Reflexiones en torno a una propuesta de enseñanza de la

2014
Reflexiones en torno a
una propuesta de
enseñanza de la
geometría con TIC
Caso de implementación de una secuencia de enseñanza en el
profesorado de nivel inicial.
Título: Trabajo Final Seminario II
Autor: Augusto Burgos
Módulo: Seminario II,
Tutor: José Luis Alvarenga
Grupo: Matemática 2 FD_002
Datos de carrera: Especialización docente de nivel superior
en educación y TIC
Institución: Ministerio de Educación de la Nación, Escuela
Normal Superior Juan Bautista Alberdi - Tucumán
Fecha de presentación:04 de Julio 2014
Autor: Augusto Burgos
04/07/2014
Índice
1. Introducción
2. Hacer matemática en los institutos de formación docente
3. Implicancia de la incorporación de las TIC en el aula de matemática
4. Sobre la secuencia de enseñanza presentada
5. Puesta en marcha de la secuencia
5.1 -Evaluación de la secuencia de enseñanza
6. Conclusiones: nuevos caminos
7. Bibliografía de consulta
8. Anexo
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1 - Introducción
A continuación presentamos una experiencia matemática en la que se desarrolla una secuencia
didáctica con alumnas del Profesorado de Educación Inicial de la Escuela Normal Superior
Juan Bautista Alberdi de la provincia de Tucumán, que cursan Didáctica de la Matemática II,
durante el primer cuatrimestre. Esta experiencia busca introducir a las alumnas (futuras
docentes) en el enfoque de enseñanza de la matemática por resolución de problemas, por
medio de una secuencia didáctica de geometría. Se busca que este enfoque de enseñanza se
convierta en una matriz de enseñanza que luego lograrán contextualizar y significar con sus
futuros alumnos de nivel inicial.
La misma, parte de la propuesta de tres problemas que
movilicen ciertas formas de hacer geometría, teniendo en cuenta saberes y experiencias
previas, errores y teorías en acto. Se introduce el software Geogebra como herramienta de
construcción y problematización, la que abre nuevos caminos y estrategias de resolución.
Finalmente se propone una evaluación reflexiva que posibilita al alumno ser partícipe de sus
propios aprendizajes, mediante la valoración de sus fortalezas y debilidades y verse
enriquecido con la retroalimentación constante que le ofrezca el docente y el grupo clase.
En síntesis, la secuencia se estructura didácticamente en la fuerte convicción de que los
alumnos, pueden hacer y crear matemáticas nuevas (por lo menos para ellos) y enfatizando un
modelo didáctico de la matemática que luego podrán llevar adelante en sus clases como
futuros docentes.
2- Hacer matemática en los institutos de formación docente
Las alumnas del profesorado de educación inicial de la Escuela Normal Juan Bautista Alberdi Tucumán, ingresan al mismo con diferentes saberes y concepciones sobre la enseñanza de la
geometría, en particular la referida al nivel inicial de enseñanza. Para la mayoría de las
alumnas enseñar geometría en el nivel inicial pasa por una geometría ostensiva, o sea aquella
que solo se limita a brindar vocabulario (el nombre de las figuras y los cuerpos geométricos) y
actividades poco significativas desde el punto de vista geométrico (pintar figuras, pintar
cuerpos, decorarlos, etc)
¿Qué tipo de experiencias debería transitar un futuro docente durante su formación para
que alcance la comprensión deseada?
La secuencia estuvo enfocada dentro de la línea teórica de la Didáctica de la matemática de la
escuela francesa, buscando colocar a las futuros docentes en la posición de “crear
matemáticas nuevas”
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¿Qué significa hacer matemática? Justamente es hacerlas, en el sentido propio del
término, construirlas, fabricarlas, producirlas. Por supuesto no se trata de hacer
reinventar a los alumnos la matemática que ya existe, sino de involucrarlos en un
proceso de producción matemática donde su actividad tenga el mismo sentido que tiene
para los matemáticos que crean conceptos matemáticos nuevos.(Tipos de Actividades
Matemáticas.
Disponible:
http://www.aportes.educ.ar/sitios/aportes/recurso/index?rec_id=107419&nucleo=matem
atica_nucleo_recorrido Visto 16/06/2014)
De esta forma se propone introducir a los futuros docentes en el “hacer geométrico” y romper
con una geometría sensible y ostensiva propia del nivel inicial e inclinarla hacía el estudio de
las propiedades de las figuras e iniciar un modo de pensamiento propio del saber geométrico.
