Solution to the Multiple Products Transportation Problem: Linear

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IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 14, NO. 2, FEB. 2016
Solution to the Multiple Products
Transportation Problem: Linear Programming
Optimization With Excel Solver
L. C. Sánchez and J. Herrera
Abstract— Transport model is an algorithm recognized and
applied in logistics processes product distribution in
organizations. The multiple forms of solution are algorithmically
and technological, which are applied to determine the optimal
allocation for a single type of product. In this paper the general
formulation of the transport model by linear programming,
where the optimal solution for various types of related products
integrates and by a numerical illustration, dynamic, easy
understanding develops computer in Excel Solver. When
selected, the implementation of the model is provided in an
organization.
Keywords— Transport model, distribution center, multiple
products.
I.
INTRODUCCIÓN
de transporte es una sub-clase de problema
ELdeMODELO
programación lineal, cuyo objetivo es el transporte
eficiente (mínimo costo o trayecto) de un producto. El
problema involucra múltiples orígenes para el almacenamiento
y múltiples destinos para la entrega del producto [1].
Las bases del modelo de transporte fueron formuladas en [2] y
diversos enfoques desarrollados desde entonces. A modo de
ejemplo, en [3] presentan el método trampolín que provee un
camino alternativo para determinar la información del método
simplex. En [4] presentan el método del pivote de Gauss
Jordán, este enfoque es más rápido que el método simplex,
más general que el método de trampolín y más sencillo que los
dos. El valor de los parámetros como números fuzzy, fue
propuesto en [5], en este trabajo se supone que por la
naturaleza de algunos problemas, es imposible obtener un
valor exacto de los parámetros, obteniendo únicamente
aproximaciones. Enfoques más recientes que tratan esta
problemática se pueden encontrar en [6] [7].
Un enfoque más real requiere el transporte de múltiples
productos con funciones de múltiples objetivos [8]. Una
variedad de enfoques se han propuesto en la literatura para
hacer frente a este problema. Por ejemplo, en [9] proponen un
enfoque de programación por metas. En [10] aplican la teoría
fuzzy, los resultados indican que las soluciones obtenidas por
este método siempre son las mejores, en este misma línea [11]
L. C. Sánchez, Centro de Investigación y Desarrollo CINDE,
Universidad América, [email protected]
J. Herrera, Departamento de Ingeniería, Facultad de Ciencias Naturales
e Ingeniería, Universidad de Bogotá Jorge Tadeo Lozano,
[email protected]
se desarrolló un algoritmo para identificar las soluciones no
dominantes. Un enfoque que utiliza una función de membresía
hiperbólica fue propuesto en [12], los resultados presentados
muestran que un enfoque basado en un operador fuzzy y una
función de membresía hiperbólica pueden dar mejores
resultados.
El estudio más reciente es una solución por aproximación con
programación meta [13] a través de desviaciones que
conforman las metas de acuerdo a prioridades y ponderaciones
que reciban, este modelo se planteó para tres productos. Su
desarrollo fue algorítmico, bajo un caso hipotético de asignar
costos de envío por unidad a cada cliente bajo el manejo
selectivo de las fuentes.
El modelo que se presenta es un caso hipotético numérico
para cuatro productos con diferentes parámetros de oferta y
demanda, los cuales generan un modelo de sesenta y cuatro
(64) variables, y una solución óptima en Excel Solver, que se
puede utilizar para más productos con aplicativos más
robustos como el Gams.
El trabajo está organizado de la siguiente manera: en la
Sección II se describen conceptos básicos del problema de
transporte, en la Sección III se presenta el modelo de
programación lineal propuesto. En la Sección IV se presentan
los resultados de simulación obtenidos. Por último, en la
Sección V se presentan las conclusiones.
II.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
En un sistema de producción hay costos que agregan valor al
producto y otros no, estos son los de distribución, que tienen
una gran incidencia porcentual en el precio de venta, y por lo
tanto optimizarlos es un reto del área logística para obtener
una ventaja competitiva y posicionarse en un mercado
dinámico.
Para esto el área de logística define sus canales de distribución
localizan centros de distribución o bodegas en puntos
estratégicos cerca de los potenciales compradores o clientes, a
su vez determina los medios de distribución o transporte
teniendo en cuenta que los costos unitarios de distribución
varían por producto según su peso y/o volumen.
El modelo utilizado para optimizar estos costos es el de
transporte, que esta modelado para un producto, si se requiere
distribuir k productos, se tendrá que elaborar un cálculo por
producto k e integrar las cantidades de envío en un
consolidado de distribución.
