincide con las mediciones de los últimos
años, como se corrobora en los datos de la tabla 1.
3.11.
Oscilaciones acústicas
Como se dijo atrás, el universo después de la época de la nucleosíntesis consistía de
un plasma de fotones y de bariones esencialmente. En un cierto punto las anisotropías
provenientes de la inflación se hicieron presentes. Si no estuvieran ahí, sería muy difícil
explicar la estructura del universo presente: tenemos las estrellas, las galaxias, los cúmulos y otros objetos astronómicos que forman anisotropías en la materia y la energía. La
inflación entonces precide que en cierto momento fluctuaciones de materia y curvatura
entran al horizonte de eventos. Estos fluctuaciones de materia y energía crearon los potenciales gravitacionales que hacían que el plasma empezará a oscilar. De la física elemental
sabemos que un volumen más pequeño significa una mayor presión en el plasma. Así, la
presión se aumentaba en este proceso. Pero la presión tiene exactamente el efecto opuesto
al del potencial gravitacional. Empuja la materia hacia fuera, mas que atraerla. Así, después de cierto punto el plasma comienza a expandirse, entonces la presión disminuye y el
potencial gravitacional vuelve a ser importante, otra vez atrayendo la materia más y más.
Este proceso de la expansión y contracción continuó y produjo oscilaciones en el plasma
caliente. Aproximadamente 380 000 años después de la gran explosión, la temperatura
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125
Cosmología hoy: una revisión
|
^
non-linear physics
Horizon
crossing
1/
n
1
a
=a
~
-1
.
gal
2
t~
=a
.
hor
~1)
H
Log(length)
(
-1
H
Standard Cosmology
Inflation
^
a RH
a eq
Log(a)
an
nowadays
Figura 5. Las fluctuaciones cuánticas eran inicialmente más pequeñas que el tamaño del horizonte de eventos. Durante la inflación éstas crecen exponencialmente (λphys. = λa(t)), mientras
que el horizonte de eventos (H −1 ) permanece constante. Eventualmente las fluctuaciones cruzan
H −1 y evolucionan como perturbaciones clásicas. Tiempo después ellas re-entran al horizonte
para producir un espectro de densidad tipo Harrison-Zel’dovich (con índice espectral, ns = 1).
De esta forma inflación puede explicar el valor de ns ∼ 1 medido que se muestra en la tabla 1.
En la figura se muestran las escalas de fluctuaciones correspondientes a dos escalas físicas: del
tamaño de una galaxia y del tamaño del horizonte actual. Figura adaptada de ref. [32].
del plasma fue lo suficientemente fría para permitir la formación de átomos neutros, es
decir, el universo alcanzó una temperatura muy inferior a la temperatura de ionización
del átomo del hidrógeno. De esta manera, los electrones y los iones de hidrógeno se combinaron para producir el hidrógeno neutro, en un proceso llamado recombinación, y éste
formó la SUD, que fue explicada en la sección 2.1. Antes de la recombinación, los iones y
los electrones de hidrógeno estaban libres y móviles, y era muy probable que los fotones
perdieran su energía al colisionar con los electrones libres. Los fotones sedían su energía
via efecto Compton. La trayectoria libre media del fotón era muy corta. Después de la
recombinación los fotones pudieron viajar más lejos sin perder su energía en colisiones
con los electrones. Su trayectoria libre media era entonces muy grande. De hecho, era
tan grande como el tamaño nuestro universo visible. De esta manera, las oscilaciones
del plasma que se imprimieron en los fotones de la RCF evolucionaron casi sin ninguna distorsión en el universo que se expandía. Esta es la razón por la cual los satélites
Vol. 25, No. 2, 2007]
126
Jorge L. Cervantes Cota & Santiago De Lope Amigo
(COBE, WMAP) y los globos (BOOMERANG, MAXIMA), mencionados en la sección
2, pudieron observar las diferencias minúsculas de la temperatura en la RCF a través del
cielo.
Las oscilaciones del plasma que fueron impresas en la RCF se pueden pensar en como
ondas. Como sabemos que cualquier onda se puede descomponer en una suma de modos de onda con diferente número de onda k = 2π/λ. Sin embargo estas longitudes de
onda están en el cielo, y por lo tanto se miden como ángulos más que como distancias.
