Quadern McGraw nº 1
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Cuaderno de actividades 1 1 .O Bachillerato Ángel Peña Sainz José Antonio García Pérez Revisión técnica JACINTO SORIANO MINNOCCI McGraw-Hill MADRID BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA,. LISBOA MÉXICO NUEVA YORK PANAMA SAN JUAN SANTAFE DE BOGOTA SANTIAGO SAO PAULO AUCKLAND HAMBURGO LONDRES MlLAN MONTREAL NUEVA DELHl PARIS SAN FRANCISCO SIDNEY SINGAPUR ST. LOUlS TOKIO TORONTO Cuaderno de actividades. 1. Cinemitica. Física. 1."Bachillerato No esta permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su uatamiento infomático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio. ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros mdodos, sin el pemiiso previa y por escrita de las titulares del Copyright. DERECHOS RESERVADOS O 1997, respecto a La pgmera edición en español por M c G R A W - H L ~ R A M E R I C A N ADE ESPANA, S. A. Edificio Valrealty, 1." planta Basaun, 17 28023 Aravaca (Madrid) ISBN: 84-481-0873-6 Depósito legal: M. 45.725-1996 Editora: Belén Mamil Ayudante editorial: Estrella Marinas Ilustraciones: MonoComp, S. A. Cubierta: Estudio F. Piñuela Compuesto en MonoComp, S. A. Impreso en Edigrafos. S. A. IMPRESO EN E S P M A - PRINTED IN SPAIN ¿Cómo resolver un problema de cinemática'? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compmeba tu nivel de conociinientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l. Movimientos en una dimensión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Movimientos rectilíneos sobre el eje Ox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Movimientos verticales bajo la acción de la gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Movimientos en dos dimensiones Movimientos parabólicos Movimiento circular . . . 3. Diagramas del movimiento Problemas de recapitulación Problemas propuestos Solucionario del apartado acompmeba tu nivel de conocimientos» Para resolver un problema de cinemática debes tener presente lo siguiente: 1. Es necesario elegir un objeto o una serie de objetos, reales o ficticios, en reposo relativo, para determinar, respecto de ellos, los cambios de posición de los cuerpos en movimiento. Estos objetos en reposo relativo reciben el nombre de sistema de referencia. En el sistema de referencia se supone que estj situado el observador, el que cronometra el movimiento, el que resuelve el problema, etc. Al resolver un problenia se debe indicar qué sistema de referencia se ha elegido. En los problemas resueltos hacemos especial hincapié en este aspecto. 2. El movimiento de un cuerpo queda bien determinado si somos capaces de calcular: Dónde se encuentra en cualquier momento el objeto que se mueve. Es decir, conocemos su posición instantánea. Qué velocidad posee en cualquier instante o en cualquier posición. Qué trayectoria describe. 3. La mayoría de los problemas que vamos a resolver versarán sobre el movimiento rectilíneo con aceleración constante. Este movimiento concreto queda perfectamente definido en las siguientes ecuaciones: para calcular la posición en cualquier instante; para calcular la velocidad en cualquier instante; para hallar la velocidad en cualquier posición. Siendo: 4. x, v la posición y la velocidad en cualquier instante. x,. o, la posición y la velocidad iniciales (para t == 0). Recuerda que la posición, la velocidad y la aceleración son magnitudes vectoriales. El sentido de estos vectores viene deteirninado por los signos - . Para averiguar el signo que tienen en un problema concreto utilizaremos el siguiente criterio: +, a ) Para la posición. Si el punto O es el sistema de referencia elegido, el signo de la posición coincide con el signo de los semiejes cartesianos,como se indica en las figuras siguientes: v Movimientos horizontales Movimientos verticales Y<O b) Para la velocidad. Para movimientos horizontales la velocidad es positiva cuando el móvil se desplaza en el mismo sentido del semieje positivo de las x, y será negativa si el desplazamiento se realiza en sentido contrario. Para movimientos verticales la velocidad se toma positiva cuando el móvil se desplaza en el sentido del semieje positivo de las y . Es decir, si el cuerpo sube. Será negativa si el cuerpo baja. Este criterio de signos se indica en las figuras siguientes: c) Para la aceleración. Una aceleración será positiva si su sentido coincide con la velocidad positiva. Y será negativa si su sentido es contrario a la velocidad positiva, como se indica en la figura adjunta. Nota: Según este criterio la aceleración de la gravedad será siempre negativa. I .L...... .... * 4 .........~'7 - acO : No lo olvides: Este criterio de signos solamente es válido para movimientos rectilineos. 5. Lee con atención el enunciado, las veces que sea necesario, hasta estar seguro de que has comprendido el tipo de fenómeno que se describe. Habrás entendido el problema cuando hayas descubierto lo que se pretende calcular y los datos de que dispones para ello. Es muy importante que identifiques los datos y las incógnitas que aparecen en cada apartado del problema. Resulta muy útil escribirlos apane. Esto te facilitará la resolución del ejercicio y, además, evitará que tengas que leer el enunciado cada vez que resuelvas una incógnita. Por esto, en los primeros problemas resueltos hacemos especial hincapié en anotar los datos. 6. Si es posible, ayúdate de un diagrama o esquema gráfico con los datos del problema y busca las relaciones que pueda haber entre las diferentes partes del mismo. 7. Selecciona las leyes, principios, ecuaciones, modelos y estrategias en general que te permitan calcular una incógnita determinada. 8. Resuelve el problema haciendo una descripción algebraica, dejando para el final la sustitución de los datos numéricos una vez que hayas despejado la incógnita. 9. Los datos numéricos deben ir acompañados de sus correspondientes unidades, expresadas siempre en el SI, y operar con ellas. Esto te indicará si los cálculos que vas haciendo son dimensionalmente correctos. 10. Una vez obtenido el valor de la incógnita, haz una evaluación del resultado. 'Es razonable? ¿Está de acuerdo con los datos? ¿Coinciden las unidades? ¿El signo es apropiado o no tiene sentido físico?, etc. ' 1 l , ! uComprueba tu niwl de conocimientos Antes de resolver los problemas que aparecen en los epígrafes siguientes averigua tus conociiiiientos de teoría resolviendo estos ejercicios y cuestiones. Te servirán de test para ver si dominas los conceptos básicos. Si al resolver estas pruebas observas que el número de fallos es alto, debes repasar la teoría antes de comenzar la resolución de los problemas. J1 Indica qué afirmaciones son correctas. Movimiento es: a) Un cambio de lugar. b) Un cambio de lugar si el cuerpo que se mueve es un punto material C) Un desplazamiento. d ) Un cambio de posición J2 Antonio sale de su casa a comprar el periódico en una papelería situada a 120 m de la vivienda. Después de 15 minutos Antonio regresa a su casa. ¿Qué afirmación es correcta? a) Antonio se ha desplazado 120 m. b) Antonio se ha desplazado 240 m. C) Antonio no se ha desplazado. d ) Antonio ha recomdo un espacio de 240 ni. J3 Un ciclista se desplaza en línea recta 750 m. Si su posición final está a 1.250 m del punto de referencia, el ciclista inició su recomdo desde una posición de: a) 750 m. b ) 1.250 m. c ) No se puede hallar la posición de partida. d ) 500 m. J4 Un coche lleva una velocidad de 144 km,%;esta velocidad en el SI es: a ) 25 m/s. b) 30 m/s. C) 35 m/s. d ) 40 m/s. J5 Si la velocidad del sonido en el aire es 340 m/s. la velocidad de un avión en km/h cuando rompe la barrera del sonido será: a ) 1.224 km/h. b) 1.315 km/h. C) 1.608 km/h. d ) 3.400 km/h. J6 Desde un puente dejas caer un objeto y observas que tarda 1,5 s en llegar al agua. Dirás que la altura del puente es: a) 11,075m. b ) 11,025 m. c) 12,148m. d ) 9.8 m. J7 Un coche pasa de 90 hn/h a 126 km/h en 8 s. La aceleración del coche ha sido: a ) 4,5 m/sZ. b ) 2,25 m/s2. C) 1,25 mis2. d ) 1,5 m/s2. J8 Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 1,8 m/s2. Después de 20 S de estar acelerando, la distancia recorrida por el coche es: (1) 360 m. b) 720 m. C) 18m. d ) 36 m. J9 La velocidad de un coche en un punto A es de 60 km/h y en otro punto B su velocidad es de 100 km/h. La velocidad media del coche entre los puntos A y B ha sido: b) No se puede hallar porque no conocemos el desplazamiento. C) Aunque conociéramos la distancia entre A y B tampoco se podría hallar porque no conocemos el tiempo. J10 Un automóvil toma una curva de 100 m de radio con velocidad constante de 36 km/h. