modulo decimo trigo 2 perio - institutoculturalciudadkennedy

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Instituto Cultural Ciudad Kennedy
“Pensamiento, Comunicación y emprendimiento; ejes fundamentales para el desarrollo integral y social”
Y
IN
S
ÁREA
MÓDULO No.
PERÍODO
ASIGNATURA
DOCENTE
NOMBRE DEL ESTUDIANTE
ESTÁNDARES
 Establezco relaciones y
diferencias entre diferentes
notaciones de números
reales para decidir sobre
su uso en una situación
dada.
 Uso argumentos
geométricos para resolver
y formular problemas en
contextos matemáticos y
en otras ciencias.
 Diseño estrategias para
abordar situaciones de
medición que requieran
grados de precisión
específicos.
EJES TEMATICOS
Resolución de triángulos
oblicuángulos.
Relaciones.
Funciones trigonométrica
en la circunferencia unitaria.
Graficas de las funciones
trigonométricas.
Variaciones de las
funciones trigonométricas.
Funciones trigonométricas
inversas.
INDICADORES DE
DESEMPEÑO
EVIDENCIAS
Reconoce una relación
y una función y halla su
dominio y su rango.
Trabajo con
implementos para medir
Analiza las funciones
trigonométricas y halla
sus interceptos, ceros,
asíntotas
y
comportamiento.
Actividad en clase y en
casa
Identifica el concepto
de función inversa y
halla su dominio y
recorrido.
Utilización adecuada de
los implementos de
medida
No. de guías:
No. de clases por guía:
GUIA No.
Objetivo:
Actividad de revisión de conocimientos previos:
Teniendo en cuenta la figura que se muestra que relaciones se pueden establecer entre cada una de las partes y los
ángulos, además se debe tener en cuenta que la suma de los ángulos internos de todo triángulo es 180° construye una
figura similar en tu cuaderno utilizando medidas exactas. ¿De qué manera se podría determinar la altura del triángulo sin
la utilización de una regla, por qué?
Teniendo en cuenta que el triangulo ABC que se muestra no es rectangulo pero al trazar la altura (h) se pueden obtener
dos triangulos rectangulos, aplicando las funciones trigonometricas seno y coseno para los angulos A y B se puede
determinar la altura, en cada uno de los casos, ¿Qué igualdades se pueden establecer a partir de estas teniendo en
cuenta que se esta hablando de la misma altura?
De acuerdo con la gráfica que se muestra si se establece una relación a partir del
teorema de Pitágoras, ¿Cómo se puede establecer la longitud de cada uno de los
segmentos? ¿Cómo quedaría cada una de las razones trigonométricas para el ángulo
señalado?
¿Que se sobre?
Escribe los conceptos que tienes de:
Identidad
Altura
Angulo
Función
Teorema
Función seno
Función coseno
Teorema del seno
Teorema del coseno
Identidad trigonométrica
Ubícate con tres compañeros en un lugar del colegio de tal
manera que entre ustedes se pueda formar un triángulo, cada
uno de ustedes debe tomar una pita hasta que se pueda ver la
forma de un triángulo, otro compañero debe ubicarse en una de
las líneas del triángulo tomando una pita con el compañero que
se encuentra al frente, de tal manera que esta línea trazada
pueda establecer la altura de este triángulo. Solamente se
puede medir la distancia que hay entre dos compañeros y dos
de los ángulos formados, o dos líneas y un ángulo. Debes
calcular la distancia a la que se encuentren cada dos
estudiantes. ¿Cuántos ángulos se pueden formar con la
ubicación de los estudiantes y que forma tiene cada uno de
estos?. Realiza este mismo proceso 5 veces de tal manera que
las distancia a las que se ubiquen sean diferentes.
De acuerdo con la gráfica que se muestra cual es la
altura del árbol
Teniendo en cuenta que la secretaria, la coordinación y secretaria son oficinas del colegio que se encuentran ubicadas
en puntos diferentes, determinar la distancia a la que se encuentran cada una de estas, midiendo con el metro la
distancia entre dos de estos puntos y dos de los ángulos que se forman, debes hacerlo utilizando las relaciones
trigonométricas seno y coseno. Debes realizar una representación gráfica en tu cuaderno
¿A qué altura estará volando un avión que es visto por dos observadores con una distancias de 500m entre
ellos, si los ángulos de elevación son de 60º y 50º?
Teniendo en cuenta el siguiente triángulo determina las medidas de cada uno de los lados restantes y de sus ángulos.
Fundamentación teórica
De acuerdo con lo que se muestra a la izquierda realiza una representación geométrica, por
medio de un triángulo en el que se pueda ver cada uno de estos casos y utiliza datos numéricos
a partir de los cuales se pueda contrastar lo que se esta diciendo.
 En la suma el
elemento neutro es el cero, ya que el cero no altera o deja
número. De manera que el inverso del número + 14 es el - 14, ya
inalterado a todo
que al operar ambos dan como resultado el cero (el elemento neutro de la suma). Por eso se le llama inverso aditivo
 En la multiplicación, el elemento neutro es el uno, ya que el uno deja inalterado en la multiplicación a cualquier número.
De manera que el inverso de 8 es 1/8, ya que al multicarlos da como resultado el uno (el elemento neutro de la
multiplicación). Por eso se le llama inverso multiplicativo. Un sinónimo de inverso multiplicativo es recíproco.
nm = 1, entonces;
De acuerdo con el triángulo anterior puede verse que la función seno y cosecante son inversas o reciprocas dado que:
y r
  1 igualmente el coseno con la secante son inversos multiplicativos, ya que de su multiplicación se obtiene
r y
x r
  1, de la misma forma la tangente con la cotangente también lo son, ya que de su multiplicación se obtiene:
r x
y x
 1
x y
Como ya sabes por la definición de las razones trigonométricas: h=bsenA, y h=asenB
luego bsenA=asenB, de donde se obtiene una de las igualdades del teorema del
