t3. medidas - Mauricio Contreras

T3. MEDIDAS
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MATEMÁTICAS PARA 3º ESO
MATH GRADE 9
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CURRÍCULUM MATEMÁTICAS
NOVA SCOTIA
ATLANTIC CANADÁ
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TRADUCCIÓN: MAURICIO CONTRERAS
T3. MEDIDAS
MAURICIO CONTRERAS
MEDIDAS



Demostrar una comprensión del concepto de tasa; usar medidas directas o indirectas
para describir y hacer comparaciones y leer e interpretar escalas, y describir cómo un
cambio en una medida indirecta afecta a otra medida indirecta relacionada.
Resolver problemas de medidas indirectas por conexión entre tasas y pendientes de
rectas.
PELOTAS
Recoge varios balones como pelotas de ping-pong, pelotas de tenis, y pelotas de baloncesto.
Selecciona una pelota y déjala caer desde un rango de alturas. Registra la altura de caída y la
altura del rebote (una cinta métrica unida a una pared puede ayudar a medir estas alturas más
exactamente). Representa gráficamente los datos y ajusta una recta a los mismos. Halla la
pendiente de la recta y usa la pendiente para escribir una ecuación en la forma y=mx donde m
es la pendiente. Observa que la pendiente representa el cociente
cambio en altura del rebote
cambio en la altura de caída
Repite el experimento con distintos tipos de pelotas. Observa que el cambio en la altura de
rebote afecta a la pendiente de la recta en cada caso. Averigua qué tipo de pelota tiene el
mejor rebote y compara éste con la pendiente de la recta. Describe cómo se relacionan los
mejores rebotes con la pendiente de la recta.

GRIFO AGUJEREADO
Vamos a realizar el siguiente experimento para hallar la cantidad de agua que se pierde a
través de un grifo agujereado. Esto se puede simular usando vasos de papel, un reloj
automático, y un cilindro de vidrio graduado. Haz un pequeño agujero en el fondo del vaso y
cúbrelo con un dedo hasta estar preparado para empezar. Aparta el dedo y registra la cantidad
de agua a intervalos regulares. (Si el agua chorrea dentro de un fino cilindro graduado, esas
medidas pueden ser más fáciles de hacer). Representa gráficamente los datos y dibuja la línea
de mejor ajuste. Halla la pendiente de esa línea. Intenta de nuevo esto con dos pequeños
agujeros en el vaso.
a)
b)
c)
¿Esperas obtener la misma pendiente? Explica.
¿Continuarán siendo lineales los datos? Explica.
El cambio en la tasa de flujo, ¿cómo afecta a la pendiente de la recta?

PISTA DE ESQUÍ
El gráfico representa el perfil de una pista de esquí. Halla la pendiente de cada segmento de la
pista y compara el número de cada segmento con la pendiente total de la pista (que une el
origen de coordenadas con el punto E). ¿Qué conclusión obtienes? Escribe un informe que
relacione la magnitud de la pendiente con la inclinación del correspondiente segmento.
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
MAURICIO CONTRERAS
MANTA PARA MUÑECA
Sarah hace una manta rectangular para la muñeca de su hermana. Las dimensiones de la
manta eran 40 cm por 60 cm. Después de lavar, las dimensiones de la manta se redujeron en
un 4% uniformemente.
a)
b)
c)
d)
¿Cuáles son las nuevas dimensiones?
Escribe la razón de cambio de las dimensiones respecto de las dimensiones originales.
Haz un dibujo a escala de la manta original y de la manta encogida en un papel
cuadriculado. Halla el área de la manta antes y después del lavado y escribe la razón de
cambio del área respecto del área original en porcentaje. ¿Cómo se relaciona este
porcentaje con el porcentaje original de “encogimiento”?
Intenta resolver el mismo problema de nuevo usando un encogimiento del 10%. Compara
el porcentaje de encogimiento de las dimensiones con el efecto en el área. ¿Cuál es tu
conclusión? Desarrolla un plan que sirva para observar si hay alguna relación consistente.



Comunicar usando un amplio rango de unidades del sistema internacional (SI) y
seleccionar las unidades apropiadas en situaciones dadas.
Resolver problemas de medidas que involucran conversión entre unidades del sistema
internacional (SI).
CAPACIDAD DE UNA TUBERÍA
Halla la capacidad de una tubería de agua que tiene 20 metros de longitud y 2 cm de diámetro.