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas? a ) El coche no tiene aceleración porque su velocidad es constante. b) El coche tiene aceleración porque su velocidad varía. C) El coche tiene aceleración tangencial. d ) La aceleración del coche vale 1 m/s2. J1 1 Las coordenadas del extremo del vector de posición de una partícula móvil son P(2, - 1, O ) en un instante dado. a ) En ese instante el punto se encuentra en el plano xy. b) El punto se encuentra en el plano yz. El vector de posición es r = 2i - j . d ) El vector de posición es r = i C) + 2j. ¿Qué afirmaciones son falsas? J 12 El vector de posición de un punto material en movimiento es r encuenira inicialmente en: a ) (0, o, O). b ) (0, 1 , 1). C) (O,o, 11. ¿Cuál es la posición correcta? = ti + tzj + k. El punto móvil se J 1 3 El vector de posición de un punto material que se desplaza en el espacio es r , = 4i - 3j en el instante t , , mientras que en el instante 1, es r2 = 5j + 2k. El desplazamiento del punto en el intervalo t , - 1, ha sido: a) i + 2k. b) 3j + Z k . + 8j + 2k. c) 4i d) -4i + 8j + 2k. Indica la solución verdadera. J 1 4 El vector de posición de una partícula móvil es r = ( t + 2)i + r2j - 3k. ¿Qué desplazamiento ha experimentado la partícula e11 el intervalo de tiempo de 2 a 4 S'? J 1 5 Dada la ecuación horaria del movimiento de una partícula s = 2 velocidad escalar media en m/s entre 2 y 4 s ha sido: a) - 3t + t 2 (en unidades SI), la 2. b) 3. C) 4. d ) 5. J 16 La velocidad media de una partícula en un intervalo de tiempo es: a) El cociente entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo. b) El cociente entre el espacio recomdo y el intervalo de tiempo. c ) Es igual cualquiera que sea la trayectoria. d ) Tiene igual módulo que la velocidad escalar media si la trayectoria es rectilínea e ) Tiene la misma dirección y sentido que el vector desplazamiento. ¿Qué afirmaciones son verdaderas? J 17 En la figura se representa el movimiento de una partícula. En el instante t , dicha partícula se encuentra en P,,mientras que en r, ya está en P,. ¿Cuáles de las siguientes expresiones representan la velocidad media? J 1 8 El movimiento de una partícula puede determinarse mediante s x = x, + v,t + = v,t 1/2at 2 . + 1/2at2 o bien a ) Ambas ecuaciones son equivalentes. b ) La primera representa el espacio recomdo y la segunda la posición del nióvil en un instante dado. c ) Ambas representan el espacio recomdo si el iiiovimiento es rectilíneo. d ) Ambas representan la posición del móvil en un instante e ) La primera recibe el nombre de ecuación horaria. ¿Qué afirmaciones son correctas? J 1 9 El vector de posición de un punto móvil es: El punto se inueve: U) En el plano y. b) En el plano xz. C) En un plano paralelo a xz. d ) En un plano perpendicular al plano q. Indica las soluciones verdaderas. JZO El vector de posiciún de un punto móvil es r a) = (2t + 5t 2 )i. El punto se mueve en el plano xy. b ) El punto se mueve sobre el eje x. c) El punto se mueve sobre una recta paralela al eje x. d ) El movimiento es rectilíneo y uniforme. e ) La ecuación dada es equivalente a la ecuación x = 2t + 5t . Señala las afmacioues correctas. J Z 1 El vector de posición de una partícula es r = (2 - 2tz)i + 8j. a) La partícula se inueve sobre el eje x. b) La partícula se mueve en el plano ny. c) La panícula se mueve en un plano paralelo al plano .v. d ) El movimiento es rectilíneo. e ) El movimiento es parabólico. ¿Qué afirmaciones son correctas? 2 J 2 2 Tres partículas A, B' C se desplazan desde la posición P, a la posición P, siguiendo las trayectorias que se indican en la figura. Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas: a) Las tres tienen el mismo desplazamiento. b) Las tres se han movido con la misma rapidez si han empleado el mismo tiempo. c) Las tres tienen la misma velocidad si han empleado el mismo tiempo. J23 Un barco se desplaza 8 km hacia el norte y luego 6 km hacia el este empleando media hora. Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas. a) El desplazamiento total ha sido 14 km. b) El desplazamiento total ha sido 10 km. c ) El módulo de la velocidad media es 28 km/h. d ) El módulo de la velocidad media es 20 km/h. J 2 4 De las afirmaciones siguientes indica cuáles son falsas. a) Si la velocidad de un cuerpo es nula, la aceleración también lo es. b) Si la aceleración de un cuerpo es nula, la velocidad también lo es. c ) La velocidad y la aceleración son vectores que tienen siempre la misma dirección aunque su sentido puede ser diferente. J25 Si el módulo del vector velocidad de un móvil es constante: a) El movimiento es uniforme. b) El movimiento puede no ser uniforme. Sólo será uniforme si su trayectoria es una recta. Una de las afirmaciones anteriores es falsa. ¿Cuál es? C) NOVIMlENTOS EN UNA DIM'ENSI~N @lb Movimientos rectilíneos sobre el eje Ox rectilíneo y uniformemente acelerado, mientras que el segundo puede ser uniforme y uniformemente acelerado. Nosotros consideraremos el movimiento uniforme como un caso paaicular de movimiento uniformemente acelerado (a = 0). La mayoría de los movimientos complicados que se dan en la naturaleza se pueden considerar como suma de movimientos rectilíneos a lo largo de los ejes cartesianos de referencia. Es el caso del movimiento parabólico que vereiiios más adelante. Por ello es importante que doiniiies el movimiento rectilíneo. Entendemos como movimiento horizontal cualquier movimiento rectilíneo realizado sobre el suelo, sin que actúe la gravedad. Vamos a considerar dos casos: el movimiento vertical, en caída libre, bajo la acción de la gravedad, y el movimiento horizontal. El primero es un ejemplo típico de movimiento Tomaremos como eje x la dirección del movimiento. Un ciclista inicia el movimiento por una calle con aceleración constante hasta alcanzar una velocidad de 36 km/h en 10 s. ¿Cuánto vale la aceleración? ¿Qué distancia ha recorrido en los LO S? Solución El ciclista parte del reposo, sin velocidad inicial por tanto, y con aceleración constante. Se trata, pues, de un movinliento rectilíneo y uniformemente acelerado. Si la velocidad al cabo de 10 s es 36 km/h = 10 m/s se cumple que: v = c, + rrt. de donde a = u u, -- t 10 m/s - O m/s 10 S = 1 m/s2 Si tomamos como origen del sistema de referencia el punto de partida, la distancia recorrida en 10 s equivale a la posición final correspondiente a dicho intervalo de tiempo. Por tanto, Un automóvil al pasar por un punto A tiene una velocidad de 120 km/h y cuando pasa por otro punto B, distante 100 m del anterior, la velocidad es de 30 km/h. Calcula: a) El valor de la aceleración supuesta constante. b) ¿Cuánto tiempo tarda el auto en pasar desde A hasta E? c) ¿A qué distancia de A se detendrá el automóvil? Solución Tomamos como sistema de referencia el punto A. Se trata de un inovimiento rectilíneo unifoniiemente acelerado. Datos Posición inicial: xo = O. Porque empezamos a contar el tiempo cuando el coche se encuentra en el punto A (sistenia de referencia). Velocidad inicial: v, Posición final: x = Velocidad final: v = 120 h , ' h = 33,33 ni/s. 100 m. = 30 km/h = 8,33 m/s. a ) De acuerdo con estos datos, la aceleración se obtiene despejándola de la ecuación: b) Calculamos el tiempo transcumdo desde A hasta E: C) Supongamos que C es el punto pedido Si tomamos el punto A como referencia los datos son: Posiciún inicial: x , = 0. Velocidad inicial: u, = 33,33 m/s. Velocidad final: u = 0. Aceleración: a = -5.2 m/s2. En este caso la incógnita es la posición final x. La despejamos de la ecuación: Un automóvil está parado en un semáforo. Cuando se pone la luz verde arranca con aceleración constante de 2 ni/s2. En el momento de mancar es adelantado por un camión que se mueve con velocidad constante de 54 km/h. Calcula: a ) j,A qué distancia del semáforo alcanzará el coche al camión? b) ¿Qué velocidad posee el coclie en ese momento? Solución Tomamos el semáforo conio origen del sistema de referencia. Datos de cada móvil: Velocidad inicial Se nos pide la posición final x, en donde el coche alcanza al camión y la velocidad del coche en esa posición. u ) El coche habrá alcanzado al camión cuando los dos vehículos estén a la misma distancia del semáforo. Es decir, cuando los dos vehículos estén en la misma posicióii y en el mismo instante. La posición de cada vehículo viene dada por la siguiente expresión: Para e1 coche: x = 0 +0+ Para el camión: x =0 + 15t 112 . 2tZ Si en este sistema de ecuaciones eliminamos el tiempo, tenemos: De donde x = 225 m o x 6) Velocidad del coche: u' = O. (Intenta explicar el significado de esta segunda solución.) = 11; + 2a(x - x,) El Código de la Circulación establece que la distancia mínima que debe guardar un vehículo con respecto al vehículo anterior debe ser igual, en metros, al cuadrado de la velocidad expresada en miriámetros por hora. Por ejemplo, en el supuesto de que la velocidad fuera 120 km/h = 12 Mmh, la distancia debe ser 144 m. o ) ¿Cuál debe ser la distancia de seguridad para un coche que circula a 25 m/s? b) ¿Para qué valor de la aceleración está establecida la norma? c) Uii coche A circula con una velocidad de 45 km/h a una distancia de 20 m del coche B que le precede. ¿Cumple el coche A la disposición legal? A 8 ~...* -..............20m........- d ) Si el coche B para bmscamente y el conductor del coche A tarda dos segundos en frenar, ¿habrá colisión entre los dos vehículos suponiendo que la máxima deceleración que puede soportar el automóvil es de 8 m/s2? Solución a) En primer lugar expresamos la velocidad del automóvil en Mm/h: De acuerdo con la norma del Código la distancia mínima debe ser: b ) La aceleración se obtiene de la ecuación: x, Tomamos como referencia el punto en donde empieza a frenar. Con estas condiciones O y x representa la distancia de seguridad: = c ) La distancia mínima entre los dos vehículos debe ser: Por tanto, no cumple la normativa. d ) Durante los dos segundos que tarda el conductor en aplicar el freno el coche A avanza con velocidad constante una distancia: El coche A colisiona, pues, con el coche B antes de frenar. Un avión que parte del reposo acelera uniformemente hasta alcanzar una velocidad de despegue de 75 m/s en 5 s. a) ¿Con qué velocidad en km/h despega el avión. b) ¿Cuál es su aceleración? C) d) ¿Qué longitud de pista ha recomdo hasta despegar? ¿Qué distancia recorre en el último segundo? Solución Para comenzar. elige tú el sistema de referencia más adecuado. De acuerdo con el sistema de referencia elegido, escribe los datos. a ) El avión despega con una velocidad v = 75 m/s = 270 km/h b) La aceleración la hallamos a partir de: c = u, C) + at La longitud de pista recomda coincide con la posición final: x = x, + v,t + 1/2atz = 0.5 . 15 m/s2 . 25 S' = 187,s m d ) Hallamos la posición a los 4 S: x = 0,s . 15 mis2. 16 s 2 = 120 m La distancia recomda en el último segundo será: d = x, - x, = 187,5 m - 120 m = 67,s m Un ingeniero quiere diseñar una pista para aviones de manera que puedan despe,-ar con una velocidad de 72 m/s. Estos aviones pueden acelerar unifomiemente, a razón de 4 m/s2. a ) ¿Cuánto tiempo tardarán los aviones en adquirir la velocidad de despegue? b) ¿Cuál debe ser la longitud mínima de la pista de despegue? Solución Tomamos como referencia el comienzo de la pista de despegue Disponemos de los siguientes datos: a ) El tiempo que necesita el avión para alcanzar la velocidad de despegue lo calculamos a partir de la ecuación: b ) Si hemos tomado el comienzo de la pista como posición inicial, el final de la pista será la posición final: x = x, + v,t + 1/2at2 = 0,s . 