SIMULACIÓN

21
Revista Colombiana de Estadística
N° 3 - 1981
S I M U L A C I Ó N
JoAÍ Ffiancl6co
Pafina
Gaicfi
Profesor Asociado
Universidad Nacional.
Suma r i o
En este articulo se presentan algunas definiciones de Simulación así como los principales
métodos utilizados por dicha técnica. Se discri_
minan una serie de ventajas y desventajas de
las técnicas de Simulación. También se enumeran
las fases asociadas con el Método de Montecarlo;
se explican los procedimientos para generar números aleatorios y valores de variables aleatorias con distribución de probabilidad conocida.
I nt roducc ion
La simulación se refiere a la operación de un mo
délo numérico que representa la estructura de un pro
ceso dinámico. Dados los valores de las condiciones
iniciales, los parámetros y las variables exógenas,
se lleva a cabo una simulación para representar la
conducta del proceso a través del tiempo.
Igualmente, la simulación es la representación
22
de
la realidad
mediante
otro m e c a n i s m o
que
reaccionará
la realidad b a j o una
Simular
hechos
cursos
técnicas
en c o n d i c i o n e s
DE
de
rimentos
muestra
la toma
ocasiones
en los que es a c o n s e j a b l e
de m u e s t r e o
es imposible
c a s o s , a menudo
universo
pero
de a c -
clase
de
simulado
obtener
implica
real de e l e m e n t o s
de p r o b a b i l i d a d
en
deci-
El método
información
útil a
simulado.
el r e e m p l a z o
por una
cierta
de esa p o b l a c i ó n
del
teórico
distribuy la se^
t e ó r i c a , me^
aleatorios.
tomar esa m u e s t r a , asi como
de dichos m é t o d o s
la
tales
de " m o n t e c a r l o " es el
de decisión
algún
c o s t o s o . En
por el u n i v e r s o
de n ú m e r o s
expe-
físicamente
que se supone a d e c u a d a
lección de una muestra
una tabla
utilizar
de m u e s t r e o
correspondiente, descrito
problemas
real
se tienen
tomar
o demasiado
se puede
de alguna
El m u e s t r e o
para
alternativos
SIMULACIÓN.
procedimiento
diante
dadas.
incertidumbre.
Mon t eca r1 o. En m u c h a s
ción
que
y s u p o s i c i o n e s , con un m o d e l o m a t e m á t i c o pro^
MÉTODOS
partir
del mismo modo
cuantitativas, basados
g r a m a b l e , a fin de facilitar
siones
de un m o d e l o u
serie de c o n d i c i o n e s
es avaluar
ción, mediante
el empleo
la d i s c u s i ó n
que d e p e n d e n
de m u e s t r e o .
procedimiento
de
los
fundamentalmente
23
El método se utiliza para resolver problemas que
dependen de la probabilidad, en los que la experimentación física es impracticable o sumamente costo
sa, y donde es imposible la creación de una fórmula
exacta.
Fundamentalmente se está estudiando una prolongada secuencia de fases o acontecimientos, cada uno
de los cuales se relaciona con la probabilidad.
Se
puede escribir la función matemática para la probabilidad de cada fase o suceso, pero
frecuentemente
es imposible escribir una ecuación que sintetice
las probabilidades de todas las fases o sucesos.
Juegos Operae iona1 es. "Jugar" es utilizar un mo
délo de juego para permitir a los participantes tomar decisiones y observar el comportamiento del modelo como resultado de sus acciones.
Un "Juego operacional" es la utilización seria
del juego, con el fin de determinar tanto soluciones óptimas para estrategias como estructuras óptimas para sistemas.
Los "juegos operacionales" se refieren a aquellas situaciones donde hay algún conflicto de intereses entre los jugadores o entre quienes toman decisiones, dentro de la estructura de un ambiente s^
mulado.
Las dos formas de juegos operacionales que se
24
usan más extensamente, son los juegos de administra
ción de negocios (programables) y los juegos milita
res.
Los participantes en los juegos de negocios deben tomar decisiones basados en informaciones del
pasado. Esas decisiones crean el ambiente en el que
se toman las decisiones subsiguientes, e influyen
en él. Sus características son las decisiones en s£
cuencia, una rápida re troal iment ación y nuevas reac^
clones.
Los juegos militares son esencialmente mecanismos de adiestramiento para los dirigentes militares,
que les permiten poner a prueba estrategias alterna^
tivas en condiciones bélicas simuladas.
La simulación del efecto de operación de estrategias en un sistema empresarial, basado en un mode^
lo de juegos operacionales, muestra los resultados
del juego en términos de costos o de otras bases de
criterio.
