Universidad de Chile Facultad de Ciencias Departamento de

Universidad de Chile
Facultad de Ciencias
Departamento de Fı́sica
Electromagnetismo
Corrección Tarea No 2
Publicada el 1 de Abril
1.
Profesor:
Ayudantes:
Pedro Miranda
Manuel Ramı́rez
Gabriela Román
a) Sabemos que la capacitancia equivalente para un conjunto de capacitores será:
Ceq = C1 + C2 + C3 + · · · + Cn ,
(1)
para n capacitores en paralelo y
1
1
1
1
1
=
+
+
+···+
,
Ceq
C1 C2 C3
Cn
(2)
para n capacitores en serie.
Entonces, en primer lugar, separaremos nuestro circuito en sectores que nos permitan ir sumando los capacitores ya sea en serie o paralelo según corresponda.
Llamemos sectores A, B y C a los siguientes:
a
A C
1
C1 B
C3
C2
C2
C2
C2
C
b
Figura 1: Circuito con sectores A, B y C.
Como podemos ver en la figura 1, tanto en el sector A como en el B se encuentran
un capacitor C1 y uno C2 en serie, por lo tanto, usando la ecuación (2):
1
1
1
=
+
CeqA
C1 C2
C2 + C1
=
.
C1 C2
Luego,
CeqA =
C2 C1
= CeqB .
C1 + C2
(3)
En cambio, en el sector C se encuentran dos capacitores C2 en paralelo, por lo que
usaremos la ecuación (1), entonces:
CeqC = C2 + C2
= 2C2 .
(4)
Veamos como se ve nuestro circuito considerando los capacitores equivalentes encontrados,
a
D
Ceq A
Ceq B
C3
Ceq C
b
Figura 2: Circuito con sector D.
Como podemos ver, el sector D posee tres capacitores en paralelo, entonces:
CeqD = CeqA + C3 + CeqB .
(5)
Finalmente, nos quedan dos capacitores en serie:
1
1
1
=
+
CeqT
CeqD
CeqC
CeqD + CeqC
=
,
CeqC CeqD
por lo tanto, el capacitor equivalente total del circuito es:
CeqT =
CeqD CeqC
.
CeqC + CeqD
(6)
Finalmente, al reemplazar los datos numéricos en la ecuación (6), se obtiene que:
CeqT = 6, 06 [µF ]
b) Por definición sabemos que Q = C∆V ; luego,
QT otal = CeqT · ∆VT otal .
Ahora, como la carga es igual para todos los capacitores conectados en serie,
QT otal = QSectorC = QSectorD ,
luego,
QSectorD = CeqT · ∆VT otal .
(7)
QSectorD = CeqD · ∆VSectorD .
(8)
Además
Igualando (7) con (8),
CeqT · ∆VT otal = CeqD · ∆VSectorD
CeqT · ∆VT otal
.
∆VSectorD =
CeqD
(9)
Como en un circuito de capacitores en paralelo la diferencia de potencial es el mismo
para cada capacitor, ∆VSectorD = ∆V3 . Entonces,
Q3 = C3 · ∆VSectorD .
(10)
Finalmente, reemplazando (9) en (10):
Q3 = 8, 4 · 10−5 [C]
2.
a) Analicemos el problema como si fueran un par de capacitores conectados en paralelo, uno de ancho x con un dieléctrico de constane κ y otro de ancho ` − x y con
vacı́o entre las placas, ambos condensadores de ancho a.
De esta manera, la capacitancia total estará determinada por,
C = Cdieléctrico + Cvacı́o
ax
a(` − x)
C = κε0
+ ε0
d
d
a
C = ε0 (κx + ` − x)
d
a
C = ε0 (x(κ − 1) + `)
d
(11)
b) Sabemos que
E=
y
Q2
,
2C
(12)
Q = C∆V,
(13)
luego, reemplazando la ecuación (13) en (12) obtenemos
E =
E =
(C∆V )2
2C
C∆V 2
,
2
(14)
ası́, reemplazando finalmente la ecuación (11) en (14)
E = ε0
3.
a
(x(κ − 1) + `) ∆V 2 .
2d
(15)
a) Para resolver este problema primero busquemos la capacitancia de un delgado condensador de placas paralelas configurado de la manera siguiente:
Figura 3: Delgado capacitor de placas paralelas
Los capacitores que presentan esta configuración se pueden analizar como un par
de condensadores en serie, por lo tanto su capacitancia viene dada por
Ceq =
C1 C2
,
C2 + C1
(16)
donde C1 y C2 son las capacitancias de los condensadores con constantes dieléctricas
κ1 y κ2 respectivamente. Por otro lado, sabemos
`∆x
h1
`∆x
= κ2 ε 0
h2
C1 = κ1 ε0
(17)
C2
(18)
Luego, reemplazando las ecuaciones (17) y (18) en (16) tenemos
Ceq =
Ceq =
Ceq =
Ceq =
`∆x
κ1 ε0 `∆x
h1 · κ2 ε 0 h2
`∆x
κ2 ε0 `∆x
h 2 + κ1 ε 0 h 1
κ1 κ2 ε20 `2 (∆x)2
h1 h2 ε0 ` ∆x κh11 + hκ22
h1 h2
κ 1 κ2
ε0 `∆x ·
h1 h2
κ1 h 2 + κ 2 h1
ε 0 ` κ 1 κ2
∆x
κ1 h2 + κ2 h 1
(19)
Ahora, consideremos el problema inicial de la siguiente manera:
Figura 4: Capacitor de placas paralelas con dieléctricos κ1 y κ2
De la figura 4 podemos desprender que al segmentar verticalmente el condensador
en delgados elementos, obtenemos capacitores compuestos por dos dieléctricos, configurados de la misma manera que en el plantemiento que hicimos inicialmente.
Luego, llamemos dC a la capacitancia del delgado condensador, entonces su valor
estará determinado por la ecuación (19), donde
h1 = d −
d
x
L
d
x
L
∆x = dx
h2 =
` = W
De manera que
dC =
dC =
ε 0 W κ 1 κ2
dx
κ1
+ κ2 d − Ld x
1
ε0 W L κ1 κ2
·
dx
d
κ 1 x + κ2 L − κ 2 x
d
Lx
Como LW es igual al área (A) del capacitor completo, podemos escribir
dC =
κ 1 κ2 ε 0 A
1
·
dx
d
(κ1 − κ2 )x + κ2 L
(20)
Ası́, como todos estos delgados condensadores se encuentran en paralelo, el valor
de la capacitancia completa será la suma algabraica de las capacitancias pequeñas
para todos los valores de x entre 0 y L.
Por lo tanto la capacitancia completa (Cf ) será,
Z
Cf
L
dC
=
0
Cf
=
Cf
=
Cf
=
Cf
=
κ1 κ 2 ε 0 A
d
Z
0
L
1
dx
(κ1 − κ2 )x + κ2 L
#
1 L
κ1 κ 2 ε 0 A
ln ((κ1 − κ2 )x + κ2 L) ·
d
κ1 − κ2 0
κ1 κ2 ε0 A ln(κ1 L) − ln(κ2 L)
d
κ1 − κ2
κ1 κ2 ε 0 A
κ1
ln
d(κ1 − κ2 )
κ2
κ−1
2
= 1, obtenemos finalmente
κ−1
2
κ1 ε 0 A
κ1
ln
Cf = κ2
d κκ21 − 1
(21)
Luego multiplicando la ecuación (21) por
(22)
b) Ahora veamos que sucede cuando κ1 = κ2 = κ.
Para resolver este problema veamos primero el valor que toma el siguiente lı́mite:
ln(x)
x→1 x − 1
ln(x)
lı́m
x→1 x − 1
ln(x)
lı́m
x→1 x − 1
lı́m
(ln(x))0
x→1 (x − 1)0
1/x
= lı́m
x→1 1
=
lı́m
= 1,
(23)
por lo tanto, cuando κ1 = κ2 (en otras palabras κ1 /κ2 = 1) se tiene de la ecuación
(22) que,
 