Teniendo en cuenta las experiencias sugeridas para desarrollar durante la formación superior
(Proyecto de mejora para la formación inicial de profesores para el nivel secundario, 2008,
INFD) nos centramos en aquellas que permitieron a los estudiantes explorar los problemas de
construcción recurriendo a diferentes instrumentos (elementos de geometría tradicionales y el
software Geogebra) o a mano alzada. Esto permitió la elaboración de conjeturar propiedades y
validar sus conjeturas desplegando diferentes relaciones geométricas.
3- Implicancia de la incorporación de las TIC en el aula de matemática
Uno de las herramientas que permitieron desplegar nuevas construcciones geométricas,
exploraciones, argumentaciones y validaciones fue el trabajo en Geogebra. Una herramienta
que las alumnas ya habían experimentado con anterioridad en otras secuencias, por lo que su
uso no les resultó extraño.
4- Sobre la secuencia de enseñanza presentada
La secuencia estuvo pensada para las alumnas del: 3° Año del Profesorado de Educación
Inicial, cuya asignatura es: Didáctica de la Matemática II. La misma se estructuró en 3 clases
de 80 minutos cada una de forma presencial, si bien las producciones en Geogebra se
terminaron de intercambiar a través del aula virtual de la escuela.
Los problemas propuestos permitieron: …aprender estrategias de resolución y formas de
pensar matemáticas (Módulo Enseñar con TIC Matemática I, Clase 1)
Este enfoque de enseñanza se identifica con el enfoque ontosemiótico del conocimiento y la
instrucción matemática. (Godino, 2002; Godino, Batanero y Font, 2007) que puede aportar
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elementos originales y significativos para orientar los procesos de enseñanza y aprendizaje de
la matemática.
5- Puesta en marcha de la secuencia
El primero de los problemas propuestos buscaba considerar la inclusión de medianas y
bisectrices para la construcción de triángulos. Debemos mencionar que con anterioridad las
alumnas ya habían trabajado la construcción de triángulos dados sus lados (propiedad
triangular) La mirada se dirigió a relacionar los datos con la cantidad de soluciones que pueden
hallarse y hacia criterios de congruencia posibles que incluyan estos nuevos lugares
geométricos.
El primer problema se presentó para ser realizado en parejas:
Problema I: Construí un triángulo con los siguientes datos:
a) Triángulo ABC, con el lado AB de 6 cm, la mediana correspondiente a AB de 5 cm y el
lado AC de 7 cm
b) Triángulo MNO con el lado MN de 4 cm, la mediana correspondiente a ese lado de 5 cm y
el ángulo que forma esa mediana con MN, de 30°
No todas las alumnas iniciaron la resolución de forma inmediata. El término “mediana” produjo
algún tipo de ruido en la clase. Al preguntar a qué hace referencia la mediana, surgieron
diferentes interpretaciones, por ej: “-es una línea que parte al triángulo en dos”, “-parte por la
mitad al triángulo”, “-no sabemos”. Solo una alumna pudo brindar una definición más formal que
sirvió para que el docente pueda introducir la definición de mediana de manera más general.
En este primer ejemplo, se observa que la alumna
marca el lado AB de 6 cm, y dibuja la mediana de
5 cm, perpendicular al lado AB, cabe destacar que
esta fue una constante en las construcciones en
los primeros momentos. Esta situación no había
sido tenida en cuenta en la anticipación de las
estrategias posibles de resolución.
Ante estas diversas construcciones similares, el
docente preguntó, si era necesario que la
mediana sea perpendicular al lado AB. Así se abrió el camino para que una alumna dijera:
“- si van moviendo la regla, pueden hacer coincidir la mediana con el lado de 7 cm”
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La idea movilizó a la clase que pudo
terminar la construcción realizada.
Con respecto al segundo problema las
alumnas no tuvieron problema en la
construcción. Midieron el ángulo que
forma la mediana con el lado MN y
trazaron los lados. Se puede observar en
esta imagen en la construcción que la
alumna realizó más de un intento.
Las construcciones de este problema se
realizaron con lápiz y papel e instrumentos
geométricos. En la segunda parte del
problema, las alumnas obtuvieron dos
construcciones diferentes, debido a la
forma en que marcaron el ángulo, ya sea
de
forma
positiva
o
negativa.
Rápidamente se dieron cuenta que los
triángulos estaban “espejados”, lo que les permitió concluir que era posible construir dos
triángulos con los datos indicados.
Si bien el momento del cierre estaba pensado para que usaran dos escenarios previamente
construidos en Geogebra, estos
no hicieron falta usarse ya que
las alumnas no tuvieron dificultad
en construir con el software las
construcciones pedidas, previa
búsqueda en la barra de la
herramienta: Mediana.