4 m/s2 . 18' s 2 d = 648 m Una caja se cae desde un camión en marcha y se desliza por la calle una distancia de 45 m antes de detenerse. El rozamiento entre la caja y la calle produce una deceleración de 4 m/s2. ¿Cuál era la velocidad del camión cuando se cayó la caja? Solución Tomamos como referencia el punto en donde se desprende la caja. Por la ley de la inercia la velocidad del camión equivale a la velocidad horizontal inicial de la caja. Con estas indicaciones escribe los datos del problema. La velocidad de la caja la obtienes resolviendo la ecuación: v2 = u; De donde: u = = u2 - 2a(x - 19 m/s = x,) = 0; + 2a(x - x,) O - 2 . (- 4 m/s2) . 45 m = 360 mZ/s2 68,3 h / h Al planificar un viaje, has decidido hacerlo a una velocidad media de 90 km/h. Tu coche ha sufrido una avena y has recomdo la mitad del trayecto con una velocidad media de 50 km/h. ¿Cuál debe ser la velocidad media en la segunda mitad del viaje para lograr tus propósitos? ¿Es razonable esa velocidad? Solución Recuerda que la velocidad media es el cociente entre el desplazamiento realizado y el tiempo empleado en realizarlo. Si tomamos como referencia el punto de partida, la longitud del trayecto coincide con el desplazamiento. La velocidad media se considera constante. Por tanto, se cumple que x realizado el viaje según lo previsto habrías tardado un tiempo t (en horas): Sin embargo, para recorrer la mitad del trayecto has empleado el tiempo: Por tanto, el tiempo de que dispones para recorrer la segunda parte será: = uf. De haber Este tiempo debe coincidir con t, x/2 x =- = v 2u Por consiguiente: De donde: v = 450 km/h Como puedes comprender. esta velocidad no es razonable para un coche noniial. Un ciclista marcha por una región donde hay muchas subidas y bajadas. En las cuestas arriba lleva una velocidad constante de 5 km/h y en las cuestas abajo de 20 km/h. i.Cuál es la velocidad media si las subidas y bajadas tienen la misma longitud? Solución Sea x la longitud de las subidas y de las bajadas: x = x, = x, La velocidad media al final del trayecto será: u = + x, - + -x, x (total) = -x, t (total) x, - - - - 05 Ub 2.x - u&\-, + u$, - --u i + 2.5 -1, km/h . 20 km,% -- = 8 kmjh 20 hn/h 5 km/h + 1!,Vb Un estudiante ha determinado la posición de un móvil en función del tiempo. El resultado de su investigación está reflejado en la tabla siguiente: Analizando los datos de dicha tabla puedes deducü: Que el móvil se desplazó primero en el sentido positivo del eje x hasta alcanzar 8 m. Luego cambia de sentido dirigiéndose hacia el origen, pasando por él al cabo de 4 s. Continúa su movimiento en el sentido negativo del eje x. Calcula la velocidad media y la rapidez media (velocidad media escalar) en los intervalos: a) DeOa3s. b) De O a 4 s. C) De3a8s. Solución De acuerdo con la definición de velocidad media: u X - Xo = -y t - to de rapidez media: u = -. S t tenemos: u = 8 m + 3 m - Ilm - 3,66 m/s 3s 3S Observa que en el cálculo de la rapidez media se ha tenido en cuenta el espacio recorrido o longitud de trayectoria. El móvil avanzó primero 8 m en 2 s y luego regresó 3 m en el segundo siguiente. Por tanto, en total ha recorrido 11 m. Procediendo de igual manera tenemos: Observa cómo la velocidad media, que es una magnitud vectorial, puede ser nula e incluso negativa en un intervalo de tiempo. En cambio, la rapidez, que es una magnitud escalar, es siempre positiva. Movimientos verticales bajo la acción de la gravedad Para resolver estos problemas utilizaremos las ecuaciones siguientes: Posición en cualquier instante: y = yo + uot + 1/2gt2 Velocidad en cualquier instante: Velocidad en cualquier posición: u2 = UO + %(Y - YO ) Recuerda que la aceleración de la gravedad será siempre negativa, de acuerdo con el criterio de signos indicado anteriormente. Desde un punto situado a 55 m de altura se deja caer un cuerpo. a) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? b) ¿Con qué velocidad llega al suelo? Tomamos el suelo como nivel de referencia. Por consiguiente. la posición inicial del cuerpo es = 55 m. Si el cuerpo se suelta quiere decir que inicia el movimiento partiendo del reposo = 0) con aceleración constante. Se trata, pues, de un movimiento rectilíneo y unifonnemente acelerado. v, (u, a ) El cuerpo llegará al suelo cuando la posición final sea cero. Por tanto, el tiempo transcurrido se obtiene resolviendo la ecuación: 0 = 55 m + 1/2(-9.8 m/s2)t2 De donde: b ) Velocidad con que llega a la calle: ¿Qué interpretación das al signo negativo del resultado? Desde el mismo punto del problema anterior se lanza el cuerpo verticalmente hacia abajo con una velocidad de 30 m/s. a) ¿Con que velocidad llega a la calle? b) ¿Cuánto tiempo tarda en caer? C) ¿Qué velocidad posee cuando se encuentra a 10 m del suelo? Solución Tomamos la calle como referencia. ¿Existe alguna diferencia entre los datos de este problema y los datos del problema anterior? /,Cuál? a ) vZ = (- 30 m/s)' + 2 . (-93 m/s2) . (O - 55 m) u = 2 JG¡G2/s2= -44,47 m/s ¿Sabes por qué tomamos la solución negativa? = 1.978 m'/s2 b ) De la ecuación u c) = u, Velocidad cuando y = + at despejamos el tiempo que tarda en caer: 10 m Carlos y Ana están disfrutando de una tarde en el campo. La distracción favorita de Carlos es arrojar piedras al aire sin un blanco definido. En un momento dado Ana, que es una estudiante aventajada de Física. dice a su compañero: «Lanza una piedra verticalmente hacia amba con todas tus fuerzas y te diré la altura que has alcanzado.*>u¿Cómo lo vas a medir?*, pregunta Carlos incrédulo. «Con eston, responde Ana, mostrando un cronómetro. Lanza Carlos la piedra y Ana observa que tarda S s en volver al suelo. a ) ¿Con qué velocidad lanzó Carlos la piedra? b) ¿Qué altura alcanzó ésta? Solución Tomamos como referencia el punto de lanzamiento. Suponemos que este punto está, aproximadamente, en el suelo. ¿Por qué hacemos esta aproximación? a) La velocidad de lanzamiento se obtiene de la ecuación: De donde: b ) La piedra alcanzará la altura máxima cuando la velocidad que posee sea cero. Despejamos y de la ecuación: v2 O = = u; (39,2 m/s)' + 2a(y - - y,) 2 . 9,s m/s2 (y - O) Resuelve el mismo problema suponiendo que la distancia al suelo desde el punto en donde Carlos suelta la piedra es 1,75 m. Desde una altura de 80 m se deja caer un objeto. Dos segundos más tarde se lanza otro desde el suelo hacia arriba en la misma vertical con una velocidad de 20 m/s. a) ¿A qué altura se cruzan? b) ¿Qué velocidad tiene cada objeto en ese instante? c) ¿Dónde se encuentra el segundo objeto cuando el primero llega al suelo? Solución Tomamos el suelo como referencia. 1 ) 1 Posición inicial Velocidad inicial l Tiempo transcurrido a 1 = u, -9.8 a m/s2 1 fl = f 1 Yo = 0 u, = O Aceleración 1 1 y, = 80 rn = 20 m/s - -9,s m/s2 r, = t - 2s 1 a ) Los dos cuerpos se cruzarán cuando estén en la misma posición: - 0,5 . 9,8 m/s2 . t Z Objeto 1: y = 80 m Objeto 2: y = 20 m/s ( t - 2 S) - 0,5 . 9,8 m/s2 . (t - 2 S)' Al ser común la posición de los dos objetos, la podemos eliminar igualando las dos ecuaciones: De donde se obtiene que se cruzan al cabo de: 139.6 39,6 t = - = 3,52 s desde que salió el primer objeto. Sustituimos este tiempo en la ecuación: y = 80 - 4.9 tZ y = 80 m - 4,9 m/s2 . 3,5Z2 s2 = 19,28 m Se cruzarán, pues, a 19.28 m del suelo. %a b ) Para hallar la velocidad, sustituimos el valor del tiempo en la ecuación: u = v, Primer cuerpo: c, = O - 9,8 m/s2 . 3,52 s Segundo cuerpo: v2 = 20 m/s - = + at -34,49 m/s 9,8 m/s2 . (3,52 - 2) S = 5,l m/s c) En primer lugar hallamos el tiempo que tarda en llegar al suelo el primer objeto. Esto ocurre cuando y = 0. De la ecuación: y = y, + v,r + 1/2atz se deduce que: En ese instante el segundo objeto se encontrará en la posición: y = 20 m/s . (4 - 2) S - 0,5. 9,8 m/s2 .(4 - 2)' s 2 = 20,4 m del suelo. Un cuerpo en caída libre pasa por un punto con una velocidad de 18 m/s. ¿Qué velocidad tendrá 3 S después? ¿Qué distancia recorre en el tiempo anterior? Solución Toma como referencia el punto indicado y escribe los datos e incógnitas del problema. Velocidad al cabo de 3 S: La posición al cabo del tiempo anterior será: Este signo menos indica que el móvil en ese instante está a 98.1 m por debajo del punto de referencia. Desde el borde de un acantilado de h metros de altitud sobre el nivel del mar se lanza una piedra verticalmente hacia aniba con una velocidad de 45 m/s y se observa que tarda 10 S en caer al agua. a) ¿Qué altura tiene el acantilado? b) ¿Qué altura máxima alcanza la piedra respecto del nivel del mar? c ) ¿Con qué velocidad llega a la superficie del agua? Solución Tomamos el nivel del mar como sistema de referencia. Practica ahora y escribe los datos y las incógnitas. a) Para hallar la altitud de1 acantilado, posición inicial, resolvemos la ecuación: y = yo O = y, + uot + para y 1/2at2, + 45 m/s . 10 s - 4,9 m/s2 . 100 sZ ; J, = b ) La altura máxima viene dada por la posición cuando v ecuación: Para hallar la velocidad con que llega al agua, y C) 'u = 452 m2/s2 = = = O 490 m - 450 m = 40 m O. Por tanto, despejamos y de la O, utilizamos la misma ecuación anterior: + 2 . (-9,X m/sz) . (0 - 40 m) = 2.809 m /s 2 2 Luego: v = k m 0 9 mZ/s2 = -53 m/s Puedes llegar al mismo resultado utilizando la expresión: v = vo + at = 45 m/s + (-9.8 m/s2) . 10 s = - ~ 5 3m/s Intenta resolver el problema tomando el borde del acantilado como sistema de referencia. Desde un globo que se está elevando a 2 m/s se deja caer un paquete cuando se encuentra a 60 m de altitud. a) ¿Cuánto tiempo tarda el paquete en llegar al suelo? b) ¿Con qué velocidad llega'? c) ¿Dónde se encuentra el globo cuando llega el paquete al suelo? Solución Tomamos el suelo como referencia. Escribe ahora los datos del problema. a) El paquete llegará al suelo cuando su posición sea y = O. Para hallar el tiempo transcunido resolvemos la ecuación: De donde obtenemos dos soluciones para c t = 3,7 s y t = -3,3 s. Escogeinos la primera. ¿Sabrías decir por qué? b) La velocidad la hallamos a partir de: v o C) Posición del globo: = 2 m/s + (-9,s = vo + at m/s2) . 