Interferometría Contemporánea - FCFM

Apuntes de
Interferometría Óptica
Contemporánea
ideas fundamentales
GUSTAVO RODRÍGUEZ-ZURITA
UNIVERSIDAD AUTONOMA DE PUEBLA.
FACULTAD DE CIENCIAS FISICO MATEMATICAS.
POSGRADO EN FISICA APLICADA.
LABORATORIO DE INTERFEROMETRIA.
PUEBLA-MEXICO.
2
Prefacio.
“John Bruning is well known as the co-inventor of the phase-shift interferometer which
revolutionized precision interferometry measurements. Prior to John’s invention one
could determine the figure of an optical flat or a lens to only about 1/50 of the
wavelength of light.”
Henry Smith, Associate Director, NanoStructures Laboratory, MIT.
En los albores del siglo XIX, en 1802, Thomas Young reportó la
aparición de una distribución de máximos y mínimos de irradiancia
luminosa (patrón de interferencia). Era el resultado de un experimento que
empleaba una doble rendija. La descripción matemática del patrón pudo
describirse bajo la hipótesis de surgir éste como consecuencia de la
superposición de dos disturbios ondulatorios clásicos caracterizados por
determinada longitud de onda . Este hecho contribuyó decisivamente al
posterior desarrollo de la Óptica Ondulatoria hacia mediados del mismo
siglo (aun previamente a la interpretación de la luz como un fenómeno
electromagnético), notablemente por A. J. Fresnel.
Alrededor de 1880, A. A. Michelson desarrolló no sólo métodos más
eficientes y convenientes para generar y evaluar patrones de interferencia,
sino que mostró cómo los procedimientos emergentes (categorizados bajo
el nombre de Interferometría) acarreaban decisivo impacto en la Metrología
(mediciones precisas debajo de los micrones), en la Geodesia (definición
del metro patrón), en la Astrofísica (interferometría de intensidad), en la
Espectroscopía (líneas hiperfinas), en el concepto de Coherencia de campos
y, a la postre, en la Teoría de la Relatividad.
Durante los primeros 60 años del siglo XX, la Interferometría se consolidó
y diversificó, siendo la Microscopía Óptica una de las disciplinas
particularmente beneficiada. Muchos sistemas interferométricos fueron
desarrollados sobre la base de fuentes luminosas de baja coherencia
temporal (como luz policromática emitida bajo el régimen de Cuerpo
Negro) o de mediana coherencia temporal (como lámparas espectrales de
descarga).
3
Con el advenimiento de la luz láser en 1961, la Interferometría Clásica se
revitalizó inusitadamente. Las técnicas ya establecidas recibieron un
renovado ímpetu, como fue el caso de las Pruebas de Componentes
Ópticas. Los láseres fomentaron también otras nuevas técnicas, como la
Holografía, la Interferometría Holográfica, y la Interferometría de moteado
coherente (Speckle). Los Efectos Alineales (Non-Linear Effects) planteaban
nuevos materiales para registro y para generación de nuevas frecuencias y
de operaciones coherentes, todo de potencial relevancia en conjunto con la
Interferometría.
A finales de los años 70, el desarrollo de nuevos detectores con el
almacenamiento correspondiente de distribuciones en una y dos
dimensiones por un lado (vidicones, CCD), y los avances y la gran difusión
de los ordenadores por el otro lado, se conjugaron con la Interferometría
para el desarrollo de novedosas técnicas de evaluación (extracción) de
distribuciones de fase clásicas. Estas propuestas se caracterizan por aliviar
(y hasta suprimir) muchas restricciones limitantes de la precisión inherente
a los procedimientos de extracción de fase que, en base a interferogramas,
hasta entonces existían.
Así, los llamados métodos heterodinos y los cuasi-heterodinos anuncian
precisiones de /1000 y /100 respectivamente durante la década de los
años 80. Las técnicas son muy versátiles y, consecuentemente, adaptables a
un gran número de sistemas interferométricos (clásicos, holográficos o
electrónicos). La Interferometría de Corrimiento de Fase (Phase Shifting
Interferometry), por ejemplo, es una técnica ya comercializada y rutinaria
en varios ámbitos científicos y del sector productivo.
Por los puntos anteriores, puede decirse que la interferencia,
considerando fenómenos ondulatorios, es un efecto resultante de la
superposición de dos o más ondas. En el ámbito de los fenómenos
ondulatorios, el efecto físico de interferencia se caracteriza por exhibir
regiones de alta actividad ondulatoria alternadas por regiones de muy baja
actividad, o hasta nula. En el caso de la luz dentro del contexto clásico, una
alta actividad se detecta como un valor alto de irradiancia, mientras que una
4
baja actividad se refleja en valores bajos de irradiancia, o incluso, en
valores nulos.
Es de interés práctico el caso en que estas regiones permanezcan
relativamente estables durante el tiempo de la detección, formándose el
referido patrón de interferencia.
La interferencia así entendida pone de manifiesto propiedades
ondulatorias clásicas de la luz. Históricamente, la observación del efecto
con ondas luminosas según T. Young proporcionó pruebas cruciales a favor
de la teoría ondulatoria de la luz, zanjando la cuestión, al menos hasta
cierto nivel, de si la luz se encuentra constituida, o bien por ondas, o bien
por partículas.
Los ulteriores estudios de las propiedades ondulatorias de la luz señalan
muchas aplicaciones, tal como demostró A. A. Michelson. Algunos
ejemplos extraídos del ámbito de la Óptica, incluyen los siguientes:
_ se posibilita el medir translaciones dentro del rango de nanómetros,
así como giros de ángulos muy pequeños,
_ se pueden generar métodos para mediciones de distancias con
precisión mejor que fracciones de micras,
_ se pueden medir los índices de refracción de muchos materiales,
aun cuando no se distribuya éste de modo homogéneo, o aunque no sea
isótropo,
_ se pueden caracterizar las estructuras hiperfinas de las líneas
espectrales y medir grados de coherencia de muchas fuentes,
_ resulta posible encontrar mapas topográficos de superficies,
especialmente variaciones de altura dentro del rango de varias centenas de
nanómetros,
_ se pueden grabar todas las propiedades visuales de un objeto para
poder reconstruirlo con paralaje y en tercera dimensión (Holografía),
_ se pueden medir tensiones y esfuerzos, así como características
elásticas, de gran variedad de cuerpos sólidos,
5
_ se pueden visualizar, y medir características, de estructuras
transparentes en dos y en tres dimensiones.
El éxito de aplicaciones como las mencionadas depende muchas veces de la
medición de la fase óptica. Esta medición puede realizarse con la
interferencia de dos ondas y de allí el interés por las metodologías capaces
de alcanzar precisiones de centésimas y hasta milésimas de longitud de
onda. Como se ha mencionado, esto ha sido posible gracias al desarrollo de
fuentes de alta coherencia, de los detectores pixelizados rápidos y
relativamente densos, y de la proliferación de los ordenadores de alto
rendimiento.
En el marco ofrecido por este contexto, el objetivo del presente
compendio consiste en exponer concatenadamente las ideas fundamentales
sobre las que descansan los procedimientos de alta precisión
interferométricos referidos, ilustrándolas mediante casos considerados
como los más representativos. Estos casos se presentan a lo largo del
compendio con el detalle suficiente para que puedan ser reproducidos y
modificados con el auxilio de algún paquete de Matemáticas Avanzadas en
potencial beneficio del Físico Experimentalista, del Físico Aplicado o del
Ingeniero, cualquiera de los cuales requiera de una introducción al tema.
La revisión, lejos de pretender ser exhaustiva, contempla sistemas
interferométricos contemporáneos de potencial aplicación metrológica
principalmente, e incluye una somera descripción de los procedimientos de
la interferometría electrónica. Con ello, se pretende proporcionar el
fundamento requerido para tener acceso a las ideas fundamentales de los
métodos interferométricos de precisión conocidos como métodos
heterodinos y de corrimiento de fase.
Rumbo a este objetivo, en el primer capítulo se revisa la interferencia de
Young de dos rendijas, especialmente en campo lejano. En el segundo
capítulo, se estudian algunos efectos de polarización de onda en los
patrones de interferencia. En el tercer capítulo, se estudian las