Se
puede
observar
que
construyeron el lado AB de 6cm, y luego usando la herramienta circunferencia trazaron desde
cada punto del segmento una circunferencia de 7 centímetros, a partir de la cual dibujaron la
mediana, de 5 cm.
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El segundo problema de la secuencia, también permitió a las alumnas resignificar saberes en
función del primer problema, básicamente lo resolvieron por prueba y error, intentando hacer
coincidir las medianas en el punto medio de los lados, hasta obtener el triángulo pedido.
Problema II: Construí un triángulo con los siguientes datos: Completá los dibujos de modo
que
los
segmentos
sean
medianas
de
un
triángulo.
El segundo escenario creado en Geogebra, no cumplió su propósito debido a que estaban mal
construidas las medianas dadas y “se movían”. Las alumnas advirtieron el error en el
escenario.
La tercera actividad aunque más
larga no resultó compleja, se
procedió a dividir la clase en dos
grupos de tal manera que uno
resuelva
elementos
la
situación
con
tradicionales
de
geometría y el otro grupo usando
Geogebra,
llegaron
ambos
a
grupos
conclusiones
similares.
Problema III Construí los siguientes triángulos:
a) Un triángulo MNO con MN=7cm. La bisectriz de N forma un ángulo de 30° con el lado
MN, y el lado NP=6,5 cm.
b) Un triángulo ABC con el lado AB=4cm y la bisectriz del B que forma un ángulo de 40° con
el lado AB.
c) Un triángulo RST con el lado RS=4,5 cm. La bisectriz de R forma un ángulo de 20° con el
lado RS, y la bisectriz de S forma un ángulo de 30° con el lado RS.
d) Un triángulo XYZ en el cual la bisectriz X forma un ángulo de 40° con el lado XY y el
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ángulo que forman las bisectrices de X e Y es de 120°.
Las conclusiones fueron similares, aunque las construcciones en Geogebra llevaron más
tiempo del previsto, y algunas alumnas las abandonaron.
La secuencia llevó una clase más de la prevista, debido a que el tercer problema implicaba
nuevas competencias en el uso de Geogebra.
5.1 -Evaluación de la secuencia de enseñanza
“La práctica de evaluación puede contribuir a la construcción de conocimientos y no solo a su
control” (Ponce, 2008)
Para la evaluación de la secuencia se aplicó una rúbrica a manera de autoevaluación del
trabajo desarrollado en clase, buscando la toma de
conciencia de los conocimientos que
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dominan y de aquellos que aun no están del todo afianzados. Construyendo así,
responsabilidad sobre sus propios aprendizajes.
Efectivamente se logró que las alumnas tomen conciencia de sus propios avances tanto del
proceso transitado como de los resultados obtenidos. Un aspecto que no se desarrolló pero
que hubiera sido muy interesante es la propuesta de una evaluación de los grupos de trabajo.
Ya que consideramos que fue una instancia que provocó el involucramiento de todos de forma
significativa.
6- Conclusiones: nuevos caminos
La propuesta desarrollada habilitó nuevas formas de abordar y pensar la geometría, dentro del
enfoque de enseñanza de la matemática por resolución de problemas. Si bien la secuencia
estuvo enfocada a poner a las alumnas en el rol de “hacer matemática” en un plano diferente al
que ellas la abordarán con los niños del nivel inicial, la secuencia geométrica fue potente al
vivenciar un proceso de construcción significativa de conceptos geométricos a través de la
exploración, el ensayo y el error de problemas de construcción de triángulos, utilizando
instrumentos geométricos tradicionales y el software GeoGebra. Uno de los mayores logros
obtenidos por parte de las alumnas fue personalizar y despersonalizar el conocimiento
matemático en torno a las propuestas, pasando de conjeturas personales como “-a mí me dio
así” a argumentaciones geométricas como “-es la única posibilidad que existe de construcción”.
Estas últimas expresiones surgieron al llevar las construcciones al software GeoGebra, cuyas
construcciones dinámicas habilitaron nuevas consideraciones y perspectivas que las
construcciones en papel no permiten observar. Sin embargo, un aspecto importante a mejorar
en futuras propuestas es la preparación o puesta a punto de los escenarios que se puedan
emplear desde Geogebra, dado que los presentados no sirvieron de ayuda y las alumnas
realizaron las construcciones sin necesidad de emplearlos.
