9.4 posiciones relativas de dos circunferencias coplanarias

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
9.4 POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS COPLANARIAS
Definición 50. Circunferencias exteriores.
Dos circunferencias coplanarias son exteriores cuando sus respectivos círculos no tienen
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
ningún punto en común. (Ver figura 152).
Figura 152.
Si designamos por d la distancia entre los centros, entonces:
d  OA  AA' A' O' .
d  r  AA'r ' y AA' 0 .
d  r  r'
Definición51. Circunferencias tangentes.
Dos circunferencias coplanarias son tangentes, si cada una es tangente a la misma recta en
el mismo punto.
La tangencia puede ser:

Exteriormente: Cuando los centros de las dos circunferencias están en semiplanos
opuestos con respecto a la tangente común. (Ver figura 153).
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Figura 153.
Si designamos por d, la distancia entre los centros, se tiene:
d  OA  AO'
d  r  r'
.
Interiormente: Cuando los centros de las dos circunferencias están en el mismo semiplano
con respecto a la tangente común. (Ver figura 154).
Figura 154.
Si designamos por d, la distancia entre los centros, se tiene:
d  OO'
d  OA  O' A
d  r  r'
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Definición 52. Circunferencias secantes.
Dos circunferencias son secantes si tienen una recta secante común y en los mismos
puntos. (Ver figura 155).
Si designamos por d, la distancia entre los centros, se tiene:
d  OO' y aplicando la desigualdad triangular al AOO'
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
OA  AO'  OO'  OA  AO'
r  r'  d  r  r'
Figura 155.
Definición 53. Circunferencias interiores.
Una circunferencia C (O' , r ' ) es interior a una circunferencia C (O, r ) cuando
C (O' , r ' ) está contenida en el interior de C (O, r ) . (Ver figura 156).
Figura 156
Designando por d, la distancia entre los centros, se tiene:
d  OA  AA'O' A'
d  r  AA'r '
d  r  r'
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Si d  0 ; las circunferencias tienen el mismo centro y se dice que son concéntricas.
Enunciamos a continuación, dos propiedades que se desprenden de las relaciones anteriores.
1. Si dos circunferencias son secantes, el segmento que une los centros es
M
a
U te
so ri
a
no l e
co du
m ca
er tiv
ci o
al
perpendicular a la cuerda común en su punto medio. (Ver figura 157).
Figura 157.
2. Si dos circunferencias son tangentes, su punto de contacto está sobre el segmento
que une los centros. (Ver figura 158).
Figura 158.
Demuestre estas dos propiedades.