características básicas de un interferómetro tipo Michelson. Se destacan
especialmente los efectos acarreados por un divisor de haz que sea
convencionalmente dieléctrico.
6
En el capítulo cuarto, se revisan diversos métodos y componentes de
sistemas interferométricos específicos, incluyendo los métodos de
polarización y electrónicos. En el quinto capítulo, se describen los
fundamentos de los métodos heterodinos y los cuasi-heterodinos en
Interferometría. Finalmente, en el capítulo sexto, se describen varios casos
ilustrativos de técnicas en interferometría de corrimiento de fase.
Se han intercalado los códigos en Mathcad© 14 que son esenciales para
obtener las gráficas ilustrativas presentadas en los diversos casos. Los
códigos en versiones más recientes no son tan diferentes. Otros listados en
el mismo código más amplios o redundantes, son enlistados en los
apéndices. Una de las ventajas de este sistema de cómputo es el gran
parecido entre el código y la forma de escribir manualmente las fórmulas.
Al semejar así un pseudocódigo, se han omitido el intercalar comentarios.
Se recomienda tanto la ejecución de los programas propuestos como su
variación para el reforzamiento de las ideas fundamentales. El empleo del
mencionado paquete de matemáticas avanzadas, por otro lado, se realiza
por elección personal y no bajo compromiso alguno con la compañía
propietaria.
En todos los análisis expuestos, se supone iluminación a niveles
moderados de irradiancia y en régimen continuo. Así mismo, se asume la
suficiente estabilidad mecánica en los arreglos experimentales. También se
supone que el detector promedie un número suficientemente alto de motas
coherentes (speckle) y que las posibles variaciones temporales de la fase
resulten bastante menores que los tiempos de respuesta de los detectores.
Se ha enfatizado el aspecto conceptual básico de los experimentos sobre el
de procesamiento digital de interferogramas (filtrado y desenvolvimiento).
La bibliografía incluida tampoco es exhaustiva en modo alguno. Contiene
obras básicas de amplia cobertura para la profundización de algún tema
expuesto en las notas.
7
Reconocimientos.
Tal vez nunca agradeceré lo suficiente por las enseñanzas sobre estos
temas a A. Cornejo-Rodríguez, D. Malacara-Hernández, O. Harris-Muñoz,
M. Mantravadi, J. de J. Pedraza-Contreras, C. Roychoudhuri, P. Givens, W.
Schreiber, L. Wenke, B. Harnish, R. Rodríguez-Vera, A. Dávila-Álvarez,
A. J. Moore, V. Arrizón-Peña, A. Cordero-Dávila, A. Morales-Romero y
F. Mendoza-Santoyo. Sirva esta modesta mención para atenuar un poco el
peso de tan formidable compromiso.
El apoyo técnico de J. F. Vázquez-Castillo en la elaboración de numerosos
arreglos experimentales ha servido mucho para la concepción, el desarrollo
y la elaboración final de estas notas. De hecho, una buena parte de los
resultados experimentales exhibidos han sido obtenidos en el Laboratorio
de Interferometría de la Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas de la
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla (FCFM-BUAP). Cabe
mencionar también el gran interés y destacado entusiasmo desplegado por
N. I. Toto-Arellano y por C. Meneses-Fabián en relación al trabajo del
laboratorio de Óptica de la FCFM-BUAP, con lo cual ha contribuido
grandemente a la elaboración de las presentes notas. Así mismo, los apoyos
de A. Castillo-Cardoso y de C. Huerta-Alderete en la escritura del
manuscrito y la realización de las gráficas, también son muy apreciados.
Se reconoce el soporte del CONACyT para el desarrollo del Laboratorio de
Interferometría Óptica de la FCFM-BUAP, particularmente con los
proyectos 124145 y 154984. Así mismo, se agradece a la Vicerrectoría de
Investigación y Estudios de posgrado de la BUAP por su apoyo oportuno y
constante.
8
Índice.
Capítulo 1.
Interferencia de Young.
1.1
El experimento de Young: caso escalar………………………… ...15
1.1.1 Distribución espacial de los puntos con interferencia constructiva y destructiva………………………………………….....17
1.2
División de frente de onda………………………………………....21
Capítulo 2.
Interferencia de dos ondas planas (interferencia de Young en Campo
Lejano).
2.1
Descripción del patrón de interferencia………………………..…. 27
2.1.1 El término de interferencia………………………………..... 27
2.2
El caso de la polarización lineal………………………………….. .28
2.2.1 Características del patrón…………………………………....28
2.2.2 Polarización perpendicular………………………………..…29
2.2.3 Polarización paralela………………………………………...33
2.3
El caso de la polarización circular……………………………..…...34
2.3.1 Polarizaciones circulares iguales………………………….…34
2.3.2 Polarizaciones circulares opuestas…………………………..36
2.4
Variaciones de parámetros…………………………………………37
2.5.
Término de interferencia de dos ondas con frecuencias de valores
cercanos…………………………………………………………….42
Capítulo 3.
El Interferómetro tipo Michelson.
3.1
Formación de franjas……………………………………………….46
3.1.1 El patrón debido a una fuente puntual……………………….47
9
3.1.2 El patrón debido a una fuente extendida…………………….48
3.2
El divisor de haz con espesor determinado……………………...…49
3.2.1
3.2.2
3.2.3
3.2.4
Cambio de fase en interfaz dieléctrica plana……………...…49
El cambio de fase de  en un divisor de haz………………...51
La dispersión y la aberración esférica……………………….52
Algunas mediciones con un interferómetro de Michelson….53
Medición de longitud de onda
Estimación de las longitudes de pulsos
Estimaciones de 
Espectroscopía de transformada de Fourier
3.2.5 Divisores de haz cúbicos…………………………………….59
A.
Divisores cúbicos de haz no polarizantes
B.
Divisores cúbicos de haz polarizantes
Capítulo 4.
Otros interferómetros.
4.1
Interferómetros con autorreferencia………………………………..63
4.2
Interferencia en placa dieléctrica de caras plano-paralelas………...68
4.3
Algunos interferómetros adicionales……………………………....75
4.3.1 División de amplitud por transmisión-reflexión………….…75
A.
Interferómetro tipo Twyman-Green
B.
Interferómetro tipo Mach-Zehnder
C.
Interferómetro tipo Fizeau
D.
Interferómetro cíclico tipo Sagnac
E.
Patrones de interferencia de frentes aberrados
observados en Twyman-Green
F.
División por birrefringencia
4.3.2 Interferómetros de trayecto común………………………….87
A.
Interferencia por esparcimiento (scattering)
B.
Interferómetro con esparcimiento
C.
Interferómetro de trayectoria común con difracción.
4.3.3 Interferómetros holográficos…………………………….…..92
4.4
Interferómetros electrónicos………………………………………..96
4.4.1 Interferometría digital y ESPI……….……………………….96
10
4.4.2 Interferometría de correlación fotográfica de speckle.……...105
4.4.3 Aplicaciones de ESPI: deformación…………………….…..106
A.
El vector de sensibilidad
B.
Sensibilidad fuera y dentro de plano
B.1 Configuración fuera de plano
B.2 Configuración en el plano
B.3 Deformaciones de una plancha plana combada en
cuatro puntos
Capítulo 5.
Interferometrías heterodina y cuasi-heterodina.
5.1
Interferencia con dos disturbios de diferente frecuencia…….……115
5.2
Interferometría homodina: 1 = 2 = ………………………...…117
5.3
Interferometría heterodina: 1  2………………………………120
5.3.1 Interferometría heterodina propiamente dicha……………...123
5.3.2 Interferometría con modulación sinusoidal…………………125
5.3.3 Medición de fase: cruce por cero…………………………...127
5.3.4 Interferometría super-heterodina……………………………128
5.3.5 Ejemplo suplementario: el caso de la conjugación de fase con
cristales fotorrefractivos silénidos………………………….128
Capítulo 6.
Tópicos de interferometría de corrimiento de fase.
6.1
Corrimiento de fase (Phase-Shifting Interferometry)…………..…135
6.1.1 Tres corrimientos de fase………………………………...…139
6.1.2 Cuatro corrimientos de fase…………………………………141
6.1.3. Método de Carré……………………………………………145
6.1.4 Modulación espacial (Método de Takeda o interferometría de
Fourier)……………………………………………………..146
6.1.5. Corrimiento de fase con dos longitudes de onda………..….149
6.2
Implementación experimental: ejemplos…………………………152
6.2.1 Corrimiento de fase……………………………………...…152
6.2.2 Interferometría holográfica con doble referencia…………..153
11
6.3
Algunas consideraciones suplementarias…………………………155
6.3.1 Cinco corrimientos (método de Hariharan)…………………155
6.3.2 Uso de espejo auxiliar……………………………….….…..157
6.3.3 Paquete de integración…………………………………...…157
