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123
Del DCL de
la cuerda
que une
a los bloques
1 y
2
(Fig.5.5.c):
Z F , = PV:
=
T
i ' ~T= ' ~ O
Pues la masa de la cuerda tiende a cero
T
X
'
=
T= '
=
6N
(3)
Luego, la tensión sobre una cuerda es
la
misma en
sus
liviana que
extremos
permita
siempre podrá
la
asumirse
mientras
£ F„ ±
Las
= U
=
Ees.
ella
anterior.
mientras su
peso sea
tan
Esto
mucho
sometida.
(Fig.5.5.d):
= 2Kg (3 m/s* ) = 6N
(2),(3) y
sea
aproximación
menor que la tensión a la que está
Del DCL de bloque 2
aproximadamente
(4) dan
el mismo valor
(4)
para la
tensión,como debe ser.
Identifique
prob1ema.
las
parejas
de
acción-reacción
del
124
Ejemplo
5.4:
Un auto cuya masa es de BOO Kg. sube por un camino de
inclinación
el piso
que
la fuerza que debe ejercer
sobre las llantas (que
hacen
movimiento
auto)
30°. Determine
para
las
llantas sobre
que es
que
constan te.(b)Hacer
transmitido
el
piso
pueda
mover
el
mismo
cálculo
a la
mediante su
desde el
se
produzca una aceleración
motor
con
para
del
velocidad
que
plano arriba de 0.1 m/s 2 .
(a)
( b)
Figura
(a)Esquema
es la reacción
5.6
; (b) Diagrama de cuerpo libre. Ej.5.4
se
125
Se escoge el sistema coordenado haciendo coincidir el
eje x con
así
£
F
el sentido del movimiento.
los cálculos. Del
„i
=
=
Se simplifican
DCL:
800kg. (a,)
=
F -
w
SenO
=
F
-
800kg(Sen30°)
BOOkg (av< ) = F - 3920 N
(1)
(a) Si hay movimiento uniforme: v= O
= O
Reemplazando éste valor de aceleración en
F = 3920 N
Resp.a
(b) Si ahora a,, = 0.1 m/s*
80 kg m/s 2
la Ec
(1) queda:
- F - 3920 N
F = 4000 N
En
así
(b)
(1):
la fuerza dió mayor
Resp.b
que en
la lógica de las respuestas.
(a).
Se verifica
126
CAPITULO 6
LAB FUERZAS DE LA NATURALEZA
6.1 LEY DE NEWTON DE GRAVITACION
Toda
partícula de
masa m^ atrae
sitiada a una distancia r 1 =
Fia
= -( G mi m, /r
a otra de
masa n^
con una fuerza dada por :
) r
Ec 6.1
N.m2/Kgz
En donde G = 6.67 x 10
determinada
UNIVERSAL.
experimentalmente,
constante de Cavendish.
Z
Figura 6.1
Fuerza de gravitación
es una constante
conocida
como
127
El
signo menos
sentido
significa que
contrario
atractiva
al
la
vector
fuerza señala
r i;! ,
es
decir,
. En otras palabras m_ "siente" una
el
es
fuerza
que intenta acercarla a m x .
•tra característica
a
la
masa es
(comparables
man i f est.ac ión
importante de
la de
con
no
que en
el
es
la fuerza asociada
los objetos
tamaño
de
evidente
un
ordinarios
hombre)
dada
su
su
pequeña
magri i tud .
Este tipo de
su acción
línea
objetos
se
que une
de
fuerza se suele denominar
encuentra dirigida
la
las dos partículas interactuantes.
Los
simetría
con el
fuerza de
partículas con
consecuencia de la
esférica
a lo
como
la misma
su misma
los
astros
forma que
masa.
dependencia de la ley
Esto es
si
una
de fuerzas
inverso del cuadrado de la distancia.
Ejempi o 6.1
pues
largo de
experimentan esta
fueran
central
128
Averiguar el
orden de magnitud de la
fuerza con que
se atraen dos personas de 90 Kg.
|F
| =
6. 67x1.0
13
Nm* /kg* (.90x90 kgz/(0.5m z ) ]
Newtons
E j emplo 6.2
Newton comparó
con
la aceleración de la luna en su órbita
la
que experimentan
los objetos
próximos a
la
tierra
suponiéndo ambos
efectos como
debidos a
la
n^ = Nasa de
la
atracción gravi tator i.a de la tierra.
Siendo:
m-,- = masa de
la tierra;
1 una
r =
3.48x10 "
la distancia
entre el
centro de
la
tierra y el centro de la luna.
g =
la aceleración de un cuerpo
sobre
la superficie
de la tierra .
a =
la aceleración de la luna en su órbita alreHprior
de 1 a tierra.
R t = Radio de la tierra
: 6.38x10
Km aprox.
129
Como :
g = F/m
= GmT
/1¡.
2
para un objeto en la superficie
de la tierra.
a = F/m = G m T / r 2
g/a
= r2/RT2
para la luna.
= (3.84x10
6
®/6.38x10
) =
3.62x10
3
(1 )
Pero
la
aceleración que
afecta
a
al luna
en
su
órbita(supuesta circular) es igual a ;
a = v2/r
y el
período en el que recorre
su órbita es de 27.3
días
v =21Lr/T = 21Lx3.84x10 ® m/2.36x10
a = 2.72x10 - 3 m/s 2
g/a = 9.81/2.72x10 ~ 3
A
s
y puesto que g = 9.81 m / s 2 ,
= 3.61xl(f
(2)
130
Comparar
la aproximación de los resultados
(1) y 2)
Ejemplo 6.3
A
que altura
satélite
debe
colocarse
de órbita circular
geoestacionaria
siempre
punto de la superficie
sólo está afectado por la
m a = F = G mmT/ r
se supone que
un
el satélite
aceleración centrípeta con
período
( 24 horas).
2
que le afecta es
aceleración.