Simulación de sistemas. Es un método en el que
la información utilizada en el análisis de un proble^
ma complicado, se procesa mediante el funcionamiento
de un modelo.
El modelo de simulación es una reproducción del
ambiente de funcionamiento, y sus características
25
permiten que el observador analice la reacción del
ambiente a ciertas actividades alternativas de la
administración. Esa reacción del ambiente proporciona un medio para determinar
la decisión que se
tome en el problema.
Este método se distingue del enfoque de Montecarlo en los siguientes aspectos:
1. El método de simulación de sistemas obtiene
muestras entre una población real, en vez de obtenerlas en una tabla de números aleatorios.
2. En la simulación de sistemas no se emplea
ningún duplicado teórico de la población real.
3. El método de simulación de sistemas emplea
un modelo matemático que puede resolverse analíticamente para ayudar a tomar una decisión. Sin emba_r
go, cuando hay situaciones complicadas que no se
prestan para analizarlos con un modelo matemático
la técnica de montecarlo es la solución.
VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LAS TÉCNICAS DE SIMULACIÓN
Ventajas. 1. Son muy útiles porque permiten expe
rimentar con un modelo en vez del sistema real que
está funcionando.
2. Las técnicas de simulación permiten que el
26
grupo manipule
ra efectuar
una
réplica
corridas
a la empresa
del
verdadero
de prueba
a efectuar
antes de
sistema
p£
comprometer
grandes desembolsos
en
efec
t i vo .
3. Los e s t u d i o s
forma muy
valiosa
subsistemas
subsistema
de simulación
y conveniente
un sistema
puede
que
hace
lación
funcionar
de causa
algunas
aumente
y efecto
utilizar
que puede
para m e j o r a r
aleatoria
un proceso
el
proceso
que
se
que utiliza
s i s t e m a , nos
permite
t a n t e o , los v a l o r e s de
produzcan
mente
de
dar
por
lo
la
re
resultado
el sistema
y sus
benéfico
administrativo
compli^
desarrollar
que r e p r e s e n t e
todo
algún modelo
matem^
de juegos
para
determinar
las v a r i a b l e s
los m e j o r e s
El empleo
relaciones
estudia.
5. La s i m u l a c i ó n
6.
permj_
observar
s i m u l a d o , que
complicado m o d e l o m a t e m á t i c o
que
también
y p r e d e c i b l e , es más
un
del
o conjuntamen^
su c o n o c i m i e n t o
casos en que hay
cadas de n a t u r a l e z a
tico
en
relativos.
4. En m u c h o s
fácil
individual
al s i s t e m a , y deja
sugestiones
subsistemas
para d e s c o m p o n e r
tipo de s i m u l a c i ó n
te que el o b s e r v a d o r
una
c o m p l i c a d o . A su v e z , cada
simularse
te con o t r o s . Este
constituyen
resultados
en todos
controlables
para
de n e g o c i o s
el a d i e s t r a m i e n t o
mediante
la
empresa.
ha sido
del
suma-
personal
los n i v e l e s , porque
permite
27
que los j u g a d o r e s o b s e r v e n
sus d e c i s i o n e s
la reacción
en las p o l í t i c a s
c o m p a ñ í a , en c o n d i c i o n e s
y objetivos
de i n c e r t i d u m b r e .
si todos los juegos de n e g o c i o s
r e s , dan a los p a r t i c i p a n t e s
con el p r o c e s a m i e n t o
cierta
fácilmente
cialmente
de s i m u l a c i ó n
al personal
ca-
computado-
de los d a t o s .
permite
inveresen-
puede
matemático
explicarse
a d m i n i s t r a t i v o , porque
es una d e s c r i p c i ó n
sión con la simulación
del
fácil
la
más
esen-
comportamiento
de
compren-
que con un c o m p l i c a d o
c o m p a r a b l e , las p r o b a b i l i d a d e s
modelo
de
éxito
considerablemente.
Desventaj a s .
y cada corrida
1. No produce
de s i m u l a c i ó n
que se efectúa
nes d a d a s , definida
bajo
por una
rán m u c h a s c o r r i d a s de
2. A m e d i d a
una
un
óptimas,
experimento
serie de
condicio-
serie de v a l o r e s
lo tanto
para
se n e c e s i t a -
simulación.
que a u m e n t a
la capacidad
de la s i m u l a c i ó n , puede haber
frecuentemente
soluciones
es como
la solución de e n t r a d a , y por
pender
Como
de s i t u a c i o n e s
un sistema o p r o c e s o . Si es más
aislado
de la
dinámicas.