6.3.4 Error en la recuperación de fase por corrimiento de fase…...160
6.4
Modulación y detección en interferometría heterodina y de
corrimiento de fase: comparaciones………………………….160
6.4.1 Calibración del modulador (corrimiento de fase)……...161
A. Caso piezoeléctrico
B.
Caso rejilla
6.4.2 Modulación de polarización……………………………164
A. Holograma interferométrico con doble referencia
B.
Interferometría de corrimiento de fase con un solo
disparo
6.4.3 Detección………………………………………………172
6.4.4 Procesamiento de interferogramas………………….….172
A. Ejemplos de filtrado
B.
Desenvolvimiento
6.5
Comentarios Finales………………………………………….179
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA…………….…………………………181
APÉNDICES.
Apéndice A. Interferogramas de frentes de onda aberrados……..…185
Apéndice B. Elementos de un programa para ilustrar el corrimiento de
fase con tres interferogramas………………………..…201
Apéndice C. Elementos de un programa para ilustrar el corrimiento de
fase con cuatro interferogramas……………………..…205
Apéndice D. Elementos de un programa para ilustrar el método de
Carré……………………………………………………….…209
12
Apéndice E. Elementos de un programa para ilustrar el método de
Hariharan………………………………………………..……213
Apéndice F. Elementos de un programa para ilustrar el método de
Fourier (Takeda)…………………………………….…217
Apéndice G. Elementos de un programa para ilustrar el método de dos
longitudes de onda…………………………………..…221
Apéndice H. Elementos de un programa para ilustrar el método
filtrado…………………………………………………227
Apéndice I. Elementos de un programa para ilustrar un método de
desenvolvimiento 2D…………………………….….…231
Apéndice J. Consideraciones colaterales sobre el experimento de
Young en campo lejano……………………………..…237
Apéndice K. Recomendaciones para observar franjas usando un
interferómetro tipo Michelson compensado y bajo
iluminación policromática…………………………..…247
13
14
Capítulo 1
Interferencia de Young.
1.1 El experimento de Young: caso escalar.
Dos disturbios planos en contra-propagación y de igual
longitud de onda, dan lugar a una onda estacionaria. En
consecuencia, se presentan nodos en determinadas regiones del
espacio. Similarmente, la superposición de dos ondas esféricas darán
lugar a regiones de muy reducida actividad ondulatoria y a otras de
muy alta actividad. El experimento de Young consigue aproximarse
a generar dos fuentes puntuales en sincronía con disturbios
luminosos. La fig. 1.1 muestra el esquema correspondiente, donde
dos rendijas en posiciones x' = ±a respectivamente se hallan en una
pantalla plana, M, contenida en el eje x’. A una distancia d, se
realizan observaciones de la irradiancia resultante sobre el eje x,
paralelo al eje x'.
Figura 1.1. Esquema del Experimento de Doble Rendija de Young
15
La iluminación de ambas rendijas se obtiene de otra rendija (única y
centrada) practicad en la pantalla S0 al otro lado de S. Esta rendija se
ilumina con una onda plana de longitud de onda λ. Considerando el
principio de Huygens, la tarea de cada rendija consiste en seleccionar
fuentes secundarias de Huygens, o sea, fuentes puntuales luminosas. La
sincronía entre las fuentes en posiciones x’=± d se busca garantizar
con el empleo de una sola fuente puntual, que es la centrada.
Observando sobre un punto P de coordenada x a una distancia
del origen del eje x’, se tendrá que las distancias
de cada fuente
al punto P serán distintas en el caso general. Si x = 0, entonces
y las
ondas provenientes de cada fuente llegarán siempre en fase debido a que
cada frente de onda recorrerá igual distancia (suponiendo que el medio por
el cual se propagan sea homogéneo e isótropo). Dicha distancia es, desde
luego,
(1.a)
En consecuencia. Los puntos sobre el eje z son indicadores de la
relación de fase entre las fuentes y mostrarán una actividad
ondulatoria alta cuando las fuentes se hallen en sincronía, mientras
que será baja si las fuentes estuvieran fuera de sincronía. Entonces, en
general, la fase entre las fuentes podría conocerse de la fase entre las
ondas incidentes sobre el eje z.
Pero si
entonces
. De hecho, respecto al origen O,
puesto que las posiciones de las fuentes serán (±a, 0, -d), las
distancias son
(1.b)
(1.c)
En estas condiciones. La relación de fase entre los frentes de onda
incident.es en P (
) depende de
. Se presentan dos
casos particulares importantes.
i)
que conduce al caso en que las fases de los frentes sea un
múltiplo n de 2π, lo cual es muy parecido al caso
porque una fase de 0 es equivalente a una de
. La
16
diferencia consiste en que las amplitudes no son identicas por
recorrer cada frente distinta distancia. Esto es una consecuencia de la
atenuación propia de una onda esférica con frente de radio r.
ii)
conduce al caso en que las fases entre los
frentes sea
, lo cual indica que los frentes llegan fuera
de fase por π (ó 180°).
En el primer caso, al coincidir máximos de una fuente con máximos
de la otra (o mínimos), se obtiene un reforzamiento de la actividad
ondulatoria conocido como interferencia constructiva. En el segundo
caso, como coinciden máximo con mínimo, aparece una tendencia a
anular la actividad ondulatoria en la medida en que las amplitudes de
los frentes provenientes de cada fuente no difieran mucho. Dicha
tendencia se conoce como interferencia destructiva.
Se hace notar que
y que
puede adoptar un signo
positivo o negativo simétricamente respecto al eje z.
1.1.1 Distribución espacial de
constructiva o destructiva.
los
puntos
con
interferencia
Los casos i) o ii) determinan las condiciones geométricas
(1.2.a)
(1.2.b)
respectivamente. Dichas condiciones definen familias de hipérbolas
homofocales con focos en (±a, 0, d). Para n = 0, se tiene una hipérbola
cuyas dos ramas degeneran en la misma línea recta que bisecta la
distancia entre los focos. En los demás casos
, cada valor de n
define dos ramas (para z > -d si se consideran propagaciones sólo
en dirección +z para las ondas secundarias de Huygens).
Cada hipérbola viene a ser el lugar de puntos de igual diferencia de
distancias, o los puntos a donde llegan las ondulaciones con igual
diferencia de fase. El valor de
puede aproximarse usando la
17
aproximación de Taylor
Usándola en la expresión 1.2.a, resulta
(1.3)
Para la condición de máximo. Así, la posición de cada máximo puede
escribirse como:
(1.4.a)
Por lo cual se tiene que, bajo la aproximación usada, las posiciones de
dos máximos adyacentes
cualesquiera resultan constantes. Es
directamente proporcional a λ y a d, inversamente proporcional a la
separación 2a entre las rendijas.
Análogamente, para las posiciones de los mínimos se puede
obtener que:
(1.4.b)
En el experimento de Young, conociendo los datos d, a y posiciones de
máximos
(o mínimos
), puede determinarse el valor de λ. Esta es
la región asintótica de las hipérbolas. Ejemplo, dos rendijas
separadas por 0.65 mm proporcionan una separación entre mínimos
adyacentes de 1mm al observarlos a 1m de distancia. Con estos
datos, se obtiene por sustitución que:
18
valor que corresponde a un estímulo cromático rojo. Note que
diferentes valores de λ proporcionarían distintas separaciones
bajo iguales condiciones de d y de a.
0.5145 0.532 0.488 0.400
514.5 532
488
400
Vale la pena inspeccionar la incertidumbre δλ en la determinación de λ
con el método de Young. Por propagación de error
donde
,
y
son la respectivas incertidumbres en la separación de
las rendijas, en la distancia de rendijas y pantalla y en la separación de
mínimos. Con
,
,
,
, resulta
por lo cual,
debe ser cuando mucho, del orden de
para no
exceder un error en
de
que significaría una precisión
de apenas
. Así, la precisión en la medición de la
separación entre rendijas debe ser alta, por lo que resulta crucial para
mediciones significativas. Note que usar luz policromática, las
familias de hipérbolas por cada λ no van a coincidir, excepto en la
línea recta del orden cero. Es entonces de esperarse que tienda a ser
una línea blanca.
19
Los elementos de un programa que use código en Mathcad® y que
muestre la superposición de amplitudes de dos ondas esféricas se
enlistan a continuación. Las gráficas son de tres dimensiones y se
pueden animar con las herramientas del mencionado paquete.
2
2
r2 ( xy )  ( y  a)  x
2
2
r1 ( xy )  ( y  a)  x
Am  1
t 

