Discriminación de precios de tercer grado

DISCRIMINACIÓN DE PRECIOS DE TERCER GRADO:
SU ROL EN LA INCORPORACIÓN DE MERCADOS EXCLUÍDOS
Y SUS CONSECUENCIAS EN EL BIENESTAR Y EL EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR
ESTEBAN PETRUZZELLO
Resumen: este trabajo analiza las consecuencias de la posibilidad de discriminar precios en
tercer grado sobre el bienestar y el excedente del consumidor. Empleando funciones de
demanda -1-cóncavas con curvatura de la demanda inversa constante, y permitiendo
explícitamente que la obligación de cobrar un precio uniforme genere una exclusión de
segmentos, se introducen condiciones necesarias y suficientes para que la discriminación de
precios conlleve mejoras en el bienestar y en el excedente del consumidor. Las mismas resultan
ser factibles, sugiriendo una consideración meticulosa de las recomendaciones de política.
Sección 1: Introducción
El impacto sobre el bienestar de la discriminación de precios de tercer grado (en
comparación con el problema tradicional de un monopolista que fija un precio uniforme) ha
sido una cuestión recurrente ya desde los estudios pioneros acerca de la competencia
imperfecta. Los sucesivos desarrollos en el campo de la organización industrial han
permitido generalizar cada vez más la concepción básica, atribuida a Joan Robinson, de que
en buena parte de las situaciones la posibilidad de segmentar la demanda reduce tanto la
producción como el bienestar.
No obstante, salvo escasas excepciones, no se ha analizado con precisión una de
las consecuencias más comunes de la imposibilidad de discriminar precios en tercer grado:
la exclusión de mercados. En esos casos (aunque no sólo en ellos, como se verá) la
segmentación de la demanda puede incrementar tanto el bienestar como el excedente del
consumidor. Aquí se considerarán dos mercados con funciones de demanda no lineales, y
se estudiará bajo que configuraciones de los parámetros la posibilidad de segmentación
brinda resultados favorables.
El trabajo se encuentra estructurado del siguiente modo: en la Sección 2 se presenta
brevemente el estado de la cuestión bajo análisis. En la Sección 3 se desarrolla formalmente
el modelo a considerar, comenzando por un análisis del problema básico del monopolista y
añadiendo luego la posibilidad de discriminar precios en tercer grado. En la Sección 4 se
muestran los resultados del análisis de las distintas configuraciones del modelo, mientras
que en la Sección 5 se expone la conclusión.
2
Sección 2: Estado de la cuestión
El concepto de discriminación de precios de tercer grado, atribuido a Pigou (1920),
hace referencia a la posibilidad que tiene un monopolista de segmentar la demanda a través
de características observables, cobrando precios lineales en cada uno de los segmentos,
pero que pueden diferir (y en general lo hacen) entre los mismos.1 Es claro que el beneficio
correspondiente a la discriminación de precios de tercer grado nunca es inferior al asociado
a un precio uniforme (el monopolista discriminador siempre puede fijar precios iguales en
todos los mercados); pero, ¿qué ocurre con el bienestar?
Robinson (1933) demuestra que si dos segmentos presentan demandas lineales y
los costos marginales son constantes, la discriminación no modifica la cantidad producida;
como la misma se encuentra distribuida de forma ineficiente (las valoraciones marginales de
un mismo bien no son iguales para todos los individuos), el bienestar cae. Schmalensee
(1981) generaliza este resultado para una cantidad arbitraria de mercados y demuestra
además que, para cualquier forma funcional de la demanda, un incremento de la producción
es condición necesaria para que la discriminación aumente el bienestar. Varian (1985) y
Schwartz (1990), entre otros, continúan extendiendo resultados de esta índole considerando
demandas interdependientes y distintas estructuras de costos.
Un supuesto considerado en el análisis precedente es que bajo el precio uniforme
todos los mercados están servidos.2 Este supuesto se mantiene aún en los trabajos más
