Ondas y Rotaciones

Hoja de Trabajo 9
Ondas y Rotaciones
Movimiento Relativo I
Jaime Feliciano Hernández
Universidad Autónoma Metropolitana - Iztapalapa
México, D. F. 15 de agosto de 2012
INTRODUCCIÓN. En la Mecánica Clásica se supone que las partículas, como también
los observadores, “viven” en un espacio euclidiano tridimensional. Que sea
tridimensional es una suposición realmente sorprendente, ya que nuestra
experiencia nos dice que, para determinar de forma única la posición de una
partícula, necesitamos tres coordenadas. Que sea euclidiano significa que se
cumplen los cinco postulados de la Geometría de Euclides que es la que desarrollaron
los griegos y que nos parece completamente natural en la vida cotidiana.
El espacio que Newton usa para desarrollar la mecánica no sólo es euclidiano sino
que también homogéneo e isótropo. Esto significa que todos los lugares del espacio
son equivalentes y que el espacio tiene las mismas propiedades en todas las
direcciones. ¡No hay esquinas o pliegues o agujeros que distorsionen el espacio!
Para desarrollar la mecánica también es indispensable decir algo sobre el concepto
de tiempo. Newton usó la suposición de que: “El tiempo matemático, absoluto y
verdadero fluye, debido a su propia naturaleza, parejamente y en forma
independiente a cualquier agente externo”. Esta suposición también nos parece
completamente natural, avalada por nuestra experiencia: el hecho de que el tiempo
avanza homogénea y continuamente, independiente de la posición de un observador,
de su velocidad, de cualquier cosa.
De la misma manera, la Cinemática, como se ha planteado hasta ahora, obedece a
una serie de criterios y restricciones que son consecuencia de esos principios
generales.
Los problemas de composición de movimientos tienen la dificultad de saber respecto
a que sistema estamos resolviendo y por tanto determinar siempre las magnitudes
respecto al sistema apropiado, bien el especificado por el problema, bien uno elegido
adecuadamente. Es común en este tipo de problemas la presencia de más de un
móvil y hay que ser muy cuidadoso para identificar correctamente que móviles se
mueven y respecto a qué.
A. SISTEMAS DE REFERENCIA. Consideremos dos sistemas de referencia
cualquiera y tratemos de describir el movimiento de un cuerpo en movimiento con
respecto a ambos sistemas. El primer sistema está determinado por el conjunto
A = {( x, y, z ) | x, y, z ∈ ℜ} , y el segundo por el conjunto B = {( x' , y ' , z ' ) | x' , y ' , z '∈ ℜ'}:
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Hoja de Trabajo 9
Desde el sistema A el auto se localiza con el vector r, y desde el sistema B se localiza
con el vector r’.
Localización del auto desde:
Sistema A
Sistema B
r
r
r = ( x, y, z ) = x (1,0,0) + y (0,1,0) + z (0,0,1) r ' = ( x ' , y ' , z ' ) = x' (1,0,0)' + y ' (0,1,0)' + z ' (0,0,1)'
Los vectores unitarios en cada sistema de referencia no tienen porqué ser iguales.
Además, un sistema puede estar en movimiento con respecto al otro, en rotación, en
oscilación, etcétera, pero siempre se puede establecer una relación entre ambos
sistemas.
Si los dos sistemas están en reposo, podemos relacionarlos, por ejemplo por medio
un vector r0 que localice el origen del segundo sistema como se muestra en la
segunda figura:
Localización del auto desde:
Sistema A
Sistema B
r
r
r = ( x, y, z ) = x (1,0,0) + y (0,1,0) + z (0,0,1) r ' = ( x ' , y ' , z ' ) = x' (1,0,0)´ + y ' (0,1,0)' + z ' (0,0,1)'
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Hoja de Trabajo 9
Localización del origen del sistema B desde el sistema A:
r
r0 = x0 (1,0,0) + y0 (0,1,0) + z0 (0,0,1)
Localización del auto desde el sistema A considerando el sistema B::
r r r
r = r0 + r ' = x0 (1,0,0) + y 0 (0,1,0) + z 0 (0,0,1) + x' (1,0,0)' + y ' (0,1,0)' + z ' (0,0,1)'
(1)
¿Qué podemos suponer sobre la base de vectores unitarios para poder simplificar la
relación (1)?