10
 FRAME
r  0.000000001
E2( xy t) 
E1( xy t) 
Am
r2( xy)  r
Am
r1( xy)  r
 cos ( 15 r2( xy)  t)
E
i j
i

i
 E1 x y t  E2 x y t
j
j

 cos ( 15 r1( xy)  t)
E
E
Figura 1.2. Superposición de las amplitudes de dos ondas esféricas.
En tres dimensiones, las regiones de igual diferencia de fase son
superficies (considerando las condiciones 2). Estas son hipérbolas de
revolución con eje situado en la línea recta uniendo a las fuentes,
cuyas posiciones coinciden con los focos de las hiperboloides.
Las observaciones de las actividades ondulatorias se realizan en un
plano que interseca a la familia de hiperboloides homofocales.
Cuando el plano es paralelo al eje de rotación y si
,
(asíntotas), las líneas de igual diferencia de fase sobre dicho plano
20
tienden a ser líneas rectas. Cuando el plano es normal al eje de
simetría, las líneas de igual diferencia de fase tienden a ser círculos
concéntricos.
Para encontrar la grafica (3D y las líneas de nivel) del disturbio total
formado por ondas esféricas en posiciones (0, ) se puede recurrir a un
paquete de cálculo avanzado para PC considerando los siguientes
elementos en código Mathcad®:
N  256
i  01 N  1
a  1
xm 0
x  xm  i
i j
Am
r1( xy)  r
i