= GmmT/r2
pero
v = 2Tr/T
con el ecuador
estacionario sobre
sobre su eje
La fuerza gravi taciona1
mv2/r
un
en forma
rotación en su órbita igual al
de gira de la tierra
masa por su
tierra
).
cálculo de nuevo
un período de
la
para que gire
(en órbita coplanaria
terrestre pareciendo
Para el
sobre
; T= 86400 s
= 1 día.
igual a su
131
4TTr2 /T 2
r3
= mT/r
= G m T T 2 / 4TT
r = 4.2x10 " m
6.2 FUERZA
La
ELECTROMAGNETICA
fuerza que ectúa
entre dos cargas
eléctricas en
reposo está dada por:
F13
=( k
q/r
) rir,
Ec 6.2
Donde:
FA2es
la fuerza que le hace la partícula 1 a la 2
q j , q 2 son las cargas de las partículas en Coulombs(C)
r12
k
es la distancia entre las partículas,
es
una
constante
de
proporciona1idad:8.99x10*
Nm2/C2
Se
introduce ahora una nueva propiedad de la materia
llamada carga eléctrica. Sus propiedades básicas son:
132
-Se presenta en dos tipos ¡positiva y negativa.
-Está
cuantizada. Existe
un sistema cerrado
hacia adentro
importar
la
múltiplos de
±e . e = 1.6xl0~i"?
carga fundamental
-En
sólo en
o afuera
clase
C.
( sin flujo
)
de
neto de materia
la carga se
proceso
una
que
conserva, sin
ocurra
en
su
interior.
6.2.1 DIMENSIONES Y UNIDADES DE LA CARGA ELEC i RICA
[q]= dimensión de carga eléctrica = [F]"*[L]
=[mLt-z]*[L]
[q]= [m'*L '"T 'i
!a
correspondientes
internacional
q = kg V
s
unidades
en
el
sistema
son:
~ -Cu lombios= C.
La carga eléctrica, a pesar de poderse
expresar
como
se suele
derivada de
considerar
fundamen ta 1.
en
otras propiedades
si
misma
como
,
propiedad
133
Volviendo a
la expresión de
la ley de
fuerza entre
cargas, se puede observar su similitud con la
gravitación
con
una
cargas, a diferencia
negativo;
diferente
atraen
las
le las masas pueden ser de signo
repulsiva según
o
se
igual
se trate
de cargas
signo,respectivamente
repelen;
cargas de
signo
de
(cargas
diferente se
).
Otro punto a resaltar es
fueza
diferencia:
la fuerza de interacción es, por lo tanto ,
atractiva o
iguales
importante
ley de
el orden de magnitud de
la
electrostática; para tener una idea de ello se
utilizarán
los siguientes
ejemplos:
Ejemplo 6.4
Calcular
la
interacción
magnitud de la fuerza
de
entre dos cargas situadas a 0.5 m siendo
cada una de ellas de
|F
electrostática
10~ 3 C.
| = 9 x 1 0 ' N-m* /C*
= 3.6x10
x (10 *10 -)C 2 /(0.5 m) 2
134
Compare este
valor con
el calculado
en el
ejemplo
6.1.
Ej emp1o 6.5
El
cobre
es
un
conductor
eléctrico;
electrones pueden moverse casi
metal existiendo
por
aproximadamente
tienen
negativa
moneda de
6.02xl0=3
ritmo de lC/s.
electrones
gramos
átomos);
total de
tiempo demoraría
4
(d)Si se
sus
un electrón
libre
electrones
libres
gramos de
cobre
(64
(b)Cuál
los electrones
contar ésa
él
libremente por todo el
cada átomo.(a)Ca1cu 1e cuántos
tiene una
en
es
libres ?
carga si
la
carga
(c(Cuánto
se hace a
un
lograra pasar un 1 "/. de los
libres de una moneda a otra, cuál sería la
fuerza de interacción entre ellas ?.(d
) Compare este
valor con el de la interacción gravitaciona1
de ambas
monedas.
( a ) 4g ( lelectrón
1 i bre/á tomo ) ( 6 . 02x l O ^ á tomos )/64 gr=
24.08xlG = ' electrones
(b)q-r = 24 . OBx 1 0 3 3
libres
e 1 ec t roñes x 1 . 6x 10 _1 "t/e 1 ec trón =
135
3.85 * 101
(c)t = q T x ( 1 / 1C / s ) =
(d) q x = 24 . OBx 10*1 e 1 ec t ronesx 1 . 6x lí/t/e 1 ec tr óri
q2
=-qt
- 9x10 Ttq xq -,/ ( O . 5m )1
F l; , =
3.47 xlOio
Newtons
(e)La fuerza gravitacional
Fg = 6.67x10
Fg =
11
4-.27 kIO
6.3 FUERZA NUCLEAR
es:
x(0.04x0.04)/(O.5m)*
13
Newtons
FUERTE
la responsable de
Ja estabilidad de
los núcleo
atómicos que, conformados por neutrones y protones de
cargas positivas, requieren de
ella para superar
la
fuerte repulsión originada por la fuerza de Coulomb .
136
Su alcance es corto (a diferencia de las dos
anteriores)
operando a distancias del
rn . Para esta distancia
fuerzas
orden de
la fuerza nuclear
10~1S
tuerte que
aparece entre los protones y neutrones es atractiva y
unas
10
veces
mayor
que
la
de
repulsión
electrostática de los protones. A distancias
se
torna
repulsiva y
para los
despreciable.No dependen
6.4 FUERZA NUCLEAR
•pera
también
elementales
cuatro
a
nivel
nuclear
Es
responsable
(agregados de
de
todas
que unen
átomos),
los átomos
las
partículas
cierto
grado
de
del
tipo
de
beta.
las interacciones
naturaleza. Para el ámbito
clásica son relievantes solamente
Las fuerzas
y
denominado desintegración
fuerzas explican
conocidas en la
es
DEBIL
inestabi1idad.
Estas
su valor
de la carga eléctrica.
proporcionándo1es
radioactividad
10~iAm
menores
de la Física
las dos primeras.
para formar
intermo1ecu1 ares,
moléculas
las
que
137
generan estructuras cristalinas y de todo tipo de sólidos
tienen
mas
todas origen
o
menos
electromagnético operando
complicada.
