Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial

Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
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ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)
INGENIERO INDUSTRIAL
SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL FLUJO
SANGUÍNEO EN UNA ESTENOSIS
ARTERIAL
Autor: Beatriz Rastrollo Lerma
Directores: Alexis Cantizano González
Mario Castro Ponce
Madrid
Junio de 2011
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
1
ÍNDICE
Capítulo 1
Introducción y planteamiento del proyecto …………………………….3
1.1
Motivaciones……..……..……..……..……..……..……..……..……..……..……………4
1.2
Objetivos……..……..……..……..……..……..……..……..……..……..………………….6
1.3
Metodología……..……..……..……..……..……..……..……..……..……..…………….7
1.4
Recursos……..……..……..……..……..……..……..……..……..……..………………….8
Capítulo 2
2.1
Hemodinámica y estenosis arterial. Fundamentos teóricos…….9
Introducción a la hemodinámica……..……..……..……..……..……..……..…..10
2.1.1 Biomecánica……..……..……..……..……..……..……..……..……..……….…11
2.2.2 Hemodinámica……..……..……..……..……..……..……..……..……..………11
2.2.3 Modelos de flujo sanguíneo……..……..……..……..……..……..……..…15
2.2.4 Algunos conceptos fundamentales en hemodinámica……………17
2.1.5 Referencias históricas……..……..……..……..……..……..……..…………..26
2.2
Estenosis arterial……..……..……..……..……..……..……..……..……..……..…….29
2.3
Estado del arte……..……..……..……..……..……..……..……..……..……..………..32
Capítulo 3
Modelización del caso……..……..……..……..……..……..……..……..…..33
3.1
Modelo de flujo. Comportamiento del flujo sanguíneo……………….…34
3.2
Caracterización de las arterias: rígidas…………………………………………..38
3.2.1 Descripción y propiedades de las arterias……………………………...38
3.2.2 Ensayo de tracción pura hasta rotura de arterias. ………………...41
3.3
Ecuaciones de comportamiento……………………………………………………43
3.3.1 Solución de Womersley…………………………………………………………44
Capítulo 4
CFD: Introducción y validación del método……………………………50
4.1 Historia de la dinámica de fluidos computacional………………………………51
4.2 Método de discretización de los volúmenes finitos……………………………53
4.3 Descripción de OpenFOAM…………………………………………………………………54
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
4.4 Validación del método: simulaciones básicas………………………………………57
4.4.1 Poiseuille……………………………………………………………………………………57
4.4.2 Womersley…………………………………………………………………………………60
Capítulo 5
Simulaciones numéricas del caso……………………………………………65
5.1 Geometría…………………………………………………………………………………………..67
5.2 Malla…………………………………………………………………………………………………..70
5.3 Influencia de la frecuencia cardíaca sobre el flujo sanguíneo en una
estenosis arterial………………………………………………………………………………………73
5.3.1 Análisis de velocidad y presión…………………………………………………..75
5.3.2 Análisis del esfuerzo cortante…………………………………………………….81
5.4 Influencia del grado de oclusión sobre el flujo sanguíneo en una
estenosis arterial…………………………………………………………………………….....85
5.4.1 Análisis de velocidad y presión…………………………………………………..85
5.4.2 Análisis del esfuerzo cortante…………………………………………………….90
Capítulo 6
Conclusiones………………………………………………………………………….94
6.1 Influencia de la frecuencia cardíaca sobre el flujo sanguíneo en una
estenosis arterial………………………………………………………………………………………95
6.2 Influencia del grado de oclusión sobre el flujo sanguíneo en una
estenosis arterial……………………………………………………………………………………..98
6.3 Futuras líneas de investigación…………………………………………………………..100
Bibliografía …………………………………………………………………………………………….…..101
2
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN Y PLANTEAMIENTO DEL PROYECTO
3
4
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
1.1
Motivación
La Hemodinámica es la parte de la Biomecánica que estudia el
flujo sanguíneo en el sistema circulatorio, basándose en los principios
físicos de la dinámica de fluidos. Estudia el movimiento de la sangre
(campos de velocidades y presiones) y las fuerzas que genera el flujo en
los elementos con los que interactúa (vasos sanguíneos, corazón).
En este proyecto se ha estudiado la simulación del flujo sanguíneo
en una arteria con estenosis. La estenosis es un estrechamiento localizado
de la arteria causado típicamente por aterosclerosis [FARR95]. La
formación de placa aterosclerótica en arterias coronarias depende, entre
otras variables, de la hemodinámica del sistema arterial. En este proyecto
se realizarán una serie de simulaciones numéricas de flujo sanguíneo
mediante CFD de una arteria con estenosis.
El interés por simular el comportamiento del flujo de la sangre a
través de las arterias
se debe a que las enfermedades del sistema
circulatorio constituyen la primera causa de muerte en Europa y Estados
Unidos, entre otros lugares [INE_08] [OMS_08]. Se hace necesario, por
tanto, un estudio en profundidad de los factores que determinan la
formación de la placa de ateroma que provoca el cierre parcial o total de la
arteria y el endurecimiento de sus paredes, y el lugar más desfavorable
donde se puede desarrollar dicha placa.
Mediante
el
uso
de
software
de
Mecánica
de
Fluidos
Computacional (CFD), este estudio pretende proporcionar información
relevante acerca de las variaciones de presión y distribución de esfuerzos
cortantes en el flujo de una arteria con estenosis, ayudando así a entender,
5
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
predecir y solucionar este tipo de enfermedades vasculares. En nuestro
caso utilizaremos como herramienta OpenFOAM [OPEN11], que es un
software de cálculo en 3D que puede simular y resolver numéricamente
flujos
complejos
transmisión
de
electromagnetismo.
incluyendo
calor,
reacciones
problemas
químicas,
estructurales
turbulencia
o
y
incluso
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
1.2
6
Objetivos
El principal objetivo de este proyecto es caracterizar el flujo
sanguíneo en una arteria con estenosis, y determinar así la distribución de
esfuerzos cortantes en el flujo de la arteria o el perfil de velocidades para
poder prevenir o paliar esta enfermedad.
Para ello, se marcaron los
siguientes puntos:
-
Familiarizarse con los conceptos básicos de la hemodinámica y las
características del flujo sanguíneo.
-
Establecer y validar hipótesis sobre el fluido y la pared arterial para
modelar el problema a estudiar. Ecuaciones de comportamiento.
-
Aprender a trabajar en Linux con el software OpenFOAM:
aprender los comandos y aprender a programar los modelos
hemodinámicos.
-
Programar simulaciones clásicas (flujo laminar –Poiseuille-, flujo
oscilatorio –Womersley-) y comprobar la adecuación del software
para estudiar simulaciones del flujo sanguíneo en arterias.
-
Programar la simulación del flujo sanguíneo en una arteria con
estenosis y analizar los resultados obtenidos. Determinar qué
parámetros son los más influyentes, valores críticos, zonas más
desfavorables.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
1.3
7
Metodología
Se estudia el comportamiento del flujo sanguíneo en una arteria con
estenosis. Para ello, en primer lugar, se realizó una revisión bibliográfica.
La revisión de la bibliografía relacionada con el proyecto se hizo de forma
más profunda durante los primeros meses de trabajo, aunque no dejó de
hacerse durante toda la realización del proyecto. Se revisaron tesis,
artículos y otros documentos sobre temas de Hemodinámica relacionados
con este problema en particular.
Fue necesario un aprendizaje del software. El software utilizado,
OpenFOAM, requiere el uso del servidor Linux, por lo que fue necesario
familiarizarse con este sistema y su software. Para ello, se llevaron a cabo
unas simulaciones clásicas
y se comprobó la validez del programa
comparando resultados teóricos y experimentales. A través de los
programas VNC, Putty y Xming se pudo acceder desde un PC (Windows),
al servidor Dell PowerEdge R300 con procesador Dual Core Xeon de 8
núcles
que utiliza Linux con arquitectura 64 bits que permite la
paralelización del software OpenFOAM.
Después se llevaron a cabo las simulaciones del caso objeto de
estudio del PFC. Se define la geometría, el mallado y se ejecutaron las
simulaciones del flujo sanguíneo en una arteria con estenosis.
Por último se realizó la parte de análisis de resultados y
conclusiones. Una vez programadas y ejecutadas las simulaciones, los
resultados se analizaron mediante Matlab. Se estudiaron los resultados
obtenidos, analizando los parámetros más influyentes, valores críticos y en
qué zonas se tienen más complicaciones.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
Recursos
1.4
A lo largo del proyecto se utilizaron los sistemas operativos
Windows y Linux, este último de software libre. En concreto, los
softwares utilizados fueron:
o En Windows:
-
Microsoft Word 2007 para la elaboración de los documentos.
-
Microsoft Excel 2007 para la realización de cálculos y gráficos
sencillos.
-
Microsoft PowerPoint 2007 para la elaboración de figuras
-
ANSYS versión 12.0.1 para la creación de la geometría y el mallado
de la estenosis.
-
Matlab para el análisis de resultados.
-
Refworks para la bibliografía.
o En Linux:
-
OpenFOAM para las simulaciones del flujo.
-
Paraview para la visualización de los resultados.
8
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
CAPÍTULO 2
HEMODINÁMICA Y ESTENOSIS ARTERIAL.
FUNDAMENTOS TEÓRICOS
9
10
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
2.1
Introducción a la hemodinámica
En este capítulo se hará una breve introducción a la biomecánica y
a
la
hemodinámica,
explicando
el
funcionamiento
del
sistema
cardiovascular. Se comentará cuáles son las actuales tendencias en la
investigación del comportamiento del flujo sanguíneo, y, por último, se
describirán los conceptos fundamentales necesarios para entender el
estudio del flujo sanguíneo.
2.1.1
Biomecánica
La biomecánica es la ciencia que estudia la aplicación de las leyes
de la mecánica a las estructuras y los órganos de los seres vivos. Es una
ciencia multidisciplinar: se apoya en la biología, la mecánica y la
ingeniería.
La biología estudia los fenómenos vitales y se encarga de la parte
experimental, aportando valores reales a los parámetros físicos; mientras
que la mecánica y la ingeniería proponen modelos teóricos y matemáticos
que permiten simular sistemas biológicos.
La biomecánica ha dado lugar a numerosas aplicaciones en
medicina: nuevos métodos de diagnóstico, prótesis, válvulas cardiacas.
Actualmente, una de las líneas de investigación más interesante es la
resolución computacional de modelos numéricos cada vez más complejos
y realistas.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
2.1.2
11
Hemodinámica
La Hemodinámica es la parte de la Biomecánica que se encarga
del estudio del flujo sanguíneo en el sistema circulatorio, basándose en los
principios físicos de la dinámica de fluidos. Estudia el movimiento de la
sangre (campos de velocidades y presiones) y las fuerzas que genera el
flujo en los elementos con los que interactúa (vasos sanguíneos, corazón).

Descripción del sistema cardiovascular
El sistema cardiovascular está formado por el corazón y los vasos
sanguíneos y se encarga de dar un suministro continuo de oxígeno y
nutrientes a todos los órganos y tejidos del cuerpo. El corazón es un
órgano muscular hueco que actúa en el organismo como una bomba que
aspira hacia las aurículas la sangre que circula por las venas y la impulsa
desde los ventrículos hacia las arterias
Los vasos sanguíneos son las
arterias, los capilares y las venas. Las venas transportan sangre a más baja
presión que las arterias y tienen en su interior válvulas para asegurar que
la sangre vaya hacia el corazón, impidiendo que retroceda.
