8.11 OBSERVADORES DE TIEMPO DISCRETO Consideremos

8.11 OBSERVADORES DE TIEMPO DISCRETO
Consideremos sistemas dinámicos que son capaces de reconstruir el estado
de otro sistema que está siendo observado.
Definición 8.1 El sistema:
x (i + 1) = A(i) x (i) + B(i)u (i) + C(i) y(i)
(8.58)
Es un observador de orden completo para el sistema:
x (i + 1) = A (i) x (i) + B(i)u (i)
y(i) = C(i) x (i) + E (i)u (i)
(8.59)
Si
x (i 0 ) = x (i 0 )
(8.60)
Implique
x (i) = x (i)
i ≥ i0
(8.61)
Para todo u(i) con i ≥ i0
El siguiente teorema da más información acerca de la estructura de un
observador.
Teorema 8.11 El sistema (8.58) es un observador de orden completo para el
sistema (8.59) si y sólo si:
A(i) = A(i) − K (i)C(i)
B(i) = B(i) − K (i)E (i)
(8.62)
C (i ) = K (i )
Para todo i ≥ i0 , donde K(i) es una matriz en el tiempo arbitraria.
Reemplazando (8.62) en (8.58) el observador se puede representar como:
x (i + 1) = A(i) x (i) + B(i)u (i) + K (i)[ y(i) − C(i) x (i) − E(i)u (i)]
(8.63)
El observador consiste en un modelo del sistema con una variable de
entrada manejable extra que es proporcional a la diferencia y(i) − y(i) de la
variable observada y su valor estimado por:
(
y(i) = C(i) x (i) + E(i)u (i)
)
(8.64)
La estabilidad del observador se ilustra en el siguiente teorema:
Teorema 8.12 Considerar el observador (8.58) para el sistema (8.59).
Entonces el error de reconstrucción es:
e(i) = x (i) − x (i)
(8.65)
y satisface la ecuación diferencia:
e(i + 1) = [A(i) − K (i)C(i)]e(i)
con i ≥ io
(8.66)
El error de reconstrucción tiene la propiedad que:
e(i) → 0 cuando i → ∞
(8.67)
para todo e(io), si y sólo si el observador es asintóticamente estable.
NOTA:
El comportamiento de [A(i) - K(i)C(i)] determina la estabilidad del
observador y el comportamiento del error de reconstrucción.
Para el caso invariante en el tiempo, existe el siguiente resultado:
Teorema 8.13 Considerar el observador invariante en el tiempo:
x (i + 1) = A x (i) + Bu (i) + K[ y(i) − C x (i) − Eu (i)]
(8.68)
para el sistema invariante en el tiempo:
x (i + 1) = Ax(i) + Bu (i)
(8.69)
y(i) = C(i) + E (i)
Entonces los polos del observador (es decir, los valores característicos de
A - KC) se pueden localizar arbitrariamente en el plano complejo ( con la
restricción que los polos complejos ocurran en pares complejos conjugados).
Escogiendo adecuadamente la matriz de ganancia K, si y sólo si el sistema
(8.69) es completamente reconstruible.
8.11 SISTEMA DE CONTROL LINEAL DE TIEMPO DISCRETO
CON REALIMENTACION DE LA SALIDA.
Se considera el diseño de sistemas de control lineal de tiempo discreto
cuando el estado de la planta no se puede observar en forma completa y
exacta, de modo que se debe usar un observador
8.11 .1 REGULACION DE SISTEMAS CON MEDICIONES
INCOMPLETAS
Considerar un sistema lineal de tiempo discreto descrito por la ecuación de
diferencia de estado:
x (i + 1) = A (i) x (i) + B(i)u (i)
(8.70)
con la variable controlada:
z(i) = D(i) x (i)
(8.71)
En la sección 8.8 se consideró controlar este sistema con la ley de control con
realimentación del estado de la forma:
u (i) = − F(i) x (i)
(8.72)
Muy a menudo no es posible medir el estado completo exactamente, como
siempre, está disponible sólo la variable observada de la forma:
y(i) = C(i) x (i) + E(i)u (i)
(8.73)
Suponiendo que y(i) es la última observación disponible para reconstruir
x(i+1), se puede conectar un observador a este sistema de la forma:
x (i + 1) = A(i) x (i) + B(i)u (i) + K (i)[ y(i) − C(i) x (i) − E(i)u (i)] (8.74)
luego lo más natural es reemplazar el estado x(i) en (8.72) con su valor
reconstruido x (i) :
u (i) = − F(i) x (i)
(8.75)
Para considerar la estabilidad de la interconexión de la planta dada en (8.70) y
(8.73), el observador (8.74), y la ley de control (8.75). Tenemos el siguiente
resultado completamente análogo al resultado de tiempo continuo del teorema
7.
Teorema 8.14
Considerar la interconexión del sistema descrito por (8.70) y (8.73), el
observador (8.74), y la ley de control (8.75). Entonces las condiciones
suficientes para la existencia de las matrices de ganancia F(i) y K(i), i ≥ io , tal
que el sistema interconectado sea exponencialmente estable son que el
sistema descrito por (8.70) y (8.73) sea uniformemente completamente
controlable y uniformemente completamente reconstruible, o que sea
exponencialmente estable.
En el caso invariante en el tiempo (es decir, todas las matrices en
(8.70), (8.73), (8.74) y (8.75) son constantes) las condiciones necesarias y
suficientes para la existencia de las matrices de ganancia K y F son que el
sistema dado por (8.70) y (8.73) sea estabilizable y detectable.
También para el caso invariante en el tiempo, las condiciones
necesarias y suficientes para asignar arbitrariamente todos los polos del lazo
cerrado en el plano complejo ( con la restricción que los polos complejos
ocurran en pares conjugados) escogiendo adecuadamente las matrices de
ganancia K y F, son que el sistema debe ser completamente controlable y
completamente reconstruible.
En el caso invariante en el tiempo, los valores característicos del
sistema interconectado constan de los valores característicos de (A – BF) (los
polos del controlador) y los valores característicos de (A - KC) (los polos del
observador).