8. Un modelo
aumentan
de
familiaridad
en c o m p u t a d o r a s
tir el tiempo en el análisis
cialmente
emplean
electrónico
7. La simulación
reciproca
de esa
de
una tendencia
empleo
para
t é c n i c a , a causa
d£
de su
28
relativa
facilidad
por
resultado
vez
de emplear
do son más
de a p l i c a c i ó n , lo que puede
la substitución
tico usado
técnicas matemáticas
se hace
ser
el número
sobrepasar
se
a un m o d e l o materna^
cuantificar
el c o m p o r t a m i e n t o
la capacidad
de
en
computa-
todas
del
de las v a r i a b l e s que se
que
incluidas
omisión
las v a -
sistema,
revisan
la c o m p u t a d o r a
todas las e n t r a d a s
o c o m i s i ó n , y algunas
imposible
nes entre
conocidas
en el m o d e l o , debido a errores
i n s u m o s y los r e s u l t a d o s
de ser
relaciones
pueden
las v a r i a b l e s
del
mulación
está
otros modelos
sujeta
sistema
pueden
expresarse
relaciio
ser
tan
con una o v a la sl^
que
matemáticos.
ejecutiva
La simulación
crean
El p r o b l e m a
de incorporar
tiene
excesivamente
los p a r t i c i p a n t e s
administración.
para
los
a las m i s m a s d e f i c i e n c i a s
4. La simulación
lidad
no
desconocerse, o pu£
rias e c u a c i o n e s m a t e m á t i c a s . Por c o n s i g u i e n t e
que
de
de
entre
a v e r i g u a r l a s . Las diversas
c o m p l i c a d a s que no puedan
tajas.
cuajn
dispone.
Es posible
estén
en
analíticas
de s i m u l a c i ó n
imposible
r i a b l e s que afectan
que
referencia
en un programa
d o r a , puede
puede
de la s i m u l a c i ó n
adecuadas.
3. Cuando
o bien
dar
que
ciertas
simplificada
se s o b r e e s t i m a
consiste
en la
todas las v a r i a b l e s
que la simulación
desven
sea c o m p l e t a m e n t e
hace
a la
imposibi-
pertinentes
real.
29
En la mayor parte de los casos los participantes no actúan como lo harían en situaciones de la
vida real, y hay la tendencia a considerar
ln simu-
lación como artificial, hasta el punto en que su
participación se relaciona con las ganancias y no
con el aprendizaje. Les preocupa encontrar la clave
del éxito, por ejemplo, la combinación correcta de
precios, publicidad y número de vendedores que esta
blece el modelo de juego. El de.se o de ganar en términos de totales de activos y ganancias, oculta la
posible experiencia del aprendizaje mismo.
EMPLEO DEL MÉTODO DE MONTECARLO,
Complementando las definiciones consideradas an
teriormente, el método de montecarlo es una simulación con técnicas de muestreo, o sea que en vez de
obtener muestras de una población real, se obtienen
de un duplicado teórico de la población.
El método de montecarlo puede emplearse para re
solver varios problemas diferentes. El primero es
el que comprende cierta clase de proceso estocástifo, y el segundo es el tipo de problema determinístico matemático que no puede resolverse fácilmente,
o tal vez de ningún modo, con métodos determi nistieos .
Para el primer tipo de problemas, se han desa-
30
rrollado métodos de montecarlo para simular datos
basándose en distribuciones de probabilidad. Para
el segundo tipo de problemas, puede ser posible ob
tener soluciones aproximadas, simulando un proceso
estocástico cuya función de distribución
acumulada
satisface las relaciones funcionales y los requeri_
mientos de la solución del problema determinístico.
El método de montecarlo comprende las siguientes fases:
1. Determinación de la distribución de probabilidad de la variable de que se trata.
Con los datos estadísticos disponibles sobre el
comportamiento de la variable a estudiar, es preciso comprobar a través de la prueba chi-cuadrado, o
por cualquier otro procedimiento,la ley de probabilidad seguida por el fenómeno en consideración.
2. Obtención de una muestra de esa distribución
mediante números aleatorios.
En efecto, se usa una serie de números aleatorios para generar una serie de valores que tengan
las mismas características de distribución de la ex^
periencia real que se quiera simular.
GFNERADOR DE NÚMEROS ALEATORIOS.
Uno de los métodos más sencillos posibles para
31
tratar
de d e t e r m i n a r
rios, comprende
una
serie de n ú m e r o s
el empleo
de
cosas p a r e c i d a s , que sean
la e n u m e r a c i ó n
clonan
10 e s f e r a s , fichas o
idénticas
prejuicio
una serie de
a l e a t o r i o s . Podría h a c e r s e
un
muy
usarse
objetos
meros
de números
para
que no hubiera
se
registro
de
sele£
(de uno en uno con
p l a z a m i e n t o ) p o d e m o s obtener
de m a n e r a
a excepción
de O a 9. Si esos elementos
sin ningún
grande
aleato-
reem
dígitos
de una
serie
en los p r o b l e m a s ,
necesidad
de volver
físicos que se usaron para obtener
a los
los n ú -
aleatorios.