Hay dos tipos de circulación que realizan dos trayectorias
distintas a través de dos sistemas de vasos independientes:
-
Circulación mayor o circulación somática o sistémica: El recorrido
de la sangre comienza en el ventrículo izquierdo del corazón, con
sangre limpia cargada de oxígeno, y se extiende por la arteria aorta
y sus ramas arteriales hasta el sistema capilar, llegando a todos los
tejidos para realizar el suministro. Después regresa por las venas
que contienen sangre pobre en oxígeno. Estas desembocan en las
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
12
dos venas cavas (superior e inferior) que terminan en la aurícula
derecha del corazón.
-
Circulación menor o circulación pulmonar o central: es la que se
encarga de los gases de desecho y tomar nuevo oxígeno. La sangre
pobre en oxígeno parte desde el ventrículo derecho del corazón por
la arteria pulmonar que se bifurca en dos troncos, uno para cada
pulmón. En los capilares alveolares pulmonares la sangre se
oxigena a través de un proceso conocido como hematosis y se
reconduce por las cuatro venas pulmonares que llevan la sangre
rica en oxígeno a la aurícula izquierda del corazón.
Figura 1: Tipos de circulación
La actividad del corazón es cíclica y continua. El ciclo cardíaco es
el conjunto de acontecimientos eléctricos, hemodinámicas, mecanismos,
acústicos y volumétricos que ocurren en las aurículas, ventrículos y
grandes vasos, durante las fases de actividad y de reposo del corazón. El
ciclo cardiaco comprende el período entre el final de una contracción,
hasta el final de la siguiente contracción. Tiene como finalidad producir
una serie de cambios de presión para que la sangre circule.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
13
Fases del ciclo cardiaco:
1.
Fase de llenado: tenemos válvulas sigmoideas aórtica y
pulmonar
(cerradas),
y
válvulas
auriculoventriculares
denominadas tricúspide y mitral (abiertas). Durante esta fase la
sangre pasa desde la aurícula al ventrículo, es el principio de la
diástole (relajación de los ventrículos).
2.
Fase de contracción isométrica ventricular: en esta fase
comienza la sístole (contracción ventricular) va a cerrar las
válvulas auriculoventriculares.
3.
Fase de expulsión: es la sístole propiamente dicha, en donde
hay una contracción ventricular (cerrados) abriéndose las
válvulas sigmoideas, existe una salida de sangre a la aorta y a la
pulmonar.
4.
Fase de relajación ventricular: los ventrículos se relajan, las
válvulas
sigmoideas
se
cierran
y
las
válvulas
auriculoventriculares se abren. El ciclo completo dura unos 0,8 s
(en reposo), por lo que se considerará una frecuencia cardíaca
de 1,2 Hz en este estudio.
La trayectoria de la circulación mayor es considerablemente más
larga que la de la circulación menor y está, además, mucho más
ramificada. Por este motivo, las presiones requeridas para cada una de
ellas son diferentes, siendo más elevadas las correspondientes a la
circulación mayor.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
14
La presión arterial sistólica corresponde al valor máximo de la
tensión arterial en sístole (cuando el corazón se contrae). Se refiere al
efecto de presión que ejerce la sangre eyectada del corazón sobre la pared
de los vasos. La presión arterial diastólica corresponde al valor mínimo de
la tensión arterial cuando el corazón está en diástole o entre latidos
cardíacos. Depende fundamentalmente
de la resistencia vascular
periférica. Se refiere al efecto de distensibilidad de la pared de las arterias,
es decir el efecto de presión que ejerce la sangre sobre la pared del vaso.
La presión de pulso es la diferencia entre la presión sistólica y la diastólica.
Características
vascular
del
sistema
Caudal
6 l/min
Δp
40 mmHg
f
1,2 Hz
D art
Entre 0,1 mm
(arteriolas) a 2
o 3 cm (aorta)
Tabla 1 Características del sistema vascular [MAZU92]
En condiciones normales, la presión de pulso es de unos 40 mm
Hg y el caudal en reposo unos 5 l/min, pudiendo este último llegar a
alcanzar los 35 l/min en situaciones que requieran un gran esfuerzo. El
valor de caudal en reposo se ha calculado considerando una pulsación de
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
15
72 latidos/min y un volumen bombeado de 70 ml/bombeo. La velocidad
de la sangre es máxima en la aorta, en torno a los 48 cm/s (siempre en
condiciones normales) y decrece en los vasos posteriores debido a que el
aumento de ramificaciones hace que el caudal correspondiente a cada vaso
disminuya más rápidamente que el área de cada vaso. Las arterias tienen
un diámetro de entre 2 y 3 cm.
2.1.3
Modelos de flujo sanguíneo
El estudio del flujo sanguíneo resulta cada vez más importante por
sus
aplicaciones
cardiovasculares.
a
la
prevención
y
curación
Desde hace dos décadas, la
de
enfermedades
investigación de la
hemodinámica sigue dos líneas:
-
Simplificando a una dimensión, se estudia la impedancia vascular
correspondiente a un gran número de vasos sanguíneos. Este
enfoque, similar al de impedancias eléctricas y utilizado en
modelos matemáticos, estudia el sistema vascular de forma global
pero no sirve para estudiar el flujo en zonas locales.
-
Caracterizando la hemodinámica localmente en un número
pequeño de arterias, se estudia las enfermedades vasculares y el
crecimiento y adaptación de los vasos sanguíneos. Los modelos de
flujo sanguíneo detallados son importantes en áreas localizadas
donde
se
producen
alteraciones
de
flujo:
ramificaciones,
bifurcaciones o curvatura de arterias (coronarias, femorales,
carótidas y abdominales). En estas zonas se produce una excesiva
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
16
formación de placa debido a una alta velocidad de sedimentación
de partículas y niveles bajos de tensión en las paredes.
El uso de modelos experimentales proporciona grandes avances
en la Hemodinámica. Sin embargo, estos procesos son lentos, caros y que
conllevan varias limitaciones:
-
La sangre es un fluido complejo y resulta imprescindible el uso de
fluidos similares para poder llevar a cabo un estudio realista y
extraer conclusiones aplicables a la vida real. Sin embargo, no se
consigue usar fluidos de la misma complejidad y características de
la sangre.
-
Construir modelos con las mismas propiedades mecánicas y de
transporte que los vasos sanguíneos no resulta fácil. Los materiales
más usados actualmente son silicona o cristal, ya que consiguen
simular con más precisión el comportamiento real de los vasos
sanguíneos.
-
La información extraída se limita a pocos perfiles de velocidades y
presiones, no podemos obtener un amplio rango de variaciones
escalares, vectoriales y tensoriales de presión, velocidad y tensión
viscosa.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
2.1.4
17
Algunos conceptos fundamentales en hemodinámica
En este apartado se definirán algunos conceptos fundamentales
para la comprensión del comportamiento del flujo sanguíneo y la
adecuación de las hipótesis que se describirán en el capítulo siguiente para
modelar tanto el fluido como la pared arterial.

Viscosidad
La viscosidad es una medida cuantitativa de la resistencia del
fluido al fluir. Determina la velocidad de deformación del fluido cuando
se le aplica un esfuerzo cortante. Los fluidos para los que el esfuerzo
aplicado es proporcional al gradiente de velocidad se denominan fluidos
newtonianos.
La sangre está formada por glóbulos rojos, glóbulos blancos y
plaquetas (en una proporción de un 45% aproximadamente del volumen
total) y por plasma, que está fundamentalmente constituido por agua. La
sangre es unas cinco veces más viscosa que el agua. [BEST93].
La viscosidad de la sangre depende del plasma, del porcentaje del
volumen de toda la sangre que está compuesta de glóbulos rojos
(hematocrito) y de la deformabilidad, forma y tamaño de los glóbulos
rojos. Se trata de una relación compleja que ha sido objeto de numerosos
estudios. Se puede afirmar que cuanto más elevada es la cantidad de
glóbulos rojos presentes en la sangre mayor es su viscosidad. [MILN89].
En este proyecto se considerará la sangre como un fluido
newtoniano esto es, viscosidad independiente de la velocidad relativa de
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
18
las capas y del diámetro de los vasos sanguíneos. Las hipótesis del
comportamiento del flujo se desarrollarán en el capítulo tercero.
Figura 2 Viscosidad de un fluido newtoniano

Ley de Poiseuille
Poiseuille estudió el flujo laminar, continuo y uniforme de un
fluido newtoniano en un conducto rígido de sección circular constante,
relacionando el caudal con la variación de presión:
(1)
donde ΔP es la caída de presión, L es la longitud del tubo, μ es
la viscosidad dinámica, Q es la tasa volumétrica de flujo y r el radio.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
19
Figura 3 Perfil de velocidad parabólico
Demostró que el perfil de velocidad es parabólico, con velocidad
nula en las paredes y alcanzando la velocidad máxima en el centro.
Además concluyó que el esfuerzo transversal τ no depende de la
viscosidad:
(2)

Ecuación de Bernoulli
Se trata de la ecuación de conservación de la energía para flujo
estacionario: despreciando las pérdidas por fricción y por turbulencia, la
energía total es constante.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
20
Figura 4 Flujo en un estrechamiento
En una estenosis (estrechamiento), sin embargo, la energía total no
se conserva debido a las pérdidas de presión por fricción y turbulencias.
Las pérdidas de presión pueden ser calculadas a través de la ecuación de
Young&Tsai que, aunque fue desarrollada para flujo continuo, también es
válida en los casos de flujo oscilatorio:
(3)
El primer término representa las pérdidas debidas a esfuerzos
viscoso, hallado mediante la aplicación de la ley de Poiseuille en
estrechamientos, y el segundo representa las pérdidas por turbulencia y se
deriva de las ecuaciones de mecánica de fluidos en divergencias abruptas.
El coeficiente Ki se calcula empíricamente y tiene un valor
de 1,5
aproximadamente.
La relación entre la pérdida de presión y el caudal es cuadrática: la
resistencia en una estenosis aumenta con el caudal. El término lineal se
debe, como se ha dicho, a las pérdidas por los efectos viscosos, mientras
que el término cuadrático es debido a las turbulencias. En estenosis severa
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
21
(áreas de oclusión superiores al 85%), son las pérdidas por turbulencia las
que tendrán mayor importancia.

Turbulencia
El número de Reynolds es un número adimensional que mide la
relación entre la inercia y los esfuerzos viscosos. Para valores de Reynolds
bajos dominarán los esfuerzos viscosos y se tendrá régimen laminar. A
medida que el caudal vaya aumentando, se irán produciendo olas y
vórtices, hasta llegar a régimen turbulento. En régimen turbulento se
requiere mayor diferencia de presión para un caudal determinado. Es
menos eficiente porque parte de la energía se pierde en el movimiento
errático.