3,7 s = -34.26 m/s Hasta ahora hemos considerado el movimiento sobre una línea recta. Ahora trataremos dos movimientos muy frecuentes sobre una trayectoria curva. Estos movimientos son: el movimiento parabólico de un proyectil y el movimiento circular de una partícula. Movimientos parabólicos Los movimientos parabólicos se pueden considerar como una combinación de dos movimientos rectilíneos: uno horizontal uniforme y otro veaical uniformemente acelerado. Por tanto, ten en cuenta el convenio de signos que se dio para la velocidad y la acelera- componente vertical u , sen E,. El vector v representa la velocidad instantánea correspondiente a cualquier punto de la trayectoria. Observa que es tangente en todo momento a la trayectoria parabólica. Los valores u,, u, son las componentes cartesianas de la velocidad instantánea. Tomaremos como referencia un sistema de ejes cariesianos, con su origen en el punto en La velocidad en el origen viene determinada por el vector v, denominado velocidad inielevación. La velocidad inicial se descompone Un cañón dispara un proyectil con una velocidad de 400 m/s y un ángulo de elevación de 30". Determina: a ) La posición y la velocidad del proyectil a los 5 s b) En quk instante el proyectil alcanza el punto más alto de la trayectoria y halla la altitud de ese punto. c) En qué instante el proyectil se encuentra a 100 m de altura y qué velocidad tiene en ese instante. d ) El alcance del proyectil. e ) Con qué velocidad llega a la horizontal del punto de lanzamiento. f) La ecuación cartesiana de la trayectoria que sigue el proyectil. (Toma para la gravedad el valor 10 m/s2.) Solución El movimiento del proyectil se puede descomponer en los dos movimientos siguientes: Movimiento horizontal uniforme (a = x, + v,,t = x, o, = v, cos a,; x = O), cuyas ecuaciones son: + v, cos a, . t ; Movimiento vertical uniformemente acelerado (a + yo c,,t v, = u, sen a, = + 1/2at + at 2 = y, para la posición para la velocidad = g = - 10) + v, de ecuaciones: sen a, . r + 1/2at Tomamos como referencia la horizontal del punto de lanzamiento (x, 0 ; yo = Se pide la posición del proyectil en un instante dado. Es decir, los valores x e y para t a) u, cosa, r y = u, sen a, .t x = 2 = + 0,5 . ( = + 1/2at 2 = 400 m / .~sen 3 0 . 5 s 5 s. = + 875 m Al cabo de 5 s el proyectil se encuentra en un punto P de la trayectoria definido por sus coordenadas P(1.732, 875). X La velocidad en el punto anterior viene determinada por sus componentes cartesianas: u, = v, cos a, = 400 m/s . cos 30" = 346 m/s = i,, = 4 0 0 m / s . c o s 3 0 " . 5 s = 1.732111 1 0 m/s2) . 25 sZ v, 0). sen a, + at = 400 m/s . sen 30" - 10 m/s2 . 5 s = 150 m/s El módulo del vector velocidad instantánea será: - X Esta velocidad tiene una pendiente: u tga='= 150 mjs 346 m/s v, De donde: a = = 0,433 23,4" t. . .. . .. . .... V" Observa cómo el ángulo a ha pasado de 30" a 23.4". A los 5 s el proyectil se encuentra en un punto situado a una distancia horizontal de 1.732 m, y a una altura de 875 m. En ese instante el proyectil se mueve con una velocidad de 377 mjs formando un ángulo de 23,4" con la horizontal. b ) En el punto más elevado, la velocidad vertical u, es nula. El tiempo que debe transcumr para que eso ocurra se despeja de la ecuación: u, = t= + a? u, sen a, 1; - u, a sen a, - O - 400 mjs . 0,s - 10 m/s2 = 20s La altura en ese instante viene dada por la ecuación: y = u, sen a, .t + 1j2at2 = 400 mjs . sen 30" . 20 s - 5 m/sZ . 20' sZ = 2.000 m El proyectil se encontrará a 1.000 m de altura cuando y ocurre esto, resolvemos la ecuación: c) y = u, sen a,t + 1.000 m = 400 mjs . sen 30' = 1.000. Para hailar en qué instante l/2at2 . t - 5 m/s2 . t' t2-40m/s.t+200m=O Cuyas soluciones son: t, = 5.86 s y t2 = 34,14 s ¿Qué interpretación das a estas dos soluciones? Velocidad para t, = 5.86 s u, = u, cos a, = 400 mjs . cos 30" = vy ....~ ~. = 346 m/s = u, = V sen a, A 1.000 m + at = 400 mjs - sen 30" - 10 m/s2 . 5,86 s = ..... Velocidad para t2 u, ?,, - = u, cos u, = u, sen u, 34,14 s = 400 m/s . cos 30" = 346 m/s + at = 400 m/s . sen 30' - 10 m/s . 34,14 s = - 141,4 m/s El signo menos indica que el proyectil después de 34,14 s ha alcanzado la altura máxima y esta descendiendo. Hay dos instantes en los que el proyectil se encuentra a una altura determinada. Para el tiempo más pequeño está subiendo y para el mayor el proyectil está bajando. En ambos instantes la velocidad tiene el mismo módulo. d ) Recibe el nombre de alcarzce de un proyectil la distancia horizontal desde el punto de partida al punto en el cual el proyectil vuelve a alcanzar su altitud inicial. Es decir, y = y,. En este caso y = 0. En la figura siguiente la letra x representa el alcance máximo. Sea t el instante en que alcanza este vunto. Para obtenerlo resolvemos la Esta ecuación tiene dos soluciones: t , salida); t2 = 40 s. = O (cuando el proyectil se encuentra en el punto de En este instante el proyectil se encuentra en el alcance máximo. Observa que este valor del tiempo es justamente el doble del tiempo empleado en alcanzar el punto más alto. El tiempo de bajada es, por tanto, igual al tiempo de subida. El alcance horizontal sera x = v,t2 = u, cos u, . t2 = 400 m/s . cos 30" . 4 0 s = 13.840 m e) Para hallar la velocidad con que llega al suelo sustituimos el tiempo t2en las componentes del vector velocidad: v, v, = u, cos a, = u, . sen a, v = 400 m/s . cos 30" = 346 m/s = + a t = 400 m/s . sen 30" - 10 m/s2 . 40 s = -200 m/s Jm = 400 m/s tga=!5= v, -200 I ~ / S 400 m/s . cos 30" El proyectil vuelve al nivel de partida con la misma velocidad (módulo) con que salió y formando el mismo ángulo con la horizontal aunque de signo contrario. ,o f) Para hallar la ecuación cartesiana de la trayectoria eliminamos el tiempo t e n el sistema de ecuaciones: u, COS a,t y = u, sen a, X = !J= u, sen a, . .f+ X u, Es una parábola del tipo y COS = a, ux2 112 a t + ; 2 x u, COS a, X f = ) u, cos a. = x tg no + 1/2a x2 0 , + b.r Desde un acantilado de 40 m de altura se lanza horizontalmente un cuerpo con una velocidad de 20 mis. Calcula: a) ¿Dónde se encuentra el cuerpo 2 s después? b ) ¿Qué velocidad tiene en ese instante? c) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a la superficie? d ) ¿Con qué velocidad llega al agua? e ) ¿Qué distancia horizontal máxima recorre? f) Ecuación cartesiana de la trayectoria. Solución Tomamos el nivel del mar como nivel de referencia. En este caso el ángulo de tiro (a, El punto de partida o posición inicial tiene de coordenadas x, = O; y, = 40 m. = 0). Las ecuaciones que definen el movimiento del proyectil son: Movimiento horizontal + x, v, cos a,t = 201 v, = v, cos a, = 20 m/s = Moiiin~ientovertical y ii, + + y, u, sen a, . t 1/2at2 = 40 m = v , sen a, at = -9,8 m/s2 t = + - 4,9 ni/s2 t 2 a ) Al cabo de dos segundos el cuerpo se encuentra en el punto de coordenadas: 6) La velocidad en el punto indicado será: Esta velocidad forma un ángulo con el horizonte: e ) El cuerpo llegará a la superficie del agua cuando y = O. Para obtener el tiempo transcumdo, resolvemos la ecuación: d ) La velocidad con que llega al agua será: El objeto penetra en la superficie del agua formando un ángulo de -54,3Y0. e ) El objeto avanza honzontaimente mientras está en el aire. Por consiguiente, el alcance máximo se obtiene sustituyendo el tiempo t = 2,85 s en la ecuación: f ) De las ecuaciones x = 20 m/s. t ;y = 40 m - 4.9 m/sZ t Z eliminamos el tiempo, resultando: Que es la ecuación de la trayectoria parabólica. D)C- Desde el borde de un acantilado de 85 m se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 150 m/s y un ángulo de elevación de 30". Calcula: Y 1 a ) La distancia horizontal desde el cañón al punto donde el proyectil pega en el suelo. . /*...................... b) La máxima elevación que alcanza el proyectil respecto del suelo. x ~ ~ ---- ~ - ~X ~ - ~--~. -.---- Solución Tomamos el suelo como nivel de referencia. Ecuaciones del movimiento horizontal x = 150 m/s. cos 30" . t v, = 150 m/s . cos 30" Ecuaciones del movimiento vertical y = 85 + 150 . sen 30" . r - 4,9r2 I.,= 150 . sen 30" a) El proyectil pegará en el suelo cuando y ecuación: O = 85 m = - 9,8t O. Para calcular el tieiiipo einpleado resolvemos la + 150 m/s . sen 30" . t - 4,9 m/s2 r Z ; 1 = 16,36 s ~ El alcance horizontal será: x = 150 m/s . cos 30" . t = 150 m/s . 0,866. 16,36 s = 2.125 m b) El proyectil alcanza su máxima elevación cuando u, que ocurre esto resolviendo la ecuación: 0 = 150 m/s . sen 30" - = 0. Por tanto, hallamos el instante en 9,8 m/s2 t t = 7,65 s ; Sustituimos este valor en la ecuación del movimiento vertical: y + 150 m/s2 . sen 30" . t - 4,9 m/s2 t 2 = = 85 m = 85 m/s + 150 m/s . 0,5 . 7.65 s - 4.9 m/s2 . 7,65' s2 = 372 m Un avión vuela a 800 m de altura y deja caer una bomba 1.000 m antes de sobrevolar el objetivo haciendo blanco en él. ¿Qué velocidad tiene el avión? Solución Tomamos el suelo como nivel de referencia. Las ecuaciones del movimiento del proyectil son: x = u,t y = 800 m - 4,9 m/s2 t 2 (horizontal) (vertical) El proyectil llegará al suelo cuando y = 0 Y; ! Resolvemos el sistema: ! 1.000 m = v,t 0 = 800 m De donde: 1800 m - -v --_-. .-..'. ?--'\ 4,9 m/s2 t 2 \'\., ., '\ u, = 78,26 m/s = 282 km/h Un jugador de baloncesto pretende realizar una canasta de tres puntos. Para ello lanza la pelota desde una distancia de 6,5 m y a una altura de 1,9 m del suelo. Si la canasta está situada a una altura de 2,s m, ¿con qué velocidad debe realizar el tiro si lo hace con un ángulo de elevación de 30"? ,,.