E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Soluciones Tema 3 Resolución

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos
Soluciones Tema 3
Resolución aproximada de ecuaciones
Francisco Palacios
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa
Universidad Politécnica de Cataluña
Curso 2006/07
Octubre 2006, Versión 1.1
Ejercicio 1 Consideramos la ecuación
x − e−x = 0
(a) Verifica, mediante una representación gráfica esquemática, que la ecuación tiene una solución en el intervalo [0, 1].
(b) Demuestra que la ecuación tiene una única solución en el intervalo
[0, 1].
(c) Si usamos el método de la bisección con intervalo inicial [0, 1], ¿cuántas iteraciones nos hacen falta para asegurar 4 decimales exactos?
(d) Calcula las 5 primeras iteraciones.
(a) α ' 0.5
2.5
2
1.5
1
0.5
-1
0 0
-0.5
0.5
-0.5
1
x
-1
(b) Existencia
f (x) = x − e−x
1
1.5
2
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
2
f es continua en [0,1], además
f (0) = −1 ª,
f (1) = 0. 63212
⊕
por lo tanto, existe una solución α ∈ (0, 1) .
Unicidad.
f 0 (x) = 1 + e−x
positiva para todo x, por lo tanto, f % en el intervalo y la raíz es única.
(c) Exigimos
b−a
1
= n ≤ 0.5 × 10−4
n
2
2
1
2n ≥
0.5 × 10−4
ln(20000)
= 14. 29
n≥
ln 2
necesitamos n = 15 iteraciones.
|en | =
(d) Iteraciones
Fase 1
a1 = 0
f (a1 ) = −1
c1 = 0.5 f (c1 ) = −0.1065
b1 = 1
f (b1 ) = 0.6321
a2 = 0.5
c2 = 0.75
b2 = 1
Fase 2
f (a2 ) = −0.1065
f (c2 ) = 0.2776
f (b2 ) = 0.6321
ª
ª
⊕
ª
⊕
⊕
a2 = 0.5
b2 = 1
a3 = 0.5
b3 = 0.75
c3 = 0.625
c4 = 0.5625
c5 = 0.59375 ¤
Ejercicio 2 Consideramos la ecuación
x − e−x = 0
(a) Construye una representación gráfica con Maple y estima gráficamente
el valor de la raíz.
(b) Escribe un programa que permita aplicar el método de la bisección.
Verifica el buen funcionamiento con el valor de las 5 iteraciones calculadas en el ejercicio anterior.
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
3
(c) Si partimos de intervalo [0, 1], ¿cuántas iteraciones nos hacen falta
para asegurar 7 decimales exactos?
(d) Usa el programa y el número de iteraciones calculado para aproximar
la raíz con 7 decimales.
(e) Calcula el valor de la raíz con Maple, verifica el resultado del apartado
anterior.
(a) Valor estimado α ' 0.57
£
> plot(x-exp(-x),x=0..1);
(b) Un programa simple es el siguiente
⎡
> f:=x->x-exp(-x);
⎢ a:=0; b:=1; n:=3;
⎢
⎢ for i from 1 to n do
⎢
⎢ c:=evalf((a+b)/2);
⎢
⎢ fc:=f(c);
⎢
⎣ if evalf(fc*f(a))<0 then b:=c else a:=c fi;
od;
Observemos que el programa no incorpora protección contra el caso f (ci ) = 0
no obstante, en cada iteración se imprime el valor de f (ci ), lo que nos permite
ver si en alguna iteración hemos determinado la raíz exacta.
(c) Exigimos
1
≤ 0.5 × 10−7
2n
resulta n = 25.
(d) c25 = 0.56714329
(e) Resultado Maple
£
> s:=fsolve(x-exp(-x)=0);
s := 0.567143904
Error real
|e25 | = |α − c25 | = 0.12 × 10−8
Ejercicio 3 Consideramos la ecuación
ln x =
1
x
¤
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
4
(a) Verifica, mediante una representación gráfica esquemática, que la ecuación tiene una solución en el intervalo [1, 2].
(b) Demuestra que la ecuación tiene una única solución en el intervalo
[1, 2].
(c) Si usamos el método de la bisección con intervalo inicial [1, 2], ¿cuántas iteraciones nos hacen falta para asegurar 5 decimales exactos?