El Reynolds crítico de transición a régimen turbulento es 2200
aproximadamente para flujo estacionario. Sin embargo, para flujos
pulsátiles, como es el caso del flujo sanguíneo, el Reynolds crítico aumenta
y las turbulencias tardarán más en producirse. En nuestro sistema
sanguíneo se producirán turbulencias con más facilidad cuando estemos
realizando ejercicio físico intenso, ya que el caudal aumentará entorno al
500%. También tendremos más probabilidad de alcanzar régimen
turbulento en una estenosis, especialmente si se trata de una divergencia
muy abrupta, ya que se podrán producir turbulencias a Re muy bajos
(entorno a 50).

Resistencia e Inertancia
La Resistencia es una medida cuantitativa de la relación entre la
variación de presión y el caudal. Depende de la geometría del vaso
sanguíneo (longitud, diámetro) y de la viscosidad d la sangre.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
22
(4)
La Inertancia L relaciona la variación de presión con la variación
del flujo, midiendo la „masa efectiva‟. Es otro tipo de resistencia, es la
oposición que presentan los vasos sanguíneos al cambio de velocidad.
(5)
Como la densidad de la sangre es prácticamente constante, la
inductancia L depende básicamente de la geometría del vaso sanguíneo.
Figura 5 Inertancia: resistencia de los vasos a la
variación de velocidad
La Inertancia cobra mucha importancia en flujo oscilatorio,
especialmente cuando el flujo se está acelerando o decelerando.
Mientras que la resistencia depende inversamente del cuadrado
del radio del vaso sanguíneo, la inductancia varía con la inversa del radio
elevado a la cuarta . Así, en venas pequeñas tiene más importancia la
resistencia que la inductancia, pero en venas grandes, como las arterias
objeto de este estudio, es la inductancia el factor más relevante. [FARR95].
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial

23
Teoría del flujo oscilatorio
El perfil de velocidad de un flujo oscilatorio depende del
conducto, de la frecuencia de oscilación y de la densidad y viscosidad del
fluido. Esto se recoge en el parámetro adimensional de Womersley, que
expresa la importancia de la inercia frente a los efectos viscosos.
(6)
En el caso de tener valores del parámetro de Womersley bajos, que
es lo que ocurre en vasos estrechos y valores bajos de frecuencia,
dominarán los esfuerzos viscosos y se tendrá un perfil de velocidades
parabólico, gobernado por la ley de Poiseuille. Por el contrario, para
valores de
elevados, mayores que 10, domina la inercia sobre los efectos
viscosos y el perfil de velocidades se vuelve plano. El flujo se considerará
entonces oscilatorio y se deberá tener en cuenta el valor de la inertancia.
Si el parámetro de Womersley toma valores intermedios se tendrán que
tener en consideración tanto la resistencia como la inertancia.
Figura 6 Perfiles de velocidad de flujos oscilatorios
24
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
La relación entre el gradiente de presión oscilatorio y el caudal se
determina mediante las ecuaciones de Navier-Stokes, con las mismas
hipótesis que para la ley de Poiseuille, esto es, conducto rígido y
viscosidad newtoniana. Se concluye que el flujo es también laminar
aunque oscilatorio.
Supongamos un gradiente local de presión en forma de onda
sinusoidal con amplitud y frecuencia conocida. El perfil de velocidad del
fluido será entonces del tipo
(7)
donde y es la posición radial relativa
y J la función de Bessel.
El caudal se podrá expresar mediante la siguiente expresión:
(8)
El gradiente de presión producido por el corazón es una serie de
ondas, por lo que el perfil de velocidad es la suma de varios harmónicos.
La relación entre ambos es la impedancia longitudinal.
Los efectos producidos por la oscilación del flujo en el perfil de
velocidad no son grandes. Las formas de onda de presión y caudal vienen
principalmente determinadas por ramificaciones, no uniformidades, etc., y
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
25
podemos aproximar los vasos sanguíneos mediante inertancias y
resistencias. Sin embargo,
importante
al
estudiar
la teoría de flujo oscilatorio es realmente
fenómenos
locales
(como
los
esfuerzos
transversales en las paredes).

Elasticidad y Compilance
En materiales biológicos, el módulo de elasticidad de Young es
una curva. Cuanto mayor es la tensión que soporta más rígido se hace el
material.
El tejido vascular está compuesto por Elastina, una proteína que
confiere elasticidad a los tejidos y cuyo módulo de Young E es constante, y
por fibras de Colágeno, que son muy rígidas (unas 1000 veces más que la
Elastina). Para valores bajos de tensión, la elasticidad de las venas se
asemeja a la de la Elastina, mientras que para altos valores de tensión
predomina la rigidez del colágeno.
Figura 7 Elasticidad de la elastina y del colágeno
El módulo de Young
es una propiedad material y varía en
función de tensión (esfuerzo). La diferencia de propiedades elásticas entre
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
venas y arterias se debe a las
26
diferencias estructurales (variaciones del
grosor de la pared).
La elasticidad de las arterias decrece con la edad, lo que supone
un aumento de la presión arterial. En este estudio se considerará las venas
como rígidas, hipótesis aceptada en arterias enfermas y de edad avanzada,
que son las que van a estudiarse.
2.1.5
Referencias históricas
- En el siglo IV a.C. Aristóteles dedujo la comunicación de los vasos
sanguíneos con el corazón („para transferir el pulso animal‟) y con el
estómago (para extraer nutrientes), aunque no reconoció la circulación de
la sangre.
- En el siglo III a.C. Praxágoras distinguió entre arterias, que son las que
impulsan la sangre y tienen pulso, y venas.
- En el sligo
II d.C. Galeno concluyó que la presión del corazón se
transmite a través de venas y arterias, considerando que forman un
circuito cerrado.
- William Harvey (1579 – 1657) propuso la circulación de la sangre por
medio del sistema cardiovascular, impulsado por la acción de bombeo del
corazón. El flujo sería continuo y unidireccional, y la sangre retornaría al
corazón porque es un circuito circular cerrado.
- A mediados del siglo XVII, Malpighi y Van Leeuwenhoek descubrieron
la existencia de capilares que unen venas y arterias, demostrando así la
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
27
teoría de Harvey de que el flujo es unidireccional y el sistema circulatorio
es cerrado.
- Stephen Hales (fisiólogo, químico e inventor inglés) fue el primero, en
1727 en determinar la presión sanguínea arterial cuando midió el
crecimiento de una columna de sangre en un tubo de cristal metido en una
arteria. Constató que el flujo es pulsátil y desarrolló
el concepto de
resistencia periférica vascular (arteriolas y capilares).
- En el siglo XVIII se explicó la capacidad del sistema circulatorio para
almacenar energía, debido a la elasticidad de las arterias, y de disiparla
(comportamiento viscoso de la sangre).
- Poiseuille estudió el flujo laminar, continuo y uniforme de un fluido
newtoniano en un conducto de sección circular constante y rígido. En
1840 y 1846 formuló el modelo matemático que relacionando el caudal
con la variación de presión.
- En el siglo XIX Young relacionó la elasticidad de las arterias y la
velocidad de propagación de la onda pulsátil. Moens determinó
empíricamente la velocidad de transmisión de una onda de presión en un
tubo elástico de pared delgada con fluido incompresible y no viscoso.
- El estudio del flujo sanguíneo en los siglos XVIII y XIX impulsó
numerosos avances en mecánica de sólidos y fluidos, pero no fue hasta el
siglo XX cuando, con
experimentales,
sanguíneo.
la llegada de los métodos matemáticos y
se pudo describir la naturaleza pulsátil del flujo
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
28
- A principios del siglo XX, se establece la ley de Frank – Starling que
relaciona directamente el volumen del flujo sanguíneo con el volumen
del corazón. Esto significa que la fuerza de contracción aumentará a
medida que el corazón es llenado con mayor volumen de sangre,
incrementándose la carga sobre la fibra muscular.
Se
popularizó
el
desarrollo
de
los
modelos
Windkessel
(que
significa depósito elástico en alemán). El efecto de Windkessel es el término
usado en medicina para describir el efecto del retroceso de las arterias
grandes, que contienen fibras elásticos en sus paredes. Estas arterias
aumentan sus diámetros cuando aumenta la presión arterial y disminuya
sus diámetros cuando la presión arterial baja y el caudal aumenta.
- A mediados del siglo XX Womersley, a partir de los términos lineales
de las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido incompresible en un
conducto circular rígido, dedujo una ecuación para el flujo sometido a una
función sinusoidal de presión.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
2.2
29
Estenosis arterial
Figura 8 Formación de placa en una estenosis
La estenosis aterosclerótica consiste un estrechamiento localizado
de la arteria causado por la acumulación de placa de ateroma, esto es,
acumulación de sustancias lípidas, lo que dificulta el flujo sanguíneo. La
estenosis aterosclerótica (a partir de ahora se denominará solamente
estenosis) provoca, además, un endurecimiento de la arteria afectada.
La estenosis se cuantifica por la relación de áreas As/A0,
normalmente con el porcentaje de área taponada, lo que se denomina
grado o severidad de la estenosis:
G=
(9)
Como se ha comentado anteriormente, en situaciones de estenosis
se producen pérdidas de presión producidas por los esfuerzos viscosos y
las turbulencias. En estenosis severa (áreas de oclusión superiores al 85%),
son las pérdidas por turbulencia las que tendrán mayor importancia.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
30
La estenosis es una enfermedad que tiende a localizarse en zonas
donde la tensión tangencial toma valores bajos, como suele ocurrir
típicamente en los bordes exteriores de las bifurcaciones y en arterias
coronarias, renales, cervicales intracraneales y en la aorta. Algunos
factores de riesgo son el tabaquismo, la obesidad o el sedentarismo. La
tensión tangencial, llamada frecuentemente tensión de cizalladura en
ambientes clínicos, es una fuerza que actúa sobre la superficie interior del
vaso sanguíneo. [COTR95], [PACH03].
La relación entre la formación de placa de ateroma y la tensión
tangencial ha sido objeto de estudio desde los años 70. [MALE99].
Originariamente se creía que era el elevado valor de esta tensión el que
provocaba un desarrollo excesivo de la placa como mecanismo de defensa
al daño que se estaba produciendo al endotelio. Más tarde surgió la
segunda teoría, contradictoria, que defiende que el crecimiento de placa se
produce en zonas afectadas por una tensión tangencial baja. Esta segunda
teoría puede explicarse mediante le ley de Poiseuille:
(10)
donde
es la tensión tangencial, µ es la viscosidad, Q el caudal y R el
radio del vaso sanguíneo. Como se puede comprobar, disminuyendo la
sección del vaso sanguíneo mediante la formación de placa se conseguirá
elevar el valor de la tensión tangencial. [SHAA00].
En presencia de esfuerzos cortantes elevados, las placas de ateroma
pueden presentar ruptura. Si esto ocurre, el contenido descubierto del
ateroma estimula la coagulación por medio de la agregación y activación
plaquetaria, iniciada por la adherencia de las plaquetas en la superficie del
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
31
endotelio con un rápido reclutamiento de plaquetas adicionales gracias a
la liberación de adenosín difosfato (ADP), [SHAH03], [RIOF02], [VERE02].
La
segunda
hipótesis
ha
sido
confirmada
mediante
numerosos
experimentos llevados a cabo en las dos últimas décadas. La explicación
médica a este mecanismo está relacionada con las reacciones químicas que
se producen en el endotelio, órgano que actúa simultáneamente como
activador e inactivador de sustancias que provocan la formación de la
placa de ateroma. [MALE99], [PACH03].
