Cálculo Integral

Cálculo Integral
Laboratorio # 1
Enero 2015
Antiderivadas
I.- Halle las siguientes integrales indefinidas.
1)
2)
10)
11)
12)
3)
4)
13)
14)
5)
15)
6)
16)
7)
17)
8)
9)
18)
II.- Calcule
1.
2.
1
Cálculo Integral
Enero 2015
Laboratorio # 2 Aplicaciones de Antiderivadas
I.- Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales
5) y ′ ′ ′ = Sen ( - );
1)
y (π/2) = 0
2)
y ′ ( /2) = 0
3)
y ′ ′ = cos (2x + 1)
y ′ ′ ( /2) = 1
4) y ′ ′= 2 sen x + 3 cos x
II.1) Halle una ecuación de la curva cuya pendiente de la recta tangente en cualquier punto
de ella está dada por
y pasa por el punto (2,12)
2) En cualquier punto (x,y) de una curva se tiene
. Si el punto
(0,1/5) es un punto de inflexión en el cual la pendiente de la recta tangente es 1, halle la
ecuación de la curva.
III.1) Una partícula parte del origen con una velocidad inicial de 5 m/seg y se mueve a lo
largo del eje X. Si su aceleración al final de t seg está dada por:
Encuentre una expresión x(t) para su posición en t seg, t≥0
2) Determine la función de posición de una partícula en movimiento que tiene
aceleración dada por a(t), siendo la posición inicial
y la velocidad inicial
a (t) = - 20 ;
3) Dada la aceleración a= 5s +2 y la velocidad v = 4, cuando s=2, formule una ecuación que
incluya v y s.
2
Cálculo Integral
Enero 2015
Laboratorio # 3 Integral definida
I.-Calcule la suma indicada, aplicando propiedades y fórmulas.
1)
4)
2)
5)
3)
II.-Calcule el límite indicado.
b)
a)
III.- Halle el área de la región acotada por la gráfica de las ecuaciones dada.
1)
2)
3)
4)
5)
IV.- Calcular la integral definida indicada, utilizando definición.
1)
2)
3)
3
Cálculo Integral
Enero 2015
Laboratorio # 4 Propiedades de la integral definida
I.-Dado que:
Calcule:
1)
2)
3)
4)
5)
II.-Sin calcular las integrales, pruebe que:
a)
b)
III.- Halle un intervalo cerrado que contenga el valor de la integral definida dada.
a)
b)
c)
4
Cálculo Integral
Enero 2015
Laboratorio # 5 Teorema Fundamental del Cálculo
I.- Use el Teorema Fundamental del Cálculo para calcular la integral definida dada.
1)
9)
2)
10)
3)
11)
4)
12)
5)
13)
6)
14)
7)
15)
8)
II.- Halle .
a)
b)
)
3)
c)
III.- Halle el área de la región limitada por la gráfica de las ecuaciones dadas, expresándola mediante
una integral definida y calculando esta por Teorema Fundamental del Cálculo.
4)
1)
2)
5)
3)
6)
7)
5
Cálculo Integral
Laboratorio # 6
Enero 2015
Área y Volumen
I.-Determine el área de la región limitada por las curvas y rectas dadas.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
II.- Halle el volumen del sólido de revolución generado al girar la región limitada por las curvas y
rectas dadas, alrededor del eje indicado, utilizando el método del “disco”.
1)
, alrededor de: i) y=0 ii) y=-1
2)
, alrededor de: i) y = 0 ii) y = 9
3)
4)
5)
, alrededor de: i) eje x ii) y = 2
, alrededor de: i) eje y ii) x = -1
, alrededor de: i) y = 0 ii) y = -2
6
Cálculo Integral
Laboratorio #7
Enero 2015
Volumen y Longitud de arco
I.- Halle el volumen del sólido de revolución generado al girar la región limitada por las curvas y
rectas dadas, alrededor del eje indicado, utilizando el método de la “corteza”.
1)
; alrededor de: i) x = 0
2)
; alrededor de: i) x = 2
ii) x = 3
3)
; alrededor de: i) x = 0
ii) x = 2
4)
; alrededor de: i) y = 0
ii) y = 3
5)
; alrededor de: i) y = 4
ii) y = -2
6)
; alrededor de: i) y = 1
ii) y = -3
ii) x = 3
II.- Halle la longitud del arco de curva representada por la ecuación dada, entre los puntos
indicados.
1)
2)
3)
4)
5)
7
Cálculo Integral
Laboratorio # 8
Enero 2015
Función Inversa I
I.- Determina si la función dada es uno a uno en su dominio o en el dominio indicado.
Si no lo es, restrinja el dominio para que sí lo sea.
1)
5)
2)
6)
3)
7)
4)
II.a) Determinar si existe la inversa de la función dada (en su dominio)
b) Si no existe, restrinja el dominio para que si exista.
c) Halle
, si es posible.
d) Halle el dominio y rango de
y
e) Grafique ambas funciones en el mismo sistema de coordenadas
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8
Cálculo Integral
Laboratorio # 9
Enero 2015
Función Inversa II
I.a) Halle el punto en la gráfica de , para el valor de x indicado.
b) Sin obtener
, halle el punto de la gráfica de
correspondiente al punto obtenido en
a).
c) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de
en el punto obtenido en b).
1)
4)
2)
5)
3)
II.- Halle
1)
2)
3)
4)
5)
9
Cálculo Integral
Enero 2015
Laboratorio # 10 Funciones Trigonométricas Inversas
I.- Halle
, simplifique resultado.
a)
e)
b)
f)
c)
g)
d)
II.- Calcule las siguientes integrales.
a)
e)
b)
f)
c)
g)
d)
h)
III.- Obtenga una ecuación de la recta tangente a la gráfica de
, en el punto
cuya abscisa es x= 1.
IV.1) Halle el área de la región limitada por las curvas y rectas dadas
a)
, eje X ,
.
b)
2) Halle el volumen del sólido generado al girar la región dada alrededor del eje indicado
a)
Región acotada por
b)
Región acotada por
,
; alrededor del eje Y.
; alrededor del eje X.
10
Cálculo Integral
Enero 2015
Laboratorio # 11 Función Logaritmo Natural
I.- Halle
, simplifique.
a)
d)
b)
e)
c)
f)
II.- Utilice diferenciación logarítmica para calcular
1)
III .1) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de
en el punto cuya
abscisa es 2 .
2) Grafique las siguientes funciones.
a) f(x) = - ln ( 4 x)
b) f(x) = ln ( 4 – x )
IV.- Calcule los siguientes integrales
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
11
Cálculo Integral
Enero 2015
V.1) Halle el área de la región limitada por las curvas dadas.
1)
, eje x, x = 4 , x = 8
b)
2) Halle el volumen del sólido generado al girar la región dada alrededor del eje indicado.
a) Región acotada por
b) Región acotada por
, alrededor de x = 0
, eje x , alrededor de
12
Cálculo Integral
Enero 2015
Laboratorio # 12 Función Exponencial Natural
I.- Halle
, simplifique.
1) y=
2) y= ln(
3) y=
4) y=
II.- Calcule las siguientes integrales.
1)
8)
2)
9)
3)
4)
10)
5)
11)
6)
7)
III.- Trace la gráfica de las funciones siguientes.
1) f(x)=
2) f(x)=
3) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y=
en el
punto cuya abscisa es la 2.
IV.1) Halle el área de la región limitada por y=
, x=0, x=2, y=0.
2) Halle el volumen del solido generado al girar la región acotada por
y=
, y=1, x=0, x= ln2 alrededor de: i) eje x ii) y=-1.
13
Cálculo Integral
Enero 2015
Laboratorio # 13 Funciones Exponenciales de otras bases
I.- Halle
, simplifique.
1)
4)
2)
5)
3)
6)
7)
II.- Calcule las siguientes integrales.
1)
2)
3)
4)
dx
5)
6)
dx
7)
8)
9)
14
Cálculo Integral
Enero
2015
III.- Trace la gráfica de las funciones siguientes.
a)
b)
c)
IV.- Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de
en el punto cuya abscisa es
.
V.1) Halle el área de la región acotada por las curvas y rectas dadas.
a)
b)
2) Halle el volumen del solido generado al girar la región acotada por las curvas y rectas
dadas alrededor del eje indicado.
a)
b)
; alrededor de y=2
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Cálculo Integral
Enero
2015
Laboratorio # 14 Métodos de Integración I
I. Calcula las siguientes integrales.
 x tg
1)