(d) Calcula las 4 primeras iteraciones de forma manual.
(e) Calcula el valor aproximado usando un programa, verifica el resultado de las primeras iteraciones comparando con los valores calculados
manualmente.
(f) Resuelve la ecuación con Maple.
(a) α ' 1.7
5
4
3
2
1
-4
-2
0 0
2
x
4
-1
(b) Existencia
f (x) =
1
− ln x
x
es contínua en [1, 2], además
f (1) = 1 ⊕,
f (2) = −0. 19
ª
por lo tanto, existe una solución α ∈ (1, 2) .
Unicidad.
−1 1
f 0 (x) = 2 −
x
x
negativa para todo x ∈ [1, 2], por lo tanto, f & en el intervalo y la raíz es
única.
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
5
(c) Exigimos
b−a
1
= n ≤ 0.5 × 10−5
2n
2
¡
¢
ln 2 × 105
= 17. 6096
n≥
ln 2
necesitamos n = 18 iteraciones.
|en | =
(d) Iteraciones
c1 = 1.5
c2 = 1.75
c3 = 1.875
c4 = 1.8125
(e) c18 = 1.763225557
(f) α = 1.763222834, |e18 | = 0.2723 × 10−5
2
Ejercicio 4 Consideramos la ecuación
ln x = e−x
(a) Verifica, mediante una representación gráfica esquemática, que la ecuación tiene una solución en el intervalo [1, 2].
(b) Demuestra que la ecuación tiene una única solución en el intervalo
[1, 2].
(c) Si usamos el método de la bisección con intervalo inicial [1, 2], ¿cuántas iteraciones nos hacen falta para asegurar 5 decimales exactos?
(d) Calcula las 4 primeras iteraciones de forma manual.
(e) Calcula el valor aproximado usando un programa, verifica el resultado de las primeras iteraciones comparando con los valores calculados
manualmente.
(f) Resuelve la ecuación con Maple.
(a) α ' 1.3
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
6
5
4
3
2
1
-1
0 0
-1
1
2
x
3
4
5
-2
(b) Existencia
f (x) = ln x − e−x
es contínua en [1, 2], además
f (1) = −0.37 ª,
f (2) = 0.55 ⊕
por lo tanto, existe una solución α ∈ (1, 2) .
Unicidad.
1
+ e−x
x
positiva para todo x ∈ [1, 2], por lo tanto, f % en el intervalo y la raíz es
única.
f 0 (x) =
(c) El intervalo tiene longitud 1, el resultado es el mismo que en el ejercicio
anterior, necesitamos n = 18 iteraciones.
(d) Iteraciones
c1 = 1.5
c2 = 1.25
c3 = 1.375
c4 = 1.3125
(e) c18 = 1.309803011
(f) α = 1.309799586, |e18 | = 0.3425 × 10−5
2
Ejercicio 5 Un proyectil de 2 gramos de masa ha sido lanzado verticalmente al aire y está descendiendo a su velocidad terminal1 . La velocidad
terminal se puede escribir, después de evaluar todas las constantes, como
(0.002) (9.81) = 1.4 × 10−5 v 1.5 + 1.15 × 10−5 v 2
1
Shames, I. H., Mechanics of Fluids, McGraw-Hill, 1982, pag. 417.
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
7
donde v es la velocidad terminal en m/s. El primer término del lado derecho
representa la fuerza de fricción y el segundo término representa la fuerza de
presión.
(a) Sabemos por una estimación grosera, que la velocidad terminal es v '
30m/s. Estudia si los intervalos [20, 30], [30, 40] contienen una raíz.
(b) Verifica el resultado construyendo un gráfico con Maple.
(c) Determina el número de pasos que se necesitan para aproximar la solución con 2 decimales usando el método de la bisección.
(d) Calcula la aproximación con un programa, verifica manualmente el
valor de los dos primeros pasos.
(e) Calcula el valor de la velocidad terminal con Maple.