HELADO
Un cucurucho de helado está relleno de helado suave, y tiene una cucharada de helado fuerte
situada en la parte superior. El cucurucho tiene una longitud de 10 cm y un diámetro interior
de 7cm.
a)
b)

Suponiendo que la bola de helado fuerte es una perfecta semiesfera que se ajusta
exactamente al cono, ¿cuántos mililitros de helado contiene el cucurucho?
Jan tiene 1 litro de helado suave y 2 litros de helado fuerte. ¿Cuántos cucuruchos puede
hacer?
EL COBERTIZO
La familia Johnson tiene un cobertizo que es 180 cm de alto en las paredes y 2,4 m de alto en
el centro con un suelo rectangular de dimensiones 3 m por 4,2 metros.
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a)
b)
c)

MAURICIO CONTRERAS
Si rellenan el cobertizo con heno hasta la altura de las paredes, ¿cuánto heno tienen?
Si se hace un desván en el punto más alto del tejado, ¿cuánto heno pueden almacenar en
él? ¿Qué supuesto hay que hacer?
Si en el suelo las dimensiones se incrementan por x, escribe una expresión para
representar la nueva capacidad en cada uno de los apartados anteriores (a) y (b). Usa
estas expresiones para hallar la capacidad si x=85 cm y si x=1,65 m.
TETRAPACK
Bebidas KOOL quiere diseñar un tretrapack para sus 600 ml de ponche de frutas. Halla varios
posibles conjuntos de dimensiones de la caja. De las dimensiones halladas, determina cuál de
las cajas requiere la menor cantidad de material para su construcción.

SALA DE JUEGO
El señor McDonald decide hacer una sala de juego en su restaurante. Decide rellenar una
habitación con una profundidad de 30 cm con pelotas de golf. Cada pelota tiene una masa de 5
gramos y un diámetro de 7 cm. La habitación es rectangular con dimensiones 4,2 m por 5,5 m.
a)
b)
c)
d)
Halla el número aproximado de pelotas necesario para rellenar la habitación con la
profundidad deseada.
¿Qué supuestos hay que hacer al hallar el número de pelotas?
Las pelotas son enviadas en cajas con 0,5 metros cúbicos de volumen. Halla el número
aproximado de cajas que se necesitan para completar la habitación.
¿Cuánto costará enviar las pelotas, si el señor McDonald usa la empresa Econo
transportes para transportar las pelotas con un coste de 0,50 euros por kilo?





Estimar y aplicar conceptos de medida en situaciones problemáticas relevantes, y usar
herramientas y unidades que reflejen un grado apropiado de precisión.
Desarrollar y aplicar un amplio rango de fórmulas y procedimientos de medida
Relacionar los volúmenes de pirámides y conos con los volúmenes de los
correspondientes prismas y cilindros.
Estimar, medir, y calcular dimensiones, volúmenes, y áreas de superficies de
pirámides, conos y esferas en situaciones problemáticas
COMPARACIÓN DE VOLÚMENES I
Haz un cono y un cilindro de igual altura, usando una construcción de cartulina o papel. Echa
en el interior del cono agua, arena o arroz hasta que se complete hasta la parte superior. A
continuación echa este contenido en el cilindro y observa la altura del material en el cilindro y
registra tus observaciones. Repite las mismas operaciones variando las dimensiones de conos y
cilindros (aunque manteniendo iguales cada vez las alturas de cono y cilindro). Redacta tus
conclusiones sobre la relación entre el volumen del cono y del cilindro de la misma altura.
Repite la actividad usando una pirámide y un prisma.

COMPARACIÓN DE VIOLÚMENES II
Haz una de las siguientes opciones, usando materiales de tu propia elección: i) un cilindro y un
cono que tengan la misma altura y base, o ii) un prisma recto y una pirámide que tengan la
misma altura y base.
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a)
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b)
Explica y demuestra a la clase qué ocurre cuando rellenamos el cono o la pirámide y
echamos su contenido en el cilindro o el prisma.
Escribe con palabras y usando símbolos la relación entre el volumen de un cono y el
volumen de un cilindro o entre el volumen de una pirámide y el volumen de un prisma
que tenga su misma altura y base.

SÓLIDOS
Estima el volumen de los siguientes sólidos y explica tu razonamiento:

ESFERA
Una esfera cabe exactamente dentro de un cubo que tiene 12 cm de diámetro. Halla el área de
la superficie y el volumen del cubo.

HALLOWEEN
Un sombrero de bruja hecho para Halloween, está hecho de una pieza de cartón duro. Sandy
decide que, en orden a tener suficiente espacio para ajustar alrededor del sombrero su peluca
de bruja, necesita que la apertura tenga una circunferencia de 56 cm. Busca el sombrero para
medir 30 cm desde el ala hasta el punto situado en la cima del cono.
a)
b)
¿Cuál era el área del cartón que necesitó para cortar la forma del sombrero?
El ala del sombrero es circular y tiene 8 cm de anchura. ¿Cuál es el radio del circulo
interior y exterior que se necesita cortar para hacer el ala del sombrero?

ESFERA INSCRITA
Una esfera cabe exactamente dentro de un cilindro. La esfera tiene 12 cm de diámetro. Halla el
área de la superficie y el volumen de la esfera.