A
nivel
deformaciones y
la impenetrabí1idad
mismo
fuerzas de
como
fenómenos
las
de
interés
en forma
macroscópico
de los
rozamiento
explicables
las
sólidos, asi
entre ellos
por
son
interacciones
eléctricas microscópicas. Be considerarán ahora estos dos
tipos de
fuerzas.
6.5 FUERZA
ELASTICA
Un resorte
es un
trozo de
metal
rígido
presentado
usualmente en forma helicoidal. Ante
las alteraciones
de su tamaño y / o posición original
responde con una
fuerza que, dentro de ciertos
forma y/ o posición
En
la figura 6.3
una pared
por uno
representa
la
función
rango
se muestra un
de sus
por el
se
gráfica que
resorte como
respecto del valor
original. Dentro de
deformación
resorte empotrado a
extremos. La
fuerza ejercida
que la representa
de
le devuelve su
original.
consecuencia de su deformación
su longitud
límites,
ciertos
es una línea
conoce
como
límites
,
la
recta. Este
zona
de
comportamiento elástico del resorte;al desaparecer el
138
agente
externo causal
recupera su longitud
de la deformación
el
resorte
xo gracias a su fuerza elástica.
i
Fx
i
Figura 6.2
Fuerza elástica
La expresión matemática de esta ley, también
como Ley de Hooke, es :
conocida
139
F = Fx i
Fx = —k(x
= -kXx
Donde k es la
constante de fuerza del resorte y
es la deformación
de k son [ F L - 1 J
Ec 6.3
/\x
a la que se somete. Las dimensiones
y sus unidades SI N/m.
Ej emp1o 6.5
Figura 6.3
Bloque empujado por un resorte en un plano
inclinado
140
Una
masa
de
inclinado
de O
extremos
kilogramo
=37
de un resorte
mostrado en
cm.
un
la
está
sobre
°,sin rozamiento.
lo soporta según
un
plano
Uno de
el
los
arreglo
figura. Si el resorte estA alargado 5
. (a) Cuál es la constante k del resorte ? (b) Si
la masa
se coloca en
la posición de
resorte y se suelta. Cuál será
equilibrio del
su aceleración en ése
instante ?
Escogiendo como marco de referencia el punto en donde
el resorte
tiene su longitud
natural, con el
coincidente con la dirección del
eje x
plano inclinado, se
tendrá :
Del diagrama de cuerpo
Z F,ti = ma M
libre :
; ax = 0
O = Fr - mo =
37°
-> Fr = mg Sen 37° = 1x^.8x0.6 N
= 5.88 ~ 5.9 N
- k ( x - x 0 ) = 5.9 N ; xa = O , x =-0.05 m
141
Luego,
k = 5.9 N/0.05 m = 118 N/m
La sumatoria
importancia
de
fuerzas
para éste
en
el eje
que
R(a)
no
tiene
problema, permite calcular
la
reacción del plano sobre el bloque :
£ FvJ
=
O = N - w Cos 37
0
N = w Cos 37° = 9.8x0.8 N
N = 7.8 N
(b)Para x = xo =
elástica. La
0
obviamente desaparece
correpondiente sumatoria de
la
fuerza
fuerzas en
equis queda :
-mg Sen 37° = max
-5.9 N = iKg ax
ax = - 5 . 9 m/s 2
R(b)
142
6.6 FUERZAS VISCUSAS O DE ROZAMIENTO
(a)Entre cuerpos
Entre
sólidos:
las superficies de contacto de dos sólidos hay
fuerzas que alteran el estado de
entre
ellos. El bloque
movimiento
del ejemplo 6.5
relativo
se afectará
por una fuerza superficial que le produce el plano en
la dirección
pero con
en la
que señale
su vector
velocidad
sentido opuesto. Aún en el caso de no haber
movimiento
relativo
intersuperficia1
aparecer
oponiéndose
generar movimiento
ejemplo 6.5
puede
sobre el
una
fuerza
a la fuerza que
plano (en
el caso
pueda
del
la componente del peso sobre el eje x ),
contrarestándola.
Este
tipo de fuerzas
fuerzas d e
fricción
se conocen con
o
de
matemática para cuando hay
los nombres de
rozamiento.Su
expresión
movimiento relativo entre
las superficies sólidas es :
M,N
V
=
coeficiente
E C
para :
p,r
de
rozamiento
cinético
143
(Adimensiona1)
N = Normal que hace uno de los cuerpos sobre el otro,
v =Vettor unitario en la dirección de la velocidad.
Para
el caso estático
(ausencia de movimiento
coeficiente de fricción es mayor definida
de superficies sólidas
fricción
) el
una pareja
. La dirección de la fuerza de
correspondiente es
también
tangente a
la
superficie de contacto pero ahora señalará el sentido
opuesto
a
cualquiera
fuerza
resultante que
generar movimiento relativo en ésa
pueda
superficie.
Tiene un valor máximo dado por:
Ec 6.5
Fs - |jmN
Donde p m es el coeficiente de rozamiento
La
componente de
fuerza
superfiecie de contacto
resultante
entre dos
estático.
tangente a
la
cuerpos menor
al
valor
de F„ generará una fuerza de fricción
igual
u
opuesta
a ella
relativo de los cuerpos.
que
impide
el
estática
movimiento
144
Los valores de M y
oscilan entre 0.01 y 1.0 par-»
un gran número de parejas de materiales.
Ejemplo 6.6
Figura 6.4
Diagrama de cuerpo libre del ejemplo 6.6
Resolver
el
ejemplo
6.5
para
un
coeficiente
de3
fricción de 0.4.
El
correspondiente
ilustra en
diagrama
la figura 6.5:
(a) Recordando que :
de
cuerpo
libre
se
145
E
F..« = ma„
O = Fe
0
- w Sen 37
para el caso del
ej emplo 6.5
Fs será cero
pues como se
dijo solo aparece
hay resultante neta
de las demás fuerzas
para 1e1 amen te a la
superficie de contacto
esta caso
que actúan
(eje
x en
).