(a) La función
f (v) = 1.962 × 10−2 − 1.4 × 10−5 v 1.5 − 1.15 × 10−5 v2
es continua en todo R.
f (20) = 0.01377,
f (30) = 0.006 970,
f (40) = −0.002 322
tenemos una solución en el intervalo [30, 40]. Valor aproximado gráficamente
α ' 37.7
006
004
002
0 30
32
34
x
36
38
40
002
(b) Exigimos
40 − 30
≤ 0.5 × 10−2
2n
y resulta n = 11.
(c) c1 = 35, c2 = 37.5, c11 = 37.73926
(d) Resultado con Maple v = 37.73458, |e11 | = 0.00468 ¤
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
8
Ejercicio 6 El tamaño crítico de un reactor nuclear se determina resolviendo una ecuación de criticalidad 2 Un ejemplo simple de este tipo de ecuaciones es
tan (0.1x) = 9.2 e−x
La solución físicamente significativa es la menor raíz positiva. Se sabe, por
experiencia, que la raíz se encuentra en el intervalo [3, 4].
(a) Demuestra que, efectivamente, la ecuación tiene una raíz en [3, 4] y
que tal raíz es única.
(b) Aproxima el valor de la raíz con 5 decimales usando el método de la
bisección.
(c) Verifica el resultado sustituyendo en la ecuación.
(d) Calcula el valor de la raíz con Maple.
(a) Existencia. El primer punto positivo en el que tan(t) es disontinua es
t1 = π/2. Si x ∈ [3, 4], entonces 0.1x ∈ [0.3, 0, 4], por lo tanto, la función
f (x) = tan (0.1x) − 9.2 e−x
es contínua en [3, 4]. Además
¾
f (3) = −0. 1487 T. Bolzano
=⇒
Existe un α ∈ (3, 4) tal que f (α) = 0
f (4) = 0. 2543
Unicidad. Calculamos la derivada
f 0 (x) =
0.1
cos2 (0.1x)
+ 9.2e−x
Como f 0 (x) > 0 en (3, 4), tenemos f % y la raíz es única.
(b) Como el intervalo es de longitud 1, necesitamos 18 intervalos. El resultado de la iteración 18 es c18 = 3.292926791, por lo tanto la solución
es
α = 3.29293
(c) Sustituyendo en la ecuación obtenemos
f (c18 ) = f (3.29293) = 0.2 442 × 10−5
Sin embargo, esto no nos asegura nada acerca de la proximidad de c18 a la
raíz (¿por qué?)
(d) Resultado maple α = 3.292924615, |e18 | = 0.2176 × 10−5
2
¤
Lamarsh, J. R., Introduction to Nuclear Reactor Theory, Addison-Wesley, 1966.
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
9
Ejercicio 7 Consideramos la ecuación
x = e−x
(a) Verifica, mediante una representación gráfica esquemática, que la ecuación tiene una solución α próxima a x0 = 0.5.
(b) Aproxima el valor de la solución con 8 decimales mediante el método de
Newton-Raphson, usando como criterio de parada el error estimado.
(c) Demuestra que la solución obtenida es correcta.
(a) α ' 0.5
4
3
2
1
0 0
-1
1
x
2
3
-1
(b)
f (x) = x − e−x
f 0 (x) = 1 + e−x
⎧
⎨ x0 = 0.5
xj − e−xj
1 + e−xj
Detenemos las iteraciones cuando los 8 primeros decimales quedan fijos
Método
⎩ xj+1 = xj −
x0
x1
x2
x3
x4
= 0. 5
= 0. 56631 1003
= 0. 56714 3165
= 0. 56714 3290
= 0. 56714 3290
En principio, el resultado es
ᾱ = 0. 56714 329
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
10
aunque no tenemos garantizado que el resultado sea correcto, puesto que
hemos detenido las iteraciones usando el error estimado.
(c) Error máximo admisible ² = 0.5 × 10−8 ,
a = ᾱ − ² = 0.567143285,
f (a) = −8. 478 × 10−9 ,
b = ᾱ + ² = 0.567143295
f (b) = 7. 194 × 10−9
Como se produce un cambio de signo, podemos asegurar
|α − ᾱ| < 0.5 × 10−8
y por lo tanto, la aproximación calculada ᾱ tiene 8 decimales exactos. ¤
Ejercicio 8 Resuelve la ecuación de criticalidad
tan (0.1x) = 9.2 e−x
usando el método de Newton-Raphson y el valor inicial x0 = 3.5. Calcula la
solución con 5 decimales exactos.