2)

4)

5)
x dx
sec 6 ( x
x
 ctg
3)
1
5
1
3
2
11)
  cos (1 x) 
12)
 5x cos (3x
13)
 tg
14)
e
15)
x
3
( 34  7 x ) dx
x 2 dx
(10  x 2 )
3
2
4
3
7
2
0
7)
17)
 sen  cos
4
2
5
2
 8) dx
(5 ) sec 3 (5 ) d
2x
2
sen 4 x dx
9
( 7 x  2 ) dx
x
2
cos x dx
0
 t ln( t 1) dt

4

6
16)
6)
1
3
) dx
 sen (   3x )cos (   3x ) dx

sen 5 (1  x) dx
 d

 ctg
6
( 3  x) csc 4 ( 3  x ) dx
1
18)
x
4 x 2 1 dx
2
1
2
8)
( x
9)
 (9  x
10)

2
 x ) e  x dx
3
2  2
)
dx
19)
t
20)
 cos
2
sen 2t dt
5
( 2  3x ) dx
5  x 2 dx
II .
1. Halla el área de la región acotada por y = sen -1 (2x), eje X, x =
3
. Además halla
4
el volumen del sólido generado al girar esta región alrededor del eje Y.
2. Halla el volumen del sólido generado al girar la región acotada por y = cos 2x,
y = sen 2x, x = 

2
,
x=

alrededor de y = 1.
4
16
Cálculo Integral
Enero 2015
Laboratorio # 15 Métodos de Integración II
I. Calcula las siguientes integrales.
1.
2x 2  1
 ( x  2) 3 dx
x3  1
2.  3
dx
x  4x
3.
dx
 x  1)
10.
 x( x
11.
 5  3sen x
12.
x2  3
 x 2  3x  2 dx
4 x 2  3x
 ( x  2)( x 2  1) dx
2
dx
2
4.
x 3 dx
0 (x 2  2) 2
5.
 x( x
6.

dx
1/ 3
 1)
x3  x2  x  3
13.  2
dx
( x  1)( x 2  3)
x
dx
x 1
4
7.
dx
 1  sen x  cos x

8.
2
1
 2  cos xdx
0
9.
II.
x
3
x 2 dx
14. 
x 1
0
15.
sen x
 1  sen x dx
2
dx
x2  x 1
16.
17
17.
Cálculo Integral
1. Halla el área de la región acotada por y 
Enero 2015
x
, x  1 , x  1, y  0 .
( x  2) 2
2. Halla la longitud del arco de la curva y  e x , desde x  0 a x  ln 4 3
18