t 

10
N 1
i
j
yM  5
2
2
r1 ( xy )  ( y  a)  x
E2( xy t) 
Am
r2( xy)  r
 cos ( 15 r2( xy)  t)

1.2 División de frente de onda.
Existen otras posibilidades para obtener dos fuentes a partir de una
sola, como es en el caso de la doble rendija de Young. Se
esquematizan dos posibilidades: el biprisma de Fresnel y el espejo de
Lloyd.
Figura 1.3. Biprisma de Fresnel
21
2
2
r2 ( xy )  ( y  a)  x
 FRAME
 cos ( 15 r1( xy)  t)
 E1 x y t  E2 x y t
j
yM  ym
j
r  0.000000001
E1( xy t) 
ym  5
y  ym  j 
N 1
Am  1
E
xM  10
xM  xm
i
j  01 N  1
Figura 1.4. Espejo de Lloyd
Las analogías con el método de doble rendija se reconocen mediante el
uso de similar notación. Existen también algunas diferencias debido a
las particularidades de cada sistema. Nótese que todos los arreglos
comparten una característica en su método de producir dos fuentes a
partir de una. Al menos, una de estas dos es una imagen de la otra.
Puesto que las fuentes son fuentes puntuales tomadas como
porciones pequeñas de una fuente original, los métodos pueden
adolecer de un importante desperdicio de luz. El método se conoce
como división de frente de onda.
Los lugares de igual diferencia de fase definen determinadas curvas.
Si las amplitudes de las ondas lleguen a estos puntos con iguales
amplitudes, estos lugares de igual diferencia de fase proporcionarán
puntos de igual irradiancia. Pero en el caso del experimento de Young,
esta condición solo ocurre aproximadamente en campo lejano por
efecto de la atenuación de la amplitud de las ondas esféricas
involucradas en el caso r1  r2. Por tanto, los puntos de igual
diferencia de fase no se corresponden exactamente con los puntos de
igual irradiancia. En particular, no podrá existir interferencia
destructiva exacta más que en la bisectriz de las fuentes puntuales si,
además, se ajusta su fase relativa a que sea de . Los demás puntos
con diferencia de fase de algún múltiplo impar de media longitud de
22
onda no proporcionarán, en general, un valor de irradiancia igual a
cero.
Sin tener que usar distancias muy grandes, una lente de focal positiva
puede acercarse a la condición referida en la aproximación paraxial.
La razón estriba en que se pueden generar ondas planas que
interfieran, en vez de ondas esféricas, tal como se describe en el
siguiente capítulo.
Algunos efectos que puedan alterar de modo importante a las
posiciones de los valores extremos de los patrones de interferencia se
discuten en el apéndice J.
23
24
Capítulo 2.
Interferencia de dos ondas planas
(interferencia de Young en campo
lejano).
Para facilidad de análisis, conviene considerar el caso
en el experimento de Young (campo lejano). Es el caso en el cual
las ondas circulares o esféricas se convierten en ondas planas. Tal
conversión puede conseguirse experimentalmente para valores
finitos de d usando Una lente de longitud focal positiva, como se
esquematiza en la fig. 2.1.
Figura 2.1. Experimento de Young en campo lejano.
25
Una doble rendija apropiadamente iluminada se coloca en el plano
focal anterior de la lente de focal f > 0. Por su posición respecto a la
lente, de ser onda esférica, al emerger de la misma lente lo hace
como una onda plana. La inclinación del vector de onda
está dada por
(i = 1,2)
( 2.1 )
por lo cual
. Entonces, las expresiones de los
disturbios, escritos en forma compleja, son
y
( 2.2 )
donde
denota la amplitud del campo electromagnético, ω es la
frecuencia temporal angular que, en el vacío, cumple la relación de
dispersión
( 2.3 )
con
,y
es la fase de cada disturbio. Como se ha
considerado la orientación de
respecto de algún sistema
coordenada en 3-D, estos vectores definen el estado de polarización de
cada disturbio. En la región donde se superpongan las ondas planas, el
disturbio total es
(2.4.a)
En consecuencia, la irradiancia total
es
(2.4.b)
26
Habiendo dejado aparte el factor
para usar unidades
arbitrarias. Así para dos ondas,
(2.5.a)
donde
, por lo cual la suma de las irradiancias de cada
onda no es siempre igual a la irradiancia total, porque, en general,
aparece un término adicional. Este último se ha expresado en
términos de
pero puede hacerse en términos de
alternativamente. Dicho término se conoce como “el término de
interferencia”.
2.1 Descripción del patrón de interferencia.
A continuación, se analiza la irradiancia de la ec. 2.5.a, irradiancia
que, considerada en un plano (por ejemplo, el plano
en 3-D, o
el eje en 2-D), se conoce como patrón de interferencia.
2.1.1 El término de interferencia.
Sustituyendo en la ecuación 2.5.a las relaciones 2.2 se obtiene para
una expresión independiente del tiempo:
(2.5.b)
donde se han introducido los parámetros
27
y
siendo este último, la diferencia de fase entre los disturbios. Se observa
que el valor del término de interferencia depende del producto ( ) entre
los valores de amplitud (uno de ellos, complejo conujugado). Por ello,
dicho término depende de los estados de polarización de los disturbios.
Por ejemplo, si los estados de polarización fueran ortogonales,
, y el término de interferencia sería nulo para cualquier
valor de x. Es un caso en el cual
. Este caso de
ortogonalidad surge si los estados de polarización de
son lineales y
además, son mutuamente perpendiculares. También aparece cuando
los estados de polarización sean circulares, pero de giros opuestos.
Esta propiedad es importante porque puede indicar si dos disturbios
dados son ortogonales entre sí.
2.2 El caso de la polarización lineal.
Cuando los disturbios tienen polarización lineal, las amplitudes de los
disturbios son vectores de coordenadas reales, por lo cual, la ec. 2.5.b
se simplifica a
(2.5.c )
que es una expresión oscilante en dependencia de . Para considerar el
plano
, se restringen los valores de
,
obteniendo para
, donde
. Por definición,
, siendo entonces el patrón de interferencia dado
por
( 2.5.d)
2.2.1 Características del patrón.
Al obtener una expresión espacialmente periódica, debe de existir un
período Λ para ella (que es el periodo espacial del término de
28
interferencia). Dado que
tener la relación
es una frecuencia angular espacial, se debe
de la cual se puede obtener que,
de donde
.
( 2.6 )
Se destacan dos casos extremos para Λ según el valor de :
(ondas colineales),
(campo uniformemente iluminado)
(ondas en contra-propagación),
Asi que
el valor de Λ es inversamente proporcional al
(o proporcional al
) y varía entre
(un campo uniformemente iluminado) y un
mínimo de
. Se nota que aun si
, y los disturbios no son
ortogonales de todos modos puede ocurrir que
según la ec.
2.5.d. Λ debe corresponderse con la separación entre máximos y
mínimos para el caso paraxial (ángulos
pequeños). En dicha
aproximación
y, por la ec. 2.1,
,
( 2.7 )
si sustituye a . Aquí,
es la separación entre máximos
adyacentes (o entre mínimos adyacentes) según la sección 1.1.1. Así, en
aproximación paraxial,
.
Existe, pues, coincidencia entre las aproximaciones empleadas en los caps.
1 y 2.
2.2.2 Polarización perpendicular.
Cuando las polarizaciones lineales de las ondas planas en
superposición son perpendiculares al plano que contiene a ambos
vectores de onda, se tiene justamente el caso perpendicular. Entonces
y
de modo que:
29
( 2.8 )
Figura 2.2. Vectores de onda y dirección de campos eléctricos al ángulo 1. Caso
perpendicular.
cantidad independiente de . Bajo esta condición, la irradiancia (ec.
2.5.d) se simplifica a
(2.8.a )
donde se ha retornado al uso de y
por ser
las únicas contribuciones a las amplitudes. Se grafican a continuación
algunos casos. En el caso general de la fig. 2.3 , se ilustra el hecho de
que los valores de irradiancia se encuentran entre un mínimo dado por
y un máximo dado por
. Dentro de
dicho rango, los valores siguen una regla cosinusoidal de período
espacial Λ.
30
Figura 2.3. Irradiancia total como función de la posición (patrón de interferencia)
El corrimiento de la curva trazada por estos valores, se determina por
y es, en distancia . El promedio de los valores en un número alto
de períodos es
Se acostumbra definir a dicho
promedio como la luz de fondo y se factoriza en la ec. 2.8.a para
obtener
(2.8.b)
donde
(2.8.c,d)
y
siendo la “modulación de las franjas". Las franjas vienen a ser los
valores extremos entre los que oscilan los valores intermedios de
irradiancia (
). La modulación es un parámetro que indica la
detectabilidad de las franjas. Otro es el parámetro conocido como
"visibilidad de franjas” , definido como:
(2.9.a)
y que para el caso de polarización perpendicular adopta la forma
31
(2.9.b)
Inspeccionando
se encuentra que su anulación ocurre cuando
por lo cual esta igualdad es condición de valor extremo.
Como
se tiene un máximo de visibilidad y la ec. 1.13.b
se reduce a
( 2.10 )
con
(fig. 2.4). Al caso de máxima modulación de franjas le
corresponde un valor de irradiancia de
.
Figura 2.4. Irradiancia total como función de la posición (patrón de interferencia)
Se nota que
es independiente de
. La modulación de las
franjas como función del cociente de irradiancias
se
muestra en la fig.2.5. El máximo valor
es 1 para
.
32
Figura2.5. Modulación de franjas (caso escalar) en función del cociente de irradiancias
.
2.2.3 Polarización paralela.
Cuando las polarizaciones de las ondas planas en superposición
siempre están contenidas en el plano de los vectores de onda, se
tiene el caso paralelo. De la fig. 2.6, al considerar la transversalidad
de los campos,
Figura 2.6. Vectores de onda y dirección de campos eléctricos al ángulo 1. Caso
paralelo.
33
Se halla que
y
forman un angulo de
diferencia del caso perpendicular. De hecho,
(
entre sí. Esto es una
(
)y
) de donde, en coincidencia con el análisis
grafico,
( 2.11 )
La irradiancia para este caso se obtiene sustituyendo la ec. 1.16 en la
ec.1.9.d, obteniéndose
( 2.12 )
Entonces,
estableciéndose
una
dependencia adicional del término de interferencia que no aparece en
el caso anterior (perpendicular).
Como el caso más simple ocurre en la polarización perpendicular, es
el que se prefiere en muchas aplicaciones y en análisis (enfoque
escalar). Nótese que en polarización paralela, si
el término de
interferencia se anula (lo que no sucede en el caso perpendicular).
2.3 El caso de la polarización circular.
Los haces que interfieren formando un ángulo
entre sí, pueden
tener polarizaciones circulares. Se consideran dos casos.
2.3.1 Polarizaciones circulares iguales.
Cuando las polarizaciones de los haces son circulares e iguales,
. Puede describirse cada polarización en términos
de las componentes paralela y perpendicular con un desfasamiento
mutuo de
que es igual en ambos haces. Las componentes de
los disturbios puede expresarse, de acuerdo a la fig. 2.7
34
Figura 2.7. Superposición de campos con polarizaciones circulares iguales.
como sigue
( 2.13 )
Dadas las anteriores componentes rectangulares, el producto del término de
interferencia resulta
(2.14.a)
y la correspondiente modulación es (ec.1,9.b)
(2.14.b)
Entonces,
contraste de
por lo cual no habría el cambio de
para
.
35
2.3.2 Polarizaciones circulares opuestas.
Las componentes rectangulares de este caso son
( 2.15 )
Figura 2.8. Superposición de campos con polarizaciones circulare opuestas.
El producto punto resulta
(2.16.a)
y la modulación viene a ser
(2.16.b)
36
Entonces, en el caso colineal, cuando efectivamente las polarizaciones
son ortogonales, la modulación es cero. Pero cuando haya franjas,
surge un cambio de signo en su contraste.
Se define al tensor de interferencia
para dos disturbios. La
traza
de su matriz
resulta ser
proporciona información sobre la modulación.
y
2.4. Variaciones de parámetros.
Algunas variaciones de parámetros se muestran en las gráficas
siguientes. En la
se grafican los valores de periodos
obtenibles como función del ángulo entre las ondas para dos
longitudes de onda en los extremos del espectro visible, verificándose
un mínimo
. Similarmente, los valores del número de onda
del patrón se observan que parten de cero a ciertos valores máximos.
Las variaciones en amplitud y modulación de franjas para diversos
casos de polarización pueden también observarse en las gráficas
posteriores.
Nótese que la fase  de la ec. 2.5 determina una translación del patrón
de interferencia. Por ello, si la fase  no permaneciese constante
durante el tiempo de detección, dicha translación cambiaría
correspondientemente. Si estos cambios fuesen tan rápidos que no
pudieran ser resueltos en tiempo, sólo se registraría un promedio
temporal que ocultaría la naturaleza periódica del patrón. Esto explica
la dificultad de observar interferencia usando fuentes independientes,
ya que cada fuente tendría variaciones azarosas de 1 y 2,
proporcionando en su resta, por lo general, una función  con
fluctuaciones al azar cuya rápida variación impida la observación de
un patrón de franjas.
Es debido a ello que, de no contar con fuentes sin variaciones
aleatorias rápidas, se puede conseguir una  constante a partir de la
generación de una imagen de una fuente con variación 1. Esta imagen
resultaría con una fase de variación aleatoria 2 que resultaría ser la
37
imagen de 1. En otras palabras, 1 y 2 estarían correlacionadas. Se
esperaría entonces que la fuente reproducida tendría una variación 2 =
1 + constante, de modo que la resta  resulte en dicha constante. Ésta
puede ser cero.
En resumen, el método de división de frente de onda busca
precisamente la generación de dos ondas con fluctuaciones de fase
idénticas.
Por lo anterior, un patrón de interferencia viene a ser un indicador de
la correlación entre dos fuentes.
Algunos ejemplos de las propiedades del patrón de interferencia de
dos haces se muestran en la siguiente sección.
***
Las siguientes gráficas realizadas con código en Mathcad® muestran
las variaciones (en función del ángulo ) para el período de un patrón
de interferencia de dos ondas, , así como las variaciones del
correspondiente número de onda K.
Se consideran dos longitudes de onda en el rango visible:  = 600 nm
y 0 = 450 nm.
N  128
 