recientes. Cowan (en prensa) emplea demandas no lineales (siendo las mismas
transformaciones afines unas de otras) y muestra que deben darse condiciones muy
particulares para que la discriminación aumente el bienestar. Por otra parte, Cowan y
Vickers (2007) emplean demandas inversas con curvatura constante para delinear los
efectos de la discriminación en el producto y en el bienestar, concluyendo también que hay
una tendencia a que la misma sea perjudicial.
La primera y única consideración explícita y sistemática de los efectos de la
exclusión de segmentos al fijarse un precio uniforme corresponde a Kaftal y Pal (en prensa).
Estos autores brindan condiciones necesarias y suficientes para determinar que ocurre con
el bienestar al permitirse la discriminación de precios basándose únicamente en parámetros
de la demanda (y no en las cantidades producidas).3 Su análisis es válido para un número
arbitrario de segmentos con demandas lineales; y los resultados indican, nuevamente, que
las condiciones para que el bienestar aumente con la discriminación son algo restrictivas
(aún en casos en los cuales no todos los mercados son atentidos con el precio uniforme).
1 Si además puede cobrar precios no lineales al interior de cada segmento, se trata de un
caso de discriminación en primer grado o discriminación perfecta.
2 La importancia del mismo ha sido reconocida por los autores; por ejemplo, tanto Robinson
(1933) como Schmalensee (1981) especifican la relevancia de considerar estos casos.
3 Cowan (en prensa) adhiere a la importancia de basarse en parámetros en vez de
cantidades.
3
Sección 3: Modelo matemático
3.1: El problema del monopolista, el bienestar y el excedente del consumidor
El problema al que se enfrenta el monopolista (con costo marginal c=0)4 es:
Max π = P(x)·x
x
CPO : P′(x)·x + P(x) = 0
CSO : P′′(x)·x + P′(x) + P′(x) < 0
Es interesante tener en cuenta que la existencia y la unicidad de equilibrio se
garantizan con una única condición sobre la función de demanda: que la misma sea
estrictamente -1-cóncava.5 Una función no negativa f es r-cóncava si, para r positivo, f r es
cóncava, mientras que para r negativo, -f r es cóncava; tomando límites, la 0-concavidad (o
log-concavidad) es la concavidad del logaritmo natural de la función. La 1-concavidad es la
concavidad tradicional, mientras que la -∞-concavidad es la cuasiconcavidad. Toda función
r-cóncava también es ř-cóncava para todo ř < r; por ejemplo, todas las funciones cóncavas
son también log-cóncavas, pero no a la inversa.
Es así que requeriremos que la demanda sea estrictamente -1-cóncava; esto es, que
el recíproco de la demanda sea una función convexa. En cuanto a la forma funcional a
emplear, véase que la CSO del problema del monopolista puede reescribirse del siguiente
modo:
P′′(x)·x < −2·P′(x)
P′′(x)·x
−
<2
P′(x)
σ
Al igual que Cowan y Vickers (2007), en este trabajo consideraremos las funciones
para las cuales σ (es decir, la curvatura de la función de demanda inversa)6 es constante;
resolviendo la ecuación diferencial resultante,
P(x) = a + b·x1−σ
Dado que en nuestro análisis posterior nos concentraremos únicamente en la
curvatura σ y en el término independiente a, y para asegurar que P´(x)<0, definimos:
b≡
1
⇒
σ −1
P(x) = a −
x1−σ
1− σ
4 Este supuesto es inocuo en términos de nuestro análisis.
5 Esta definición de concavidad corresponde a Avriel (1972); Caplin y Nalebuff (1991) la
emplearon por primera vez en Economía. El resultado en relación al problema del
monopolista fue explicitado de este modo por vez primera en Anderson y Renault (2003).
6 También puede interpretarse como la elasticidad de la pendiente.
4
que incluye como casos particulares a la demanda lineal y a la isoelástica.
Para la especificación funcional seleccionada, verificamos que implicancias tiene la
consideración de la -1-concavidad:
1
x1−σ
⇒ X(p) = ( a − p )(1 − σ )  1−σ
1− σ
1
2 −σ
1
−1 ′
σ
−
1
σ
X(p)
=
1
−
a
−
p
(
) (
) σ −1
[ ]
1− σ
1
3 − 2σ
2 −σ
−1
σ −1 ( a − p ) σ −1
σ
−
1
(
)
[ X(p)] ′′ =
2
(1 − σ )
P(x) = a −
−1
sg  [ X(p)] ′′  = sg ( 2 − σ ) ;