SÁNCHEZ AND HERRERA : SOLUTION TO THE MULTIPLE PRODUCTS TRANSPORTATION
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Estudios realizados para solucionar este problema están
dirigidos a obtener una solución para múltiples productos de
aproximación por metas, que con alguna complejidad
alcanzarían a obtener una solución cercana a lo óptimo [14].
Y si la demanda es mayor que la oferta
>
se deberá
adicionar una fila ficticia con un número de unidades iguales a
El modelo por programación lineal que se presenta en este
documento elimina la complejidad y da una solución óptima
identificando las unidades en inventario y la demanda
insatisfecha en tiempo real a su vez permite generar
escenarios.
El modelo se representa en una matriz ver la Fig. 1. Las filas
identifican los centros de distribución y los parámetros de
. Las columnas identifican los clientes y los
oferta
.
parámetros de demanda
III. FORMULACIÓN
DEL
PROGRAMACIÓN LINEAL
MODELO
POR
La formulación del modelo deberá cumplir las siguientes
condiciones:
• La función objetivo y las restricciones deben ser lineales.
Cada vector de esta función representa el costo por producto,
existen k filas dependiendo del número de productos y
conforman una matriz
.
• La suma de las capacidades de las fuentes debe ser igual a
la suma de los requerimientos de los destinos por producto k,
si se da una desigualdad se deberá adicionar una fila o
columna ficticia con el valor absoluto de las unidades faltantes
o sobrantes y costos cero (0), de la siguiente forma:
Si la oferta es mayor que la demanda
>
se deberá
adicionar una columna ficticia con un número de unidades
| −
| , y costos
=0
para todo
iguales a
= , , … .
˄
= 1, 2, 3 … . ˄ = 1, 2,3 …
.
|
− |,
y
= , , … . ˄
costos
=0
= 1, 2, 3 … . ˄ = 1, 2,3 …
para
todo
.
por unidad y las
En la intersección se registran los costos
variables de solución
, por el envío de una cantidad de
productos , de un centro de distribución a un cliente j.
Para el desarrollo de este modelo se tomó como referente la
matriz propuesta en [14].
Índices
Índice que identifica el centro de distribución, para todo
= 1, 2, 3 … … . .
Índice que identifica
= 1, 2, 3 … … . .
los
clientes,
Índice que identifica el tipo de producto,
= , , ……. .
para
todo
para todo
Parámetros
Cantidad que oferta del centro de distribución
producto .
del
Costo por enviar una unidad del centro de distribución ,
al cliente del producto .
Cantidad que demanda el cliente
Figura1. Representación del problema del transporte de múltiples productos en una matriz.
del producto
.
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Variables
Cantidad de unidades enviadas del centro de distribución
, al cliente del producto
Función objetivo
Demanda de productos de los clientes. Los clientes
demandan productos (a, b, c y d) a la empresa MERCAR, el
cliente C2 no requieren producto b y el cliente C4 producto d,
ver Tabla III.
TABLA I. COSTOS POR UNIDAD DE TRANSPORTAR PRODUCTO k
DE CADA BODEGA A LOS CLIENTES.
1
= , , … .
=
∗
= 1, 2, 3 … .
= 1, 2,3 …
.
Restricciones
=
= , , … .
= 1, 2, 3 … .
= , , … .
=
2
= 1, 2,3 …
3
.
TABLA II. UNIDADES EN INVENTARIO.
= , , … .
=
4
= 1, 2, 3 … .
= 1, 2,3 …
0
⩝
.
,
5
El objeto de la ecuación (1) es cuantificar el valor mínimo de
los costos totales de transportar los productos desde las
distintas fuentes , a los diferentes destinos . La ecuación. (2)
es la representación de la oferta de cada uno de los centros de
distribución
a los diferentes clientes de los diferentes
productos . (3) Es la representación de la demanda de cada
uno de los clientes
de los diferentes productos
a los
centros de distribución . (4) Es la ecuación de balance; la
suma de la oferta del producto de los centros de distribución
, deberá ser igual a la suma de la demanda de los clientes .
(5) Es la ecuación de la no negatividad, significa que los
valores deberán ser cero (0) o valores positivos.
IV.
RESULTADO DE LA SIMULACIÓN
Para dar aplicabilidad del modelo solucionamos el siguiente
problema numérico de distribución.
MERCAR es una distribuidora de productos (a, b, c y d) de
consumo popular en la ciudad de Bogotá, tiene cuatro puntos
de distribución (B1, B2, B3 y B4) a los clientes (C1, C2, C3 y
C4).