i  0 N  1

2 sin  
1
 180
K0  2
 p 
9
  600 10
K  2


p  0.0000000000001
9
0  450 10

0 
1  i
i
0
38
N 1
0
2 sin  
1
 180

90
 p 

6
110
7
810
i
610
0 i
410
7
7
7
210
0
0
20
40
60
80
100
1 i
7
310
7
210
Ki
K0i
7
110
0
0
20
40
60
80
100
1 i
Los períodos deben variar desde ∞ para cero rads, hasta /2, mientras
que K, desde cero hasta 4 .
Similarmente, las gráficas siguientes exhiben diversos patrones
de interferencia de dos ondas, atendiendo a diferentes casos de
polarización de cada onda. Se utilizan las relaciones de modulación
m() para los casos de a) polarizaciones perpendiculares, b)
polarizaciones paralelas, c) polarizaciones circulares iguales en giro d)
polarizaciones circulares opuestas en giro.
M  256
I1  1
9
  600 10
x  xMin  j 
j
2
xMin  5 10
I2  1
p  0.0000000000001
xMax  xMin
M 1
1  j 
j
2
xMax  5 10
j  0 M  1
  0
22.5
M 1
p 

2 sin  
1
 180
39
 p 

Kp  2

p
CASO POLARIZACIÓN PERPENDICULAR
IT1( Kp x)  I1  I2  2 I1 I2 cos ( Kp x   )
a  I1  I2
m1  2
I1 I2
m1  1 a  2
a
2
1.5
IT1  Kp 2 x
a
1  0.176
1
2
4
Kp  6.451 10
0.5
2
0
 0.06 0.04 0.02 0
4
Kp  3.225 10
1
0.02 0.04 0.06
6
x
Kp  2.094 10
0
CASO POLARIZACIÓN PARALELA
m2(1)  m1cos
 (21)
IT2(Kp x1)  a(1  m2(1)cos (Kpx   ))
2
IT1  Kp 3 x
1.5
a
IT2  Kp 3 x1 3
1
a
0.5
0
 0.06
 0.04
 0.02
0
x
40
0.02
0.04
0.06
CASO POLARIZACIÓN CIRCULAR (IGUALES)
2
m3(1)  m1cos
 ( 1) IT3(Kp x1)  a(1  m3(1)cos (Kpx   ))
2
1.5
IT1  Kp 5 x
a
IT3  Kp 5 x1 5
1
a
0.5
0
 0.06
 0.04
 0.02
0
0.02
0.04
0.06
x
CASO POLARIZACIÓN CIRCULAR (OPUESTOS)
m4(1)  m1 sin(1)
2
IT4(Kp x1)  a(1  m4(1)cos (Kpx   ))
2
1.5
IT1  Kp 5 x
a
IT4  Kp 5 x1 5
1
a
0.5
0
 0.06
 0.04
 0.02
0
x
41
0.02
0.04
0.06
Nótese el cambio del signo del contraste de franjas en el último caso
(circulares opuestas).
2.5. Término de interferencia de dos ondas con frecuencias de valores
cercanos.
Puede considerarse el caso de superposición de dos ondas de
frecuencias distintas ( 
 ). De particular interés será el caso de
frecuencias semejantes. Estrictamente, para ondas planas exactas los
números de onda también deben diferir en sus valores absolutos
(
). De acuerdo a la ec.2.3, 
, con
 , i =1,2.
De la ec.2.5.a, el término de interferencia resulta ser


(2.17)
con  
 , y ahora
. Esto se interpreta como un
patrón de interferencia de comportamiento temporal, oscilado a la
frecuencia
 (pulsaciones o beats). Despreciando el ángulo que
tienda
con el eje x, se obtienen las aproximaciones siguientes

siendo 

 y





(2.18)

.
Entonces, para el caso escalar y tomando
interferencia se puede aproximar como sigue
, el término de






(2.19)
En muchas situaciones prácticas, el cociente   influye más en el
término temporal de la fase que el espacial. Si  
, por
-1
ejemplo, en x = 10 cm = 10 m se induciría un cambio de una diez
milésimas de 2 rad. Sin embargo, en el término temporal se tendría,
durante un tiempo
 
,
42
rads. Para
observar un patrón,  debe permanecer suficientemente constante en
términos del tiempo de respuesta del detector como otra condición
necesaria.
Nótese que, atendiendo a la estructura del término espacial de la fase,
surge una longitud de onda

 , llamada en ocasiones,
longitud de onda sintética. Análogamente, para el término temporal, se
tiene una frecuencia


. La tabla 2.1 muestra algunos valores de
y
para casos usuales de pares de longitudes de onda cercanas, o
muy cercanas.
Tabla 2.1
1 [nm]
RojoAzul
Doblete
Na
Zeema
n Hg
VerdeAzul Ar
2 [nm]
Δλ
[nm]



-1

[nm ]
Δ
[nm]
[Hertz]