⇒
1
[ X(p)] = ( a − p )(1 − σ ) σ −1
−1
X(p) es estrictamente -1-cóncava ⇔ σ < 2
Resolviendo la CPO,
x1−σ
−x x + a −
=0
1− σ
−σ
⇒
1−σ
a=x
1

1+ 1− σ

 2 − σ 1−σ
x
=
 1− σ
⇒
 1− σ
x=
 2 −σ
1
1−σ
a

Las otras variables de interés del problema son:7
2 −σ
1− σ
 1 − σ  1−σ
p=
a ; π =
a
2 −σ
 2 −σ 
2 −σ
1  1 − σ  1−σ
; EC =
a
2 − σ  2 − σ 
donde p es el precio del bien, π es el beneficio y EC es el excedente del consumidor. La
suma de estos últimos dos conceptos conforma el bienestar, y será notado W.8
A modo de comparación, en una situación de competencia perfecta
ECcomp = Wcomp =
1
2 −σ
2 −σ
( (1 − σ ) a ) 1−σ
Graficamos ambos excedentes y W en función de σ para a=10:9
7 Asumiremos de aquí en más que a·(1-σ)>0, con el fin de asegurar que la demanda sea
finita en todos los casos.
8 De aquí en más prescindiremos de las consideraciones relacionadas con la distribución y
los efectos riqueza, asumiendo (en línea con la abrumadora mayoría de la literatura sobre
estos temas) que el excedente del consumidor es una medida válida de bienestar.
9 Para σ є (1,2) habría que redefinir el valor de a; en este intervalo, EC, W y W comp son muy
similares.
5
Gráfico Nº 1: bienestar y excedente del consumidor en función de σ
90
EC,W
80
70
60
50
40
ECcomp = Wcomp
30
W
20
EC
10
σ
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
Una medida habitual del impacto del monopolio es la pérdida de bienestar
porcentual, PBP:
PBP =
Wcomp − W
Wcomp
= 1−
 1− σ

 2 −σ
2 −σ
1−σ

a

1
2 −σ
1
+
2 −σ
 1− σ

 2 −σ
( (1 − σ ) a )

a

2 −σ
1−σ
2 −σ
1−σ
2 −σ
1
= 1 − ( 2 − σ ) σ −1 − ( 2 − σ )σ −1
Gráficamente,
Gráfico Nº 2: pérdida de bienestar porcentual en función de σ
0.28
PBP
0.26
0.24
0.22
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
-5.5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5
σ
0.5
1
1.5
2
En el caso tradicional de una demanda lineal (σ=0), la pérdida en el bienestar es del
25%. La PBP es máxima para σ=1 y tiende a cero cuando σ tiende a 2 ó a -∞.10
10 Un análisis más profundo de esta función puede hallarse en Anderson y Renault (2003) y
en Corchón Díaz (en prensa).
6
También es de interés observar qué ocurre con el excedente del consumidor; la
pérdida de excedente del consumidor porcentual (PECP) es
2 −σ
1  1 − σ  1−σ
a

2 −σ
ECcomp − EC
2 −σ  2 −σ 
σ −1
PECP =
= 1−
=
1
−
2
−
σ
(
)
2 −σ
ECcomp
1
( (1 − σ ) a ) 1−σ
2 −σ
Gráficamente,
Gráfico Nº 3: pérdida de excedente del consumidor porcentual en función de σ
1
PECP
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
σ
-5.5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5
0.5
1
1.5
2
En el caso tradicional de una demanda lineal (σ=0), la pérdida en el excedente del
consumidor es del 75%. La PECP tiende a cero cuando σ tiende a 2 y, a diferencia de la
PBP, tiende a 1 cuando σ tiende a -∞.
3.2: El problema del monopolista discriminador
Una vez expuesto el problema tradicional del monopolista (y sus consecuencias
sobre el bienestar), consideraremos la posibilidad de discriminar precios en tercer grado en
dos mercados; esto es, los mismos pueden segmentarse basándose en características
observables, cobrando un precio distinto en cada uno de ellos. En este caso, el problema
que se resuelve es:
Max π = P1(x1 )·x1 + P2 (x 2 )·x 2
x1,x 2
CPO : P1′(x1 )·x1 + P1 (x1 ) = 0 ; P2′ (x 2 )·x 2 + P2 (x 2 ) = 0
CSO : P1′′(x1 )·x1 + 2P1′(x1 ) < 0 ; P2′′(x 2 )·x 2 + 2P2′ (x 2 ) < 0
Sencillamente, lo que hace el monopolista es cobrar un precio lineal en cada uno de
los mercados. Si el monopolista no puede cobrar precios distintos (a pesar de que la
demanda esté efectivamente segmentada), el problema que resuelve es:
7
Max π = p·[ X1 (p) + X2 (p)]
p
CPO : X1 (p) + X2 (p) + p·[ X1′ (p) + X′2 (p)] = 0
CSO : 2X1′ (p) + 2X′2 (p) + p·[ X1′′(p) + X′′2 (p)] < 0
No obstante, en este caso se está efectuando un supuesto importante: que ambos
mercados son servidos por el monopolista. Esto puede no ocurrir. Al monopolista podría
convenirle “cerrar” las ventas al segmento inferior, fijando un precio en el segmento superior
igual al que fijaría si pudiera discriminar precios. A la luz de estos resultados, el problema
del monopolista que no puede discriminar precios en tercer grado es:


π * = Max arg Max
π = p·[ X1 (p) + X2 (p)] s.a. p ≤ a1,a2

p

2 −σ 1
 1 − σ 1  1−σ1
;
a1 
 2 − σ1 
2 −σ 2

 1− σ 2
 1−σ 2 
;
a2 

 2 −σ2 


Cabe citar que para que sea posible que un mercado sea cerrado porque no hay
demanda al precio lineal fijado debe ocurrir que la función de demanda inversa tenga
ordenada. Considerando nuestra especificación funcional, esto sucede para σ<1. Para σ є
(1,2), la demanda no interseca el eje de los precios: ningún mercado puede ser cerrado.
De aquí en más supondremos σ1=σ2=σ, y, sin pérdida de generalidad, a2>a1. De este
modo, los beneficios de la discriminación en el segmento 2 siempre son mayores a los
correspondientes al segmento 1 (aún cuando, para σ>1, el precio en el mercado 1 es
superior al del mercado 2).
Si se verifica una situación en la cual la imposibilidad de discriminar hace que se
cierre el segmento 1, incorporar la posibilidad de discriminar precios en tercer grado:
no modifica el excedente del consumidor en el segmento 2, ya que en el mismo ya
se estaba cobrando el precio de discriminación;
incrementa (de 0 a un valor positivo) el excedente del consumidor en el mercado 1
(que estaba cerrado); e
incrementa los beneficios del monopolista (no modifica sus beneficios en el
segmento 2 e incrementa de 0 a un valor positivo sus beneficios en el segmento 1).
¿Es esta la única situación en la cual es recomedable permitir la discriminación de
precios? Si uno está pensando en términos de mejoras paretianas, entonces sí lo es. No
obstante, hay otros casos en los cuales la discriminación brinda resultados “positivos”. Por
ejemplo, puede ocurrir que la discriminación traiga aparejado un incremento en el excedente
del consumidor y, por ende, también en el bienestar (ya que el beneficio también aumenta).
Ahora bien, este incremento en el excedente se origina en un aumento del excedente en el
segmento en el cual el precio cae como consecuencia de la discriminación, y una caída
(inferior en valor absoluto) del excedente en el segmento en el cual el precio sube.11
También puede ocurrir que la mencionada caída en el excedente sea superior en
valor absoluto al aumento del excedente en el otro segmento. No obstante, aún en este caso
el bienestar puede aumentar por el accionar de los beneficios. Por supuesto, existe también
la posibilidad de que el bienestar caiga con la discriminación de precios, en cuyo caso una
política que permita dicho accionar sólo podría ser válida si persigue fines redistributivos
entre los segmentos.
11 Nahata, Ostaszewski y Sahoo (1990) demuestran que la cuasiconcavidad de las
funciones de beneficio (implicada por la -1-concavidad de la demanda en este caso) asegura
que el precio uniforme se encuentre entre los precios de discriminación máximo y mínimo.
8
Sección IV: Resultados
Ahora analizaremos bajo qué parámetros la discriminación de precios genera un
aumento en el bienestar y en el excedente del consumidor. Para ello se hará uso de un
plano cartesiano σ / a1/a2; es decir, se grafican las regiones de interés para distintos valores
de la curvatura de la demanda inversa, en el eje de las abcisas, y de una medida del tamaño
del segmento inferior en relación al superior (a1/a2, que varía entre 0 y 1 dado que 0<a1<a2)
en el eje de las ordenadas.12 Para valores de σ entre 1 y 2, dado que es necesario redefinir
los términos ai, se graficarán las regiones en un plano σ / a2/a1 (donde a2/a1 también varía
entre 0 y 1).
Para σ<1,13
Gráfico Nº 4: plano cartesiano σ / a1/a2 para σ<1 y efectos de la discriminación
1 a1/a2
0.9
0.8
0.7
0.6
↓W
↓W
0.5
↑W
0.4
0.3
↑EC
0.2
↑EC
↑EC
0.1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
σ
1
La región por debajo de la línea gruesa corresponde a las configuraciones
paramétricas que, ante la obligación de fijar un único precio, generan la exclusión del
segmento inferior (y, por lo tanto, hacen que la discriminación de precios origine una mejora