(b)Acá se tenía para el ejemplo
w Sen 37
cuando
0
6.5 :
= ™ale
Como ahora
hay
fuerza
neta en
x
,
la
expresión
correcta es :
Ff - w Sen 37° - ma M
())t)
Debe anotarse que Ff señala a la derecha
como aparece
la
(contraria a
el el D.C.L.) porque w Sen 37° va hacia
izquierda. Aparecerá movimiento,
o lo que
es lo
mismo, aceleración en el eje x, si w Sen 37° es mayor
que
la máxima fuerza de fricción
Ff = Fs = m.N
0.4x7.8N
estática.
146
Ff - 3.1 N (máxima fuerza de
w
Sen37°
=
producirse
5.9
N
> Ff
fricción)
.
Por
esta
razón
debe
movimiento:
( 3 . 1 - 5 . 9 ) N = ma,, = 1 Kg a„
de
(#)
a „ - - 1 . 8 m/s
Si
el
ángulo
componente
del
del
plano
peso
en
inclinado
el
eje
x
alcanzar el valor de 3.9 N, igualará
de rozamiento estático
La ecuación
se
reduce
la
disminuye;
al
la máxima
y no podrá haber
fuerza
movimiento.
(#) queda
-w Sen 6 + Ff = U
Ff = w Sen 9 =
Así
El
MM
=tg
N
, para N =wCos 9
0
último resultado sugiere
mediante
la variación
una forma de
del ángulo de
medir
:
inclinación de
147
una superficie plana,
la tangente del
ángulo mínimo
requerido para producir movimiento de un cuerpo sobre
él
es el
coeficiente de
fricción estático
cuerpo-
p1 ano.
(b)Fricción entre un sólido y un
Un cuerpo sólido en
un
gas o
un
fluido.
movimiento relativo respecto
líquido
soporta
fuerzas de
de
fricción,
llamadas en este caso viscosas cuya expresión
general
es de la forma :
Ff = - ( a v n ) v
Ec 6.6
n ~ 1 para velocidades
bajas
n ~ 2 para velocidades
altas.
Para el
caso de una esfera que se mueve lentamente a
través de un fluido :
Ff = -6nRílv
Ec 6.7
148
Donde
R
: Es el radio de la esfera
fl : Viscosidad del fluido
=Pa.s en SI
[m L s
. Un Pa-s = Kq m - 1
En el C.G.S. gr c m - 1
10 Poise = 1 Pa-s.
s"1 = Poise
s"1 .
. Un idades Pascal s
149
CAPIÍULU 7
EL PRUBLEMA DEL MUVItlIENIU DE UNA PARTICULA
Hasta
el
momento
se
han
recopilado
elementos
indispensables para acometer el estudio del movimiento de
los
cuerpos. Los
conceptos geométricos de
velocidad y aceleración aunados a
estado
del
movimiento
alterado por
permiten
cuerpos
de
su interacción
plantear
mediante
p 1 an teada en
el
un
la idea general que el
cuerpo
con otros
problema
la solución
la posición,
solo
puede
cuerpos
(Fuerza)
del movimiento
a la
ecuación
ser
de
los
diferencial
la expresión matemática de la segunda ley de
Newton.
F = ma = m d 2 r / d t 2
= mdv/dt = dp/dt
Ec 7.1
A partir de esta ecuación, del conocimiento de las
de fuerza que representan
partícula
otras
las interacciones externas a la
,y de ciertos datos o medidas de
movimiento
para tiempos definidos
medidas
corresponden a
leyes
equivalentes
parámetros de
(posición,ve 1ocidad u
que
condiciones de frontera),
matemáticamente
encontrar
r(t)
150
es resolver el problema del movimiento de ésa
Inicialmente
se considerarán casos en una dimensión o un
eje cartesiano.
inadvertidamente
todo
se
partícula.
El paso a dos o tres dimensiones se hará
en situaciones
reduzca
a
rnonodimensiona les
.
resolver
Se
sencillas para
dos
o
utilizará
coordenadas polares cuando
tres
el
las que
problemas
sistema
la geometría del
problema
de
lo
recomiende.
La Ec 7.1 queda para una dimensión :
F
=
ma,, = md 2 x/dt 2
= mdv„/dt
= dp¿dt
Ec
7 .2( a )
Se omite
la notación vectorial
por
estar referida a sólo
una coordenada de movimiento; no debe perderse
sinembargo
la
cantidades
perspectiva
de
estar
vectoriales. Para facilitar
también
los
subíndices;
situaciones bi o
F = md 2 x/dt 2
trabajando
con
la nomenclatura se suprimirán
se
reutilizarán
al
pasar
a
tridimensionales:
Ec 7.2(b)
151
Matemáticamente
diferencial
encontrar
la
se
tiene
entonces
ordinaria de segundo
una
ecuación
orden en x.
Se quiere
x = x(t) pero F es una función de la posición o
velocidad,
descritas
según
se
en el estudio
advierte
de las
de
las
expresiones
leyes generales
de las
fuerzas de la naturaleza.
F(x,v,t) = m d 2 x(t ) /d t 2
Ec 7.3
La Ec 7.3 es la expresión matemática formal del
general de movimiento en una
último
término
lo son;
llevarla
dimensión. La fuerza es, en
,una función del tiempo
pues x(t) y v(t)
a F = F(t) simplificaría
enormemente la
ecuación 7.3 pero para hacerlo debe conocerse
al problema
Se
a
continuación, en
algunos
de los
puede solucionarse.
casos en
Para todos
dos valores iniciales con el
única de
(posición
la solución
planteado.
estudiarán
dificultad
problema
velocidad
creciente
los gue
la Ec
ellos deberán
de
7.3
conocerse
fin de obtener una solución
la ecuación; generalmente
y
orden
iniciales)
se usan x(0)
pero
cualquier pareja
de datos correspondientes
gue proporcionen
información equivalente
pueden
y v(0)
ser
a mediciones
para un
valor
152
definido de la variable
tiempo.
7.1 FUERZA NETA IGUAL A CERU.
Tipifica
el caso de
mayor simplicidad
equivalente a la primera
m d 2 x/dt z
m dv/dt
y
es en todo
ley de Newton.