seno:
Teorema del coseno
 Si observamos bien, en el triángulo DBC obtenemos, por Pitágoras, obviamente, que: hc2
+ p2 = a2 o sea: hc2 = a2 - p2
 Mientras que el triángulo ADC determinamos que: hc2 + q2 = b2 o sea: hc2 = b2 - q2
Estos pasos nos llevan a la conclusión que a2 - p2 = b2 - q2 lo que implica que a2 = b2 - q2 +
p2
Pero p = c - q, lo que al reemplazar en la expresión anterior permite obtener que:
a2 = b2 - q2 + (c - q)2 , desarrollando
2
2
2
2
2
2
2
2
resulta a = b - q + c - 2cq + q simplificando: a = b + c - 2cq , pero cos a = q/b de donde q = b cos a. Luego a2 = b2
+ c2 - 2bc cos a, de igual manera se realizan las otras demostraciones para los otros lados del triángulo. Debes realizar
las demostraciones para completar las demás ecuaciones.
c2 = a2 + b2 - 2ab cos c
c2 =
c2 = 8
c=
Trabajo extraclase
Consultar las siguientes direcciones web:
http://es.scribd.com/doc/198857/Ley-del-seno-y-ley-delcoseno
http://www.educ.ar/recursos/ver?rec_id=14963
Elabora un documento en el que se pueda ver la importancia
de la utilización de un teorema determinado: seno y coseno
en un problema específico, justificando porque es pertinente
la utilización de este y no del otro.
En un escrito justificar el empleo de las identidades realizando
empleo de valores numéricos para algunos ángulos y
comprobando su veracidad, además debes contrastar las
respuestas presentadas con tus compañeros para llegar a un
acuerdo.
Actividad de conexión con las TIC y enlaces
Visita las siguientes direcciones web acerca
de la utilización del teorema del seno y del
coseno en la resolución de problemas de la
vida cotidiana
 http://www.vadenumeros.es/primero/tri
gonometria-resolver-triangulos.htm
 http://www.jorgefernandez.es/proyectos/angulo/temas/tem
ao/index.html
 http://www.monteroespinosa.com/teore
ma-seno-teorema-coseno/2-502-42502.htm
Toma estos problemas que se
presentan y rea liza las respectivas
representaciones
mostrando
los
soluciones, edemas en algunos de los
casos utiliza las representaciones en el
patio con la ayuda de tus compañeros
para contrastar los datos numéricos
¿Cómo aplico lo aprendido?
Busco un momento de la vida a partir de lo
que se puede ver en el entorno y cuando es
útil el empleo de los teoremas del seno y
del coseno, mostrando las posibles
soluciones.
 Un avión sale de un aeropuerto y se eleva
manteniendo un ángulo constante de 10º hasta que
logra una altura de 6 km. Determina a qué distancia
horizontal del aeropuerto se encuentra en ese
momento.
Mis conceptos son más útiles cuando los puedo aplicar en
situaciones de la vida cotidiana.
Utilizando el flexómetro y un transportador y con la ayuda
de mis compañeros realizo las siguientes representaciones
en el patio de mi colegio.
 Sea ABC un triángulo rectángulo en A. Si el segmento
42º. Calcula:
a) el lado AC
b) el lado BC
 Si ABC es un triángulo rectángulo en A y los segmentos
AB y AC miden 2 m. y 4 m., respectivamente. Calcula:
a) el lado BC
b) el ángulo ABC
c) el ángulo ACB
 Debo tener en cuenta exactamente mi medida, ahora me
ubico en un sitio donde esté haciendo sol, me ubico y me
quedo quieto, le pido a un compañero que mida
exactamente la longitud de la sombra. ¿Cuál es la medida
del ángulo que hace la horizontal con la línea que une los
dos puntos extremos? Determino una razón trigonométrica
que me sirva para el cálculo de la medida del ángulo,
rectifico la medida del ángulo con un transportador. Ahora
mido a un compañero y a partir de lo encontrado
anteriormente determino la medida de la sombra sin la
necesidad de utilizar el metro y la medida del ángulo, con
otro compañero comparo y rectifico nuevamente el primer
proceso y comparo las medidas obtenida para los ángulos
y las razones trigonométricas. Realizo un gráfico de lo
encontrado y concluyo.
Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8 metros del suelo y observa el edificio
de enfrente de la siguiente manera: la parte superior, con un ángulo de elevación de 35º y la parte inferior, con un ángulo
de depresión de 43º. Determina la altura del edificio de enfrente. Para lo cual se debe realizar la representación gráfica.
Ahora te ubicas en diferentes partes del colegio y observa diferentes puntos calculando su altura y la de algunos edificios
que se encuentren cerca.
Dibuja cada uno de los siguientes triángulos y calcula las medidas de los lados restantes.
b) a = 7 m.
b = 6 m.
d) a = 12 cm.
b = 16 cm
c = 4 m.
= 43º
 Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 36º y tienen longitudes de 3 y 8 cm. Determina la
longitud de la diagonal menor. Realiza la construcción del paralelogramo empleando los compañeros necesarios para
hacerlo ubicándose libremente, y calcula en cada uno de los casos la longitud de la diagonal sin utilizar el metro para
determinar la medida, debe realizar la representación gráfica para cada uno de los casos.
 . Dos trenes parten simultáneamente de una estación en dirección tal que forman un ángulo de 35º. Uno va a 15 km/hr
y el otro a 25 km/hr. Determina a qué distancia se encuentran separados después de dos horas de viaje.
 Determina las longitudes de las diagonales de un paralelogramo, conocidos los lados m y n, y el ángulo a entre ellos.
 Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si
nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.
Taller de repaso
7
, encuentra las otras funciones. Entrega los valores simplificados y racionalizados.
4
2) Si cos   0,2 , encuentra las otras funciones.
5
3) Si tan   , encuentra las otras funciones.
9
1) Si
cos  
Angulos complementarios:
En el triángulo rectángulo siguiente:
sen  sen(90º  )  cos
cos   cos(90º  )  sen