r r r
r = r0 + r ' = x0 (1,0,0) + y 0 (0,1,0) + z 0 (0,0,1) + x' (1,0,0) + y ' (0,1,0) + z ' (0,0,1)
r r r
r = r0 + r ' = ( x0 + x' ) (1,0,0) + ( y 0 + y ' ) (0,1,0) + ( z 0 + z ' ) (0,0,1)
(2)
Ya en la Hoja de trabajo 4 aprendimos a calcular la velocidad instantánea mediante el
r
r
r
r (t 2 ) − r (t1 )
Δr
= Lim
proceso del Límite Lim
. Así que ahora aplicamos este proceso
Δt →0 Δt
Δt →0
t 2 − t1
en la ecuación (2), y encontraremos:
r
r
r
r
r
r
r
r0 (t 2 ) − r0 (t1 )
r (t 2 ) − r (t1 )
r ' (t 2 ) − r ' (t1 )
Δr
= Lim
= Lim
+ Lim
Lim
Δt →0 Δt
Δt →0
Δt →0
Δt →0
t 2 − t1
t 2 − t1
t 2 − t1
∴
⇒
r
r
dr0 drr '
dr
=
+
dt
dt
dt
r r
r
v = v0 + v '
(3)
r
Esta relación es una suma de velocidades. v es la velocidad del auto, con respecto al
r
sistema de referencia A. La velocidad v0 es la velocidad del sistema B con respecto
r
al sistema A y v ' es la velocidad del auto con respecto al sistema B. Se le
acostumbra llamar Ley de Transformación de Velocidades de Galileo, pues establece
la relación de equivalencia entre los sistemas de referencia, las posiciones y
transforma las velocidades de un objeto entre cada sistema. Permite transformar
una medición de velocidad hecha por un observador en un marco de referencia, en
otro marco de referencia cuando se conoce la velocidad relativa entre ellos.
A1. SISTEMAS DE REFERENCIA. En equipo, analizar y discutir las consecuencias
de la ecuación 3.
Si el sistema B está en reposo con respecto al sistema A, entonces podemos decir
que los sistemas están en reposo uno respecto al otro.
r
¿Cuánto vale la velocidad v0 si los sistemas de referencia están en reposo uno con
respecto al otro?
¿Puedes imaginar algunos ejemplos donde esto ocurra?
A2. DE COCHES Y MONEDAS. De forma individual completa las siguientes
preguntas.
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Hoja de Trabajo 9
Suponga que Usted va en un automóvil que corre por una carretera recta a una
velocidad constante de 70 Km./hr. En el mismo auto viajan otras personas.
¿A qué velocidad de mueven los demás pasajeros con respecto a Usted?
¿A qué velocidad se mueve Usted con respecto a los demás pasajeros?
¿A qué velocidad se mueven todos los pasajeros con respecto al auto?
¿A qué velocidad se mueven los pasajeros con respecto al piso?
Mientras el auto sigue moviéndose, Usted deja caer una moneda. ¿Cómo será éste
movimiento? Y si hay alguien parado a un lado de la carretera, y observa su
experimento, ¿cuál será la velocidad de la moneda que observa esta persona?
A3. SISTEMAS DE REFERENCIA EN EL SALÓN. Con su equipo, en el salón de clase
realicen las siguientes actividades.
1. Discutan sus respuestas anteriores con el equipo.
2. Imaginen que todos los miembros de su equipo están viajando en un auto, La
mitad el equipo se colocará como observadores en un punto del salón,
mientras que la otra mitad en una posición distinta. Ambos definirán un
sistema de referencia local. Una parte del equipo realizará el experimento de
lanzar una moneda hacia arriba y atraparla. Todos, desde su posición
tratarán de encontrar la velocidad de la moneda al caer.
3. Ahora el segundo equipo se moverá con una velocidad constante con
respecto a la primera pareja, y repetirá la experiencia de la moneda. Se
sugiere que lo hagan sobre un fondo en el que puedan poner señales.