--------. I, ,,' i ,,9 m ! Solución Tomamos el suelo como nivel de referencia. Ahora escribe los datos y las ecuaciones de los movimientos horizontal y vertical. , Resolvemos el sistema: 6,5 m 2,5 m cos 30" . t 1,9 m + u, sen 30" = u, = De donde se obtiene que: u, = . t - 4.9 m/s2 t 2 +9,34 m/s ¿Por qué se escoge el signo + ? ¿Qué sentido tiene aquí el signo signos? Un bombero desea apagar el fuego en una casa. Para ello deberá introducir agua por una ventana situada a 10 m de altura. Si sujeta la manguera a 1 m del suelo. apuntándola bajo un ángulo de 6 0 hacia la fachada que dista 15 m, ¿con qué velocidad debe salir el agua? + o - según el convenio de .*- Solución Elige el nivel de referencia más adecuado y escribe las ecuaciones de los movimientos horizontal y vertical del agua. La velocidad del agua se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones: 15 m 10 m De donde u, = = = u, . cos 60" . t 1 m + u, . sen 60" . t - 4,9 m/s2 t 2 16 m/s Movimiento circular Solamente consideraremos el movimiento circular uniforme, es decir, aquel que se realiza con velocidad annular constante. Recuerda que estos movimientos poseen aceleración normal o centnpeta debida a que la velocidad tangencia1 está variando continuamente de dirección. Tomaremos como origen del sistema de re- ferencia el punto de la trayectoria en donde se inicia el movimiento. Para resolver estos problemas utilizamos la ecuación horaria del movimiento: s = u,t + 1/2<rr2,en donde s es la longitud de trayectoria o espacio recomdo y o y a son, respectivamente, la velocidad y la aceleración tangenciales. + Un ciclista parte del reposo en un velódromo circular de 50 m de radio, y va moviéndose con movimiento uniformemente acelerado, hasta que a los 50 s de iniciada su marcha, alcanza una velocidad de 36 km,%;desde este momento conserva su velocidad. Calcula: a ) La aceleración tangencial y la aceleración angular en la primera etapa del movimiento. 6 ) La aceleración normal y la aceleración total en el momento de cumplirse los 50 s. C) La longitud de pista recomda en los 50 s. d) La velocidad tangencial media y la velocidad angular media en la primera etapa del movimiento. e ) El tiempo que tarda en dar una vuelta a la pista, con velocidad constante. f) El número de vueltas que da en 10 minutos contados desde que inició el movimiento. Solución Tomamos como sistema de referencia el punto de partida. Datos Velocidad inicial v, = 0. Velocidad final v = 36 h / h Tiempo transcumdo t = = 10 mis. 50 s. a) La aceleración tangencial se obtiene a partir de la ecuación: Recuerda la relación que existe entre las magnitudes lineales S, u, a, y las magnitudes angulares correspondientes: s = fJ . R; v = w . R; a, = a . R Teniendo en cuenta esto, la aceleración angular sera b ) La aceleración normal o centrípeta viene dada por la expresión: La aceleración total se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras: a, C) = Jm Longitud de pista recomda en 50 s = 1/2at2 = 2,01m/s2 = = S: 0,5 . 0,2 m/s2 . 2.500 s 2 = 250 m d ) Recuerda que la velocidad media escalar se obtiene dividiendo la longitud de la trayectoria recomda entre el tiempo empleado. La velocidad angular media se halla aplicando la relación: e) Si la pista se recorre con velocidad constante, el espacio recomdo en un tiempo t sera f ) En los 50 primeros segundos, mientras acelera, recorre una longitud de 250 m, como hemos visto antes, que corresponde a un número de vueltas: 250 m n=-2nR En el tiempo restante t s = vt = 10 m/s . 550 s = = n = - 250 m 314 mivuelta 600 s - 50 s = 550 S, = 0,796 vueltas la longitud recomda es: 5.500 m, que corresponden a un número de vueltas: 5.500 m - 5.500 m 2nR 314 m/vueE = 17.5 16 vueltas Por tanto, el número total de vueltas será: n = 17,516 + 0,796 = 18.31 vueltas Un punto material describe una circunferencia de 2 m de radio con aceleración constante. En el punto A la velocidad es de 0.5 m, y transcurridos dos segundos la velocidad en B es 0,75 m/s. Calcula la aceleración tangencial, la aceleración normal y la aceleración total en el punto A . Solución La aceleración tangencial se obtiene de: u = u, + at Aceleración normal en A: La aceleración total de la partícula será: u, = Ju:+ a: = 0.13 m/s2 Un móvil describe una trayectoria circular de 1 m de radio 30 veces por minuto. Calcula: a) El período. b) La frecuencia. C) La velocidad angular. d ) La velocidad tangencial y la aceleración cenhípeta de este movimiento. Solución Se trata de un movimiento circular con velocidad angular constante. a ) El periodo del movimiento es el tiempo empleado en dar una vuelta. En este caso vale: T = 60 S 30 vueltas = 2 s/vuelta b ) La frecuencia viene dada por el número de vueltas en un segundo. La frecuencia es la inversa del periodo: C) La velocidad angular viene dada por: d ) Conocida la velocidad angular, podemos hallar la velocidad tangencial mediante la expresión u = wR: v = 3,14 rad/s . 1 m/rad = 3,14 m/s La aceleración centrípeta sera $,Las ~ e d a des un coche de carreras giran a 1.800 rpm (revoluciones por minuto). Calcula la velocidad del automóvil en km/h sabiendo que las medas tienen 70 cm de diámetro. Solución En primer lugar hallamos en rad/s la velocidad angular de las medas: (0 = 1.800 rev - 1.800 . 2n rad = 60x rad/s 1 minuto 60 S = 188,4 rad/s La velocidad del automóvil coincide con la velocidad tangencia1 de un punto de la llanta de sus medas: Halla la velocidad angular de una cenhifugadora cuya aceleración es 6 veces el valor de la aceleración de la gravedad. El radio de giro es 15 cm. Solución Si la aceleración centrípeta vale a, = 6 . lgl = 58.8 m/s2 la velocidad tangencial t1será: Y la velocidad angular se obtiene de v = wR v 2,97 m/s u = - = R 0,15 m/rad = 19,s rad/s = 19.8 rad/s . 60 s/min - - 189 rpm 2x rad/rev El movimiento de una partícula está descrito mediante el diagrama x - t de la figura Calcula: a ) Velocidad media durante los dos primeros segundos. b) Velocidad media en el intervalo de O a 5 s. C) Velocidad máxima de la partícula. d) Distancia total recorrida. e ) Desplazamiento total que ha experimentado la partícula. f) Velocidad escalar media en los 5 segundos. Solución a ) De la figura se deduce que para lo = O, la partícula se encuentra en la posición inicial x, = 2 m, y en el instante t , = 2 s la paaícula se encuentra en la posición x, = 4 m. Luego la velocidad media será: b) En e1 instante t , = 5 s la partícula se encuentra en la posición x , intervalo de tiempo t , - to = 5 s la velocidad media ha sido: = O. Por tanto, durante el La figura nos indica que la partícula inicia el movimiento desde un punto situado a 2 m del sistema de referencia. Permanece en movimiento durante 1 s hasta llegar a un punto situado a 4 m del sistema de referencia; en ese punto pei-inanece parado durante dos segundos más. Al cabo de ese tiempo la partícula se mueve en sentido contrario dirigiéndose hacia el punto de referencia, a donde llega en el instante t = 5 s. C) 4 1 Velocidad en la primera fase: v Velocidad en la segunda fase: o = = -- 2 = 2 m/s 0- 4 -= - 2 m/s 2 Ambos recorridos se han realizado con la misma rapidez de 2 m/s d ) El moviiniento se puede descomponer en tres fases. En la primera fase la partícula ha recorrido una distancia: En la segunda fase la partícula está parada y no ha recorrido ninguna distancia: En la tercera fase la partícula cambia de sentido. Por tanto, la distancia recorrida viene dada por el módulo del desplazamiento: La distancia total recomda sera S, + S, + S, = 6m e) Recuerda que el desplazamiento viene dado por la diferencia entre las posiciones final e inicial: f ) La velocidad escalar o rapidez viene dada por el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo empleado: Un cuerpo que se mueve en línea recta posee una velocidad que vana con el tiempo según el diagrama de la figura. Indica cuáles de las siguientes ahmaciones son correctas: V(rn/S) 20 a) Durante todo el recorrido ha tenido movimiento uniformemente acelerado. b) La aceleración del movimiento es 4 m/s2. c) Su velocidad máxima es 72 km/h. 10 1 1 d ) La distancia recorrida en los 10 primeros segundos es de 100 m. o ! 1 ! 1 I I 5 10 15 / f(s1 Solución a) Falsa: Durante los 5 primeros segundos y durante el intervalo comprendido entre 10 y 15 s el movimiento ha sido uniforme. b) Verdadera: La aceleración media durante el intervalo de 5 a 10 s ha sido: C) Falsa: De la gráfica se deduce que el valor máximo de la velocidad es 30 m/s = 108 km/h d ) Falsa: La distancia recorrida durante los 5 primeros segundos ha sido: x, = v,t = 10 . 5 = 50 m y la distancia recorrida en el intervalo comprendido entre 5 y 10 s es: x, = v,t + 1/2at2 = 1 0 . 5 Por tanto, la distancia recomda sera x, + x, + 112. 4 . 25 = 100 = 150 m El diagrama a - t de un movimiento es el indicado en la Figura A. Además sabes que para t = 5 s el valor de la velocidad es 20 m/s. 1 a ) ¿Cuánto vale la velocidad inicial? b) ¿Cuánto vale la velocidad para t c) = 10 S? ¿Cuánto vale la velocidad en los instantes t yt=20s? = 15 s -1 d ) Dibuja el diagrama v - t correspondiente. 10 , ,l 15 , ,I 20 25 f(s) -3 Solución Figura A a) De la figura se deduce que durante los 10 primeros segundos la aceleración ha sido constante (a = 3 m/s2). Por tanto, la velocidad inicial se obtiene de v = v, + at: b) En el instante t = 10, la velocidad será: En el instante t = 10 s el móvil decelera a razón de a t = 15 s la velocidad será: C) = - 2 m/s2. Por tanto, en el instante A partir de aquí vuelve a acelerar con a = 1 m/sz. Por consiguiente. la velocidad en el instante t = 20 s vale: v = u, + a t = 2 5 + 1 . 5 =30m/s 20 d ) De acuerdo con estos resultados, el diagrama v sería el indicado eii la Figura B. - l5 r 10 ! Figura B El diagrama v - t de un movimiento rectilíneo es el indicado en la Figura A. 15 a) Calcula el espacio reconido en los 5 s. b ) Calcula la velocidad en el instante t C) = Calcula la velocidad escalar media. 