tan   tan(90º  )  cot
En estas relaciones, se cumplen con dos
ángulos que son complementarios, que suman
90º, y se dicen que estas funciones son
cofunciones una de la otra.

  90º 
Ejemplos de uso de las funciones:
1) Calcular sen 30º.
Sen 30º = sen (90º - 30º) =cos 60º = ½
2) Expresar los siguientes valores de funciones trigonométricas como el valor de la función de un ángulo positivo menor
que 45º.
 sen 72º = sen (90º - 72º) = cos 18º
a) sen 72º
 cos 46º = cos (90º - 46º) = sen 44º
b) cos 46º
Ejercicios:
1) Expresar el valor de la función trigonométrica en términos de un ángulo no mayor que 45º:
a) sen 60º
b) cos 84º
c) tan 49,8º
d) sen 79,6º
2) Resolver los triángulos rectángulos para los datos dados. Usa calculadora.
a)  = 24º y c =16.
B
b) a = 32.46 y b = 25,78
c)

= 24º y a =16
d)

= 71º , c = 44

a

b
e) a = 312,7 ; c = 809
f) b = 4.218 ; c = 6.759
c
C
A
g)
3
.

= 81º12’ ; a = 43,6
4
.
5
.
6
.
7
.
8. Desde un punto A en la orilla de un río, cuya anchura es de 50m., se ve un árbol justo enfrente. ¿Cuánto tendremos
que caminar río abajo, por la orilla recta del río, hasta llegar a un punto B desde el que se vea el pino formando un ángulo
de 60º con nuestra orilla?
9. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del suelo y observa el edificio de
enfrente. La parte superior con un ángulo de 30 grados y la parte inferior con un ángulo de depresión de 45 grados.
Determine la altura del edificio señalado.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16. Sobre un plano horizontal, un mástil está sujeto por dos cables, de modo que los tirantes quedan a lados opuestos.
Los ángulos que forman estos tirantes con respecto al suelo son 27 grados y 48 grados. Si la distancia entra las cuñas es
de 50 m. ¿cuánto cable se ha gastado?, ¿cuál es la altura a la cual están sujetos los cables?
17. Desde lo alto de una torre de 300 m. de altura se observa un avión con un ángulo de elevación de 15 grados y un
automóvil en la carretera, en el mismo lado que el avión, con un ángulo de depresión de 30 grados. En ese mismo
instante, el conductor del automóvil ve al avión bajo un ángulo de elevación de 65 grados. Si el avión, el auto y el
observador se encuentran en un mismo plano vertical: calcule la distancia entre el avión y el automóvil, también calcule la
altura a la que vuela el avión en ese instante.