La autoevaluación en torno a la propuesta sirvió para que las alumnas tomen conciencia del
trabajo y competencias matemáticas implicadas en la secuencia a la vez de dar cuenta del
grado de apropiación de las mismas. Un aspecto que no se tomó en cuenta al diseñar la
autoevaluación es el referido al trabajo colaborativo desarrollado en grupos, el cual
consideramos fue una instancia muy rica y que provocó el compromiso de todos.
Finalmente estamos convencidos que este tipo de propuestas didáctico-matemáticas sirven
como fuertes y significativas matrices de aprendizajes en torno a la didáctica de la matemática,
que luego las futuras docentes podrán contextualizar y llevar a sus aulas.
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7- Bibliografía de consulta






Espiro, M. S. (2003). Geometría Dinámica ¿una nueva manera de enseñar y aprender?,
Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Secretaría de Educación. Dirección de
Currícula (1997). “Documento de actualización curricular N°5. Matemática”
Godino, J. Indicadores de idoneidad didáctica de procesos de enseñanza y aprendizaje
de las matemáticas1. Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de
Granada
http://www.aportes.educ.ar/sitios/aportes/recurso/index?rec_id=107419&nucleo=matem
atica_nucleo_recorrido Visto 16/06/2014
Pochulu, M. D. (2013). Propuesta educativa con TIC: Enseñar con TIC Matemática 1.
Especialización docente de nivel superior en educación y TIC. Buenos Aires: Ministerio
de Educación de la Nación.
Pochulu, M. D. y Espósito, S. (2013). Enseñar con TIC Matemática 2. Especialización
docente de nivel superior en educación y TIC. Buenos Aires: Ministerio de Educación de
la Nación.
Proyecto de mejora para la formación inicial de profesores para el nivel secundario
(2008), INFD.
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8- ANEXO
Problema I
Construí un triángulo con los siguientes datos:
a) Triángulo ABC, con el lado AB de 6 cm, la mediana correspondiente a AB de 5 cm y el lado
AC de 7 cm
b) Triángulo MNO con el lado MN de 4 cm, la mediana correspondiente a ese lado de 5 cm y el
ángulo que forma esa mediana con MN, de 30°
Problema II
Construí un triángulo con los siguientes datos:
Completá los dibujos de modo que los segmentos sean medianas de un triángulo.
Problema III
Construí los siguientes triángulos:
a) Un triángulo MNO con MN=7cm. La bisectriz de N forma un ángulo de 30° con el lado MN, y
el lado NP=6,5 cm.
b) Un triángulo ABC con el lado AB=4cm y la bisectriz del B que forma un ángulo de 40° con el
lado AB.
c) Un triángulo RST con el lado RS=4,5 cm. La bisectriz de R forma un ángulo de 20° con el
lado RS, y la bisectriz de S forma un ángulo de 30° con el lado RS.
d) Un triángulo XYZ en el cual la bisectriz X forma un ángulo de 40° con el lado XY y el ángulo
que forman las bisectrices de X e Y es de 120°.
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Escenarios en Geogebra
Problema I a):
https://drive.google.com/file/d/0ByqkLtcEBib5Y1hpdnU5bEJUajg/edit?usp=sharing
Problema I b):
https://drive.google.com/file/d/0ByqkLtcEBib5TUNyWDNjbzJ4eW8/edit?usp=sharing
Problema II:
https://drive.google.com/file/d/0ByqkLtcEBib5ajBqM3BZX3JQS0E/edit?usp=sharing
Rúbrica Autoevaluación
Alumno:
Secuencia Matemática: Construcción de triángulos a partir de sus
medianas y bisectrices
Siempre
A veces
Nunca
He sido capaz de trabajar en grupo, de forma participativa y colaborando en
la resolución del problema?
He intentado por lo menos dos formas diferentes de resolver cada uno de
los problemas planteados?
He logrado verificar mis respuestas ante el problema?
Pude realizar las construcciones con lápiz y papel usando los instrumentos
geométricos?
Logré usar el programa Geogebra para intentar dar solución a los
problemas?
Si analizo las soluciones dadas a los Problemas I, II y III soy capaz de
darme cuenta de la evolución del contenido?
Si analizo las soluciones dadas a los Problemas I, II y III soy capaz de
darme cuenta de la evolución de mis procedimientos?
Pude analizar los errores que fueron apareciendo y avanzar en mi solución
con ayuda de ellos?
Soy capaz de darme cuenta en qué casos es posible construir un triángulo
según los elementos dados?
Soy capaz de construir triángulos teniendo como único dato las medianas?
Soy capaz de construir triángulos teniendo como único dato las bisectrices?
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