Algebra III - Departamento de Matematica

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Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA
Álgebra III
Práctica 6 – Segundo Cuatrimestre de 2010
Separabilidad y cuerpos perfectos – Norma y traza
Ejercicio 1.
i) Sea p ∈ N primo y sea t un elemento trascendente sobre Zp . Probar que X p −t es irreducible
en Zp (t)[X].
n
ii) Sea K un cuerpo de caracterı́stica p > 0, y sean a ∈ K − K p y n ∈ N0 . Probar que X p − a
es irreducible en K[X].
iii) Dar ejemplos de extensiones no separables.
Ejercicio 2. Sea K un cuerpo de caracterı́stica p > 2 y sea { u, v } una familia algebraicamente
independiente sobre K. Sea f = X 2p + uvX p + u ∈ K(u, v)[X] y sea α una raı́z de f en una
clausura algebraica de K(u, v). Probar que:
i) [K(u, v)(α) : K(u, v)] = 2p.
ii) K(u, v)(α)/K(u, v) no es separable ni puramente inseparable.
Ejercicio 3. Sea K un cuerpo de caracterı́stica p > 0 y sea E/K una extensión algebraica.
j
r
r
Sea α ∈ E tal que αp ∈ K para algún j ∈ N0 . Probar que f (α, K) = X p − αp , donde
j
r = min{j ∈ N0 : αp ∈ K}.
Ejercicio 4. Sea K un cuerpo de caracterı́stica p > 0 y sea E/K una extensión algebraica.
n
Sean Es = {x ∈ E : x es separable sobre K} y Ei = {x ∈ E : xp ∈ K para algún n ∈ N0 }.
Probar que:
i) Es y Ei son subcuerpos de E.
ii) E es puramente inseparable sobre Es .
iii) Es ∩ Ei = K.
iv) Si E/K es normal, entonces E es separable sobre Ei .
Ejercicio 5. Sea {u, v} una familia algebraicamente independiente sobre Zp . Calcular el grado
y el grado de inseparabilidad de las extensiones siguientes:
i) Zp (u, v)/Zp (up − u, v p − v).
ii) Zp (u, v)/Zp (up , v p − v − u).
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Ejercicio 6. Sea K = Zp (t), donde p ∈ N es primo y t es trascendente sobre Zp . Sean r, n ∈ N
n
tales que r < pn y sea α una raı́z de X p − t X r + t ∈ K[X] en una clausura algebraica de K.
Probar que el grado de inseparabilidad de K(α)/K es pm con m = max{k ∈ N0 : pk | r }.
Ejercicio 7. Sea K = Zp (t), donde p ∈ N es primo, p 6= 2, y t es trascendente sobre Zp . Sea α
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una raı́z de X p − tX p + t ∈ K[X] en una clausura algebraica de K. Sea L la clausura normal
de la clausura separable de K(α)/K. Hallar [L : K].
Ejercicio 8. Sea K un cuerpo de caracterı́stica p y sea C una clausura algebraica de K. Se
−∞
define K p
= {x ∈ C : σ(x) = x ∀ σ ∈ G(C/K)}.
i) Probar que:
(a) Si p = 0, entonces K p
(b) Si p > 0, entonces K
−∞
p−∞
= K.
n
= {x ∈ C : xp ∈ K para algún n ∈ N}.
ii) Probar que la construcción de K p
−∞
no depende de la clausura algebraica elegida.
−∞
Ejercicio 9. Un cuerpo K de caracterı́stica p se dice perfecto si K p
= K.
i) Probar que todo cuerpo de caracterı́stica 0 es perfecto.
ii) Sea K un cuerpo de caracterı́stica p > 0. Probar que K es perfecto si y sólo el morfismo
f : K → K definido por f (x) = xp es un automorfismo.
iii) Deducir que todo cuerpo finito es perfecto.
iv) Probar que si K no es perfecto, entonces [K p
−∞
: K] = ∞.
Ejercicio 10. Sea K un cuerpo de caracterı́stica p y sea C una clausura algebraica de K.
Probar que:
i) K p
−∞
es perfecto y C/K p
−∞
es de Galois.
ii) K es perfecto si y sólo si toda extensión algebraica de K es separable.
Ejercicio 11. Probar que si car(K) = p > 0, entonces K(X) no es perfecto.
Ejercicio 12. Sea K un cuerpo y sea E/K una extensión algebraica.
i) Probar que si K es perfecto, entonces E es perfecto.
ii) Probar que si E es perfecto y E/K es separable, entonces K es perfecto.
iii) Probar que si [E : K] < ∞ y E es perfecto, entonces E/K es separable.
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Ejercicio 13.
i) Calcular la norma y la traza de
√
3
3
√
√
2 en Q[ 3 2 ]/Q y en Q[ 3 2, ξ3 ]/Q.
ii) Sea p ∈ N primo. Calcular la norma y la traza de ξp en Q[ξp ]/Q.
√
iii) Sea d un entero libre de cuadrados y sea a ∈ Q[ d ] − Q.
Probar que f (a, Q) = X 2 − Tr(a) X + N (a).
Ejercicio 14. Sea K un cuerpo de caracterı́stica p > 0 y sea X trascendente sobre K. Calcular
la norma y la traza de X en K(X)/K(X p ).
Ejercicio 15. Sea p ∈ N primo mayor que 3 y sea {u, v} una familia algebraicamente independiente sobre Zp . Sean K = Zp (u3 , v 2 ) y E = Zp (u, v). Calcular la norma y la traza de u + v en
E/K.
Ejercicio 16. Sea E/K una extensión finita. Probar que:
i) E/K es separable si y sólo si Tr : E → K es una aplicación no nula.
ii) Si E/K es separable, entonces Tr : E → K es suryectiva.
iii) La aplicación Tr : E × E → K definida por Tr(a, b) = Tr(a.b) es una forma bilineal
simétrica.
iv) Para cada a ∈ E se define Tra : E → K como Tra (b) = Tr(a.b).
(a) Verificar que Tra ∈ E ∗ para cada a ∈ E.
(b) Probar que si E/K es separable, la aplicación a 7→ Tra es un isomorfismo entre E y
E∗.
Ejercicio 17. Sea K un cuerpo de caracterı́stica p > 0 y sea E/K una extensión de grado q,
con q un primo distinto de p. Probar que existe α ∈ E tal que E = K[α] y el coeficiente de
grado q − 1 de f (α, K) es nulo.
Ejercicio 18.
i) Calcular núcleo e imagen del morfismo de grupos de C∗ en R∗ inducido por la aplicación
N : C → R.
√
ii) Probar que en Q[ 2 ]/Q la norma no es inyectiva ni suryectiva.
Ejercicio 19. Sea K un cuerpo finito y sea L/K una extensión finita. Probar que la norma y
la traza en L/K son suryectivas.
Ejercicio 20. Sea u trascendente sobre Z7 y sean K = Z7 (u7 − u) y E = Z7 (u).
i) Hallar una base del núcleo de la transformación lineal TrE/K : E → K.
ii) Encontrar una base de E como K-espacio vectorial formada por elementos de traza 1.
Ejercicio 21. Sea K un cuerpo de caracterı́stica p y sea E/K una extensión de grado n tal que
n es coprimo con p. Sea x ∈ E. Probar que si Tr(xi ) = 0 para todo 1 ≤ i ≤ n, entonces x = 0.