Interesa, por tanto, determinar las zonas de esfuerzo cortante
máximo y mínimo
Figura 9 Desarrollo de la placa de ateroma
32
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
Las simulaciones computacionales permiten obtener el valor de la
tensión tangencial y detectar en qué zonas es peligrosamente bajo o
elevado. Además, posibilita el análisis de otras propiedades mecánicas
que guardan relación con enfermedades cardiovasculares, como es el caso
de la presión. Tiene especial interés clínico el estudio de las variaciones
locales de presión ya que están directamente relacionadas con la tensión
circunferencial en la placa aterosclerótica y si esta tensión llega a superar
el valor crítico de 300 kPa, [CHEN93], la placa se vuelve inestable y puede
producirse su ruptura. [OHAY01].
2.3
Estado del arte
Para poder prevenir la formación de placa y aterosclerosis
(causantes de la estenosis arterial), es necesario conocer los factores y
fuerzas hemodinámicas. Si anteriormente este estudio se limitaba a la
observación del sistema cardiovascular humano y experimentación
animal, hoy en día las líneas de investigación están orientadas a la
aplicación
de
técnicas
computacionales
que
puedan
simular
el
funcionamiento del flujo sanguíneo y resolver las complejas ecuaciones
que rigen la dinámica de fluidos. Las conclusiones obtenidas se aplicarán
en el ámbito de la medicina para prevenir este tipo de enfermedades.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
CAPÍTULO 3
MODELIZACIÓN DEL CASO.
33
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
3.1
34
Modelo de flujo. Comportamiento del flujo sanguíneo.
Figura 10 Composición de la sangre
La sangre es un líquido formado por glóbulos rojos, glóbulos
blancos, plaquetas y plasma cuya temperatura normal es de unos 36,5 ºC.
De esta composición se deduce que el modelo constitutivo que se
proponga para el flujo sanguíneo ha de reflejar su carácter viscoso.
[FUNG97].
La incompresibilidad de la sangre viene determinada por el hecho
de que el plasma (que supone un 55% del volumen total de la sangre) esté
constituido principalmente por agua, que es incompresible. El carácter
viscoso se intuye fácilmente ya que las partículas sólidas suspendidas en
la sangre ofrecen resistencia al avance del flujo debido a que rozan entre
sí, lo que confiere a la sangre una viscosidad más elevada que la del agua.
La viscosidad ha sido muy estudiada y da lugar a la existencia de varias
teorías en cuanto al comportamiento de la sangre.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
35
La viscosidad del plasma aislado sí que es constante (alrededor de
los 0.012 Poise), pero lo que hace variar la viscosidad de la sangre es el
cómo se estructuran los glóbulos rojos. Los glóbulos rojos tienen la
capacidad de deformarse y son además capaces de almacenar energía. La
viscosidad de la sangre varía en función del gradiente de deformación γ y
de su derivada temporal (velocidad del gradiente de deformación o
gradiente de velocidad ). Es interesante destacar que en los vasos más
pequeños el hematocrito (fracción de glóbulos rojos) es distinto que en los
vasos grandes dando lugar a una viscosidad dependiente de la geometría.
Figura 11 Viscosidad del plasma y de la sangre
En los casos en los que el gradiente de velocidad es bajo ocurre el
siguiente fenómeno: los glóbulos rojos se agregan formando un único
cuerpo –rouleaux- que hace aumentar la viscosidad de la sangre, tanto más
cuanto mayor sea la cantidad de glóbulos rojos [MILN89]. Además, las
fuerzas que se producen para deshacer los rouleaux provocan una notable
deformación elástica en los glóbulos rojos y un cambio de su orientación,
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
36
lo que conlleva un almacenamiento de energía elástica en el fluido
[PIET05]. En estos casos el modelo de flujo que se adecuaría más sería un
modelo viscoelástico, como el propuesto por Einstein [WEST05].
Figura 12 Modelo viscoelástico de Einstein en función del porcentaje de
glóbulos rojos en la sangre
Cuando el valor del gradiente de velocidad es suficientemente
elevado (se suele aceptar superiores a 100 s-1) los glóbulos rojos se alinean
con el flujo y no se forman agregados – rouleaux- , por lo que la viscosidad
ya no depende de del gradiente de deformación
y puede suponerse
constante. En esta situación es coherente considerar la sangre como un
fluido newtoniano.
Asumiendo la hipótesis de distribución parabólica de velocidad
(que, en principio, sólo es estable para números de Reynolds bajos), se
puede calcular de forma sencilla el gradiente de velocidad a partir de la
velocidad media y del diámetro del vaso sanguíneo:
37
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
γ
(11)
De esta manera, se obtiene la siguiente estimación del valor medio
del gradiente de velocidad:
Vaso
γ (s-1)
Aorta
155
Arterias
900
Arteriolas
8000
Capilares
1000
Vénulas
800
Venas
160
Vena cava
100
Tabla 2 Gradiente de velocidad en los distintos vasos sanguíneos
En arterias medianas, que son precisamente las que son objeto de
este
estudio,
se
tendrá
la
segunda
situación,
esto
es,
valores
suficientemente elevados del gradiente de velocidad por lo que la sangre
se comporta como un fluido newtoniano.
Sin embargo, en vasos
sanguíneos estrechos (microcirculación), se debe considerar el carácter no
newtoniano de la sangre.
38
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
3.2
Caracterización de las arterias: rígidas.
3.2.1
Descripción y propiedades de las arterias.
Las arterias son conductos membranosos estructurados en tres
capas concéntricas: la capa íntima, la media y la adventicia:
-
Capa
íntima:
La
capa
interna
está
constituida
por
células endoteliales que son las que están en contacto directo
con el flujo sanguíneo soportando así la tensión tangencial
del fluido. Esta capa está presente en todos los vasos (arterias
o venas) con idéntica composición, por lo que la clasificación
de los vasos depende de las otras dos capas.
-
Capa media: Esta capa intermedia está compuesta por fibras
musculares lisas dispuestas de forma concéntrica, fibras
elásticas y fibras de colágeno, en proporción variable según
el tipo de arteria Es la capa más gruesa de las tres y la que
tienen mayor capacidad de soporte de la estructura. En las
arterias, la media es una capa de aspecto compacto y de
espesor regular. En aquellas más próximas al corazón esta
capa presenta un grosor mayor debido a los elevados valores
de presión interna que tienen que soportar.
-
Capa adventicia: Es la capa más externa y está formada
por tejido
conjuntivo laxo,
compuesto
esencialmente
por fibroblastos, colágeno, sustancia intercelular y elastina.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
39
Figura 13 Composición del tejido arterial
Los límites entre las tres capas están sensiblemente definidos en
las arterias. Las arterias presentan siempre una lámina elástica interna que
separa la capa íntima de la media, y (a excepción de las arteriolas)
una lámina elástica externa entre las capas media y adventicia.
En arterias de gran tamaño la capa media es la más relevante a la
hora de establecer sus propiedades mecánicas. En estas arterias esta capa
es muy gruesa y está compuesta principalmente por fibras elásticas que
tienen un comportamiento elástico no lineal, y las fibras de colágeno que
tienen mucha mayor rigidez. [BEST93]. En arterias de menor tamaño o
arteriolas la capa íntima, además de ser de menor espesor, está compuesta
fundamentalmente por células musculares, las cuales no les confieren
propiedades elásticas.
El comportamiento de la pared arterial dependerá, por tanto, del
tamaño del vaso y de su composición y combinación de fibras:
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
40
Figura 14 Comportamiento de las fibras elásticas y de colágeno por
separado y en combinación
Para simular el comportamiento de las paredes arteriales se
proponen varios modelos constitutivos, entre los que cabe destacar el
modelo no lineal: debido a las grandes deformaciones que una arteria
sufre en condiciones normales se propone un modelo constitutivo de
sólido hiperelástico, [HUMP95].
Sin embargo, el objeto de estudio de este proyecto son arterias con
estenosis, esto es, arterias que se endurecen debido a un estrechamiento de
su sección producido por el crecimiento de la capa íntima de la pared
arterial. El comportamiento de estas arterias puede aproximarse por un
comportamiento de sólido rígido. Esta hipótesis está ampliamente
aceptada en la literatura y es validada por el ensayo que se detalla a
continuación, [MOAY03], [BACK96].
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
3.2.2
41
Ensayo de tracción pura hasta rotura de arterias
Este experimento se llevó a cabo por el Departamento de Ciencias
de los Materiales de la Universidad Politécnica de Madrid en colaboración
con el Hospital Puerta de Hierro. El ensayo se realizó sobre una arteria
sana y sobre otra con un grado severo de estenosis (grado severo se
considera para áreas de oclusión superiores al 60%). Uno de los objetivos
de este experimento era observar la diferencia en el comportamiento de
ambas arterias. Se tomaron
muestras en tres direcciones: dirección
circunferencial, dirección a 45º y dirección axial. Todos los ensayos se
realizaron hasta la rotura de fibras de la arteria. Las probetas tenían una
longitud inicial de 1 cm.
Figura 15 Probetas tomadas de la arteria en tres orientaciones diferentes
Los resultados experimentales de las tres probetas (en las tres
direcciones diferentes) tanto para la arteria sana como para la arteria con
grado severo de estenosis son los siguientes:
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
42
Figura 16 Curvas tensión - alargamiento obtenidas en los ensayos para
la arteria sana
Figura 17 Curvas tensión - alargamiento obtenidas en los ensayos para
la arteria dañada con estenosis
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
43
Como se puede apreciar, la arteria dañada es mucho más rígida
que la arteria sana que tiene una resistencia bastante menor.
Independientemente de la dirección, que se observa que apenas influye, la
arteria con estenosis rompe para alargamientos (L/L0) inferiores a 1,4
mientras que la arteria sana rompe para alargamientos superiores a 2.
Además, se calculó experimentalmente el módulo de elasticidad para
ambas arterias, siendo el de la arteria estenótica de 316,94 KPa frente a los
82,77 KPa de la arteria sana. De esta forma se confirma que es válida la
hipótesis de comportamiento de sólido rígido para las arterias que sufren
estenosis severa.
3.3
Ecuaciones de comportamiento
Recapitulando, en este estudio se considerará la sangre como un
fluido newtoniano e incompresible, que constituye una muy buena
aproximación para los valores de flujo y radios de arteria objeto de este
análisis [BANE99], [CHO_91]. La arteria se considera rígida. Además, se
tienen condiciones de simetría axial, se desprecian los efectos de la
gravedad debido a las reducidas dimensiones de la arteria y a que
dependen de la posición del cuerpo. Y por último, el flujo sanguíneo se
asume que circula en régimen laminar a lo largo de toda la estenosis.
Aunque en la circulación sanguínea se producen fenómenos
termodinámicos en los que intervienen otras variables como la
temperatura, entropía o energía, estas variables quedan desacopladas al
asumir la incompresibilidad del flujo: en un fluido incompresible
ecuación de estado es independiente de la temperatura [MALV69].
la
44
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
Bajo estas hipótesis, el flujo está gobernado por las ecuaciones de
continuidad y de Navier – Stokes.