Por consiguiente, en vez de descomponer la onda en una serie de Fourier, que se hace
normalmente, se debe descomponer la onda en términos de armónicos esféricos. Estos
pueden ser expandidos en polinomios de Legendre; l jugará el mismo papel de k, así
l ≈ 1/θ. En última instancia, estamos interesados en las fluctuaciones de la temperatura
que se analizan experimentalmente en pares de las direcciones n y n′ . Entonces se hace
un promedio de estas fluctuaciones que se obtienen de multipolos de expansión [33]:
X (2l + 1)
∆T
=
Cl Pl (cosθ).
T
4π
(20)
Pl son los polinomios de Legendre. Hay varios modos en esta expansión. El modo más
grande en longitud de onda corresponde al pico principal en la figura 3 en l = 200. Esto
se llama el modo fundamental o el primer pico. En la figura también se observan algunos
modos secundarios, claramente el segundo y tercer pico.
Toda esta información se puede utilizar para determinar los parámetros cosmológicos
Ωm y ΩΛ . No discutiremos los cálculos detallados para realizar los ajustes. Observamos
solamente que para el modo fundamental uno puede obtener la relación:
200
l= √ .
Ω
(21)
BOOMERANG encontró un valor de l = 197 ± 6 y MAXIMA-1 encontró también un
valor de l ∼ 200. Esto implica que el parámetro cosmológico de la densidad es Ω ≈ 1,
verificando de nuevo que el universo sea prácticamente plano. Estos resultados fueron
confirmados por los datos de WMAP en sus diferentes entregas de datos.
3.12.
Quintasencia
El universo está compuesto por materia ordinaria (bariones), fotones, neutrinos, materia
oscura, y según las evidencias observacionales por una esencia (o campo) nueva, diferente
a las cuatro anteriores. Se denota genéricamente como quintaesencia al algún campo
[Revista Integración
Cosmología hoy: una revisión
127
escalar cuya dinámica esté generando desde un pasado cercano (z ∼ O(1)) una expansión
acelerada en el universo, ver artículo original [34]. Hay una variedad amplia de modelos
de quintaesencia, con nombres de lo más exótico. Podemos pensar a la quintaesencia
como un modelo de inflación moderno, que sucede en épocas actuales.
Las ecuaciones básicas son las mismas de FRW antes estudiadas, pero ahora los términos
de materia están dados por campos, genéricamnete indicados con la letra Q:
ρQ =
1 2
Q̇ + V (Q),
2
pQ =
1 2
Q̇ − V (Q),
2
(22)
con ωQ = ρQ /pQ , la cual típicamente toma valores cercanos a −1 en las épocas recientes.
Por otro lado, en el pasado remoto el campo Q no tenía influencia apreciable en la
dinámica. Dadas las limitaciones de espacio, aquí simplemente referimos al excelente
artículo de revisión sobre energía oscura y quintaesencia [35].
4.
Conclusiones
El panorama de la historia de nuestro universo está mucho más claro ahora. Hemos
analizado algunas de las principales observaciones astronómicas actuales y aplicado sus
resultados a algunos de los principales escenarios del universo. El modelo matemático
descrito, junto con los escenarios físicos, forman parte del modelo estándar de cosmología
moderno, que parte de la inflación, pasando por la nucleosíntesis, oscilaciones acústicas,
formación de estructura y quintaesencia. Dada la extensión del presente trabajo nos
limitamos a hacer explicaciones más o menos cualitativas de algunos de los puntos que
consideramos interesantes en el mundo basto de la cosmología moderna y hemos intentado
dar las referencias originales o de revisión de los diferentes temas tratados, así como
también proporcionamos algunos sitios web de los experimentos involucrados.
Agradecimientos
Los autores Agradecen a los organizadores de la Segunda Reunión Colombo-Venezolana
de Relatividad y Gravitación por la invitación al encuentro, producto del cual es el
presente trabajo. Un agradecimiento especial a José David Sanabria Gómez.
Referencias
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Jorge L. Cervantes Cota & Santiago De Lope Amigo
Depto. de Física,
Instituto Nacional de Investigaciones Nucleares,
A.P. 18-1027, México D.F. 11801, México.
e-mail: [email protected]
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