Otro m é t o d o , con
las mismas
a n t e r i o r , sería u t i l i z a r
ruletas
plean en los sorteos de las
Para preparar
computador
rado obtener n ú m e r o s
las m a t e m á t i c a s
como las que
los
se em
de tal modo que
con esos
aleatorios
que c u m p l i e n d o
d a t o s , se ha
por medio
de
las pruebas
t i c a s , no requieran más o p e r a c i o n e s
das por
que
procu
fórmu-
estadís-
las
emplea-
tales como
la mitad
c u a d r a d o s y el m é t o d o de las c o n g r u e n c i a s , se
generalmente
vo deriva
en alguna
clase de relación
con e n t e r o s , o sea que
del
El primer
tre una
el
computadores.
Los m é t o d o s a r i t m é t i c o s
relacionada
del
loterías.
los trabajos
pueda operar
características
de
basan
recursiva
cada número
nue-
anterior.
valor
población
se escoge en forma
finita
aleatoria eri
de e n t e r o s , de modo
que
la
32
máquina pueda producir un valor inicial que se requiera para iniciar la relación recursiva. En algún
punto se producirá un número que ya ha ocurrido, y
de ese modo se forma una secuencia de circuito cerrado con un ciclo continuo de ese punto en adelante. La longitud de esa secuencia de circuito cerrado se llama periodo del generador, y es conveniente
jue sea igual o casi igual al total de la población
de enteros de la máquina. (El periodo puede ser mayor si se usa una relación recursiva que comprenda
más de un número previo).
El problema consiste en encontrar una relación
que produzca una secuencia suficientemente
aleatoria
de números, con un periodo prolongado y con un mínimo de tiempo de computadora. Los números generados
por computadoras que logran pasar las prueba estadí^
ticas con respecto a su carácter aleatorio, se llaman números pseudo-a1eatorios , aunque se produzcan
mediante un proceso completamente determinístico.
/UTOOO DE LA MITAD DE CUADRADOS.
Por lo que se refiere a los computadores, el pri_
mcr método aritmético se debe a Von Neumann y consis
te en tomar un número elevarlo al cuadrado, y después "decapitarlo" por los dos lados (más que "decapitarlo"); repitiendo el procedimiento un número su1 iciente de veces se forma la secuencia
equiprobable
'le base con las partes centrales de cada número.
33
Ahora bien, en este tipo de métodos de obtención
de números equiprobables, como en muchos otros pare
cidos, se corre el riesgo de ebtener una serie periódica en la cual a partir de la obtención de una
serie determinada de equiprobables, se va repitiendo continuamente la extracción de los datos, lo que
hace que el método se venga abajo.
Sea el número 8632. Su cuadiado será 69923044,
siendo 9230 el número equiprobable buscado, se eleva al cuadrado el número 9230, resultando el número
85192900, a partir del cual se obtiene el número
equiprobable
1929, pudiéndose obtener de esta forma
cuantos números aleatorios se deseen.
MÉTODO DE LAS CONGRUENCIAS.
Para simulaciones manuales es posible
( y cómo
do ) construir una muestra utilizando una tabla de
números aleatorios; sinembargo, si se utiliza una
computadora no es aconsejable este método
(habría
que leer la tabla de números aleatorios de tarietas o de cinta, y estas son operaciones lentas en
una computadora).
El llamado método de las congruencias arranca
con un número entero arbitrario X
éste se construye:
y a partir de
34
X j = ÍC
X^
XQ
= K Xj
K X
A-l
donde K es un entero fijo y los valores X . se ajustan de acuerdo con algunas reglas que se consideran
más adelante.
Puede demostrarse que los números
X.,X„,...,X
así construidos tienen las siguientes propiedades.
1. Cualquiera que sea K y X-, la serie se repite a sí misma al cabo de un número de términos
se dice que h e s
h;
el periodo de la serie, su valor
depende de K y X .
2. Los valores de los X^ y antes de que la serie se repita, los h valores son todos diferentes y
se suceden en un orden impredecible de tal manera
que, a los ojos de quien no supiera como fueron obtenidos, pasarían como ordenados al azar.
Sea por ejemplo K = 28 y X_ = 9, entonces:
K X„ " 252
por tanto
X.