(12)
(13)
3.3. 1 Solución de Womersley
Las ecuaciones de Navier-Stokes sólo tienen solución analítica en
algunos casos con determinadas geometrías y condiciones de contorno.
Estas soluciones analíticas son fundamentales para la validación de los
métodos numéricos. Sin embargo, la mayoría de estas soluciones requiere
asumir la condición de flujo estacionario por lo que no suelen ser útiles
para el estudio de flujos transitorios, como es el caso del flujo sanguíneo.
En particular, sí que existe la solución analítica para flujo pulsátil
completamente desarrollado en el interior de un conducto cilíndrico
rígido: la solución canónica de Womersley [TAYL96].
El modelo de Womersley está basado en el análisis de la
componente lineal de la ecuación de Navier-Stokes y su resolución para
un gradiente de presión oscilatorio puro. Al igual que para el modelo de
Poiseuille, se utiliza un conducto rígido de longitud considerable, para así
evitar los efectos de longitud de entrada y reflexión de ondas, [MILN89].
El
modelo
contempla
la
viscosidad
del
fluido
y
su
comportamiento laminar. Considerando el sistema como lineal, puede
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
45
someterse a evaluación un gradiente de presión periódico, que no se
presenta como oscilatorio puro, aplicando la serie de Fourier.
En este tipo de modelos, donde el flujo es pulsátil, se manifiesta la
existencia
de
perfiles
diferenciados
del
modelo
de
Poiseuille.
Adicionalmente al formato parabólico, que se observa mayoritariamente
durante la sístole cardiaca, se observan perfiles cuya porción central se
encuentra aplanada. Generalmente durante la diástole las capas cercanas
a la pared presentan sentido de circulación inverso.
Este modelo teórico no contempla los efectos de longitud de
entrada, que se observan plenamente en las arterias más cercanas al
músculo cardíaco o los efectos generados por las sucesivas derivaciones
arteriales, que se presentan en las arterias periféricas de menor diámetro,
como las arteriolas. [RENE06].
Para desarrollar la solución de Womersley se parte pues de las
ecuaciones de Navier- Stokes para un fluido incompresible en un
conducto circular rígido.
Se asume que la única componente de la
velocidad no nula es la componente axial que depende únicamente de la
posición radial y del tiempo.
(14)
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
46
El gradiente de presión periódico se puede escribir de la siguiente forma:
(15)
que si se descompone en términos de la Serie de Fourier resulta
(16)
La componente axial de la velocidad quedaría
(17)
De esta forma se obtiene como resultado una ecuación diferencial
ordinaria
(18)
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
47
Las condiciones de contorno imponen velocidad nula en la zona del flujo
en contacto con las paredes del cilindro, esto es, para r = R. La solución
para el perfil de velocidad queda determinada como:
(19)
donde
son funciones de Bessel de primera especie de orden 0 y
funciones de Bessel de orden 1. Además, se define el número de
Womersley que es un parámetro adimensional que relaciona la inercia
con los esfuerzos viscosos.
En el caso en el que lo que se conoce es la expresión del flujo
volumétrico y se quiere calcular el perfil de velocidad de Womersley, es
necesario hallar la componente frecuencial de la onda de caudal lo que se
hace mediante la transformada de Fourier.
(20)
(21)
48
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
sabiendo que
(22)
De esta forma se obtiene una nueva expresión del caudal
(8)
Los coeficientes An, expresados en términos de los coeficientes
conocidos Bn, se insertan en la ecuación (19) obteniéndose la expresión del
perfil de velocidad de Womersley conocida la expresión del flujo
volumétrico:
(7)
49
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
El perfil de velocidad axial para distintos tiempos de un ciclo se
muestra gráficamente en la figura 18:
t/T = 0,2
t/T = 0,4
t/T = 0,6
t/T = 0,8
t/T = 1,0
t/T = 1,1
azul
negro
verde
rojo
amarillo
cyan
Figura 18 Perfil de velocidad para distintos tiempos de in ciclo
Como puede apreciarse, en ciertos instantes del ciclo la velocidad
es negativa en las zonas cercanas a las paredes, aunque el caudal sea
positivo, debido a las fuerzas viscosas de tracción.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
CAPÍTULO 4
CFD: Introducción y validación del método.
50
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
4.1
51
Historia de la dinámica de fluidos computacional
La historia de la dinámica de fluidos computacional, abreviado
CFD en inglés, se inicia en los años 60. El objetivo de CFD es la resolución
de flujos combinando física,
métodos numéricos e informáticos. Su
desarrollo, por tanto, está ligado a los progresos
en la tecnología
informática.
En la década de los sesenta la división teórica de la NASA situada
en Los Álamos investigó la dinámica de fluidos computacional, aportando
numerosos modelos numéricos que hoy en día se siguen usando, como el
conocido modelo de k-ξ. Durante los años setenta las principales
investigaciones corrieron a cargo de un grupo de trabajo del Imperial
College de Londres que bajo la dirección de D. Brian Spalding
contribuyeron a la mejora de los códigos ya existentes y al desarrollo de
nuevos modelos numéricos, [THOM33].
En 1980 se publicó uno de los libros más importantes hasta la
fecha sobre la materia, que daría pie a la creación de multitud de códigos.
Se titula Numerical Heat Transfer and Fluid Flow y su autor es Suhas V.
Patankar. A mediados de los 80, la CFD se centró en la resolución de las
ecuaciones de Navier-Stokes para flujos viscosos. Además, empiezan a
aparecer modelos numéricos para la resolución de flujos turbulentos como
el DNS (Direct Numerical Simulation) y el LES (Large Eddy Simulation).
En esa década surgieron los primeros códigos de CFD comerciales,
que tuvieron una gran aceptación y las grandes empresas los empezaron a
utilizar en lugar de seguir creando sus propios códigos como habían
hecho hasta entonces.
52
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
Por otro lado, la demanda de soluciones para casos con geometrías
complejas hace que se vayan desarrollando a la vez nuevas técnicas para
la generación de los mallados de la geometría.
Los avances en CFD y el aumento de la potencia de los
ordenadores actuales han hecho de este método una herramienta
imprescindible a la hora de resolver cualquier problema de dinámica de
fluidos actual. La dinámica de fluidos computacional actual permite
resolver
numéricamente
problemas
que
hasta
hace
poco
eran
prácticamente imposibles con los métodos matemáticos tradicionales.
Uno de los principales problemas al que se enfrentan los
ingenieros en fase de diseño es el trabajo con información empírica ya que
está muy limitada para ciertos rangos de velocidad, temperatura y
dimensiones. Para un rango diferente es necesario recurrir a la
experimentación en laboratorio además de hacer uso de una experiencia
que no siempre existe. Los códigos de resolución de CFD suponen una
herramienta de diseño que ofrece un cierto grado de exactitud al mismo
tiempo que un coste en dinero y tiempo inferior al de la investigación.
Actualmente la investigación en CFD se centra fundamentalmente
en la modelización de la combustión y la turbulencia. Además, los
procesos de cambio de fase, como la condensación del vapor de agua en
turbinas, son también una problemática importante a resolver. Las
soluciones de los códigos de CFD se aplican en numerosos campos, como
la aeronáutica, las turbomáquinas, la meteorología o la medicina. No
obstante, no es una disciplina tan madura como pueden ser los Elementos
Finitos para la resolución de problemas de estructuras y su interacción con
53
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
otras disciplinas como la Transferencia de Calor requiere todavía una
profunda investigación.
4.2
Método de discretización de los volúmenes finitos
El método de los volúmenes de control finitos permite discretizar y
resolver
numéricamente
ecuaciones
diferenciales.
Es
un
método
alternativo a los de diferencias finitas y elementos finitos.
Para aplicar este método las ecuaciones que rigen las incógnitas del
problema tienen que estar escritas en su forma integral. La idea principal
consiste en discretizar el modelo continuo mediante una malla y aplicar
las ecuaciones de conservación (de la masa, del momento, de la energía…)
a cada celda por separado.
En torno a cada punto de esta malla se construye un volumen de
control que no se traslapa con los de los puntos vecinos. De esta forma el
volumen total de fluido resulta ser igual a la suma de los volúmenes de
control considerados. La ecuación diferencial a resolver se integra sobre
cada volumen de control, lo cual entrega como resultado una versión
discretizada de dicha ecuación. Para realizar la integración se requiere
especificar perfiles de variación de la variable dependiente entre los
puntos de la malla, para poder evaluar las integrales resultantes. La
principal propiedad del sistema de ecuaciones discretizadas resultante, es
que la solución obtenida satisface de forma exacta las ecuaciones de
conservación consideradas, independientemente del tamaño de la malla.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
54
El método de los volúmenes finitos es muy usado debido a su
generalidad y a la facilidad de introducir dominios de cálculo complejos
(en dos o tres dimensiones). Además el método es fácilmente adaptable a
problemas de difusión del calor, de mecánica de fluidos para calcular
campos de velocidades y presiones (fluidodinámica CFD) o de campo
electromagnético. Dada la imposibilidad práctica de encontrar la solución
analítica de estos problemas, con frecuencia en la práctica ingenieril los
métodos numéricos, y en particular los volúmenes finitos se convierten en
la única alternativa práctica de cálculo.
Este método es el utilizado por el software OpenFOAM para
resolver los diferentes modelos de ecuaciones que incluye. Una ventaja de
este método es que las geometrías complicadas y las mallas no
estructuradas se pueden tratar fácilmente sin necesidad de realizar
ninguna transformación de coordenadas.
4.3
Descripción de OpenFOAM
OpenFOAM (Open Field Operation and Manipulation) es una
biblioteca [C++]] para personalizar y extender resolvedores numéricos de
problemas de Mecánica de los Medios Continuos, incluyendo la Mecánica
de Fluidos Computacional (CFD). Incluye también una gran cantidad de
resolvedores aplicables a otros muchos tipos de problemas. OpenFOAM
solo está disponible para el sistema operativo Gnu/Linux y no está
disponible para Windows y Macosx.
55
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
OpenFOAM es un código abierto, lo que hace que cualquier
usuario pueda mejorar o extender el código. Tiene una gran base de
usuarios en la mayoría de las áreas de la ingeniería y la ciencia.
OpenFOAM tiene una amplia gama de características para resolver
cualquier caso, desde los flujos de fluidos complejos que involucran
reacciones químicas, la turbulencia y la transferencia de calor, a la
dinámica de sólidos y electromagnetismo. Además, es compatible con
otros software de pre-procesamiento, solución y post-procesamiento de
problemas.
OpenFOAM es usado básicamente para crear archivos ejecutables,
conocidos como aplicaciones. Las aplicaciones se dividen en dos
categorías: solvers y utilities. OpenFOAM se distribuye con un conjunto
de numerosas aplicaciones precompiladas, pero los usuarios tienen la
libertad de crear la suya propia o modificar las existentes, lo que
constituye una de las principales ventajas de este software.
Los solvers están diseñados para resolver un problema específico
de Mecánica de los Medios Continuos. Los más importantes son: Basic
CFD, Incompressible flows, Compressible flows, Multiphase flows, DNS
and LES, Particle-tracking flows, Combustion, Heat transfer, Molecular
dynamics, Electromagnetics, Solid dynamics. Para la resolución de nuestro
problema usaremos el solver para fluidos incompresibles (icoFOAM),
debido al interés en estudiar las regiones con un stress anómalo en vasos
medianos.