Estimar y aplicar conceptos de medida en situaciones problemáticas relevantes, y usar
herramientas y unidades que reflejen un apropiado grado de precisión.
Desarrollar y aplicar un amplio rango de fórmulas y procedimientos de medida.
Medir, estimar y calcular dimensiones, volúmenes y áreas de superficies de pirámides,
conos, y esferas en situaciones problemáticas.
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
MAURICIO CONTRERAS
VOLUMEN DE LA ESFERA
Considera un cilindro y una semiesfera de igual diámetro. Utilizando materiales como agua,
arena o arroz, comprueba que se puede vaciar el contenido de la semiesfera exactamente tres
veces en el cilindro para rellenarlo completamente. Explica tus conclusiones a la clase y escribe
una fórmula que relacione el volumen de la esfera completa con el del cilindro.
(comprueba que el volumen de la semiesfera es un tercio del volumen del cilindro y que, por
tanto, el volumen de la esfera es dos tercios del volumen del cilindro)
Comenta la siguiente secuencia de argumentos:
2
del volumen del cilindro
3
2
Volumen de la esfera =    r 2  h
3
2
Volumen de la esfera =    r 2  2  r  (ya que la altura del cilindro es h=2r)
3
4
Volumen de la esfera =    r 3
3
Volumen de la esfera =

SUPERFICIE DE UN CONO
Halla el área de la superficie de un cono, considerando el dibujo siguiente. Explica por qué este
desarrollo permite construir un cono. (El círculo pequeño es la base del cono y el área
sombreada es la superficie lateral del cono).
El radio del área del sector y el área del círculo completo están en la misma razón que la
longitud del arco AB de la circunferencia con el arco del círculo completo. Comprueba si la
siguiente cadena de argumentos es correcta:
área del sector
arco AB

(arco AB=circunferencia del círculo pequeño)
área del círculo circunferencia del círculo
área del sector 2r
área del sector r
r

 → área del sec tor     s 2 →
→
2
2
2s
s
s
s
s
área del sec tor (área lateraldel cono)    r  s
El área total del cono es A=   r  s    r 2    r  r  s

CUCURUCHOS
Un comercio produce cucuruchos de helado, e intenta que el cono quede relleno con helado y
que tenga helado hasta el tope
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a)
b)

MAURICIO CONTRERAS
Si el helado tiene 2,5 cm por la parte superior del cono, formando una perfecta
semiesfera y el cono tiene 5 cm de diámetro y 12 cm de altura, ¿cuánto helado se
requerirá para hacer este cucurucho?
Si el helado tiene 3 cm por la parte superior del cono, formando un cilindro, y el cono
tiene 5 cm de diámetro y 12 cm de altura, ¿cuánto helado se requerirá para hacer este
cucurucho?
RESTAURACIÓN
El comité de patrimonio está restaurando la vieja iglesia de un pueblo. La cúpula (una pirámide
cuadrada) debe ser cubierta con una lámina metálica. ¿Cuál es la mínima cantidad de lámina
que se requiere para cubrir la cúpula si la base tiene 4 m2 y la altura de una cara mide 8 m?

CRECIMIENTO DE UN BALÓN
El radio de un balón mide 14 cm. ¿por qué factor se multiplica el área de su superficie si el
balón se infla hasta que su radio aumenta en un centímetro?




Estimar y aplicar conceptos de medida en situaciones problemáticas relevantes y usar
herramientas y unidades que reflejen un grado apropiado de precisión.
Desarrollar y aplicar un amplio rango de formulas y procedimientos de medida.
Demostrar una comprensión de las proporciones y aplicarlas entre triángulos
semejantes.
ALTURA DE UN ÁRBOL
Un árbol proyecta una sombra de 12 m al mismo tiempo que un palo de un metro arroja una
sombra de 3,2 m. Halla la altura del árbol. Explica por qué este problema se puede resolver con
la proporción siguiente:
altura del árbol
altura del palo

longitud de la sombra del árbol longitud de la sombra del palo
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
MAURICIO CONTRERAS
TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Observa la siguiente figura:
a)
b)
c)
d)

¿Qué triángulos son semejantes? ¿Por qué?
Mide los lados y determina las razones siguientes:
PQ RS
i)
,
QT ST
PQ RS
ii)
,
PT RT
QT ST
iii )
,
PT RT
¿Qué puedes concluir sobre los valores obtenidos?
Si PQ=8,2 cm, QS=5,3 cm y ST=7,3 cm, usa uno de los pares de razones del apartado b)
para hallar RS.
LONGITUD DE UN LAGO
Usa las medidas que se muestran en el diagrama para hallar la longitud del lago.





Relación entre medidas indirectas, tasas y pendientes de rectas
Conversión entre unidades del sistema internacional (SI)
Estimación y cálculo de dimensiones, áreas y volúmenes de prismas, cilindros,
pirámides, conos y esferas
Deducción y aplicación de fórmulas y procedimientos para calcular áreas y volúmenes
de sólidos
Aplicación de las proporciones al cálculo de medidas de triángulos semejantes
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