52
K X^ = 28x52 = 1456 por tanto Xj = 56
K K^ '
28x56 - 1568 por tanto X^ - 68
Continuando así encontraríamos 20 números dife-
35
rentes y X-, sería igual a 52 tras lo cual la serie
se repite.
Si el periodo es suficientemente grande
(lo cual
puede lograrse escogiendo números con muchos dígitos) los valores:
X,
1
2
w
1
3
r„,
Ti,
w
=
T t • • • »
w
p
w
pueden usarse como probabilidades acumuladas donde
W = 10 yA. es el número de dígitos contenidos en cada
X...
El valor X^ no puede terminar ni en cero, ni en
cinco y tampoco ser par, es recomendable que sea
cercano a la raíz cuadrada de 10 .
Una formulación adecuada para obtener el equiprobable puede ser:
K. = K X._j = (10' -H 3)xX._^
donde el número inicial X„ tiene 2n cifras.
Al número X - se le truncan cifras superiores
(izquierda) permaneciendo las 2n inferiores.
36
GENERACIÓN DE VALORES DE VARIABLES ALEATORIAS CON
PISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
CONOCIDA.
Aunque los números aleatorios, tal como se defi^
nieron en la sección anterior, pueden utilizarse a
veces directamente en un modelo de simulación, es
más probable que deban generarse valores de variables aleatorias con distribuciones de probabilidad
i o n o (• i d a s .
En casi todos los casos, se emplean números alea
torios para generar esos valores de variables aleat^
rias, mediante técnicas del tipo que se describen en
esta parte; sinembargo, los valores de las variables
aleatorias normalmente distribuidas pueden obtenerse
en forma directa de tablas publicadas.
Debido a que el empleo de tablas no es muy práctico en los modelos de computadora, ni siquiera en
el caso de distribución normal, se necesitan por lo
tanto métodos programables para la generación de valores de variables aleatorias normales.
El método más directo para obtener valores de va^
riables aleatorias con una distribución deseada, es
utilizar la inversa de la expresión matemática para
la función de distribución acumulativa.
Con el fin de ilustrar el procedimiento en términos generales, defínase a "V" como una variable
aleatoria, con una función de probabilidad
(((V) y
37
una
función
de d i s t r i b u c i ó n
A . ; A„;...;A
una m u e s t r a
acumulativa
artificial
aleatorios
que varian
entre
la
inversa
F ( ' ) , entonces
función
entre A y
"V" puede
f'^(^l)s
1
de
(/2 "
^
En el caso de que
forma
c e r r a d a , habría
. , £/
, las e c u a c i o n e s
F(í/l) = A j ; f i y ^ )
INTERPRETACIÓN
de
la
(•)
que
no
como
por la
(•)
como:
'''^A„)
sea expresable
resolver
y.,
para
en
t/_,..
correspondientes:
= A^; F(í/^) == A^-,...., F (i/^) - /
GRÁFICA.
Para tomar un e l e m e n t o al azar de una
descrita
F
relación
^ A ^ ) , . . ., í/„ =
F
números
cero y uno y sea
escribirse
Sea
F(Í/).
función
de densidad
población
(((x) se
procede
sigue:
1. Se gráfica
la función a c u m u l a t i v a
bilidad
(el m é t o d o
funciona
gráfica
el c o m p l e m e n t o
como
tabla de d í g i t o s a l e a t o r i o s
mientos anteriormente
si
se
é(y)dy
Se escoge al azar un número
(con tantos d e c i m a l e s
bien
proba-
l-F(x) ) .
F(x) - /
2.
igualmente
de
entre
cero y uno
se d e s e e ) , m e d i a n t e
o mediante
descritos.
una
los p r o c e d i -
38
3, Se proyecta
horizontalmente
el eje de o r d e n a d a s
aleatorio
el punto
que c o r r e s p o n d e
entre cero y u n o , hasta
a este
que se
sobre
número
intersec-
te la curva F ( x ) .
4. Se anota el valor
ponde
toma
de X
(abscisa) que corres^
al punto de i n t e r s e c c i ó n .
como el valor m u e s t r e a d o
toria
de la v a r i a b l e
siguiente
se m u e s t r a
alea-
el p r o c e d i -
a seguir
F(x)
- Numero
1
Aleatorio
F(x)
f
Número
" x " se
"X".
En la gráfica
miento
Este valor
J
Aleatorio
1 n
1
»— ,
1
1
—i
*.
1
Figura
N" 1
39
GENERACIÓN
DE V A L O R E S
DISTRIBUCIÓN
En
OE P R O B A B I L I D A D
lo q u e s i g u e
muestra
artificial
tribución
muestra
DE U N A V A R I A B L E
uniforme
artificial
A
BINARIA
A„,...,A
CON
.p.
representará
de una variable
entre
ALEATORIA
aleatoria
una
con dis
O y 1 , y * i t ^^ 9 » • • • .''^i
d e la d i s t r i b u c i ó n
en
la
considera-
ción.