paretiana). Para las funciones de demanda cóncavas (es decir, σ<0) esto ocurre cuando la
máxima disposición a pagar en el segmento inferior es menor al 40% (aproximadamente) de
la correspondiente al segmento superior. En particular, para σ → -∞, el ratio a1/a2 que
genera la indiferencia entre excluir o no un segmento tiende a 50%. Para las funciones de
demanda log-cóncavas pero no cóncavas (es decir, 0<σ<1), la brecha entre los segmentos
debe ir ensanchándose al aumentar la curvatura de la demanda inversa.
El motivo que origina el cierre de uno de los mercados es, por supuesto, la capacidad
de obtener beneficios mayores atendiendo sólo uno de ellos. Es interesante ver que, si bien
para σ є (0.5,1) la indiferencia entre los beneficios de una y otra posibilidad coincide con la
fijación de un precio igual a la máxima disposición a pagar en el segmento inferior, esto no
es así para σ<0.5. Por ejemplo, para σ = -1, el valor de a1/a2 que deja indiferente al
12 Nótese que cuanto menor es a1/a2, mayor es la brecha entre los segmentos.
13 Como puede apreciarse en el Gráfico Nº 1, tanto el excedente del consumidor como el
bienestar en función de σ tienden a anularse para valores de σ muy cercanos a la unidad;
esto impide una correcta interpretación de los resultados relevantes, por lo cual no
extendemos las regiones hasta el límite.
9
monopolista entre cerrar o no un mercado es de 43%. En esa situación, fijar p/a1=0.87
(atendiendo así los dos segmentos) es equivalente en términos de beneficios a fijar
p/a1=1.55, casi el doble, excluyendo así al segmento inferior.
No obstante, no es esta la única configuración que hace aconsejable la autorización
para discriminar precios. La región entre la línea gruesa y la línea rayada corresponde a
valores de los parámetros para los cuales la discriminación conlleva un incremento en el
excedente del consumidor. Por otra parte, la región entre la línea rayada y la línea punteada
corresponde a situaciones en las cuales la discriminación de precios, si bien no aumenta el
excedente del consumidor, hace crecer el bienestar. Teniendo en cuenta esta última región,
puede verse que la existencia de una brecha importante entre las valoraciones de los
segmentos no es imprescindible para que la discriminación aumente el bienestar: para
valores de σ altos, es posible que el bienestar aumente aunque la disposición a pagar
máxima del segmento inferior sea tan solo un 10% inferior a la correspondiente al segmento
superior.
Para σ>1,
Gráfico Nº 5: plano cartesiano σ / a2/a1 para 1<σ<2 y efectos de la discriminación
1 a2/a1
0.9
0.8
↑EC
0.7
0.6
0.5
↑W
0.4
0.3
0.2
↓W
0.1
σ
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Dado que para σ>1 la demanda inversa no interseca el eje de los precios, es
imposible la exclusión de segmentos. No obstante, continúa siendo factible lograr mejoras
en el excedente del consumidor (en la región por encima de la línea rayada) o al menos en
el bienestar (en la región entre las líneas punteada y rayada).
Estos últimos resultados confirman las ventajas de trabajar con formas funcionales
generales. En el caso de dos segmentos con demandas lineales ilustrado en Kaftal y Pal (en
prensa) hay una asociación biunívoca entre la exclusión (o no) de un mercado y la mejora (o
no) del bienestar ante la posibilidad de discriminar precios. Esto es, si ambos mercados son
servidos bajo el precio uniforme, la discriminación reduce el bienestar. En el Gráfico Nº 4,
puede observarse que esto es así para σ = 0. Considerando demandas -1-cóncavas, existen
varias configuraciones de los parámetros para las cuales la discriminación aumenta el
bienestar aún cuando ambos mercados son servidos bajo el precio uniforme.
10
Sección V: Conclusión
En este trabajo se analizaron las configuraciones paramétricas que originan una