TABLA III. UNIDADES DEMANDADAS.
B. Cumplimiento de condiciones para formular el modelo
• Comparación de oferta y demanda por producto k. Se
verifica que la sumatoria de la demanda por productos k de
los diferentes clientes j, sea igual a la sumatoria de la
existencia de producto k en las bodegas i, ver Tabla IV.
TABLA IV. COMPARACIÓN DE LA OFERTA Y DEMANDA DE LOS
PRODUCTOS k PARA HACER BALANCEO.
A. Parámetros de entrada del modelo
• Costos de envío por unidad. El área de logística ha
determinado las siguientes tarifas en unidades monetarias por
transportar cada unidad, estas tarifas
se calculan con
base en el peso y/o el volumen del producto y/o la distancia
de la bodega y el cliente, ver Tabla I.
• Inventarios en bodega. La empresa tiene en las bodegas
inventario productos (a, b, c y d) en las bodegas (B1, B2, B3
y B4), la bodega B3 no tiene en inventario producto a y la B4
producto c, ver Tabla II.
• Balanceo de la oferta y la demanda por producto k. Se
determina haciendo una resta de valor absoluto de oferta
menos demanda, como resultado de esta operación se pueden
dar las siguientes situaciones:
 La oferta igual a la demanda. En
balanceado el producto k.
este caso esta
 La oferta es mayor a la demanda. En este problema se da
para los productos b y d, para esto se balanceó el modelo
SÁNCHEZ AND HERRERA : SOLUTION TO THE MULTIPLE PRODUCTS TRANSPORTATION
adicionando columnas ficticias para el cliente C2 con 700
unidades del producto b y 20 unidades al cliente C4, los
costos correspondientes de las columnas serán igual a cero
= 0.
 La demanda es mayor a la oferta. En este problema se da
para los productos a y c que los almacenados en las bodegas
B3 y B4. Para esto se balancea el modelo adicionando filas
ficticias para la bodega B3 con 70 unidades del producto a
y 180 unidades del producto c en la bodega B4. Los costos
correspondientes de la fila serán igual a cero
=
0, ver Tabla V.
TABLA V. MATRICES DE LOS PRODUCTOS AJUSTADOS CON LOS
PARAMETROS DE OFERTA, DEMANDA Y COSTOS.
C. Formulación matemática del modelo propuesto
La base de la formulación es la programación lineal con
algunas particularidades ver fig. 2.
• La función objetivo. Es una matriz compuesta por k
∗
. El
vector fila, uno por cada producto, se registra
o la
Z min total es el resultado de la sumatoria de los
multiplicación suma producto de las dos matrices.
• Restricciones. El número de restricciones depende del
número de bodegas y clientes, para este ejemplo son ocho (8).
Al lado izquierdo de la restricción se registra la sumatoria de
con el coeficiente uno (1) que significa
variables
conectividad del origen i con del destino j. Al lado derecho se
registra la matriz de oferta y demanda por producto ajustado
k. El signo de comparación es el igual (=).
Figura 2. Formulación matemática del modelo.
• Restricción de no negatividad. Se asume que en el
resultado del modelo las variables de decisión son cero o
positivas
0.
D. Registro y formulación del modelo en Excel
Para dar el modelo se deberá seguir el siguiente procedimiento
para registrar y formular el modelo en la hoja de Excel según
las siguientes indicaciones, ver Fig. 3.
• Identificación del vector de conectividad de los orígenes
i con los destinos j, F2:U2. Todos los productos k salen de las
mismas bodegas i y llegan a los mismos clientes j generando
los mismos ruteos, por lo tanto se registra n elementos del
vector fila de conectividad
, para este ejercicio son diez y
seis (16) las rutas.
• Matriz de costos, F3:U6. se registra una matriz de costos
m x n, cada uno de los vectores fila m de la matriz representa
son el valor de envío unitario por
los costos
, estos
producto k, por cada una de las rutas n de conectividad.
• Matriz de variables de solución, F7:U10. En estas celdas
al dar solución del modelo en Solver se dan las cantidades
óptimas de envío de cada uno de los centros de distribución i a
los clientes j.
• Función objetivo, W: 5. Se formula multiplicando cada
vector
por el costo
correspondiente y se calcula el
costo mínimo de envío por producto. La suma de estos costos
da el Z mínimo total.
• Lado izquierdo de las
restricciones
de oferta,
F13:U16. Se registran los coeficientes uno (1), que indica
disponibilidad de cada bodega i con los clientes j.