Las
utilities
llevan
a
cabo
operaciones
de
pre
y
post
procesamiento, relativas a la manipulación de datos y cálculos algebraicos.
Uno de los más utilizados es ParaView, ya que sirve para visualizar la
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
56
resolución y el mallado. OpenFOAM tiene la ventaja de tener
convertidores de malla para la gran mayoría de los paquetes comerciales,
además del suyo propio. A continuación se muestra la estructura general
de OpenFOAM:
Figura 19 Estructura general de OpenFOAM
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
4.4
57
Validación del método: simulaciones básicas.
Para la verificación del modelo propuesto y de las prestaciones
computacionales se han realizado varios ejemplos de validación. A
continuación se muestran dos de ellos en los que se ha incluido el flujo de
Womersley, que se ha elegido por ser un caso de régimen transitorio con
solución analítica. Se compara la solución teórica con los resultados
computacionales obtenidos.
En ambos casos se considera una arteria de 3 cm de diámetro por
la que circula un caudal de 6 l/min. Se toma un valor de densidad de la
sangre de 1,06 g/cm3 y un número de Reynolds de 1273, esto es, flujo
laminar.
4.4.1 Poiseuille
Este problema es ya un clásico de la mecánica de fluidos. Se trata
del
flujo
laminar estacionario de
un
fluido
incompresible y
uniformemente viscoso (fluido newtoniano) a través de un tubo cilíndrico
de sección circular constante.
Descripción del problema:
 Imposición de una velocidad uniforme de valor 0,14 cm/s.
 Condición de no deslizamiento en las paredes, lo que equivale a
anular la velocidad en el contorno.
 Se fija la viscosidad dinámica a 3,33 .10-6 m2/s.
 Los resultados que se muestran se corresponden con la zona de
flujo completamente desarrollado.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
58
En general, a medida que aumenta el Reynolds la malla ha de ser
más fina. En este caso se ha utilizado una malla de 200x100 elementos,
suficientemente fina para captar los detalles del flujo.
Se fija el valor de la velocidad media y se calcula el gradiente de
presión, imponiendo presión nula a la salida. El gradiente de presión
obtenido analíticamente es de 14,5 mmHg mientras que en nuestra
simulación se ha obtenido un gradiente de presión de 13,76 mmHg, como
se muestra en la figura 20. El error cometido es del 5,1%, lo que se
considera aceptable para validar el modelo.
Figura 20 Presión simulación básica Poiseuille
En la figura 21 se muestra el perfil de velocidad parabólico
obtenido mientras que en la figura 22 se compara el resultado analítico
(curva azul) con el obtenido con la simulación (curva verde) para un
tiempo t=0,70 s, cuando el flujo se ha desarrollado completamente y se ha
alcanzado la solución estacionaria. Como se puede observar los resultados
concuerdan muy bien con la teoría.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
Figura 21 Velocidad simulación básica Poiseuille
Solución teórica
Solución numércia
Figura 22 Comparación del perfil de velocidad obtenido mediante la
simulación con el teórico
59
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
60
4.4.2 Womersley
El flujo de Womersley es un caso con solución analítica de las
ecuaciones de Navier-Stokes. En hemodinámica no se puede hablar de un
flujo de Womersley puro ya que el caudal en ningún momento retrocede
debido a la acción de las válvulas de los vasos sanguíneos. Sin embargo, el
flujo sanguíneo es pulsátil, y en esto es similar al de Womersley. En todo
momento el régimen es transitorio, aunque se puede decir que se alcanza
una solución periódica.
Descripción del problema:
 Se impone la ley de velocidades en el tiempo teórica y se
comprueba si se obtiene una presión uniforme de variación
sinusoidal. Se fija el valor medio de la velocidad en 0,14 cm/s,
como en el caso anterior. La ley de velocidades es
Esta solución analítica se ha programado para obtener los valores
de la velocidad y así compararlos con la solución computacional
obtenida.
 Se fija la viscosidad dinámica a 3,33 .10-6 m2/s.
 Se fija una frecuencia de 7,536 rad/s, correspondiente a una
frecuencia de 1,2 HZ, esto es, 72 latidos por minuto.
 Con los valores de frecuencia, viscosidad y diámetro de la arteria se
obtiene un parámetro de Womersley de 11,3.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
61
 Se estudian y comparan los resultados de un ciclo cardiaco
completo.
Para este caso la malla utilizada estaba compuesta de 200x100
elementos. Se fija el valor de la velocidad media y se calcula el gradiente
de presión. Como se observa en la figura el gradiente d presión obtenido
es una función sinusoidal, lo que coincide con los resultados teóricos.
Figura 23 Presión simulación básica Womersley
El perfil de velocidad para distintos instantes del ciclo cardiaco se
muestra en la figura 24. Los resultados numéricos representan la situación
de régimen permanente, una vez finalizado el transitorio.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
62
Figura 24 Velocidad simulación básica Womersley
A continuación se comparan los resultados obtenidos con los
teóricos en las figuras 25 - 28. Las curvas azules muestran el perfil teórico
de la velocidad, mientras que las verdes representan los resultados de
cálculo numérico. Se observa una concordancia casi perfecta entre la
solución teórica y la numérica.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
63
t/T = 0,032
Solución teórica
Solución numérica
Figura 25 Comparación perfil de velocidades teórico y numérico para t/T
= 0,032
t/T = 0,264
Solución teórica
Solución numérica
Figura 26 Comparación perfil de velocidades teórico y numérico para
t/T = 0,264
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
64
t/T = 0,480
Solución teórica
Solución numérica
Figura 27 Comparación perfil de velocidades teórico y numérico para
t/T = 0,480
t/T = 0,936
Solución teórica
Solución numérica
Figura 28 Comparación perfil de velocidades teórico y numérico para
t/T = 0,936
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
CAPÍTULO 5
SIMULACIONES NUMÉRICAS DEL CASO
65
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
66
En este capítulo se describen los procedimientos realizados para
generar simulaciones del flujo en arterias con estenosis (simulaciones
CFD). Para esto se realizaron modelos 3D a partir de geometrías con
distintas áreas de oclusión atendiendo al criterio NASCET reportadas en la
literatura médica, [SMIT96], [GOUB02].
Teniendo en cuenta las características del flujo en estas
geometrías, se elige el mallado. Después se analizan las variables
obtenidas para las diferentes geometrías, especialmente el esfuerzo
cortante. También se estudia la influencia del ritmo cardíaco.
Estudios en plaquetas han indicado que éstas se agregan en arterias
con presencia de estenosis. La adherencia y acumulación de estas
plaquetas son función del esfuerzo cortante, y su activación está influida
no sólo por la liberación de adenosín difosfato (ADP), sino también por los
esfuerzos cortantes en la estenosis. Por este motivo, el análisis del esfuerzo
cortante es de suma importancia para aportar datos cuantitativos a la
ciencia médica, [UBAL99].
Existen dos teorías mecánicas que intentan explicar la génesis y
crecimiento de las estenosis a partir del análisis de los esfuerzos cortantes
en la zona de aparición de la obstrucción: una a través de la existencia de
un esfuerzo cortante máximo que dañaría la arteria provocando
acumulación de plaquetas y otra, en función de un esfuerzo de corte
mínimo que beneficiaría la decantación y adherencia de partículas sólidas
sobre las paredes interiores de los vasos [DIPA03]. Por esta razón, en este
estudio se determinan las zonas en las cuales se producen esfuerzos
cortantes máximos y mínimos.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
67
En presencia de esfuerzos cortantes elevados, las placas de
ateroma pueden presentar ruptura. Si esto ocurre, el contenido
descubierto del ateroma estimula la coagulación por medio de la
agregación y activación plaquetaria, iniciada por la adherencia de las
plaquetas en la superficie del endotelio con un rápido reclutamiento de
plaquetas adicionales gracias a la liberación de ADP, [SHAH03], [RIOF02],
[VERE02]. La agregación se relaciona también con zonas de bajo esfuerzo
que también pueden resultar en la formación de un trombo, el cual puede
llegar a arterias más pequeñas por las que no tiene paso y, por ende,
taponarlas totalmente y hacerles perder su función.
5.1 Geometría
Las geometrías 3D permiten obtener información global y útil en
el análisis de cualquier modelo numérico.
Las geometrías de arterias estenóticas se diseñan con diferente
severidad teniendo en cuenta los estudios NASCET y ECST, que
cuantifican el grado de severidad de la estenosis mediante diferentes
métodos e indican los beneficios de la endacterectomia (procedimiento
quirúrgico de remoción de la placa aterosclerótica en arterias carótidas) a
partir de un porcentaje de estenosis mayor o igual al 70% y 80%,
respectivamente, [TAMB03], [THRU99], [ZEND99], [STAI00].
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
68
Es importante anotar que desde el punto de vista del radiólogo los
valores de 50% y 75% de estenosis son un especial criterio en la evaluación
y tratamiento de la enfermedad en estudios de ultrasonido vascular,
[THRU99].
Severidad
<50%
Medicación
50% - 70%
Angioplastia
>70% NASCET
Cirugía
>80% ECST
Tabla 3 Tratamiento médico recomendado según el grado de estenosis
En nuestro caso, las geometrías se crearon con el software ANSYS.
Se generaron 4 modelos con un grado de estenosis comprendido entre el
65% y 90%. Se tomaron longitudes de estenosis (longitud de la zona
convergente, del estrechamiento y de la zona divergente) realistas de
acuerdo con la literatura médica y se mantuvieron constantes en los
diferentes modelos.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
69
Figura 29 Geometría de la estenosis desarrollada en ANSYS
Dimensiones (mm)
lc = 6
le = 3
ld = 1,5
da = 3
de = 1,8
65%
de = 1,6
70%
de = 1,5
75%
de = 1,0
90%
Severidad
Tabla 4 Dimensiones del modelo. lc, le y ld son las longitudes de las
zonas convergente, estenótica y divergente respectivamente. da y de son
el diámetro de la arteria sana y el diámetro en la zona estenótica
respectivamente.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
70
5.2 Malla
A partir de la geometría se elaboró la malla usando también el
software ANSYS. La calidad de la malla juega un papel importantísimo en
la exactitud y estabilidad de los cálculos numéricos. Algunos aspectos
relacionados con la calidad de la malla son la densidad y distribución de
los nodos, suavidad, esquinamiento, relación de aspecto, etc. La elección
del software ANSYS se debió precisamente a la importancia de tener este
control sobre el proceso de mallado.
El esquinamiento de una celda se define como la diferencia entre la
forma de la celda y la forma de una celda cuadrilátera del mismo
volumen. Celdas muy esquinadas pueden reducir la exactitud y
desestabilizar la solución. La relación de aspecto es una medida del
estiramiento de la celda. Es conveniente no usar relaciones de aspecto
superiores a la relación 5:1. La suavidad, por su parte, es una propiedad
relacionada con el cambio de volumen entre celdas adyacentes. Los
cambios muy rápidos conllevan un gran error de truncamiento.