reversión del resultado tradicional acerca de los efectos negativos de la discriminación de
precios de tercer grado. Por ejemplo, para demandas log-cóncavas con curvatura constante
de la función de demanda inversa, si la máxima disposición a pagar en el segmento inferior
no supera el 40% de aquella correspondiente al otro segmento, la discriminación de precios
genera un aumento en el bienestar (si el ratio no es superior a un tercio, también se asegura
un aumento del excedente del consumidor).
Por supuesto, sería interesante analizar los efectos de ciertas extensiones sobre
estos resultados. Por ejemplo, podría considerarse que los segmentos no sólo difieren en el
término independiente sino también en la curvatura de demanda (esto es, σ1≠σ2). Cowan y
Vickers (2007) brindan una condición suficiente (aunque no necesaria, y bastante restrictiva)
para que el bienestar aumente con la discriminación: que el segmento superior no tenga una
mayor curvatura que el inferior, siendo ambas mayores o iguales a uno.14
Otro factor a tener en cuenta es el efecto de considerar un mayor número de
mercados. Para dos segmentos, una situación en la que el precio uniforme excluye un
mercado implica que la posibilidad de discriminar genere una mejora paretiana. Esto ya no
es válido para más de dos mercados; por ejemplo, si dos de tres segmentos son servidos
bajo precio uniforme, la discriminación implicará con seguridad una reducción del bienestar
en el segmento superior.
De todos modos, si bien una generalización en este sentido es claramente deseable,
también es cierto que la mayoría de las aplicaciones prácticas no permiten el
establecimiento de una segmentación demasiado detallada. De hecho, muchas veces la
discriminación se da en términos dicotómicos: la característica se posee o no se posee.
Ejemplos de ello son los estudiantes, los ancianos, los habitantes de países en desarrollo o
los miembros de un club (en todos estos casos, el análisis precedente es aplicable).
14 Adicionalmente se requiere que la curvatura no sea inferior al cuadrado de la inversa de
la elasticidad-precio de la demanda considerando el precio uniforme, lo cual ocurre si este
último no se encuentra demasiado alejado de los precios de discriminación.
11
Referencias
Anderson, S. y Renault, R. (2003). “Efficiency and Surplus Bounds in Cournot Competition”
Journal of Economic Theory 113:253-264.
Avriel, M. (1972). “r-Convex Functions” Mathematical Programming 2:309-323.
Caplin, A. y Nalebuff, B. (1991). “Aggregation and social choice: a mean voter theorem”
Econometrica 59:1-23.
Corchón Díaz, L. (en prensa). “Welfare losses under Cournot competition” a ser publicado en
International Journal of Industrial Organization.
Cowan, S. (en prensa). “The Welfare Effects of Third-Degree Price Discrimination with NonLinear Demand Functions” a ser publicado en RAND Journal of Economics.
Cowan, S. y Vickers, J. (2007). “Output and Welfare Effects in the Classic Monopoly Price
Discrimination Problem” Economics Series Working Paper 355.
Kaftal, V. y Pal, D. (en prensa). “Third-Degree Price Discrimination in Linear-Demand
Markets: Effects on Number of Markets Served and Social Welfare” a ser publicado en
Southern Economic Journal.
Nahata, B., Ostaszewski, K. y Sahoo, P. (1990). “Direction of Price Changes in Third-Degree
Price Discrimination” American Economic Review 80:1254-1262.
Pigou, A. (1920). “Economics of Welfare” London, MacMillan.
Robinson, J. (1933). “Economics of Imperfect Competition” London, MacMillan.
Schmalensee, R. (1981). “Output and Welfare Implications of Monopolistic Third-Degree
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Schwartz, M. (1990). “Third-Degree Price Discrimination and Output: Generalizing a Welfare
Result” American Economic Review 80:1259-1262.
Varian, H. (1985). “Price Discrimination and Social Welfare” American Economic Review
75:870-875.
12