• Lado izquierdo de las restricciones de demanda,
F18:U21. Se registran los coeficientes uno (1), que son la
conectividad para enviar los requerimientos del producto k a
los clientes j de cada bodega i.
• El lado derecho de las restricciones de la oferta,
V13:Y16. Al lado derecho se registran las cantidades de
demanda ajustadas por producto k, requerido por cada cliente
j, se compara el lado izquierdo de la restricción con el signo
igual (=) con el lado derecho.
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Figura 3. Registro y formulación del modelo en Excel.
Figura 4. Solución del modelo en Excel.
• El lado derecho de las restricciones de la demanda,
V18:Y21. Al lado derecho se registra las cantidades
disponibles ajustadas por bodega del producto k, se compara el
lado izquierdo de la restricción con el signo igual (=) con el
lado derecho.
• Formulación de la matriz oferta y demanda del lado
izquierdo de las restricciones, V13:Y16 y V18:Y21: Se
formula el primer elemento de cada vector columna;
multiplicando el vector fila de la bodega i por el vector fila de
las variables
del producto k correspondiente, este vector
se fija y se copia en toda la columna. Se repite el
procedimiento para cada vector de cada producto k.
• Registro del modelo en Excel Solver. Para dar la
solución al modelo en Excel se debe habilitar Solver, la rutina
es la siguiente; Opciones / Complementos / Complementos de
Excel / Ir / Solver. El Solver quedará habilitado en la página
de “Datos” y se procede a registrar el modelo en Excel en
“Parámetros de Solver”.
E. Resultados con la solución del modelo en Solver
El modelo da la solución de las cantidades óptimas de envío
de producto k por ruta en las celdas de la matriz de
“Variables de solución”, da las cantidades óptimas de envió y
a su vez el valor económico óptimo por producto y total
$W$5 que es 18.264 unidades monetarias ver Fig. 4.
Además el modelo da unos valores agregados de información
como son: el número de unidades en inventario identificando
el centro de distribución que las tiene (celdas de color Azul y
café) y las unidades que no se envían y generan demanda no
satisfecha indicando los clientes (celdas de color amarilla y
verde). Para verificar la efectividad del modelo se pueden
hacer soluciones por producto k.
SÁNCHEZ AND HERRERA : SOLUTION TO THE MULTIPLE PRODUCTS TRANSPORTATION
CONCLUSIONES
En este trabajo se obtuvo la solución óptima por producto
cada k y se compararon los resultados con el modelo
propuesto, obteniéndose la misma solución. Por lo tanto, se
puede asegurar que el modelo cumple con el objetivo al
integrar todos los productos en un solo modelo y dar una
solución óptima. Adicionalmente, en el modelo propuesto se
identifican las cantidades
de envío a cada uno de los
clientes, identificando las unidades en inventario y de
demanda insatisfecha. Así como los costos por producto y
totales.
El modelo propuesto es de fácil aplicabilidad, supera la
complejidad de propuestas similares de solución, con este
aplicativo se pueden generar resultados en tiempo real con
altos valores agregados y dar soluciones a escenarios
múltiples, para esto se convierte en parámetro una(s)
variable(s) y/o se modifican los parámetros de oferta y
demanda. La formulación propuesta se puede aplicar a
problemas con un gran número de variables, utilizando
software de mayor capacidad como el GAMS, siendo este el
siguiente trabajo de la investigación.
AGRADECIMIENTOS
Este trabajo ha sido financiado parcialmente por la
Universidad Jorge Tadeo Lozano a través del proyecto de
investigación 644-11-14.
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multiples productos: Una aproximación con programación meta,» Revista
investigación operacional, p. 122, 2004.
Luis Carlos Sánchez se graduó como ingeniero industrial en
1985 y tituló como Magister en Ingeniería Industrial con
énfasis en producción e investigación de operaciones en la
Universidad Distrital FJC en el año 2012. Especialista en
gerencia social de la Universidad Antonio Nariño en 1996.
Actualmente es docente investigador
asociado de la
Universidad América. Entre sus líneas activas de investigación se encuentra la
simulación de modelos matemáticos para potencializar los procesos logísticos
de las organizaciones
Jorge Herrera se graduó como ingeniero electrónico en la
Universidad del Quindío, en 2004. Doctor en Informática
Industrial y técnicas avanzadas de producción por la
Universidad Autónoma de Barcelona. Actualmente es
profesor titular del programa de Ingeniería Industrial de la
Universidad de Bogotá Jorge Tadeo Lozano. Entre sus líneas
activas de investigación se encuentra la identificación
paramétrica y el control adaptable.
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