(a)
Método
f (x) = tan (0.1x) − 9.2 e−x
0.1
+ 9.2e−x
f 0 (x) =
cos2 (0.1x)
⎧
⎪
⎨ x0 = 3.5
tan (0.1xj ) − 9.2 e−xj
=
x
−
x
j
⎪
0.1
−xj
⎩ j+1
cos2 (0.1xj ) + 9.2e
Detenemos las iteraciones cuando los 5 primeros decimales quedan fijos
x0
x1
x2
x3
x4
= 3. 5
= 3. 27703 008
= 3. 29283 161
= 3. 29292 461
= 3. 29292 461
ᾱ = 3.29292
Verificamos el resultado; error máximo admisible ² = 0.5 × 10−5 ,
a = ᾱ − ² = 3.292915,
f (a) = −4. 35953 4 × 10−6 ,
b = ᾱ + ² = 3.292925
f(b) = 1. 74609 × 10−7
Como se produce un cambio de signo, podemos asegurar
|α − ᾱ| < 0.5 × 10−5
¤
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
11
Ejercicio 9 Resuelve la ecuación
(0.002) (9.81) = 1.4 × 10−5 v 1.5 + 1.15 × 10−5 v 2
usando el método de Newton-Raphson a partir del valor inicial v0 = 30m/s.
Calcula la solución con 3 decimales exactos.
Valores de las iteraciones
v0
v1
v2
v3
v4
= 30
= 38.657611
= 37.744895
= 37.734579
= 37.734578
Valor de la velocidad
v̄ = 37.735
Error máximo ² = 0.5 × 10−3
a = v̄ − ² = 37.7545 f (a) = 0.77 × 10−7
b = v̄ + ² = 37.7355 f (b) = −0.919 × 10−6
¾
cambio de signo
Podemos asegurar que
|v − v̄| ≤ 0.5 × 10−3
Ejercicio 10 Aproxima el valor de
método de Newton-Raphson.
Formulamos
x=
¤
√
41 con 6 decimales exactos usando el
√
41 ⇐⇒ x2 − 41 = 0
Tomamos la función
f (x) = x2 − 41
f 0 (x) = 2x
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
Método
Iteraciones
⎧
⎨ x0 = 6.5
⎩ xj+1 = xj −
x0
x1
x2
x3
12
x2j − 41
2xj
= 6.5
= 6.4038462
= 6.4031243
= 6.4031242
Valor aproximado con 6 decimales
ᾱ = 6.403124
Verificamos la solución. Error máximo ² = 0.5 × 10−6
¾
a = ᾱ − ² = 6.4031235 f (a) = −0.49 × 10−5
cambio de signo
a = ᾱ − ² = 6.4031245 f (b) = 0.34 × 10−5
Podemos asegurar que
|α − ᾱ| ≤ 0.5 × 10−6
Ejercicio 11 Aproxima el valor de
método de Newton-Raphson.
Formulamos
x=
¤
√
5
23 con 6 decimales exactos usando el
√
5
23 ⇐⇒ x5 − 23 = 0
Tomamos la función
f (x) = x5 − 23
f 0 (x) = 5x4
Valor inicial
Método
25 = 32
15 = 1
¾
⎧
⎨ x0 = 1.5
⇒ x0 = 1.5
⎩ xj+1 = xj −
x51 − 23
4x4j
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
13
Iteraciones
x0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
= 1.5
= 2.10864198
= 1.91958682
= 1.87445650
= 1.87217680
= 1.87217123
= 1.87217123
Valor aproximado con 6 decimales
ᾱ = 1.872171
¤
Ejercicio 12 Dado un número c, podemos calcular su inverso x = 1/c resolviendo la ecuación
1
−c=0
x
(a) Comprueba que si aplicamos el método de Newton-Raphson, podemos
calcular inversos sin hacer divisiones.
(b) Calcula el valor de 1/9, 1/45, 1/678. Observa que los valores iniciales
deben estar próximos a la solución para que el método converja.
(a) Formulamos
x=
Tomamos
1
1
⇐⇒ − c = 0
c
x
1
−c
x
−1
f 0 (x) = 2
x
f (x) =
Método
⎧
x0 = aproximación inicial
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
1
−c
xi !