- 0 para m^O
=
0
dv/dt = O
ü sea que v = constante = v(0) = velocidad
Si se
prefiere:
dv = O dt
n
v
d v' = O = v - v 0
inicial
153
va = v
Que
Ec 7.4
es
la
solución
de
la
primera
movimiento o velocidad como función del
en todo
integral
de
tiempo v = v a
tiempo.
v = dx/'dt
—>
v dt = dx
r\
dx ' =
V
dt
c
Se han llamado
v',x' y t' las
de integración
para evitar confusión al
límites de las
x - x. = v.
X
=
Ejemplo
variables
aplicar
los
integrales.
(t -
)
Ec 7.5
+ v_<t -t )
7.1
Calcular
actúa
X
respectivas
la posición de una partícula sobre
fuerza
alguna
(o
cuya
la que no
fuerza resultante
es
154
cero)
, sabiendo que en
el
tiempo cero se mueve
con
velocidad de 10 m/s hacia la izquierda en la posición
x = 5m.
Aplicando
la Ec 7.5 :
x = 5m - lOm/s(t - O)
x = 5m - lOm/s t
; x en m.,t en s.
7.2 FUERZA NETA CONSTANTE.
Se supondrá ahora el movimiento en el eje y.
F(y,v,t) = F o = c te
Valores
=
iniciales conocidos
: vv.CT = v„
;
y = yCTen t
t0
md 2 y/d t2 = F ._
d 2 y/dt 2
- FCT/m =
= a 0 = aceleración
constante
155
dv/dt = a,.
dv' =
dt
to
v - v_ = a_(t -t_)
Ec 7.6
v = v a + a a ( t -t„ )
Como v = dy/dt
dy
Ly, + a0(t'-fc, ) jdt
Se debe observar que la única variable del término de
la derecha es t'; los demás valores son constantes.
y =
+ v 0 ( t -1^ ) +
a Q ( t - te ) 2
Ec 7.7
E j emp1 o 7.2
Calcular
de un
la expresión para
cuerpo
medida en el
que cae
la posición y la velocidad
a una
tiempo t = 1
velocidad
de 9.8
s. cuando su posición
m/s
es
156
95.1 m
por encima del nivel
de la superficie
de la
t ierra.
Se asumirá como marco de
t ierra
referencia
de un
constante
propio peso. La
: su
constante,
será
abajo
negativa
o
cuerpo sometido
la de
a una
fuerza
aceleración,
también
la gravedad, que
sentido decreciente
de
por señalar
y
debe ser
=495.lm
; t^ = ls
(-9.8 m/s2).
= -y.tí m/s 2
v„ - - 9 . 8 m/s
Por
la
( y = O) .
El problema es
hacia
le nivel de
la Ec 7.7:
y - 95.lm + ( -9 . 8m/s ) ( t-i ) s + '4 ( 9 . 8m/s 2 ) ( t-1 ) 2
y - lOOm -
De la Ec
9.8 m/s 2
t2
7.6
v - —9.8m/s + (-9.8m/s 2 ) (t-1 )
157
v = —9 . Bm /s2 t
Se verifica que v = dy/dt .
El problema describe
el movimiento de un
cuerpo que
parte desde el reposo a 100 m de altura ?
Ejemplo
7.3
Resolver el problema
masa
m
que
se
inclinado con
del movimiento de un
desliza hacia
abajo
fricción.
Figura 7.1
Bloque en plano con
fricción
en
bloque de
un
plano
158
Para que exista movimiento
> p u e s
de
lo
deberá cumplirse que
contrario
la
fuerza
de
estática no permitiría el deslizamiento del
Verificado
sobre
el
lo anterior
bloque
x = x
El
„
;v
-- v x 0
D.C.L.del
es
la
calculada
el
cinética.
lo siguiente:
;t - t,
bloque
con
;m».
y
un sistema
del plano inclinado, permite
de coordenadas
la dirección
concluir que la
que propicia el movimiento en el eje x es:
F ((i = ma, = mgSenG
|j,.N
Como:
- nií.
bloque.
mediante
escogido haciendo coincidir el eje x con
r, F v l
fricción
la fuerza de fricción que obra
coeficiente de fricción
Se supone conocido
tgG
= o = N - mgCosO
fuerza
159
E FMi
= ma,, = mgSenO -(j k mgCose = mg(Sen9-(j
a„ - a = g(Sen©-|j
El
problema
k
es
k Cos9)
Cos9) = CONSTANTE
del
tipo
de
fuerza
o aceleración
constante. Las Ees 7.6 y 7.7 quedan:
vM
= v = v = +g (SenO-p
x = y
+vD(t-t )+
Si 9 =37°
K Cos©)(t-tJ
( Sen©—p K ,Cos0 ) ( t—t D ) 2
; x.„ =0 ; x 0 =0 ;vx D - vCT= O
y
k = 0.2
:
vJ( = v = O . 34g t
x = 0 . 23g t 2
Ejemplo 7.4
En
la figura se esquematiza un sistema de dos bloques
unidos
polea
por una
cuerda
. No hay fuerzas de
liviana inextensible
rozamiento.
y
una
ÌÒO
,..05m *
1m
T
05m
S.Lisa
2m
Figura 7.2
Sistema del ejemplo 7.4
Hallar:(a)
Las aceleraciones de
los bloques i
y 2;
(b) Las ecuaciones de movimiento de los bloques.
Para el bloque i:
E Fyti
= m i a^- m xa = T
Ec. (a)
Para el bloque 2 :
Fvi
- m
Pues la
— m_(-a) ~ -m
aceleración de 1 a
valor absoluto
) a
negativa al ir hacia
la del
a = y - <TV_,g
la derecha es
bloque dos;
Ec.(b)
igual
(en
como a v
es
abajo, su valor absoluto es -a
161
=
-a .
Reemplazando
(a) en
(b):
a ( m_+-m1 ) = m 2 g
a = [ m_ / ( m = +m l ) ]g = [4/(4+2)]g = 6.5 m/s 2
R(a)
(b)Para el bloque 1:
to = 0
;vo=0
x^ = -1.25
m (Se escoge . el origen
coordenadas en la polea).