Sea
p el p a r á m e t r o
de la d i s t r i b u c i ó n
binaria.
De f i n i m o s :
Puede
lización
1
SI
O
si
Afe > P
considerarse
general
GENERACIÓN
caso es
DE UNA VARIABLE
DE PROBABILIDAD
mente
Xr
una m u e s t r a
!/, , i/^ , • . . , t/„
z.
CON
distribución.
requerido, generamos
X
de una
n
binaria con parámetro p, y hacemos:
(/,
ALEATORIA
BINOMIAL.
Sean t y p los p a r á m e t r o s de esta
Para cada valor
la especia-
del m é t o d o .
DE VALORES
DISTRIBUCIÓN
que este
-I- t / , -^...-^ í/,
preliminardistribución
40
GENERACIÓN
DE VALORES
DISTRIBUCIÓN
DE UNA
DE P R O B A B I L I D A D
Puede u t i l i z a r s e
para
obtener
tribuidas
función
de
de variables
a lo largo
de otros
función
CON
inversa
uniformemente
i n t e r v a l o s . Para
distribuida
de densidad
ALEATORIA
UNIFORME.
el concepto
valores
v.a. uniformemente
la
VARIABLE
en el
di^
una
intervalo
[íl, bj
es:
para
a ^
X ^
b
para
X < a ó X > 6
b~a
I^(X)
O
La
ne por
función
medio
de distribución
de
la
acumulativa
se
obtͣ
integración:
X.
F(x .) = / ^ ,-- dx = I--<•'
b~a
b-a
^Á - a
F(x.) = -^-5
De acuerdo
tituímos
con el
procedimiento
F(x.) por A
para
resolvie ndo para
s u s^
obtener:
^l-a
b-a
.
V
establecido
X,
X . = a
+
obtenemos
A •
(b-a)
la relación
inversa
41
El procedimiento para generar valores de variables aleatorias uniformemente distribuidas consiste
en generar números aleatorios y sustituirlos por Aen la ecuación anterior, para encontrar los valores
correspondientes de X -.
GENERACIÓN DE VALORES DE UNA VARIABLE ALEATORIA CON
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
EXPONENCIAL.
La distribución exponencial, cuya primordial
aplicación se centra en los fenómenos de espera, es
una ley continua cuya formulación obtiene la probabilidad de que por ejemplo entre dos sucesos (salidas o llegadas) transcurra un intervalo de t
unida-
des de tiempo. Esta formulación será la siguiente:
Mí
-vt
para-t>0
y
p > 0
iit) =
en o t r o
O
caso
donde \i indica el promedio de sucesos que acontecen
por unidad de tiempo. Y la probabilidad
acumulada
F(^) para -t^ será la probabilidad de que entre dos
sucesos trascurra un intervalo de tiempo no superior
a t •.
La función de probabilidad acumulada será:
Ht^) - /
ye
dt • l - z
O
Para efectuar la simulación del intervalo
t^
que media entre dos sucesos, una vez extraído el
42
dígito seudoequiprobab1e A^ es preciso, con base en
este dígito, obtener en la función acumulada de la
ley exponencial correspondiente el valor
t¿.
aleatorio
El programa que en el ordenador simula esta sj^
tuación se basa, para obtener el valor t ^
en función
del equiprobable A-, en el siguiente algoritmo:
A, = F(í .) = 1 - e ^*^
1-A . = e -u-í^
In(l-A^) = -pí^
¿
1«(1-A^)
Puesto que A^ está uniformemente distribuida de
O a 1, la cantidad
(1-A^) de la ecuación anterior
tiene la misma distribución. Por ende, la ecuación
puede simplificarse ligeramente, utilizando A . en
lugar de (1-A-), entonces
p >«(^>-
oENERACION DE VALORES DE UNA VARIABLE ALEATORIA CON
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
ERLAG-K.
La función de probabilidad que se presenta en
esta sección recibe su nombre debido al ingeniero d^
nes llamado A.K. Erlag.
43
En esta d i s t r i b u c i ó n
que llegan
a un centro
se simula
de servicio
s e s , cada una con una d u r a c i ó n
ne la
que
las
unidades
pasan por fe fa-
exponencial
que
forma:
é^(t')
= y'e ^'"^
de tal forma que no se permite que una unidad
al centro de servicio
abandonado
la última
hasta que
total
cho en otra
la anterior
aleatoria
del s e r v i c i o p r e s t a d o
forma el intervalo
el a c o n t e c i m i e n t o
será:
^.fe ^ f e - i
^-M't
(fe -
que es la llamada
no
indica
haya
separa
entonces
su
^ * o
fe =
D:
se puede
la du^
en fe f a s e s , o di^
de tiempo que
distribución
La v a r i a b l e t
que
n y n+k,
de número
función de p r o b a b i l i d a d
gfe(í)
entre
fase.