1 s. 5 d ) Dibuja el diagrama a - t. I o l Solución De t = Oat 1 I 1 2 1 5 t i s , Figura A = 2 S el móvil ha tenido aceleración media constante: La distancia recomda en este intervalo de tiempo sera En el intervalo entre t = 2 y t recomda durante este intervalo es: = 4 S, el movimieiito es uniforme (a Por último, de 4 a 5 s el móvil frena con deceleración constante: = O). La distancia Durante el último segundo la distancia recomda ha sido: a ) La distancia total recomda ha sido: S=s, +S, = +S, b) La velocidad para t = 15 + 20+5 =40m 1 s es: e ) Hemos hallado la distancia total recomda y conocemos el tiempo total empleado. Por tanto, la velocidad media será: -10 1 Figura B d ) ' ~ lan Figura B está representado el diagrama a - t correspondiente. Describe el movinuento representado en la figura siguiente (Fig. A). Solución Se inicia el movimiento en sentido positivo del eje de las x desde un punto situado a LO m del sistema de referencia, recomendo el mamo AB con una velocidad media: o=- x-x, t - 20- 10 = 2 m/s 5 Transcumdos 5 s el vehículo se para, permaneciendo en reposo 5 s más. Figura A V 1 Pasado ese tiempo el vehículo inicia el movimiento cambiando de sentido y dirigiéndose hacia el punto de partida con una velocidad media: u =x = x- , - 5 - 2 0- -7.5 m/s t 2 En el tramo DE el objeto pernlanece parado hasta que en el instante t = 20 s reanuda el ,5 movimiento en el mismo sentido en que se inició. Esto queda reflejado en el diagrama v - t de la Figura B. 1 . . Figura B A continuación te proponemos dos problemas extensos compuestos de vaxios subproblemas para que te habitúes a leer con atención este tipo de enunciados largos, y logres descubrir todos los datos que se citan, si es posible, en una sola lectura. Un automóvil está parado en un semáforo. Cuando se pone la luz verde arranca con aceleración constante. Después de recorrer ?O m, la velocidad del coche es de 40 km/h. En ese instante el conductor introduce una marcha más larga y sigue acelerando con la misma aceleración anterior hasta alcanzar una velocidad de 90 km/h. En ese punto deja de acelerar manteniendo la velocidad constante durante 30 s. Al cabo de ese tiempo observa que el semáforo siguiente está en ámbar para ponerse en rojo. En ese momento frena con aceleración constante de 2 m/sZ hasta parar justamente en el semáforo. Con estos datos calcula: a ) ¿Con qué aceleración arrancó el vehículo'? b) ¿Cuánto tiempo empleó en recorrer los 20 Desde que arranca hasta que alcanza la velocidad de 90 km/h. En esta fase el coche se desplaza con movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado. Deja de acelerar durante 30 S nianteniendo constante la velocidad. En esta fase el coche se desplaza con movimiento rectilíneo y uniforme. Frena unifomiemente hasta pararse en el semáforo. El coche tiene movimiento uniformemente decelerado (aceleración negativa). Se trata, pues, de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Por tanto, para resolver este problema te bastan las tres ecuaciones mencionadas anteriormente. primeros metros? C) ¿Cuánto tiempo tardó en pasar de 40 km/h a 90 km/h? d) ¿Qué distancia ha recorrido durante el tiempo anterior? ¿A qué distancia del semáforo se encuentra cuando alcanza la velocidad de 90 km/h? e ) ¿Qué distancia recorre mientras se mueve con velocidad constante? f) ¿Cuánto tiempo tarda en parar desde que percibe el segundo semáforo? g) ¿Qué distancia hay entre los dos semáforos? Solución Si lees con atención el problema observarás que consta de tres fases bien definidas: A Primera fase Tomamos el primer semáforo como origen del sistema de referencia. Una vez fijado el punto origen, vemos qué datos nos dan y qué incógnitas nos piden. Para esto es fundamental leer con atención el enunciado de esta primera parte del problema las veces que sea necesario. Datos Velocidad inicial: u, = O, y posición inicial x, = O porque cuando se empieza a contar punto que dista 20 m del semáforo, como se indica en la figura siguiente. el tiempo se encuentra en el punto de referencia y en reposo. Posición final: x = 20 m del semáforo. Velocidad en la posición anterior: v = 40 = 11.1 1 m/s. ¿Qué incógnitas te piden? h/h a ) Al tratarse de un movimiento uniformemente acelerado, la aceleración se deduce de: En este caso conoces la posición inicial x, = O, la aceleración a = 3 n1/sZy el tiempo. De donde: El coche al cabo del tiempo obtenido se encontrará en la posición: b) Ahora, además de los datos anteriores. conocemos también la aceleración que permanece constante durante esta fase. El tiempo empleado en recorrer los 20 m es el mismo que el tiempo empleado en alcanzar la velocidad de 40 km/h. Es decir, conoces u,, o, a, y te piden el tiempo transcurrido, que despejamos de la ecuación: De donde se deduce que desde el semáforo el coche ha recomdo una distancia de 20 m 83.58 m = 103,58 m + + A Segunda fase El coche se mueve con velocidad constante, es decir, con a = 0. Tomamos como origen del sistema de referencia el punto en donde deja de acelerar. De acuerdo con esto, escribe tú los datos y las incógnitas. e ) El tiempo empleado en pasar de o, = = 40 h / h a 1 ) = 90 km/h se obtiene utilizando la misma ecuación anterior: e ) Distancia recomda en esta fase: A Tercera fase d ) Para hallar la distancia pedida podemos tomar como origen del sistema referencia el Durante este recorrido la aceleración es negativa. Tomamos como origen del sistema de referencia el punto en donde empieza a frenar. Y la distancia recomda mientras frena sera Con este sistema de referencia los datos conocidos son: f ) El tiempo que tarda en parar se deduce de la ecuación: g) La distancia entre los dos semáforos viene dada por las distancias recomdas en las distintas fases: Desde un punto situado en un extremo de la terraza de un edificio de 55 m de altura, se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad de 30 m/s. Si despreciamos la resistencia del aire y tomamos 10 m/s2 el valor de la gravedad, calcula: El signo positivo del resultado quiere decir que la pelota aún está subiendo. El signo menos indica que la pelota está descendiendo. ¿Dónde se encuentra la pelota dos segundos después de lanzarla? e ) La pelota se para cuando alcanza el punto ¿Qué velocidad posee en ese instante? ¿Qué velocidad posee después de 5 S? más alto de su trayectoria. En ese momento su velocidad es cero. De v ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar el punto más alto de la trayectoria? = u, + at despejamos el tiempo: ¿Qué altura máxima alcanza? ¿Qué velocidad posee cuando se encuentra a 20 m por encima del punto de lanzamiento? ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a la calle? d ) La altura máxima se obtiene sustituyendo el tiempo anterior en la ecuación de la posición: ¿Con qué velocidad llega a la calle? ¿Qué velocidad posee la pelota cuando se encuentra a 10 m de la calle? ¿Dónde se encuentra la pelota cuando Ileva una velocidad de 40 m/s? Solución a) Sustituimos el tiempo de 2 ción: + u,t + 4 + 2a(y - y,) = = (30 m/sl2 + 2 . (-10 m/s2) . uZ = Tomamos el nivel de la calle como sistema de referencia. y Se nos pide la velocidad cuando la pelota se encuentra en una posición determinada. Por ello aplicaremos la ecuación: e) S en la ecua- 1/2at2 = = y, = 5 5 m + 3 0 m / s . Z s - 0 , 5 ~ 1 0 m / s Z ~ 4 s=2 = 95 m de la calle b ) Utilizamos la ecuación de la velocidad instantánea: (75 m - 55 m) De donde: v = = = 500 m2/s2 *22,36 m/s Hay dos instantes en que la pelota se encuentra a 75 m del suelo: Cuando pasa por esa posición srrbie?ido,con una velocidad de 22,36 m/s hasta alcanzar la altura máxima de 100 m. + Cuando pasa por esa posición bajando, con una velocidad de -22,36 m/s. f ) La pelota llegará a la calle cuando la posición final sea cero. Por tanto, resolvemos la ecuación: O = 55 m + 30111/s.t f2 - De donde: + OS.(-10m/s2).t2 6t - 11 Cuyas soluciones son r -1,47 S = O = 7,47 s y t = Se toma el signo menos porque en ese punto la pelota está descendiendo. No tiene sentido físico la solución negativa. i ) Para hallar la posición correspondiente a g) Para hallar la velocidad con que llega a la calle, sustituimos el tiempo anterior en la ecuación de la velocidad instantánea: una velocidad determinada utilizamos la ecuación: = v = v, + at = 30 m/s + ( - = - 447 vZ = o: 10 m/s2) .7,47 s = (40 m/s)' m/s El signo menos indica el sentido descendente. = + 2a(y - y,) (30 m/s)' - 20 m/s2 ( y - 55 m) De donde: h) Se trata de hallar la velocidad de la pelota en un punto de la trayectoria: v2 = u: + 2a(y - y,) (30 m/s)' + = + 2 . ( - 10 m/s ) . (10 m - 55 m) = = 1.800 m2/s2 2 La pelota se encuentra a 20 m de la calle o bien a 35 m por debajo del punto de laiizamiento. Tres automóviles comienzan a moverse desde el reposo. El primer coche A acelera a razón de 4 m/s2; el segundo B acelera a 2,5 m/sZ, mientras que el tercero C lo hace a 0,5 m/sz. Completa la tabla siguiente y compmeba que se cumple la relación s/v = cte. Un avión atemza con una cieria velocidad. Si decelera uniformemente a razón de 6 m/s2 hasta pararse en 15 S: a ) ¿Con qué velocidad atemzó el avión? b ) ¿Qué longitud de pista recorre hasta pararse? S. a) 324 h / h ; b ) 675 m. Un conductor viaja por una calle a 50 km/h. De repente, un niño sale comendo hacia la calle. Si el conductor tarda 0,8 s en reaccionar y oprimir los frenos. a ) ¿Cuántos metros recorrerá antes de empezar a frenar? b ) ¿Qué deceleración debe tener el coche si quiere detenerse en 0,5 m? S. a ) 1I,1 m; b) 192,65 m/s2 (el coche no puede parar en 50 cm). Un conductor que viaja de noche en un automóvil a 100 km/h ve de repente las luces de señalización de una valla que se encuentra a 40 m en medio de la calzada. Si tarda 0,75 s en pisar el pedal de los frenos y la deceleración máxima del automóvil es de 10 m/s2. a ) ¿Chocará con la valla? b) ¿Cuál será la velocidad máxima a la que puede viajar el automóvil sin que choque con la valla? S. a) Chocará con la valla; b ) 7 0 3 km/h. Un avión recorre una longitud de pista de 700 m para despegar. Si parte del reposo y se mueve con aceleración constante durante 25 s hasta