6.5d t ' =
dv ' =
v = 6.5t
Como :
6.5t'dt'=
x =
dx
6.5 t 2 - 1.25
=>
vo
de
162
Análogamente para el bloque 2 :
v = v v = -6.5t
y = -VÍ, 6.5 t* - 1.5
A partir de
que
estos datos calcule
la velocidad
con la
llega el bloque 1 a la polea.
Ej emp1 o 7.5;
Un
bloque asciende
velocidad de
según
por
un
plano
10 M/s cuando se
se mués tra en
inclinado
halla a lm
la figura
;el
movimiento a
lo
del
a
la
borde
bloque t i ene una
masa de 1 kg.
(a)
Describir su
largo del
plano
(supóngalo sin fricción) :x(t) , v(t), a(t).
(b)
si el coeficiente
superficie
de ficción cinética
del bloque y
nuevamente el
movimiento.
el plano es
entre la
ü.l, describir
163
(c)
Calcule
la
velocidad del
bloque
en
el
borde
superior del plano! caso (a)), y describa de nuevo el
movimiento
del
(r
(t) , v (t)
a (t) respecto
del nivel
suelo.
Figura
7.3
Gráfica del ejemplo 7.3
(a) Del
f7 M I
D.C.L:
~ ma,< ~ - w sen 30°
a„ = - (w/m) sen 30° = - g sen 3 O 0 = - O.5 g
el
signo
<--)
significa
que
dirección negativa del eje x.
a„
= dv K / d t
dirige
hacia
la
164
a¿t =
Oy.
•0.5 gt = v„ - v rto
v„ = - 0 . 5 gt+10
y =-4.9 t. + 10
( 1)
Como v M = dx /dt, entonces:
vX dt
=
dx
( - 4 . 9 t + 10) dt = dx
(—4.9/2) t"" + 10 t— x — xo
;
xo = -1
X = -2.45 t2 + IO t - 1
b(Con
DCL
fricción
(2)
165
Figura
7.4
Gráfica del ejemplo 7.5
£ F „ a = ma„
E Fvi
= - wsen 30° - Ff
(3)
= m^, - O = N - w eos 30°
N = w eos 30°
pero Ff =
Reemplazando
N = p, wcos 30 e
(4) en
(4)
(3):
a„ =- ( wsen 30° + p,, (wcos 30°)/m = -(i/2 + 0.1*0.87) g
166
a,, =- (0.5
0.087) g
L.a aceleración a,, "aumenta" en 0.087g, y sigue siendo
hacia
la izquierda, como en el caso
(a)
a „ = - 0 . 58 7g
1uego,repitiendo
el procedimiento de
integración
(a ) :
v„ (t) = - 0. 587 g t; + 10
x(t) = - 0 . 5 8 7 g t 3 / 2 + lOt-l
(c)Sin fricción
v„(t) = - 4.7t
(A partir de ees
(1) y
(2)):
+ 10
x(t) = - 2.4 51. " + lOt - 1
Cuando x = O se cumple que
- 2 . 4 5 t 3 + 101 - 1 = 0
(1)
para x< O
(2)
de
167
t = - (10 ± (100 - 4*2.45)*}/(-
ti =1 s ;
t-, = O.ls.
Para escoger eJ valor
el móvil
En t
sin
decir
4.9)
correcto del
tiempo en el
que
pasa por x = O se hace lo siguiente:
= lss
x(t) = 6.55 m
considerar
si
este
el borde
se
bloque, un segundo
estaría 6.55
; quiere decir esto que,
del
extendiera
plano inclinado
indefinidamente),el
después de la condición
m a l a
derecha del origen.
movimiento tiene la limitante de
(es
inicial,
Ya que el
x < O (pues en
x=0
se termina el plano inclinado), el tiempo ls no tiene
significado
físico
como
manipulación de las Ees.
Luego, el
posible
de
la
(1) y (2).
tiempo correcto es t = O.ls.
(Que interpretaría
prolonga
resultado
usted, si el
plano inclinando se
indefinidamente, de lo que pasa en t = ls en
el movimiento del
bloque?).
168
Luego v>r
(O.IB) = - 4.g(0.1) + 10
m/s = 9,51 m/s
Para describir el movimiento desde el nuevo origen de
coordenadas,
dei
plano
velocidad
ahora fijo al piso, 4m debajo del
inclinado,
9,51
inclinado (30°
momento en
m/s
se
debe
tiene
la
por encima
el que
entender
le abandona;
que
dirección del
de la
borde
la
plano
horizontal) en
luego,
en el
nuevo
sistema de coordenadas v es:
MARCOS DE REFERENCIA
^al sal i l
*del plano
D C L
en c!
plano
t< o.l
t >o.i
t=o.i »
Figura
7.5
Movimiento parabólico del ejemplo 7.5
el
169
v = 9.51 eos 30°i + 9.51 sen 30°j
v = 8.24Í + 4.76j
v = 8.2i + 4.8j en to = O.ls
Como
la
ligadura
del plano
recalcular completamente el
Del D.C.L.de
z
r
=
E
F
=
>-4
...t
ma
v
la figura
= -
m
y
- O
ya
no existe
hay
problema:
7.5:
» av = - g
» a,, = O
a = (O,-g)= dv/dt
a(t)dt « ( O , -g dt )
dv -
dv
v - v(to) = ( O , -g(t - to))
to = 0.1 s
v(O.ls) = ( 8.2 , 4.8 )
O , -g dt' )
que
170
v - ( 8.2 , 4.8 ) ~ ( O , -9.Bt + 0.98)
v = ( 0 , -9.8t + O.98) + (8.2 , 4.8 )
v = (8.2 , 5.8 - 9.8t)
Luego v M
= 8 . 2 m/s y en el eje x se mueve a velocidad
cofis tan te.
vv.
= (5.8
-
velocidad
9.Ot)
m/s
y
es
un
movimiento
de
decreciente.