⎪
Ã
x
=
x
−
= 2xj − Cx2j
⎪
j+1
j
⎪
⎪
1
⎪
⎪
⎪
− 2
⎩
xj
½
x0 = aproximación inicial
xj+1 = 2xj − Cx2j
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
14
1
(b) Para α = , valor inicial x0 = 0.1
9
Iteraciones
x0 = 0.1
x1 = 0.11
x2 = 0.1111
x3 = 0.11111111
x4 = 0.1111111
1
= 0.111111
9
Para α =
1
, valor inicial x0 = 0.01
45
x4 = x5 = 0.02222222
1
= 0.022222
45
Para α =
1
, valor inicial x0 = 0.001
678
x5 = x6 = 0.00147493
ᾱ = 0.001475
¤
Ejercicio 13 Consideramos la ecuación
x = cos(x)
(a) Demuestra que la formulación
x=
x + cos(x)
2
es adecuada para resolver la ecuación mediante iteración de punto fijo
para todo valor inicial x0 en el intervalo [0, 1].
(b) Determina el número de iteraciones necesario para obtener 5 decimales
exactos.
(c) Calcula las 5 primeras iteraciones de forma manual.
(d) Escribe un programa con Maple para calcular las iteraciones, verifica el
resultado de las primeras iteraciones con los valores que has obtenido
en el apartado anterior.
(e) Verifica el resultado resolviendo la ecuación con Maple.
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
15
En primer lugar, obsevamos que
x + cos(x)
2
pues la segunda formulación se obtiene de la primera sumando x a ambos
lados y despejando x.
x + cos(x)
g(x) =
2
(a) Veamos que la función
x = cos(x) ⇐⇒ x =
x + cos(x)
2
cumple las condiciones del teorema de punto fijo.
g(x) =
• (Condición 1) g(x) es continua con derivada continua en todo R, por
lo tanto, es de clase C 1 [0, 1].
• (Condición 2) Sean
m = min g(x),
x∈[0,1]
M = max g(x)
x∈[0,1]
si x ∈ [0, 1], entonces g(x) ∈ [m, M ]. Debemos resolver un problema de
extremos absolutos de una función contínua sobre un intervalo cerrado.
1 − sin(x)
g 0 (x) =
2
0
se cumple g (x) > 0, en todo [0, 1], por lo tanto g % en [0, 1] y
m = min g(x) = g(0) = 0. 5,
M = max g(x) = g(1) = 0. 77015 1
x∈[0,1]
x∈[0,1]
por lo tanto, cuando x toma valores en [0, 1], g(x) toma valores en
[0.5, 0. 77015 1] ⊂ [0, 1].
• (Condición 3) Hemos de calcular
¯
¯
M1 = max ¯g 0 (x)¯
x∈[0,1]
la función objetivo es
calculamos
¯
¯
¯ 1 − sin(x) ¯ 1 − sin(x)
¯
¯=
h(x) = ¯
¯
2
2
h0 (x) = − cos(x)
como h0 (x) < 0 en [0, 1], resulta h(x) &, por lo tanto
¯
¯
M1 = max ¯g 0 (x)¯ = h(0) = 0.5
x∈[0,1]
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
16
En consecuencia, podemos asegurar que existe un único punto fijo en el
intervalo [0, 1] y que la iteración de punto fijo converge a él para todo valor
inicial x0 ∈ (0, 1) .
(b) El error cumple
|ej | = |α − xj | ≤ (0. 5)j (1 − 0) = (0. 5)j
exigimos
(0. 5)j ≤ 0.5 × 10−5
y resolvemos en j, resulta
¡
¢
ln 0.5 × 10−5
= 17. 6096
j≥
ln (0. 5)
necesitamos j = 18 iteraciones.
(c) El valor de las primeras 5 iteraciones es
j
0
1
2
3
4
5
xj
0.5
0. 68879128
0. 73040306
0. 73765431
0. 73885125
0. 73904696
(d) Programa Maple
⎡
Obtenemos
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
> g:=x->(x+cos(x))/2;
x0:=0.5;
n:=17;
for i from 0 to n do
x.(i+1):=evalf(g(x.i));
od;
x18 = 0.73908513
(e) Valor obtenido con fsolve
α = 0.73908513 ¤
Ejercicio 14 Consideramos la ecuación
x = e−x
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
17
(a) Demuestra que la formulación
x=
x + e−x
2
es adecuada para resolver la ecuación mediante iteración de punto fijo
para todo valor inicial x0 en el intervalo [0.5, 1].