Si T es una v a r i a b l e
dación
tie-
1,2,
Erlang-fe,
expresar
como
la suma
de
t
variables
t-
exponencialmente
t '
»
»
«
I
t ^ + t ^ + t . ^ + . . .-Kjj
Si fe y p son los p a r á m e t r o s
erlang-fe, se generan
cemos :
de la
distribución
independientemente
do en c o n s i d e r a c i ó n fe v a l o r e s
una d i s t r i b u c i ó n
distribuidas.
exponencial
por el
mét£
Í/, , t/, , í/3 » • • • , í/fe ^^e
con p a r á m e t r o y'
y ha-
44
'-'l^"2^"3"---^"fc
resulta
^< = -¿T-ln(l-Aj)-^ln(l-A2)-¿-xln(l-A3)-. ..-;^1«(1-A^)
t.
= -yrí l n ( l - A p + ln( l-A2) + l"(l-A^)-(-. . .-Hn(l-A^)}
t^
- -^^^r{l"(l-Aj)(l-A2)(l-A^) . . . (l-A,^)}
(1)
Lo anterior
ya que es complicado
lor i - en función
probabilidad
de A
acumulada
obtener
a través de la función de
de la erlang-fc, s e r í a :
^- y'fet'^-l e-^ ^
< - ''^bMi^ - /
La simulación
dt
(fe-l)l
de una v a r i a b l e
ley erlang-fe se basa
el va-
X¿ que sigue la
en la g e n e r a c i ó n
de fe dígitos
seudoeq uiprobab 1 es A . , A „ , A - , . . . , A|j y en la a p l i c a ción
de estos valores
en la fórmula
(1) o b t e n i d a an
t e r i ormen t e.
GENERACIÓN
DE VALORES
DISTRIBUCIÓN
DE UNA VARIABLE
OE PROBABILIDAD
Sea X una variable
A L E A T O R I A CON
NORMAL.
aleatoria
normalmente
distri
b u i d a , es d e c i r :
,,
,
(í(x) =
1
e
2 , 2
-^(x-p)Vo'
para -«> .$ x < «>
45
donde o es la desviación estándnr y u la esperanza
mat emát ica.
De acuerdo con el procedimiento establecido, la
simulación de un valor X • de esta variable aleatoria se logra al resolver la ecuación
A^ = / ^ é(x)dx
- 00
lo cual equivale gráficamente a:
Figura N" 2
por lo complicado de las operaciones, es más sencillo obtener los valores simulados de X mediante la
distribución normal tipificada, en donde:
2 = ^L_1_.H. ^ N(0;1)
El seudoequiprobable A- se utilizaría para si mu
lar un valor de la variable Z y por medio de ésta
el correspondiente de la variable X.
^^ = / " ¿(O dz
donde
46
)J(z) *
1
e
-z^/2
para -<» .$ 2 -$ «>
lo que gráficamente se interpreta así
Figura N" 3
O sea que
z
- ^-^-1^
El valor simulado de X será entonces;
x_¿ . a Z_¿ + y
Otro procedimiento se basa en el conocimiento
que se tiene de la distribución de A ., que es uniforme entre O y 1 y en las conclusiones dadas por
el teorema central del límite.
Si hacemos:
a.
= A^-j-A^+A--»- ... + Ajj
obtendremos, muy aproximadamente, muestras de una
distribución normal con media R/2 y varianza R/12.
Los valores generador de X.- se obtienen:
47
a^-R/2
X, -
a
+ \¡
R • 12 es un valor conveniente, ya que es suficientemente grande para que el teorema central del
límite dé buena aproximación y evita la división por
/RTTT.
GENERACIÓN DE VALORES DE UNA VARIABLE ALEATORIA CON
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD POISSON.
Considérese una serie de acontecimientos independientes E que se suceden en el tiempo
(por ejem-
plo, llegadas de clientes a una tienda, paso de vehículos sobre una carretera, errores cometidos por
una secretaria, etc.) La variable X que indica el
número de acontecimientos que se producen en un intervalo de tiempo, de acuerdo con características
especiales se demuestra que tiene como función de
cuantía:
.-X , X
P(X-x)
para X = 0,1,2,...
xl
donde \
indica el número medio de acontecimientos
que se producen por unidad de tiempo.