El cálculo de r (t):
v = dr/dt
-> dr = v dt
Reemplazando el valor hallado para v:
dr = (8.2 , 5.0—9.81) d t = ( 8.2 dt
, 5.8 dt -9.8 tdt )
Integrando entre ro y r , to y t se tiene :
171
cir-
CB.2 dt'
, 5.8 dt'-9.8t'd t' )
r - ro =( 8.2 (t-to) , 5.8 (t-to) -L9.8(t-to) = ]/2 )
r -(O
,0.5 ) =( 8.21 ~ 0.8
5.8t-0.6-4.9t = +0.05
,
)
r =( 8.2t - 0.8 , -4.9 t = +5.8t -0.05 )
ü expresándolo por coordenadas :
x = 8.2t - 0.8
y = 4.9 t 3 + 5.8t - 0.05
Al
eliminar
el
parámetro
anteriores se obtendrá
Se
le
denomina
t
de
las
la ecuación de una
comunmente
por
ello
parabólico.
7
.3 FUERZA NETA DEPENDIENTE DE LA VELUÜIDAD
Para este caso la expresión general
será:
expresiones
parábola.
movimiento
172
F<x,v,t) = F(v) = m d 2 x /d t 2 = m dv/dt
( 1/m)
dt' =
dv ' /
(1 /m )(t—t_) =
F(v')
dv'/ F(v')
Relación que podrá calcularse analíticamente
conocido en
forma explícita
complejos
la
integral
F(v). En
deberá
luego de
los casos mas
aproximarse
.
encontrarse en la primera situación se encontrará
la velocidad
dx/dt
la que podrá realizarse una segunda
y = "f (t .
Ejemplo
Calcular
V,
que
tomará la forma de :
( t_, v0 , t ) =
sobre
De
, xt,
, t)
Ec 7.8
integración
Ec 7 , 9
7.6
las ecuaciones de la posición y la velocidad
173
de un bote que detiene su motor cuando viaja a cierta
velocidad v 0 respecto del agua. Suponer gue la fuerza
viscosa que le detiene es de la forma F(v) = -a v.
(i/m)(t
=
dv'/av
=
(im)(t -t )
(1/a)
- - ( 1 / a ) ln (v/v )
EXP{-(a/m)(t ~t M
=
v
vCT
dv ' /v
= v/v,
EXP{-(a/m)(t
-t„))
(Ecuación
ve loe idad)
dx/dt = v = v 0 EXP{ ( - a / m ) ( t -t¿,)}
0 „
A
d x ' = va
no
x -x»
x =
EXP( ( - a / m ) ( t. -t^ ) }dt
^
= v 0 (-m/a)[
+ v e (-m/a)[
EXP{(-a/m)(t
))
1 - EXP{(-a/m)(t
-t^)}]
de
la
174
(Ecuación de la posición
Para
)
los siguientes datos numéricos:
Velocidad
a = 0.01
inicial - 50 Km/hr
kg/s
m = 500 Kg
Hallar cuanto
recorre el
(Ayuda: suponga
diferente de cero
bote
una velocidad
antes de
detenerse.
final muy pequeña
pero
).
7.4 FUERZA NETA DEPENDIEN1E DE LA POSICION ANGULAR
A diferencia
de los
corresponde siempre
casos
a un
anteriores
movimiento en
la
situación
mas de
dimensión. La expresión correspondiente es :
F
(9) = ma
Usando coordenadas polares para
a = ( - v 2 / D r +(dv/dt) é =
la aceleración:
[ - (vz / I') , dv/dt J
una
175
Se tendrá que :
[f(9) , g ( 9 ) ] = m C - ( v 2 / D
La solución al
, dv/dt]
problema se encuentra al
igualar
las
coordenadas de estos vectores:
f(9) = -mvz/r
Ec 7.10
g (9) = dv/dt
De
las
Ec 7.11
ecuaciones
situaciones
matemáticas
considerarán ejemplos
Ejemplo
pueden
complejas.
resultar
Sólo
se
simples.
7.7
Una partícula
cuerda
anteriores
de masa m que está
liviana de
longitud
L se
suspendida por una
mueve
circunferencia de radio R . La cuerda hace
(3 con
la vertical, tal
7.6.
Resolver
partícu1 a.
el
a por
un ángulo
como se muestra en la
problema
del
una
movimiento
figura
de
la
176
(a)
(e)
(b)
Figura 7.6
Péndulo cónico
Para el estudio
masa
de las fuerzas
que actúan sobre
la
en cualquier punto de la trayectoria se utiliza
un sistema cartesiano fijo a ella
Z FM l
= ma„
E Fy±
= ma, = O = T CosP - w
(fig.
(b)):
= -T SenP
-> T = w/ Cos(3
177
Debe
advertirse
que
aceleración radial
aM
es,
en
del movimiento.
circulo limitado por la trayectoria
este
caso,
En el plano
( Fig.
la
del
(c)) esta
aceleración es causada por la fuerza radial T Senfl.
F = - ( T Cos (3) r = - w Sen(3/Cas(3 r = F r
Donde
w tgP es una constante. Llevado el problema a
la expresión general de las Ees. 7.10 y 7.11:
[ - w tgfl , O ] = m[ -v*/T , dv/dt], se tendrá que:
- w tgfl = - m v 2 / T
v = (Tg tg|3)'4 = constante.
La
solución para la
velocidad es compatible
con la
aplicación de la Ec. 7.11:
dv/dt = 0
Queda por
tiempo :
-> v = constante.
encontrar
la
posición
angular
en
todo
178
Como v = c o n s t a n t e , v = v V
r de/dt
ê
Así
de/dt
= (Tg tg
r
d©' = (Tg tgP)'4
\J «N=>
©
=
©o
+
dt'
\J to
(Tg tg|3)*( t -
t„)
así definida
la
Quedando
(pues T es c o n s t a n t e
7.4.1 M O V I M I E N T O
posición
en todo
tiempo
).
CIRCULAR
El e j e m p l o anterior
tipifica el m o v i m i e n t o
circular
u n i f o r m e c a r a c t e r i z a d o por :
Velocidad
constante s
La
norma
de
la
velocidad
varía. No existe pues
tangencial.
ademas
La
aceleración
velocidad
definirse
frecuencia del giro
no
puede
por
( f : [s
la
1
] ó
178
Como v = constante, v =* v ^ _ v 0= r de/dt ©
Así
d©/dt = (Tg tg R )
r
d©' = (Tg tg0>'4
dt '
\J to
© = © Q + (Tg tg|3)'*< t - t 0 )
Quedando
así definida
(pues T es constante
la
posición
en todo
tiempo
).