(b) Determina el número de iteraciones necesario para obtener 5 decimales
exactos.
(c) Calcula las 5 primeras iteraciones de forma manual.
(d) Escribe un programa con Maple para calcular las iteraciones, verifica el
resultado de las primeras iteraciones con los valores que has obtenido
en el apartado anterior.
(e) Verifica el resultado resolviendo la ecuación con Maple.
En primer lugar, obsevamos que
x = e−x ⇐⇒ x =
x + e−x
2
pues la segunda formulación se obtiene de la primera sumando x a ambos
lados y despejando x.
x + cos(x)
g(x) =
2
(a) Veamos que la función
g(x) =
x + e−x
2
cumple las condiciones del teorema de punto fijo.
• (Condición 1) g(x) es continua con derivada continua en todo R, por
lo tanto, es de clase C 1 [0, 0.5].
• (Condición 2) Sean
m = min g(x),
x∈[0,1]
calculamos
g 0 (x) =
M = max g(x)
x∈[0,1]
1 − e−x
2
estudiamos si g 0 (x) se anula
g 0 (x) = 0 ⇐⇒ 1 − e−x = 0 ⇐⇒ e−x = 1 ⇐⇒ x = 0
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
18
Vemos que la derivada tiene un único cero que está fuera del intervalo
[0.5, 1], por lo tanto, g 0 es de signo constante en el intervalo. Como
g 0 (1) =
1 − e−1
= 0. 31606
2
se cumple g 0 (x) > 0, en todo [0.5, 1], en consecuencia g % en [0, 1] y
m = min g(x) = g(0.5) = 0. 55326 5,
x∈[0,1]
M = max g(x) = g(1) = 0. 68394
x∈[0,1]
por lo tanto, cuando x toma valores en [0, 1], g(x) toma valores en
[0. 55326 5, 0. 68394] ⊂ [0.5, 1].
• (Condición 3) Hemos de calcular
¯
¯
M1 = max ¯g 0 (x)¯
x∈[0,1]
la función objetivo es
¯
¯
¯ 1 − e−x ¯
¯
¯
h(x) = ¯
2 ¯
g 0 (x) positiva en [0.5,1]
=⇒
h(x) =
1 − e−x
2
Calculamos
e−x
2
0
como h (x) > 0 en [0.5, 1], resulta h(x) %, por lo tanto
¯
¯
M1 = max ¯g 0 (x)¯ = h(1) = 0. 31606
h0 (x) =
x∈[0,1]
En consecuencia, podemos asegurar que existe un único punto fijo en el
intervalo [0.5, 1] y que la iteración de punto fijo converge a él para todo
valor inicial x0 ∈ (0.5, 1) .
(b) El error cumple
|ej | = |α − xj | ≤ (0. 31606)j (0.5 − 0) = (0. 31606)j (0.5)
exigimos
(0. 31606)j (0.5) ≤ 0.5 × 10−5
y resolvemos en j, resulta
¡
¢
ln 10−5
= 9. 99539
j≥
ln (0. 31606)
necesitamos j = 10 iteraciones.
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
19
(c) El valor de las primeras 5 iteraciones es
j
0
1
2
3
4
5
xj
0.75
0. 61118328
0. 57694580
0. 56927841
0. 56760603
0. 56724347
(d) Programa Maple. Es análogo al del problema anterior, ajustando la
definición de la función g(x) y el número de iteraciones
⎡
> g:=x->(x+exp(-x))/2;
⎢ x0:=0.75;
⎢
⎢ n:=9;
⎢
⎢ for i from 0 to n do
⎢
⎣ x.(i+1):=evalf(g(x.i));
od;
Obtenemos
x10 = 0.56714334
La solución es
ᾱ = 0.56714
(e) Valor obtenido con fsolve
α = 0.5671432904 ¤
Ejercicio 15 Resuelve la ecuación
tan (0.1x) = 9.2 e−x
con 6 decimales exactos usando una formulación de punto fijo del tipo
x = x − λf (x)
toma como intervalo inicial [3, 4].