ln κκ21
κε0 A

Cf =
lı́m 
d κ1 /κ2 →1 κκ12 − 1
Cf
=
κε0 A
d
Lo que finalmente coincide con el valor de la capacitancia cuando tenemos un único
dieléctrico de constante κ.
4. En primer lugar, debemos separar nuestro circuito en sectores, como muestra la figura
5, que nos permitan ir sumando los capacitores en serie y paralelo según corresponda.
C
C
C
A
C
C
a
b
C
B
C
C
C
C
C
C
Figura 5: Circuito con sectores A, B y C.
Los tres sectores seleccionados en la figura precedente corresponden a capacitores conectados en serie, por lo tanto deberemos usar la ecuación (2) para encontrar sus capacitores
equivalentes, es decir,
1
1
1
=
+
CA
C
C
1
2
= ,
CA
C
por lo tanto,
CA =
C
= CB ..
2
(24)
Y por el otro lado,
1
1
1
1
=
+ +
CC
C
C
C
1
3
= ,
CC
C
entonces,
CC =
C
.
3
(25)
Ahora, nuestro circuito se verá como lo muestra la figura 6:
El sector D equivale a dos capacitores en paralelo, por lo que usando la ecuación (1) y
reemplazando (24) en ella, se obtiene que:
D
C
C
C
CA
a
b
C
CB
CC
Figura 6: Circuito con sector D.
CD = C + CA
C
=C+
2
2C + C
=
2
3C
.
=
2
(26)
Entonces nuestro circuito se podrı́a representar de la siguiente forma:
E
C
CD
C
a
b
C
CB
CC
Figura 7: Circuito con sector E.
Como pedemos ver en la figura 7, el sector E corresponden a tres capacitores en serie,
es decir,
1
1
1
1
=
+
+
CE
C
CD
C
2
1
=
+
,
C
CD
ahora, si reemplazamos (26) en (27),
1
2
2
=
+
CE
C
3C
8
=
.
3C
(27)
Luego,
CE =
3C
.
8
(28)
Finalmente, nuestro circuito se puede representar como lo muestra la figura 8:
CEq
CE
C
a
b
CB
CC
Figura 8: Circuito final.
Podemos ver que los capacitores se encuentran en paralelo, por lo tanto,
CEq = CE + C + CB + CC .
Reemplazando (28), (24) y (25) en (29), obtenemos
C
C
3C
+C + +
8
2
3
9C + 24C + 12C + 8C
=
24
CEq =
por lo tanto,
CEq =
53C
.
24
(29)