7.4.1 MOVIMIENTO CIRCULAR
El ejemplo anterior
tipifica el movimiento
circular
uniforme caracterizado por :
Velocidad constante :
La
norma
de
la
velocidad
no
varía. No existe pues aceleración
tangencial.
ademas
La
velocidad
def inirse
por
puede
la
frecuencia del giro ( f s [s * ] ó
178
[gíros/s]) o por su
periodo (T i
[s]
relacionados
),
que
están
por:
f = 1/T
Ec 7.12
Consecuentemente
la
puede calcularse
pon
velocidad
2nRf = v = 2nR/T
Ec 7.13
Para R = Radio de la trayectoria.
Otra
manera
de
referirse
a la
velocidad del movimiento circular
es
la
de
barrido en
por
el
angular
se
expresar
la
íí s [ s - 1 ]
relaciona
ángulo
unidad de
móvil.
(
el
con
La
tiempo
velocidad
ó [rad/s] )
la
velocidad
mediante :
OR — v
Ec 7.14
1B0
No
debe
tanto
perderse
la
de
velocidad
vista que
tangencial
como la angular son vectores
que
cumplen s
v = O x r
(Ver gráfica
Ec 7.15
siguiente)
Figura 7.7
Relación vectorial entre O, r y v
Aceleración
radials
Correspondiendo
a
una
fuerza
radial constante el movimiento es
178
de
aceleración
centrípeta
Fuerza
radial
o
centrípeta/masa
=
constante:
aceleración
-[mv'/R]/m =-[míí2 R]/m = - v 2 /R
- 02R
Como
=
Ec 7.16
se
aceleración
mencionó,
no
hay
tangencial.
El movimiento circular puede, por supuesto, tener una
velocidad
variable,
apareciendo
la
aceleración
tangencial:
a T = dv/dt =d(OR)/dt = R dfl/dt = Ra
F! término
definición
a = dfl/dt
a bs
denomina aceleración
Ec 7.17
angular
.
Su
formal es :
Ec 7.18
178
En un
movimiento en un plano (como el circular) fl no
varía de direrción.
será entonces
La relación escalar entra
suficiente.
a = díí/dt = d 2 9/dt 2
En
un
movimiento
constante
n v fi
Ec 7.19
circular
la causa
de aceleración
del movimiento es una
angular
fuerza que
tiene componentes radial y tangencial :
F = ( F„ , F t
) = m( - v 2 / R
F =m( a„
)
, aT
, dv/dt
) = m(-íí2R , Ra )
Ec 7.20
El cálculo de la
velocidad
y la posición angular
es
idéntico al caso 2 :
díT
=
adt
a
dt' .
« = 0 o + a ( t - t 0 ) = dO/dt
Ec 7.21
178
d©'
O
íí0d t ' + a
te
(t-t J d t
\J te
e = e + ft„(t-t )
D
Ejemplo
Dos
7.8
poleas están
muestra en
reposo
Ec 7.22
0
la figura.
con
(a)hallar
unidas
una
por
Si la
una
banda
polea menor parte
se
del
TI
rad/S 2 ,
angular de la otra.
(b) En
aceleración angular . de
la aceleración
según
cuanto tiempo alcanza 500 r.p.m. la polea mayor?
Figura 7.8
Transmisión del movimiento por poleas
178
Cualquier punto
velocidad
por
de
lo
la
que
poleas
es la
también
la misma. Por
a A
=
misma.
~> a s =
ax
banda se
la velocidad
La
la Ec
mueve con
tangencial
aceleración
la misma
de
las
tangencial
es
7.17:
(R^fl. ) = tt( 10/40) =n/4 rad/s*
Ría)
Para
la polea
mayor,
f - 500 r.p.m.
fl = 2rtf
= ( 2n ) ( 500 ) rad/s( l/60s/min ) = 52.4 rad/s » =
52.4 s" 1
Por
la Ec
7.21:
n = (J0 + at = 52.4 = O = rtt/4
t = 52.4X4/tc = 66.8 s
R(b)
196
f
04
w
Figura 7.9
El
El
peralte
o
ferrocarri 1 es
peralte
inclinación
o
de
carreteras
centrípeta necesaria para
las
proporciona
que el vehículo
en la vía sin tener que recurrir a
o de fricción sobre sus
curvas
fuerzas
de
la
los
fuerza
permanezca
laterales
llantas.
En el diagrama de cuerpo libre de la figura se tien e i
£ F„¿ = m^, = N Sen|3
Esta
decir,
fuerza es radial,hacia el centro de la curva,es
la fuerza
centrípeta:
197
N Senfl = m v 2 / R
E Fyi
- ma^
=0 = N CosP - w -> N « w/Cos (3 = mg/Cosfl
Reemplazando N en la ecuación
anterior:
tg ft = v 2 / R g
Calcular
el valor
Ec 7.23
del ángulo
de peralte
requerido
para que un vehículo que tome una curva de radio 80 m
a
una velocidad constante de 70 Km/hr no experimente
fuerzas laterales sobre sus ruedas.
7.5 FUERZA NETA DEPENDIENTE DE LA POSICION.
La expresión general que debe resolverse en este caso
es :
F (r) = ma = m d*r/dt 2
Para una dimensión:
= m dv/dt
187
F
m d* x/dt 2
M — ma
De
nuevo,
se
= m dv„/dt
suprimirán
entendiéndose, mientras no de
que se trata
de un
los
subíndices
advierta
lo contrario
problema unidimensional.
(Nota
que F H = F = fuerza resultante sobre la partícula).
F = ma = md 2 x/dt*
= m dv/dt
Multiplicando por la velocidad v a ambos lados de
1
igualdad:
Fv = m vdv/dt = F dx/dt
m vdv = Fdx
In tegrando,
m
v ' dv '
'ímv! -'£mva2 =
Fdx '
M
Fdx '
v. '•JO
Ec 7.24