despegar: a) ¿Con qué velocidad abandona la pista? b) ¿Cuánto vale la aceleración del avión? S. a ) 201,6 kmh; b) 2,24 m/s2. Un camión y un automóvil inician el movimiento en el mismo instante, en la misma dirección y sentido desde dos semáforos contiguos de la misma calle. El camión tiene una aceleración constante de 1,2 m/s' mientras que el automóvil acelera con 2,4 m/s2. El automóvil alcanza al camión después que éste ha reconido 50 m. a) ¿Cuánto tiempo tarda el automóvil en alcanzar al camión? b) ¿Qué distancia separa los dos semáforos? c) ¿Qué velocidad posee cada vehículo cuando están emparejados? S. u ) 9.13 S; b) 50 m; c) 39,4 km/h, 78,8 km/h. Dos jóvenes se mueven en la misma dirección, dirigiéndose el uno al encuentro del otso. Inician el movimiento, al mismo tiempo, desde las portenas de un campo de fútbol con velocidades medias respectivas u, = 3,5 m/s y v 2 = 5 m/s. Sabiendo que el encuentro tiene lugar a 28 m de la posición de partida del primero, determina: u) El tiempo transcumdo hasta que se encuentran. b) La longitud del campo de fútbol. S. a) 8 S; b) 68 m. Dos móviles parten simultáneamente del mismo punto y en el mismo sentido. El primero se desplaza con movimiento uniforme cuya velocidad es v = 15 m/s. El segundo inicia el movimiento partiendo del reposo con aceleración constante de 1 m/s2. (,Cuántotiempo tardarán en reunirse de nuevo y qué distancia habrán recomdo en tal instante? S. 30 S; 450 m. Dos móviles, A y B, situados a 2 km de distancia salen simultáneamente, en la misma dirección y sentido, ambos con movimiento uniformemente acelerado, siendo la aceleración del más lento, el B, de 0,32 m/s2. Deben encontrarse a 5 km de distancia del punto de partida de B. Calcula: a ) El tiempo que invierten en el recorrido. b) La aceleración de A. C) Las velocidades de los dos en el momento del encuentro. S. a) 1763 S; b) 0,45 m/s2; c) 56,5 m/s B, 79,s mjs A. Dos ciclistas. A y B, van por una carretera con velocidad constante. Cuando se mueven en el mismo sentido el ciclista A adelanta al ciclista B 240 m en un minuto; cuando van uno al encuentro del otro se acercan 320 m en 20 s. Halla la velocidad de cada ciclista. S. 10 mis ciclista A; 6 m/s ciclista B. Una automovilista viaja a 54 km,% cuando observa que un semáforo a 180 m delante de ella cambia a rojo. El semáforo está programado para permanecer con la luz roja 20 s. Si la automovilista desea pasar por el semáforo sin detenerse, justamente cuando se cambia a verde otra vez, calcula: a ) La aceleración constante que debe aplicar al vehículo. b) La velocidad del automóvil al pasar por el semáforo. S. a) -0,6 m/s2; b) 10,X km/h. Un automóvil recorre 300 m en 20 s con aceleración constante de 0.5 m/s2. Calcula: a ) La velocidad inicial. b) La velocidad final. c) La distancia recorrida en 10 s. S. a ) 10 mis; b) 20 mis; c ) 125 m. Un automóvil sale de un semáforo con aceleración constante de 0.75 m/s2. Poco tiempo después se cruza con un autobús que circula por la misma calle en sentido contraio con una velocidad constante de 6 m/s. Sabiendo que el autobús pasa por el semáforo 20 s después de que el automóvil salió de él, calcula cuándo y dónde se cmzaron los dos vehículos. S. L 1.6 s después de arrancar el automóvil; a 50.4 m del semáforo. Dos autoinóviles, A y B, viajan en el mismo sentido por carriles contiguos de la misma carretera. El automóvil B se para cuando le adelanta A, el cual se desplaza con velocidad constante de 72 km/h. Si dos segundos después el automóvil B inicia su movimiento con aceleración constante de 1,5 m/s2, calcula: a) ¿Cuándo alcanzará B al coche A? b) ¿En qué punto lo alcanza? C) &Quévelocidad posee B en ese momento? S. a ) 28,5 s después de iniciar el movimiento; b ) 610 m del punto de partida; c ) 42,75 m/s. Un tren del metro sale de una estación A; acelera a razón de 0,5 m/s2 durante 10 s y luego con 2 m/s2 hasta alcanzar la velocidad de 54 km/h. El tren mantiene la misma velocidad hasta que se acerca a la estación B. En ese momento frena uniformemente hasta pararse en 10 s. El tiempo total desde A hasta B ha sido de 60 s. ¿,Qué distancia hay entre las estaciones A y B ? S. 675 m. Un automóvil y un camión se mueven con movimiento uniforme en la misma dirección y sentido con velocidades respectivas de 126 km/h y 90 km/h. El automóvil se encuentra a 30 m detrás del camión cuando el conductor de éste frena repentinamente haciendo que su vehículo desacelere uniformemente a razón de 3 m/s2. Dos segundos después el conductor del automóvil frena evitando justamente la colisión. Calcula la aceleración unifonne que debe tener el coche. Desde lo alto de una torre h se deja caer un objeto. &Aqué distancia del suelo tendrá una velocidad igual a la mitad de la que tiene cuando llega al suelo? S. Cuando ha recomdo la cuatta parte de la torre, o se encuentra a 314 h del suelo. Dos proyectiles se lanzan verticalmente hacia amba con 2 s de intervalo; el primero con una velocidad inicial de 50 m/s y el segundo con una velocidad inicial de 80 m/s. a ) ¿CuAl será el tiempo transcumdo hasta que los dos cuerpos se encuentran a la misma altura? b ) ¿Cuál será esa altura? C) S. ¿Qué velocidad tendrá cada uno en ese niomento? a) 3,62 s desde que salió el primero; b ) 116,8 m; c)u, = 14,52 m/s; u, = 64,12 mis. Se lanza un cuerpo verticalnierite hacia arriba de forma que tiene una velocidad de 8 m/s cuando ha alcanzado la mitad de su altura máxima. a) ¿.Con qué velocidad se lanzó? b ) ¿.A qué altura sube? c) ¿Qué velocidad posee un segundo después de ser lanzado? S. a ) 1l,3 m/s; b ) 6,53 m; c) 1,5 m/s. Se lanza desde el suelo hacia amba un objeto al mismo tiempo que se deja caer otro desde una altura de 45 m. ¿Con qué velocidad se debe lanzar el primero para que los dos lleguen al suelo al mismo tiempo? Se deja caer una piedra desde el brocal de un pozo y tarda 2,3 s en percibirse el sonido producido en el choque con el agua. Si la velocidad del sonido en el aire es 340 m/s, La qué profundidad está el agua? Desde la azotea de una casa de 15 m de altura se lanza verticalmente hacia amba una pelota con una velocidad de 20 m/s. En el mismo instante se lanza otra desde la calle, también hacia arriba. ¿Con qué velocidad se debe lanzar ésta para que las dos se encuentren a la misma altura? Desde una cierta altura se deja caer libremente un objeto. Cuando se encuentra a 5 m del suelo ha alcanzado una velocidad de 25 m/s. a ) ¿Desde qué altura se dejó caer? b) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a la calle? S. a) 36,88 m; b) 2,7 s. Quieres calcular tu tiempo de reacción. Para ello realizas el siguiente experimento: pídele a un amigo que sostenga una regla por el extremo y coloca el otro extremo entre tus dedos, sin tocarla. Tu amigo debe soltar la regla sin avisarte, y tú debes sostenerla con tus dedos lo más rápidamente posible. Una vez realizada la experiencia compmebas que la regla desciende 20 cm antes de que la sujetes. ¿Cuál es tu tiempo de reacción? Un globo meteorológico se halla estacionano a cierta altura, cuando deja caer una caja de instmmentos que llega al suelo con una velocidad de 75 m/s. a ) &Aqué altura se encontraba el globo? b ) ¿Cuánto tiempo ha tardado la caja en caer? S. a) 286,98 m; b) 7,65 s. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde un punto sobre un puente situado a 35 m del agua. Si la piedra golpea el agua 4 s después de soltarla, calcula: a) La velocidad con que se lanzó. b) La velocidad con que golpeó el agua. S. o) 10,85 m/s; b) -28,35 m/s. Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde un punto situado a 20 m del suelo, con una velocidad de 20 4 s . Dos segundos más tarde se lanza otra desde el suelo en la misma vertical con una velocidad de 50 m/s. LAqué altura se cmzarán ambos móviles? S. 37.51 m del suelo. Un jugador de golf lanza una pelota desde el suelo con un ángulo de 60" con respecto al horizonte y con una velocidad de 60 m/s. Calcula: a ) La velocidad de la pelota en el punto más alto de la trayectoria. b) La altura máxima alcanzada. c) El alcance máximo. S. a) 30 m/s; b) 137,7 m; c) 318 m. Se lanza desde el suelo una pelota bajo un ángulo de 30" con la horizontal y cae en la terraza de un edificio situado a 30 m de distancia. Si la terraza está a una altura de 10 m, calcula la velocidad con que se lanzó. Una fuente tiene un grifo a una distancia vertical del suelo 0,5 m. El chorro del líquido da en el suelo a 80 cm del pie de la vertical. ¿Con qué velocidad sale el agua? S. m] 2.5 mis. Se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 500 mis batiendo un objetivo situado a 12.000 m en la misma horizontal del punto de lanzamiento. Calcula el ángulo de elevación. S. 13.69'. Un motorista asciende por una rampa de 20" y cuando está a 2 m sobre el nivel del suelo «vuela» a fin de salvar un n o de 10 m de ancho. ¿Con qué velocidad debe despegar si quiere alcanzar la orilla sin mojarse? Un alumno intenta encestar cn la papclcra una bola de papel. 'l'eniendo en cuenta que está m t a d o a 5 m de ella, y que Iii altura de su brazo cstindo y venical sobre el nivel de la boca de la.papelera . es 1,S m. Calcula: a) La velocidad con que debe lanzar la bola. b) El ángulo con que incide la bola en la papelera. S. a ) 9 m / s ; b)- 31". En un partido de voleibol con las dimensiones que se indican en la figura, el saque lo ejecuta desde el punto A un jugador impulsando la pelota desde 1,7 m de altura y con un ángulo de elevación de 10". La pelota golpea en el punto P. Calcula: a) La velocidad de lanzamiento. b) A qué altura por encima de la red pasa la pelota al campo contrario. S. a) 21,4 m/s; b) 0,37 m. En un partido de tenis, un jugador situado a 12 m de la red golpea la pelota con una velocidad de 108 km/h a una altura de 2 m con un ángulo de 5" por debajo de la horizontal. La red tiene 90 cm de altura. Calcula: a) ¿Pasará la pelota la red? b) En caso negativo, jcon qué velocidad se debe lanzar para que la pelota salve la red? S. a) La pelota choca contra la red; b) 304 km/h. Un jugador de frontón lanza una pelota desde un punto situado a 0,75 m del suelo y a 5 m del frontón. ¿Con qué velocidad golpea la pelota si ésta pega en el suelo a 15 cm del frontón? S. .................. ...... .... 