Escribimos la ecuación en forma normal f (x) = 0, entonces
f (x) = tan (0.1x) − 9.2 e−x
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
20
Calculamos
f (3) = −0. 14870 5,
f (4) = 0. 25428 9
Por el Teorema de Bolzano, tenemos una raíz α en el intervalo (3, 4). Estimamos el valor de f 0 (α)
f 0 (α) '
f (4) − f (3)
= 0. 40299 4
2−1
y calculamos λ
λ=
1
f 0 (α)
'
1
= 2. 48143
0. 40299 4
La fórmula de recurrencia es, por lo tanto,
½
x0 = 3.5
xj+1 = xj − 2. 48143 (tan(0.1xj ) − 9.2e−xj )
Obtenemos
j
0
1
2
3
4
5
6
7
8
xj
3. 5
3. 28358 81
3. 29412 90
3. 29277 45
3. 29294 34
3. 29292 23
3. 29292 49
3. 29292 46
3. 29292 46
Podemos tomar
α = 3.292925 ¤
Ejercicio 16 Resuelve la ecuación
x = cos(x)
con 6 decimales exactos usando una formulación de punto fijo del tipo
x = x − λf (x)
toma como intervalo inicial [0, 1].
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
21
Escribimos la ecuación en la forma f (x) = 0 con
f (x) = x − cos(x)
Calculamos
f (0) = −1,
f (1) = 0. 45970
Por el Teorema de Bolzano, tenemos una raíz α en el intervalo (0, 1). Estimamos el valor de f 0 (α)
f 0 (α) '
f (1) − f (0)
= 1. 45970
1−0
y calculamos λ
λ=
1
f 0 (α)
'
1
= 0. 6851
1. 45970
La fórmula de recurrencia es, por lo tanto,
½
x0 = 0.5
xj+1 = xj − 0.6851 (xj − cos (xj ))
Obtenemos
j
0
1
2
3
4
5
6
7
8
xj
0.5
0. 75868181
0. 73611578
0. 73951818
0. 73902160
0. 73909444
0. 73908377
0. 73908 533
0. 73908 510
|ē7 | = 0.23 × 10−6
Podemos tomar
α = 0.739085 ¤
Ejercicio 17 Calcula
de punto fijo del tipo
√
55 con 6 decimales exactos usando una formulación
x = x − λf (x)
determina un intervalo inicial adecuado.
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
Formulamos
x=
22
√
55 ⇐⇒ x2 = 55
Escribimos la ecuación en la forma f (x) = 0 con
f (x) = x2 − 55
Calculamos
f (7) = −6
f (8) = 9
¾
T. Bolzano
=⇒
Estimamos
f 0 (α) '
y calculamos λ
λ=
solución α ∈ (7, 8)
f (8) − f (7)
= 15
8−7
1
'
f 0 (α)
1
= 0.066667
15
La fórmula de recurrencia es, por lo tanto,
(
x0 = 7.5
³
´
xj+1 = xj − 0.066667 x2j − 55
Obtenemos
j
0
1
2
3
4
xj
7.5
7. 41666 6250
7. 41620 3697
7. 41619 8545
7. 41619 8488
|ē4 | = 0.57 × 10−7
Podemos tomar
α = 7.416198 ¤
Ejercicio 18 El coeficiente de fricción f para el flujo turbulento en un tubo
está dado por3
µ
¶
9.35
1
e
√ = 1.14 − 2.0 log10
+ √
D Re f
f
donde Re es el número de Reynolds, e es la rugosidad de la superficie del
tubo y D es el diámetro del tubo. Determina el valor de f para los datos
3
(a) D = 0.1m,
e = 0.0025,
(b) D = 0.1m,
e = 0.0001,
Correlación de Colebrook
Re = 3 × 104
Re = 3 × 106
Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones
23
Indicación: El orden de magnitud de f es 10−2 ; además es mejor reescribir
la ecuación en la forma
∙
µ
¶¸−2
9.35
e
+ √
f = 1.14 − 2.0 log10
D Re f
Ver resolución con Maple.
(a) f = 0.054114
(b) f = 0.019721