La función de probabilidad acumulada será
p ( x ;< x ^ ) - A^ -
^ e-^'^
J:
X-0
x:
48
-A
e
Como
r.
,
A
fl-i-A-i- —
2
la d i s t r i b u c i ó n
una v a r i a b l e a l e a t o r i a
mar valores
de Poisson
-r }
corresponde a
d i s c r e t a , y X . solo puede
n u m e r a b l e s ; se ha de simular
de esta v a r i a b l e de m o d o que
lor
A
-»• — -»-,
3!
P(X 4 Xj)
A^
valor
el c o r r e s p o n d i e n t e
sea igual o i n m e d i a t a m e n t e
-A
el
t£
va-
superior
a
A^
J7l ^ > ^l
A^
A^
A "^
;
(1 -f A -f y - -^ ^
-H...-»- ^
) ¿ A ^ e'
Por
iguale
t a n t o , el valor X ^
simulado
esta e c u a c i ó n , o que haga por p r i m e r a
que el valor del primer m i e m b r o
sa al
sea el que
que
vez
sobrepa-
segundo.
Otro p r o c e d i m i e n t o
zar
será aquel
manual
consistiría
las tablas de la d i s t r i b u c i ó n
niendo
los v a l o r e s n u m é r i c o s
lidades
de acuerdo
con
aplicar
el proceso m o s t r a d o
El proceso m o s t r a d o
teriormente
sección.
se d e s c r i b e
en u t i l i -
de P o i s s o n , o b t e -
de X y de sus p r o b a b i -
el valor
conocido
de A y en
en la gráfica N"
1.
en la gráfica m e n c i o n a d a aji
en p a l a b r a s
en la
siguiente
49
GENERACIÓN
CON
DE VALORES
DISTRIBUCIÓN
Cuando
DE UNA VARIABLE
DE P R O B A B I L I D A D
se conocen
la v a r i a b l e
función
basa en la u t i l i z a c i ó n
ladas para establecer
ticular
Esta
porción
da por
valor
de valores
una c o d i f i c a c i ó n
codificación
aleatorios
variable
P(X"X)
que
se
acumu-
permita
generan
un pa_r
aleatoria.
debe g a r a n t i z a r
aleatorios
la probabilidad
proba-
de las p r o b a b i l i d a d e s
de la v a r i a b l e
de números
de una
de p r o b a b i l i d a d
cuáles n ú m e r o s
valor
tomar
y sus c o r r e s p o n d i e n t e s
b i l i d a d e s , la s i m u l a c i ó n
determinar
DISCRETA.
los v a l o r e s que puede
aleatoria
a l e a t o r i a X con
ALEATORIA
que una
pro-
igual a la e s t a b l e c i -
puntual
sea la que simule
un
de la v a r i a b l e .
Para lo anterior
aleatorios
se r e c o m i e n d a
con igual número
de dígitos a los
n i d o s por las cifras d e c i m a l e s
En forma general
continuación
utilizar
de
la
el p r o c e d i m i e n t o
para p r o b a b i l i d a d e s
números
conte-
probabilidad.
se ilustra a
con dos cifras d e -
cimales .
Esto
indica que todos
comprendidos
generan
los n ú m e r o s
en el i n t e r v a l o
el valor
la m i s m a m a n e r a
00 a
de la v a r i a b l e X
para
los d e m á s
aleatorios
( 1 O O P ( X í X j ) - 1)
igual a X ^
intervalos.
así de
50
X
P(X°x)
P(X^Xi)
X^
P(X=Xj)
P(X^xp
00 a 100 P(X$Xj) - 1
X^
PiK=x^)
P(Kíx^)
P(X^Xj)100 a 100 P(X^X2)-1
X3
P(X=X2)
P(X$X3)
P(X«X2)100 a 100 P(X;$X3)-1
X^
P(X=x^)
1
CODIFICACIÓN
P(X^x^_piOO a 99
Esta explicación no quiere decir que éste sea el úni^
co procedimiento a seguir para la codificación y para la simulación, en realidad existen diferentes pr£
cedimientos.
* * *
BIBLIOGRAFÍA
[1] Clark,Charles, Thí U t l í l t y O f, S t a t l ¿ t l c ¿
dom NumbefiA,
0 f, Han
Operation Research.
[2J Escudero,L., La S i m u l a c i ó n
de. t a Empn.e¿a,
España,
Deusto, (1973).
(3J Hammersley,S.M. y Handscomb,D.C.,Moníe C a n t o
thod¿,
Me
New York, John Wiley.
(4] Meier,R.N., y Pazer,H., 1 í c n l c a h
en Kdmlnl¿tfLacl6n
(1975) .
de
Simulación
y Economía, Mertrillas,
*