4. ¿Pueden hacer una gráfica del movimiento?
¿Cómo se ve el movimiento desde un sistema de referencia fijo y cómo desde uno en
movimiento? ¿Hay alguna diferencia? ¿Se puede observar?
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Hoja de Trabajo 9
A4. SISTEMAS DE REFERENCIA EN EL SALÓN. En equipo resuelvan el siguiente
problema, aplicando:
1) El método hermenéutico.
2) Las ecuaciones de la cinemática.
3) Ley de Transformación de Velocidades de Galileo.
La brújula de un aeroplano indica que va
directo al este; el indicador de la velocidad
del aire marca 215 km/hr. Un viento de
65 km/hr está soplando directo al norte.
A) ¿Cuál es la velocidad del aeroplano con
respecto a la tierra? B) Si el piloto desea
volar directo al este, ¿hacia dónde debe
enfilar el avión? Es decir, ¿qué debe leerse
en la brújula?
Contexto
Argumento
Elementos constituyentes del problema
Proposición:
Condición 1:
Condición 2:
Condición 3:
Pregunta 1:
Pregunta 2:
La brújula de un aeroplano indica que va directo al este.
El indicador de la velocidad del aire marca 215 km/hr.
Un viento de 65 km/hr está soplando directo al norte.
El piloto desea volar directo al este,
¿Cuál es la velocidad del aeroplano con respecto a la
tierra?
¿Hacia dónde debe enfilar el avión? ¿Qué debe leerse en la
brújula?
Podríamos
emplear
la
ley
de
transformación de velocidades de Galileo,
pues tenemos la condición (1) que indica
una velocidad con respecto al aire, de
manera enteramente similar a la sección
previa, por lo que tenemos:
r r
r
v = v0 + v '
La pregunta (2) establece la necesidad de
encontrar la velocidad respecto a un
sistema de referencia que se encuentra en
la tierra.
Por las condiciones (1) y (2) la velocidad del
avión debe ser la suma de las velocidades
respecto al viento y del viento que sopla
hacia el norte. Aplicando el teorema de
Pitágoras:
(3)
v av = vat2 + va2
v av = velocidad del avión respecto a la
tierra.
v at = velocidad del aire respecto a tierra.
v a = velocidad del aire que sopla al norte.
De la gráfica se ve que este vector forma
un ángulo α con respecto a la línea
horizontal, y podemos calcularlo con:
v av =
∴
(215km / hr )2 + (65km / hr )2
v av = 224.610774 km / hr
⎛ va
⎝ v at
α = tan −1 ⎜⎜
5
⎞
⎟⎟
⎠
Hoja de Trabajo 9
⎛ 65km / hr ⎞
⎟
⎝ 215km / hr ⎠
α = tan −1 ⎜
Sustituyendo:
α = tan −1 (0.30232558)
α = 16.7345723 °
∴
La condición (3), obliga al avión a mantener
una dirección fija hacia el este, por lo que,
para contrarrestar el efecto del viento que
sopla al norte, el piloto debe volar de tal
manera que el efecto del viento sea
cancelado, es decir que debe volar como se
muestra en la figura:
Hay un cambio entre las variables v at y v av ,
y el ángulo ahora se llama β , por lo que
aplicamos el teorema de Pitágoras de
nuevo:
v av =
(215km / hr )2 − (65km / hr )2
v av = 205m / seg
⎛ 65km / hr ⎞
⎟ = 17.6°
⎝ 215km / hr ⎠
α = sen −1 ⎜
Calculamos el ángulo de forma similar:
A5. ACTIVIDAD EN EQUIPO. Resolver los siguientes problemas aplicando:
1. El método hermenéutico.
2. Las ecuaciones de la cinemática.
3. Ley de Transformación de Velocidades de Galileo.
A6. ACTIVIDAD INDIVIDUAL. Entregar un reporte virtual al correo electrónico del
profesor y del ayudante, conteniendo la integración de los conocimientos construidos
en esta actividad, que consiste en:
a) El mapa conceptual Individual, los elementos que se han ido agregando en
cada punto.
a) El mapa conceptual del equipo.
b) Las respuestas personales.
c) Las aportaciones del equipo.
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