12,4 m/s. .- .......\~ Un joven, que está sobre un puente 25 m por enci................................................ 5m ma del nivel del agua, arroja una pelota horizontalmente. Si la piedra toca el agua a 40 m a partir del punto sobre el agua que está en la misma vertical que el joven. Calcula: a ) La velocidad inicial de la piedra. b) La distancia a la que tocaría la piedra el agua si se hubiera arrojado con la misma velocidad desde otro puente de 10 m de altura. Calcula el valor de o para que se cumpla la relación indicada en la figura. ------.____.-- -.. 1 En un campo de golf un hoyo está situado a 200 m d=2h horizontalmente del punto de lanzamiento y una altitud de 4 m. ¿Cuál debe ser el valor de la velocidad y el ángulo de elevación si la pelota cae junto al hoyo 5 s después de ser lanzada? S. 47,3 m/s; G( = 32,3". Desde la cima de un acantilado se lanza horizontalmente un proyectil y se observa que tarda 3 s en tocar el agua en un punto que dista 60 m de la base del acantilado. Calcula: a ) ¿Qué altura tiene el acantilado? b) ¿Con qué velocidad se lanzó el proyectil? C) ¿Con qué velocidad llega al agua? S. a ) 44,1 m; b) 20 m/s; c) 353 m/s. Un chorro de agua sale horizontalmente del caño de una fuente con una velocidad de 4,2 m/s. Si el agua cae a una distancia de 80 cm, calcula: ja qué altura del suelo se encuentra el caño? S. 0.18m. Una bola que meda sobre una mesa horizontal de 90 cm de altura cae al suelo en un punto situado a una distancia horizontal de 1,5 m del borde de la mesa. ¿Qué velocidad tenía la bola en el momento de abandonar la mesa? Una pelota de béisbol abandona el bat a una altura de 1 ni por encima del suelo y con un ángulo de elevación de 45" con una velocidad tal que el alcance horizontal hubiera sido 100 m. A la distancia de 90 m del punto de lanzamiento se encuentra una valla de 8 m de altura. ¿Pasará la pelota por encima de la valla? S. Sí pasará. Un atleta quiere batir el récord del mundo de lanzamiento de peso, establecido en 23 m. Sabe que el alcance máximo se consigue con un ángulo de 45". Si impulsa el peso desde una altura de 1,75 m, ¿con qué velocidad mínima debe lanzar? ,*---------- Una jugadora de baloncesto tira a la canasta desde un punto situado a 5,5 m de la vertical de la canasta que está situada a 3.05 m del suelo. Lanza desde una altura de 1,8 m con un ángulo de 45". Una jugadora contraria que está situada 2 m delante de la canasta pretende evitar el enceste saltando hasta 2,3 m. Calcula: I' ,' -.-. w . * a ) ¿Logrará impedir la canasta? m O 3 2m 5.5 m b) ¿Producirá un tapón cuando la pelota está descendiendo? c ) ¿No logrará impedir la canasta? S. No logrará impedir la canasta. Un vehículo se mueve sobre una pista rectilínea coi] aceleración constante durante 10 s. Sigue sin aceleración durante 5 s y luego frena de manera constante hasta parar. Dibuja los diagramas a-t y 11-t de este movimiento. Lanzas una piedra verticalmente hacia aniba con una velocidad inicial. El diagrama v-t que mejor representa dicho movimiento es: A, B. C . ninguno de los tres. Teniendo en cuenta el diagrama de la figura, indica qué afirmaciones son correctas: a ) En el tramo AB el móvil está parado. b) En el tramo BC la aceleración es 1 m/sZ. c ) La distancia recomda en el tramo BC es de 50 m. d ) En el tramo BC el movimiento es unifome. S. La afumación c ) es la verdadera. c O 10 20 f 1 Dado el diagrama de la figura indica qué afirmaciones son falsas: a) En el tramo OA la velocidad ha sido 0,8 m/s. b ) En el tramo AB la velocidad es 415 m/s. c ) En el tramo BC la velocidad es - 2 m/s. d ) En el tramo AB el móvil está parado. t S. Son falsas las afirmaciones b ) y d ) . e- El diagrama de la figura representa la vaiación de la velocidad con el tiempo. ~ Q u 6 afirmaciones son correctas? A 6 2 a ) En los tramos OA y BC la aceleración es la misma. b) En el tramo AB la aceleración vale 2 m/s2. c ) En el tramo OA la aceleración es nula. t d ) La aceleración en el tramo BC es 2 m/s2. S. Todas las afirmaciones son falsas. El diagrama v-r que se indica en la figura representa un movimiento rectilíneo. De las afirmaciones siguientes una es falsa. Indica cuál es: U) 15 El móvil está animado de un movimiento uniformemente acelerado. b ) Entre O y 2 s el vector velocidad y la aceleración tienen sentidos opuestos. f c ) Eiitre 2 y 4 s el vector velocidad y la aceleración tienen el rnisrno sentido. d ) Al cabo de 4 s el móvil pasa por la posición que tenía en el instante t = 0. e ) La aceleración vale 7,5 m/sZ. S. Es falsa la última afirmación: el valor correcto es - 7 3 m/s2. Una pelota se lanza con una velocidad de 10 m/s verticalmente hacia arriba desde una ventana situada a 20 m del suelo. Dibuja los diagrama v-t y .r-t del movimiento. , Un tren suburbano sale de una estación A a razón de 2 m/sZ durante 5 s. Al cabo de ese tiempo mantiene constante la velocidad durante 10 s más. Por último frena parándose en 20 s. Dibuja los diagramas a-t y u-t de este movimiento. En la figura está representado el diagrama u-t del movimiento de una partícula. a ) ¿Cuál es la aceleración instantánea para t = 4 S? b) ¿.Cuál es la aceleración instantánea para t = 8 S? C) [,Cuál es la aceleración para t = 10 S? d ) ¿Qué distancia recorre en los 6 primeros segundos? e ) ¿Qué distancia recorre en los 10 pnmeros segundos? f ) ¿Qué distancia ha recomdo en los 16 S? S. U ) O; b) 813 m/sz; c) - 1413 m/sZ; La figura representa el diagrama u-t del movimiento de una partícula. Calcula: v(mb) 30 ........................ a ) La aceleración media en el intervalo [O, 201 s. b) La aceleración en el instante t = 8 s. 20 c ) La aceleración media en el intervalo [15, 201 s. 10 d ) Distancia recomda en el intervalo [O, 201 s. S. a) -0,5 m/sz; b) 4 m/sZ; c ) -6 m/sz; Dado el movimiento representado en la figura, indica la afirmación correcta. a ) En el tramo OA el móvil tiene movimiento uniforme. b) En el tramo A 5 el móvil está parado. c ) En el instante r = C el móvil está quieto. d ) En el tramo 5C la aceleración es positiva. S. La afmación c) es correcta, v(,,,b) d ) 375 m. 1 t (S) En la figura está representado el diagrama u-t del movimiento de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba desde el suelo. Indica qué afirmaciones son falsas. "(mh) l \ a) La aceleración cambia de sentido a los 2 s. b) La velocidad cambia de sentido a los 2 s. C) t (S) La altura máxima se alcanza a los 2 s. d ) El móvil a los 3 s se encuentra a 10 m. e ) La máxima altura alcanzada fue de 20 m. -20 i \ ........................................... ' f ) A los 4 s llega al suelo. S. Son falsas a ) y d ) . Un autobús viaja en línea recta desde Ávila a Bilbao distantes 400 km. El conductor emplea dos horas para recorrer los 150 primeros kilómetros. Luego se detiene durante media hora. Por último emplea 3 horas en hacer el resto del trayecto. Dibuja el diagrama u-t del movimiento del autobús. Un ciclista viaja siempre en la misma dirección y sentido. Durante los primeros 20 minutos su velocidad media ha sido de 30 km/h, de 40 km/h durante los 10 minutos siguientes y de 45 km,% durante los 5 minutos finales. Calcula la distancia total recorrida, y dibuja el diagrama u-t. S. 20,4 km. . esti sentado a m de una venUn tana de 1 m de anchura. El observador puede ver a un ciclista durante 20 s que se mueve por una carretera distante 300 m medidos en dirección perpendicular. ¿Con estos datos puede el observador calcular la velocidad del ciclista? .................. @........................................ Para recorrer una distancia de 345 km entre dos ciudades A y B, un camión ha empleado 4 h y 45 nun incluyendo una parada de 15 minutos. Durante un cierto tiempo la velocidad media ha sido de 60 km,%y luego de 90 km/h. 1 \, i ,/ i . < i / ; 11,' 6 =c---o . . U.....; ...................f2.;-20s ............'1 ,.................................. ...L 300 m ¿Qué distancia recorre el camión en cada intervalo de tiempo? b ) ¿Cuánto ha durado cada intervalo de tiempo? ............ ,,/ I' + ..... ..., . n) ; \ 2 mi 8 , i Observador , ~ En la figura se muestra el diagrama x-t del movimiento de una partícula. a) ¿En qué intervalos de tiempo la partícula se desplazó en sentido positivo del eje x? b) ¿En qué intervalos lo hizo en sentido opuesto? c) Describe el movimiento entre t , y t,. d ) ¿Qué ocurre en el instante t,? e ) Dibuja el diagrama u-t. S. a) 0 < t < t,; b) t , < t < t,; c) La partícula está en reposo. A partu de t, regresa hacia el origen; d ) La partícula pasa por el origen, moviéndose en sentido negativo. Lanzas una piedra verticaliiiente hacia amba con una velocidad inicial de 20 m/s. Completa las tablas siguientes y dibuja los diagramas y-t, u-t. Toma para la gravedad el valor 10 m/s2. Desde el borde de la azotea de un edificio se deja caer un cuerpo. Si éste tarda 0.2 s en pasar por delante de una ventana de 2 m de altura, ¿qué distancia hay entre el marco superior de la ventana y la azotea? Toma para g el valor de 10 m/sZ. S. 6 m. Carl Lewis batió el récord del mundo de los 100 m lisos en los campeonatos del mundo celebrados en Tokio, verano de 1991. En la tabla siguiente se indican tiempos, distancias y velocidades, expresadas en el SI, de dicho atleta durante la carrera. a) b) c) S. ¿Cuál ha sido la velocidad media de C . Lewis durante la carrera? ¿En qué tramo ha tenido la máxima aceleración? Dibuja los diagramas x-t, u-t. a ) l0,14 m/s; b) entre los 20 y 30 m. + 12j. "'1 b),d ) . J14 2i J2 c). J l 5 b). J3 d). J 1 6 a), e ) . J4 d). J17 b), c ) . J5 a). J18 b), e). "'6 b). J19 c ) , d ) . J7 c). J20 b), e). J8 a). J21 b ) , d ) . J9 a). J22 a), c). J l o b), d ) . J23 b), d ) . J1 1 b), d ) . J24 b), c). J12 c). J25 a ) . J13 d ) .