Como al mallar un modelo se define de forma discreta un recinto
que en realidad es continuo, el grado de exactitud con el cual se resuelven
las zonas más complejas del flujo (zonas en las que se producen ondas de
choque, mezclas, fuentes o sumideros…) dependerá de la densidad y
distribución de los nodos de la malla en dichas zonas. Una resolución de la
malla pobre en estas zonas críticas puede alterar dramáticamente sus
características. Por este motivo, se requiere un mallado bastante fino cerca
de las paredes para poder obtener valores precisos del esfuerzo cortante
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
71
(WSS, wall stress shear en inglés) y, especialmente, en la zona de la
divergencia para que pueda describir cualquier flujo complejo.
En flujos laminares, a la hora de mallar la zona adyacente a las
paredes para modelar la capa límite, es particularmente importante que se
cumpla la siguiente relación:
(23)
= distancia desde la pared al centro de la celda adyacente
= velocidad del flujo libre
= viscosidad cinemática del flujo
= distancia desde el punto donde comienza la capa límite hasta la
pared
Un mallado rectangular permite mayores relaciones de aspecto.
Una relación de aspecto elevada en mallado triangular implica
necesariamente mayores esquinamientos de las celdas, lo que debe
evitarse dada la repercusión negativa en la convergencia y exactitud del
problema. Además, se consigue minimizar el problema de difusión
numérica. Esto es debido a que se alinea el flujo con la malla, lo que
resultaría imposible de lograr con un mallado triangular.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
72
Considerando los criterios expuestos se escogió un mallado
formado por hexaedros que es el más apropiado para el análisis CFD de
esta geometría, especialmente en la zona adyacente a las paredes donde
imperan los esfuerzos cortantes. La malla se generó mediante ANSYS y se
trata de un mallado fino de hexaedros de 3986 nodos y 3177 elementos.
Figura 30 Mallado de la geometría
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
73
5.3 Influencia de la frecuencia cardíaca sobre el flujo
sanguíneo en una estenosis arterial
Las condiciones de flujo están caracterizadas por los números de
Reynolds y Womersley. Este último relaciona las fuerzas inerciales
pulsátiles con las viscosas. La frecuencia cardíaca y, por tanto, el número
de Womersley, puede variar entre 70 y 160 pulsaciones por minuto,
dependiendo de la edad de la persona y de las condiciones del ejercicio
físico.
Las zonas de lesión aterosclerótica están fuertemente relacionadas
con el carácter oscilatorio del esfuerzo cortante. Por este motivo, el efecto
de la frecuencia cardíaca sobre el esfuerzo cortante interesa ser estudiado.
En todos los experimentos numéricos de este apartado la
geometría de la estenosis fue mantenida con un porcentaje de oclusión del
70%, lo que corresponde con una estenosis de severidad elevada. La
longitud de la zona divergente es de 6 milímetros, la de la zona estenótica
es de 3 milímetros y la de la zona convergente es de 1,5 milímetros.
Se fija una velocidad media de 0,15 m/s lo que corresponde a un
número de Reynolds de 128 (flujo laminar). Estos valores, como ya se
mencionó, son consistentes con la literatura médica.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
74
A efectos de investigar la influencia de la frecuencia del pulso de
caudal sobre las variables fluidodinámicas se exploraron diferentes
valores de frecuencia:
Pulsaciones / minuto
Número de Womersley α2
72
5,15
100
7,14
150
10,72
Tabla 5 Número de Womersley del flujo sanguíneo para distintas
frecuencias
El conjunto de parámetros utilizados podría ser, aproximadamente,
el que caracteriza el flujo sanguíneo en arterias coronarias. Sin embargo,
debe tenerse en cuenta que este trabajo no pretende analizar las
condiciones específicas del flujo en una arteria en particular, sino, por el
contrario, investigar algunos rasgos generales de la hemodinámica en
vasos sanguíneos estenosados.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
5.3.1.
75
Análisis de velocidad y presión
A partir de las simulaciones realizadas se puede afirmar que el
gradiente de presión que experimenta el flujo sanguíneo aumenta con el
incremento de la frecuencia. Así, la variación de presión que se produce es
de 313.55 Pa para el caso de tener una frecuencia de 72 pulsaciones/min,
435.58 Pa para 100 puls/min y 653.04 Pa para 150 puls/min. Se verifica la
validez de estos resultados comparándolos con resultados experimentales
reportados en la literatura médica, en los que el gradiente de presión en
estenosis de arterias coronarias toma valores de entre 4 y 8 mmHg,
[BERM02].
Figura 31
ΔP/ρ para una frecuencia de 72, 100 y 150 latidos por
minuto respectivamente. El flujo sanguíneo se mueve en sentido
ascendente.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
76
La caída de presión es lineal en la zona pre y post estenótica, ya que
se trata de un flujo laminar, con una pendiente similar. En la zona más
estrecha también se trata de una caída de presión lineal aunque con una
pendiente mucho más acusada. En las zonas de cambio de sección, sin
embargo, el gradiente de presión describe una curva debido a las pérdidas
de carga por fricción y, especialmente a la salida, por turbulencia.
700
600
500
400
Pa
P 72
P 100
300
P 150
200
100
0
Figura 32 Comparación de la caída de presión [Pa] en una estenosis para
distintas frecuencias en el instante del ciclo cardíaco t/T = 0,25
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
77
Uno de los principales problemas asociados a la estenosis es la
aparición de zonas de recirculación en el flujo, típicamente aguas abajo de
la estenosis. La aparición de estas zonas de recirculación está ligada a los
cambios bruscos de sección y por tanto al elevado gradiente de velocidad
que se genera con un bajo valor del esfuerzo cortante. Se comprueba que a
medida que aumenta la frecuencia cardiaca aparecen vórtices más
intensos, aunque siempre en la misma zona para frecuencias de hasta 120
pulsaciones por minuto.
Figura 33 Formación de zonas de recirculación del flujo aguas abajo de
la estenosis
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
78
Para frecuencias más elevadas, a partir de 120 pulsaciones por
minuto (siempre para las características consideradas en este estudio), la
aparición de las zonas de recirculación del flujo no se limitan
exclusivamente a las zonas aguas abajo de la estenosis cercanas a la pared.
Aparecen zonas de recirculación del flujo
también en la propia zona
estenótica y aguas arriba de ésta, favorecidos por el cambio de sección y,
especialmente, por el efecto de flujo en sentido inverso en algunos
instantes del ciclo.
Figura 34 Recirculación del flujo en una estenosis para una frecuencia
de 150 pulsaciones por minuto
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
79
Como puede observarse, aguas abajo de la estenosis la recirculación
del flujo es mucho más intensa y no se limita sólo a las zonas cercanas a las
paredes, si no que en la zona central también se aprecian zonas de
recirculación de flujo.
En flujos pulsátiles hay instantes en los que las fuerzas viscosas de
tracción adquieren un sentido contrario al del flujo, provocando la
aparición de zonas con flujo en sentido inverso. Este efecto se hace más
intenso a frecuencias elevadas.
A continuación se muestra el perfil de velocidad oscilatorio en
varios instantes del ciclo cardiaco para frecuencias de 72 y 150 pulsaciones
por minuto, comprobándose el efecto del flujo en sentido inverso.
t/T = 0,2
t/T = 0,4
t/T = 0,6
t/T = 0,8
Figura 35 Perfiles de velocidad de Womersley para una frecuencia de 72
pulsaciones por minuto
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
t/T = 0,2
t/T = 0,4
t/T = 0,6
t/T = 0,8
t/T = 1,0
Figura 36 Perfiles de velocidad de Womersley para una frecuencia de
150 pulsaciones por minuto
80
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
5.3 .2
81
Análisis del esfuerzo cortante
Los resultados obtenidos permiten observar en detalle la evolución
en el tiempo de los campos de velocidad y presión. Sin embargo, existen
numerosos trabajos en los que se ha estudiado en profundidad estas
variables. Por este motivo, se decidió analizar con más profundidad el
comportamiento del esfuerzo cortante en la pared arterial, que es una
variable de gran interés para prevenir y comprender enfermedades
ateroscleróticas.
Las siguientes figuras muestran el esfuerzo cortante en función de
la posición para distintos valores de la frecuencia. En ellas se muestra que
la influencia de la frecuencia es pequeña en cuanto a la distribución del
esfuerzo. A medida que aumenta la frecuencia se alcanzan valores más
elevados del esfuerzo cortante, especialmente en la zona de máximo
estrechamiento.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
82
Figura 37 Distribución del esfuerzo cortante τ/ρ en la pared para f=72
pulsaciones/minuto
Figura 38 Distribución del esfuerzo cortante τ/ρ en la pared para f=100
pulsaciones/minuto
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
83
Figura 39 Distribución del esfuerzo cortante τ/ρ en la pared para f=150
pulsaciones/minuto
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
Figura 40 Esfuerzo cortante [Pa] en la pared en función de la posición.
Valor medio en t/T = 0,25 para diferentes valores de frecuencia. Se
incluye en la parte superior el tramo del dominio espacial analizado
para una fácil referencia.
84
85
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
Se puede apreciar que en la región de máximo estrechamiento el valor del
esfuerzo tangencial alcanza valores muy elevados, superiores a 20 Pa para
una frecuencia de 150 pulsaciones por minuto.
El esfuerzo cortante desciende rápidamente a medida que nos
alejamos de la zona estenosada. Como es de esperar, en los extremos del
dominio, dónde el flujo es prácticamente unidireccional, la media del
esfuerzo cortante tiende asintóticamente a cero. En cambio, el promedio
del valor absoluto tiende asintóticamente a un valor comprendido entre 4
y 10 Pa, incrementándose a medida que aumenta la frecuencia.
30
20
τ f=72
10
τ f=100
τ f=150
Pa
0
-10
-20
-30
Figura 41 Esfuerzo cortante [Pa] para distintos valores de frecuencia. Los
valores positivos corresponden a la pared superior y los negativos a la
inferior, siendo simétricos.
86
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
5.4
Influencia del grado de oclusión sobre el flujo
sanguíneo una en una estenosis arterial.
5.4.1
Análisis de velocidad y presión
La caída de presión que experimenta el flujo sanguíneo a través de
una arteria que sufre estenosis viene determinada fundamentalmente por
el grado de oclusión de dicha estenosis. Se aprecia que la caída de presión
es lineal en todos los casos. El Reynolds máximo se alcanza en el
estrechamiento, y para el caso más desfavorable (severidad del 90%) es
igual a 409, por lo que sigue siendo laminar.
600
500
400
P 65%
Pa 300
P 70%
P 75%
P 90%
200
100
0
Figura 42 Variación de la presión [Pa] a través de una estenosis con
grados de oclusión de 65, 70, 75 y 90% para el instante del ciclo cardíaco
t/T = 0,25
87
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
El gradiente de presión más fuerte se produce en el estrechamiento, cuya
longitud se fijó a 3 mm. Aguas abajo del estrechamiento se observa que el
gradiente de presión varía muy poco entre los distintos casos de
severidades, teniéndose prácticamente la misma presión. Esto es debido a
que el grado de recirculación a la salida no genera una caída de presión
tan fuerte como el propio estrechamiento.
Sin embargo, aunque el efecto de las pérdidas por turbulencia sea
bastante menor que la pérdida de presión provocada por el propio
estrechamiento, sí que se observa que es más intenso cuanto mayor es el
grado de oclusión. Para el caso del 90% de oclusión, se aprecia que la
variación de presión describe una curva a la salida del estrechamiento, en
el cambio de sección, mientras que para el caso del 65% la variación de
presión es bastante lineal incluso en esta zona.