68.6
[nm]
584.3


0.597
589.294
1.72 X 10-6
5.813X105
5.157X1011


2.11
578.015
6.315X10-6
1.583X105
1.893X1012


26.5
501.25
1.055X10-4
9.481X103
3.162X1013
2 X10-4
5 X 103
6.024X1013
Este permite generar patrones de interferencia como si se empleara,
para su formación, una longitud de onda Δ diferente a cada una de las
dos reales 1 y 2.
Una longitud de onda mayor, puede ser de mucha utilidad para
inspeccionar superficies con diferencias de caminos ópticos muy altos,
como en la inspección de superficies aesféricas, o lentes oftálmicas. De
emplear longitudes de onda en el visible, se tendrían demasiadas
franjas y se incrementaría su densidad por área. Al emplear una
longitud de onda mayor, se reduce el número de franjas.
Una manera de crear patrones como si estuvieran formados por
longitudes de onda altas consiste en grabar un patrón de interferencia
formado con 1 (holograma) y colocarlo en el mismo arreglo
interferométrico con el cual se obtuvo; pero sustituyendo en dicho arreglo a
la iluminación original, con otra de longitud de onda 2. La superposición
43
del nuevo interferograma con el grabado se puede describir como la
superposición de dos rejillas de distinto período, por lo cual se formarán
franjas de moirè.
El período de estas franjas de moirè está dado por . En este caso, no
existiría inconveniente con los valores altos de
puesto que ambos
patrones son estáticos. Sólo se reproduce el patrón y no la onda de
periodo Δ . La técnica tampoco demanda de un detector a .
El término de interferencia en la ec.2.5 es una medida de ortogonalidad
y, en general, de la correlación entre los dos campos superpuestos.
Aunque muchas veces proporcione una función oscilante del espacio,
puede llegar a ser de un valor constante (caso colineal, por ejemplo).
Otros factores pueden modificar los patrones de interferencia: Algunos
de ellos se repasan en el apéndice J.
44
Capítulo 3.
El interferómetro tipo Michelson.
El interferómetro de Michelson, una versión más simple del más
famoso interferómetro de Michelson-Morley, realiza una división de la
luz en dos haces basándose en la reflexión y transmisión propias de una
placa dieléctrica. El esquema incluye dos espejos
a los lados de
una placa conocida como divisor de haz (DH, fig. 3.1).
Figura 3.1. Interferómetro tipo Michelson
Una onda proveniente de una fuente S incide sobre una placa plano
paralela a 45° aproximadamente, de modo que una parte del haz se
refleja, digamos que en la primera cara de la placa (externamente) y
parte se transmite rumbo a la segunda cara. En ella, vuelve a
transmitirse e incide normalmente en un espejo
. Este retorna al
haz a la placa divisora. Por otro lado, el haz que primero se reflejó es
tornado a la placa divisora por otro espejo
. Así, las ondas se reúnen
45
en la placa divisora y, al transmitirse rumbo a la lente L, se superponen,
pudiéndose observar su interferencia sobre un plano X.
Las ondas dirigidas a la fuente también producirán una interferencia
que no es tan directa de observar porque se superpone a la fuente.
Este patrón puede servir para ajustar al arreglo en su alineación.
La placa divisora separa el haz incidente en dos partes principales, pero
sin cortar el frente de onda incidente en pequeñas porciones. Este
método para obtener dos ondas a partir de una sola se conoce como
división de amplitud y resulta ser una alternativa a la división de frente
de onda (Young). Una de sus ventajas consiste en aprovechar más de la
luz incidente.
3.1. Formación de franjas.
Sin considerar el espesor de la placa divisora por el momento, el
interferómetro de Michelson puede esquematizarse según la línea de
observación coincidente con el eje de la lente L de la fig. 3.2.
Figura 3.2. Esquema plegado para el análisis de la formación de franjas.
El esquema desenvuelve al interferómetro siguiendo las propiedades de
los espejos planos aplicadas a DH,
. Si las distancias de los
espejos al divisor son distintas, entonces
. Esta distancia ocasiona
que entre las imágenes de la fuente, exista una distancia de
46
( 3.1 )
Un punto de P de S tendrá imágenes puntuales P1 y P2 sobre
y
respectivamente, puntos a igual altura. Si del punto P emerge un rayo
al ángulo ϑ, de los puntos imagen P1 y P2 saldrán rayos al mismo
ángulo ϑ. Este par de rayos se propaga paralelamente y, al captarse por
la lente, se concentra sobre el plano focal, a la distancia de la lente.
Al superponerse en el punto
, su irradiancia dependerá de la
diferencia de fases entre estos rayos. Esta diferencia depende de la
diferencia de caminos ópticos, la cual se puede determinar con la
perpendicular a los rayos que pasa por el extremo del rayo más corto
(el que sale de P2). La intersección con el punto de partida del rayo más
largo es la diferencia de caminos. El resto de los trayectos deben ser de
igual camino óptico por el principio de Fermat, por ejemplo.
Entonces la diferencia de caminos resulta ser
( 3.2 )
Esta diferencia de caminos ópticos contribuye a la diferencia de fase δ
junto con otras diferencias de fase que pueden tenerse, pero si estas
últimas son de valor constante, la dependencia de δ es con ϑ, a
constante.
3.1.1 El patrón debido a una fuente puntual.
La irradiancia observada en
será de la forma de la ec.( 2,11 ),
sustituyendo el argumento del coseno por δ. Este valor de irradiancia
será el mismo que corresponda a otro par de rayos partiendo de los
mismos puntos
y
con tal que tengan igual inclinación, -ϑ por
ejemplo, que es el caso simétrico. Los rayos a este ángulo se unirán
sobre la posición
, simétrica respecto al eje óptico de L. Si se
consideran los rayos sobre la superficie de un cono con ápex sobre P
y con un ángulo 2ϑ, se tendrán dos conos imagen de igual ángulo, pero
centrados en P1 y P2 respectivamente. Por pares coplanares, estos
rayos se unen sobre el plano focal L de modo similar a los dos casos
47
considerados inicialmente definiendo un círculo de radio
centrado en el centro del plano focal. La irradiancia sobre dicho
círculo será igual si la asociada a cada rayo tiene igual valor. Esto
se debe a que
. Se concluye que P contribuye con un
patrón de franjas circulares concéntricas en el plano focal de L.
Se ve que se relaciona esto con el esquema de la fig. 1.1, en el cual
la observación se haría sobre un plano cuya normal fuese paralela al
eje x' (y no a z). En esas condiciones los hiperboloides serían
intersectados por un plano perpendicular a su eje común de rotación
proporcionando así círculos concéntricos.
3.1.2 El patrón debido a una fuente extendida.
Al considerar otro punto
distinto , de se puede comprobar que
se debe obtener un patrón de franjas circulares. Al igual que para el
punto , el radio
dependerá sólo del valor del
. Como
, puede esperarse una relación cuadrática para
valores relativamente pequeños de ϑ. Puesto que en estas
condiciones (aproximación paraxial)
( 3.3 )
Se tiene dependencia de
con
. La irradiancia es de la forma
( 3.4 )
y no cambia sobre el plano focal si cambia P.
Entonces cada punto de la fuente S contribuye con un patrón
circular idéntico en posición y escala: el patrón resultante es
entonces más brillante.
Este tipo de franjas se conoce como franjas de igual inclinación.
48
3.2. El divisor de haz con espesor determinado.
Antes de considerar en otras contribuciones a δ, conviene revisar
los efectos de fase ocurridos en reflexión y transmisión. Para el caso
dieléctrico, estos efectos se encuentran descritos por los coeficientes
de Fresnel para la reflexión y la transmisión, denotados por r y t.
Pero para evitar inspeccionar sus detalles puede bastar el formalismo
de Stokes, que se trata en lo siguiente.
3.2.1 Cambio de fase en interfaz dieléctrica plana.
Considere primero una frontera separando dos dieléctricos ideales (sin
absorción), homogéneos, isótropos y lineales. Un haz monocromático
incide con una amplitud
y con determinada polarización respecto al
plano de incidencia, formando un ángulo en relación a la normal a la
frontera, considerada como plana. De esta superficie surgen un rayo
reflejado, de amplitud
, y otro transmitido, de amplitud
donde
denota el coeficiente de reflexión de Fresnel (que depende del estado
de polarización –
de los índices de refracción
y de
los ángulos
). Así mismo, denota el coeficiente de la
transmisión de Fresnel de similares dependencias. La reflexión y
transmisión se ilustran en la fig. 3.3.a.
Figura 3.3. Esquema de reversibilidad para deducción de las Fórmulas de Stokes.
En la fig. 3.3.b, se muestra la situación obtenida al invertir las
direcciones de los rayos de la fig. 3.3.a) manteniendo todo lo demás
sin variar. El principio de reversibilidad establece que la situación
obtenida por inversión de direcciones es totalmente posible. En la fig.
49
3.3.a se muestran, sin embargo todos los rayos involucrados al
considerar las 2 incidencias de la fig.3.3.b. Esto incluye una amplitud
del rayo incidente desde el medio de índice , y a la
amplitud transmitida al medio de índice
, que es
.
Igualmente, el rayo incidente desde el medio
se refleja con
amplitud
indicando por el coeficiente de reflexión
de Fresnel de un medio con índice
a otro índice . Finalmente, el
haz transmitido al medio superior tiene amplitud
.
Para hacer compatibles las figs.3.3.b con 3.3.c, se identifican los haces
superpuestos con los haces de igual dirección, obteniéndose
i)
ii)
resultando, con inclusión de dependencias angulares, que
(3.5.a )
(3.5.b )
estando relacionados los valores angulares por
( 3.6 )
El factor (-1) de la ec. 3.5.b puede escribirse como
tiene
, por lo cual se
( 3.7 )
Por lo cual se considera que existe una fase de entre
y
.
Esta fase aparece en un divisor de haz dieléctrico y resulta la otra
contribución importante a la δ total.
Las relaciones 3.5 se conocen como las fórmulas de Stokes.
50
3.2.2 El cambio de fase de
en un divisor de haz.
Un divisor de haz esencialmente de comportamiento dieléctrico
muestra el efecto del corrimiento en fase. El rayo (1) sufre una
reflexión externa (fig. 3.4), mientras que el rayo (2), una interna
Figura 3.4. Divisor de haz con placa dieléctrica de caras plano-paralelas.
Los ángulos de reflexión son
y
respectivamente, estando
relacionados por la ley de Snell. Entonces, aparece una diferencia de
fase adicional de que contribuye al valor de δ.
En estas condiciones, la diferencia total de fase, sin otra influencia
adicional, resulta
( 3.8 )
Una consecuencia del desfasamiento consiste en que el patrón
observado sufre un cambio de contraste respecto al esperado si solo se
considerara la contribución "geométrica" a δ. Como el patrón de
interferencia que se encuentra en dirección a la fuente no es formado
por haces con reflexiones internas, éste muestra el contraste opuesto al
de la salida propia del interferómetro. Cuando se consigue un patrón
cromático, resulta más evidente la diferencia de contrastes.
Existen técnicas para compensar el corrimiento, con apilamientos
multicapa en la cara reflectora.
51
3.2.3 La dispersión y la aberración esférica.
Dos efectos adicionales resultan de usar un divisor de placa
dieléctrica.
A. Uno de ellos es la dispersión del material, que significa
.
El rayo vertical (1) de la fig. 3.4 recorre una longitud AB con índice de
refracción , mientras que el horizontal (2) recorre 2AB + AC; esto es,
un exceso de 2AB. El camino óptico es entonces
correspondientemente mayor si las distancias geométricas fueran
iguales para cada rayo.
Acortando la trayectoria del rayo (1) podría compensarse, pero la
cantidad requerida depende de
.
Por ello no se puede compensar simultáneamente para dos (o más)
frecuencias. La compensación simultánea se da colocando una placa
del mismo material y dimensiones en el trayecto del rayo (1).
Ajustando su inclinación de modo que permanezca paralela al divisor,
se obtiene el camino óptico
requerido
. La fig.
3.5 muestra dos posibles posiciones de la placa compensadora (o
compensador), aunque la 3.5.a es más usada.
Figura 3.5. Dos posiciones posibles de compensadores respecto al divisor de haz.
Nótese que el compensador se debe encontrar en el lado de la cara
reflectora (un depósito reflector parcialmente, determina cuál es ella).
52
Los patrones de interferencia bajo iluminación policromática
requieren de una compensación simultánea de la dispersión.
B. El segundo efecto consiste en la aberración originada por el paso
de un frente de onda a través de una frontera plana separando dos
medios (aberración de esfericidad). Esta aberración es notable cuando
la forma del frente no es plana. Si es esférica, por ejemplo; al salir de
la frontera deja de serIo. En un interferómetro sin compensador, el
rayo (2) sufre mayor deformación por aberración de esfericidad que
el (1) por que atraviesa por un mayor número de fronteras. Pero al
incorporarse el compensador, la deformación resulta comparable en
ambos haces.
La ausencia de compensador en un interferómetro bajo iluminación
monocromática puede ocasionar que las franjas circulares se vean
deformadas en franjas elípticas.
Con el interferómetro de Michelson se consigue trabajar con ondas
formando ángulos de pequeño valor entre los vectores de onda
.
3.2.4 Algunas mediciones con un interferómetro de Michelson.
Algunas mediciones útiles con interferómetro de Michelson incluyen