150
140
130
120
Pa
110
P 65%
100
P 90%
90
80
70
60
Figura 43 Pérdida de presión a la salida de la estenosis: efecto de la
recirculación
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
88
El efecto del grado de oclusión sobre la formación de vórtices
también fue analizado. La zona más problemática es aguas abajo de la
estenosis, dónde el efecto de la recirculación se suma al efecto de bajos
valores de esfuerzo cortante.
Figura 44 Recirculación aguas abajo de las estenosis
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
89
Se comprueba que aumenta el valor de la velocidad angular, lo que
significa que las zonas de recirculación que aparecen aguas abajo de la
estenosis son más intensos cuanto más severo es el grado de estenosis.
Además, las zonas de recirculación crecen: con una estenosis del 65% las
recirculaciones se desarrollan en las zonas muy próximas a la pared,
mientras que el flujo en la parte central de la arteria podía seguir siendo
considerado laminar. Con una estenosis del 90% la recirculación del flujo
se desarrolla también en la zona central, llegando a ser las recirculaciones
de la zona central más intensas que en las zonas más cercanas a la pared.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
5.4.2
90
Análisis del esfuerzo cortante
Las siguientes figuras muestran el esfuerzo cortante para distintos
grados de severidad estenótica. Los valores más elevados corresponden a
la zona de máximo estrechamiento, mientras que los valores mínimos se
registran a la salida de la estenosis.
Figura 45 Distribución del esfuerzo cortante τ/ρ para una estenosis del
65% de severidad.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
91
Figura 46 Distribución del esfuerzo cortante τ/ρ para una estenosis del
90% de severidad.
Los valores máximos de esfuerzo cortante se alcanzan siempre en el
estrechamiento y son más elevados cuanto mayor es el grado de oclusión.
Es en esta zona donde existe peligro de ruptura de la placa de ateroma y
daño de la pared arterial. Se observa que los valores de esfuerzo cortante
en el resto de la geometría no se ven altamente influidos por el grado de
oclusión, siendo en todos los casos alrededor de 2 Pa.
La gran variación de intensidad del esfuerzo cortante en la zona
post – estenótica (en pocos milímetros se pasa de 33,87 a 1,40 Pa en el caso
de 90% oclusión y de 16,45 a 1,78 Pa en el caso de 75% de oclusión)
favorece la decantación y adherencia de partículas sólidas sobre las
paredes interiores de los vasos.
92
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
Severidad
Valor máximo [Pa]
Valor mínimo [Pa]
65%
8,82
2,45
70%
12,50
1,99
75%
16,45
1,78
90%
33,87
1,40
Figura 47 Valores máximos y mínimos del esfuerzo cortante
Se observa que al aumentar el grado de oclusión los valores de
esfuerzo cortante aguas abajo de la estenosis se reducen ligeramente, lo
que favorece el desarrollo de la placa. Sin embargo, se trata de una
disminución del orden de 1 Pa para un aumento de severidad estenótica
del 65 al 90%, por lo que no se considera relevante.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
93
Figura 48 Esfuerzo cortante [Pa] en la pared en función de la posición.
Valor calculado para t/T = 0,25 para grados de oclusión entre el 65 y 90%.
Se incluye en la parte superior el tramo del dominio espacial analizado
para una fácil referencia.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
CAPÍTULO 6
CONCLUSIONES
94
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
95
6.1 Influencia de la frecuencia cardíaca sobre el flujo
sanguíneo en una estenosis arterial.
En este estudio se ha analizado la influencia que ejerce la frecuencia
cardíaca sobre el flujo sanguíneo. En concreto, se ha estudiado el efecto de
la frecuencia cardíaca sobre la caída de presión que experimenta el flujo en
la estenosis, la recirculación del flujo y el esfuerzo cortante en la pared
arterial.
El gradiente de presión que experimenta el flujo sanguíneo aumenta
al incrementarse la frecuencia. La variación de presión que se produce es
de 313.55 Pa en el caso de tener una frecuencia de 72 pulsaciones por
minuto, 435.58 Pa en el caso de tener 100 puls/min y 653.04 Pa si se tiene
una frecuencia de 150 puls/min. Los resultados experimentales
reportados en la literatura médica afirman que el gradiente de presión en
estenosis de arterias coronarias toma valores de entre 4 y 8 mmHg,
[BERM02], lo que apoya la validez de las variaciones de presión obtenidos
mediante las simulaciones numéricas.
Frecuencia cardíaca
Caída de presión
[pulsaciones/min]
[Pa]
72
313,55
100
435,58
150
653,04
Tabla 6 Comparación de la caída de presión que experimenta el flujo
sanguíneo a través de una estenosis.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
96
La caída de presión es lineal en la zona pre y post estenótica, ya que
se trata de un flujo laminar, y la pendiente en los tres casos es similar. En
la zona más estrecha también se trata de una caída de presión lineal
aunque con una pendiente mucho más acusada y más inclinada cuanto
más elevado es el valor de la frecuencia cardíaca.
En las zonas de cambio de sección, sin embargo, el gradiente de
presión describe una curva debido a las pérdidas de carga por fricción y,
especialmente a la salida, por turbulencias. Las pérdidas debido a las
turbulencias se incrementan a medida que aumenta la frecuencia debido a
las recirculaciones que se forman aguas abajo de la estenosis.
La aparición de zonas de recirculación de flujo está ligada a los
cambios bruscos de sección y por tanto al elevado gradiente de velocidad
que se genera con un bajo valor del esfuerzo cortante. Se comprueba que a
medida que aumenta la frecuencia cardiaca aparecen vórtices más
intensos, aunque siempre en la misma zona para frecuencias de hasta 120
pulsaciones por minuto.
Para frecuencias más elevadas, a partir de 120 pulsaciones por
minuto (siempre para las características consideradas en este estudio), la
aparición de las recirculaciones del flujo no se limita exclusivamente a las
zonas post-estenóticas cercanas a la pared. Aparecen zonas de
recirculación del flujo también en la propia zona estenótica y aguas arriba
de ésta, favorecidos por el cambio de sección y, especialmente, por el
efecto de flujo en sentido inverso en algunos instantes del ciclo.
Este efecto es debido a que, en flujos pulsátiles, hay instantes en los
que las fuerzas viscosas de tracción adquieren un sentido contrario al del
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
97
flujo, provocando la aparición de zonas con flujo en sentido inverso. Este
efecto se hace más intenso a frecuencias elevadas.
La influencia de la frecuencia cardíaca sobre el esfuerzo cortante en
la pared arterial también sigue una relación directa. A medida que
aumenta la frecuencia se alcanzan valores más elevados, especialmente en
la zona de máximo estrechamiento, alcanzando valores superiores a 20 Pa
para una frecuencia de 150 pulsaciones por minuto. Los valores mínimos
oscilan entre 1 y 2 Pa para todos los valores de frecuencia simulados.
El esfuerzo cortante desciende rápidamente a medida que nos
alejamos de la zona estenosada. En los extremos del dominio, dónde el
flujo es prácticamente unidireccional, la media del esfuerzo cortante tiende
asintóticamente a cero. En cambio, el promedio del valor absoluto tiende
asintóticamente a un valor comprendido entre 4 y 10 Pa, incrementándose
a medida que aumenta la frecuencia.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
6.2
98
Influencia del grado de oclusión sobre el flujo sanguíneo
en una estenosis arterial.
La caída de presión que experimenta el flujo sanguíneo a través de
una arteria que sufre estenosis viene determinada fundamentalmente por
el grado de oclusión de dicha estenosis, siendo la caída de presión lineal
en todos los casos simulados.
El gradiente de presión más fuerte se produce en el estrechamiento
mientras que en la zona post-estenótica el gradiente de presión varía muy
poco entre los distintos casos de severidades estudiados. Esto se debe a
que el grado de recirculación a la salida no genera una caída de presión
tan fuerte como el propio estrechamiento.
Las pérdidas debidas a la recirculación del flujo aguas abajo de la
estenosis son más intensas cuanto mayor es el grado de oclusión. Para el
caso del 90% de oclusión, la variación de presión describe una curva a la
salida del estrechamiento, mientras que para el caso del 65% la variación
de presión es bastante lineal incluso en esta zona.
La recirculación del flujo se produce en más zonas de la estenosis a
medida que aumenta el grado de oclusión.
En el caso de severidad
estenótica del 65% las recirculaciones se desarrollan en las zonas muy
próximas a la pared, mientras que con una estenosis del 90%
la
recirculación del flujo se desarrolla también en la zona central, llegando a
ser las recirculaciones de la zona central más intensas que en las zonas
más cercanas a la pared.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
99
El efecto del grado de oclusión sobre el esfuerzo cortante en la
pared arterial es del mismo tipo que el efecto de la frecuencia cardíaca: a
medida que aumenta la severidad de la estenosis aumentan los valores
máximos de esfuerzo cortante, alcanzándose dichos máximos siempre en
el estrechamiento. El valor mínimo alcanzado disminuye ligeramente al
aumentar el grado de oclusión: disminuye aproximadamente 1 Pa al
aumentar la severidad estenótica del 65 al 90%, por lo que no se considera
muy relevante. Los valores de esfuerzo cortante en el resto de la geometría
no se ven altamente influidos por el grado de oclusión, siendo en todos los
casos alrededor de 2 Pa.
A mayor severidad de la estenosis se registra una mayor variación
del esfuerzo cortante en la parte post-estenótica: en pocos milímetros se
pasa de 33,87 a 1,40 Pa en el caso de 90% oclusión y de 16,45 a 1,78 Pa en el
caso de 75% de oclusión.
Por tanto, a medida que se intensifica la severidad estenótica se
incrementa el riesgo de que se desarrolle más placa de ateroma aguas
abajo de la estenosis ya que grandes diferencias de valores de esfuerzo
cortante en zonas tan cercanas favorece la decantación y adherencia de
partículas sólidas sobre las paredes interiores de los vasos.
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
6.3
100
Futuras líneas de investigación.
Quedando definidos los modelos en el presente proyecto, en un
futuro debería ser estudiado el efecto de un gradiente de presión formado
por una suma de harmónicos sobre las variables hemodinámicas
estudiadas, esto es, el campo de velocidades (haciendo especial hincapié
en las zonas de recirculación del flujo) y el esfuerzo cortante en la pared
arterial.
En este estudio se ha considerado el gradiente de presión como
senoidal puro, lo que condiciona que el esfuerzo cortante a lo largo del
tiempo sea también senoidal. Con un gradiente de presión formado por la
suma de varios harmónicos aumentarán los valores máximos del esfuerzo
cortante, aunque las zonas críticas serán las mismas. Sería interesante
estudiar el efecto de la frecuencia cardíaca y del grado de oclusión al
imponer un gradiente de presión que se asemeja más al producido por el
corazón.
Sería
conveniente
centrarse
también
en
construir
modelos
alternativos. Se podrían estudiar estenosis de arterias de mayor diámetro,
considerándo la sangre como un fluido viscoelástico, hipótesis aceptada
en vasos sanguíneos de gran tamaño debido al efecto de los glóbulos rojos
sobre la viscosidad (Capítulo 3).
Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial
101
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