Medición de distancias
Mediciones de longitudes de onda monocromática
Medición de anchos de paquetes de onda
Extracción de espectros de fuentes por modulación de franjas
Algunos detalles se discuten en las siguientes secciones. Se considera el
caso escalar.
Medición de longitud de onda.
Ajustando los brazos a manera de observar un patrón de franjas
circulares concéntricas bajo iluminación monocromática conviene
53
observar el centro de estas franjas. Es la condición
3.2 la diferencia de caminos es únicamente de
de la ec.
( 3.9.a )
o bien, de la ec. ( 3,8 )
(3.9.b)
Los cambios de fase en el centro de las franjas son sólo dependientes
de d. En ese punto un cambio de franja obscura a franja obscura
adyacente es
entre dos posiciones
y
fases
de modo que, en general
(3.10)
puede medirse al registrar posiciones inicial y final de uno de los
brazos de un interferómetro Michelson contando el paso de N franjas
circulares por su centro. Con N=100, por ejemplo
y
. Usualmente,
leída es proporcional al desplazamiento
real
. El valor K es obtenible con una λ
conocida (de un láser) y con dicho valor pueden medirse otros
valores λ previamente desconocidos siguiendo el procedimiento de
contar franjas.
Estimación de las longitudes de pulsos.
Ajustar los brazos a caminos ópticos iguales. Puede usarse una
lámpara espectral como fuente (línea verde Hg) y buscar el mínimo
número de franjas con el mejor contraste posible. Sustituir la fuente
por una lámpara de luz blanca (de halógeno, por ejemplo). Variando
54
continuamente cerca de la posición inicial, llega un momento en el
que se observan franjas coloreadas de interferencia (ver apéndice I).
Cambiando la longitud de un brazo hacia un sentido o hacia el opuesto,
se pierden las franjas coloreadas rápidamente. Conociendo k según el
párrafo 3.2.4.1 y leyendo las posiciones alrededor de aquella en que se
ven las franjas y para las cuales se pierden éstas, se tiene una
estimación del ancho del paquete formado por luz blanca.
El patrón de interferencia debido él las superposición de dos ondas de
igual amplitud A en unidades arbitrarias es, sobre un punto fijo del
plano de observación,
( 3.11 )
con
en el caso de divisor dieléctrico. Se han ignorado
los posibles efectos frecuenciales al no tomar en cuenta los términos
cruzados, tal como la experiencia lo sugiere al no surgir variaciones
temporales detectables (por lo general,  varía de modo alto también,
sec.2.5). Al superponerse los patrones correspondientes a los valores de
λ en un rango amplio (400 - 700 nm, por ejemplo), la irradiancia total
resulta ser
( 3.12 )
que puede escribirse como
(3.13.a)
Estas franjas superpuestas cesan de ser visibles cuando el segundo
término resulte menor que el primero, el cual no depende de lo
determina el factor
. Este valor es el apreciado
experimentalmente.
55
Estimaciones de ∆.
Para obtener una mejor idea del parámetro ∆, nótese primero que se
anula cuando
(3.13.b)
o bien, se tiene un conjunto de valores
dado por
(3.13.c)
Siendo
. Tomando
(3.13.d)
Con
, y si
,
, se tiene
(ver sec.2.7). Para
que es el valor esperado para la tolerancia en observar interferencia con
un haz de luz blanca (policromático).
Para el caso en que
anterior
y
,
. De lo
Entonces, para una lámpara de mercurio con ancho de banda
, la tolerancia es de 61 μm.
56
Espectroscopia de transformada de Fourier.
A. Si a uno de los espejos de la fig. 3.1 en un interferómetro de
Michelson se le translada continuamente durante un cierto intervalo,
se obtiene una variación de la irradiandiancia como función de la
diferencia de caminos ópticos.
Retomando la ec. 3.12, pero con
y
, en el caso de que
la amplitud A no sea constante, sino G(k) dependiente de k, se obtiene
para un punto ,
(3.14 )
Expresión que puede escribirse como
(3.15.a)
Con
la irradiancia para
,y
(3.15.b)
Es la transformada inversa de Fourier de G(k). Entonces, de la
transformada de Fourier de la ec. 3.15.a,
(3.15.c)
En conclusión, W(x) -que puede obtenerse como el registro en el
tiempo de la irradiancia sobre un punto a medida que un espejo se
desplaza- es prácticamente la transformada inversa de Fourier del
espectro de amplitudes. Así, calculando dicha transformada del
registro realizado, se puede obtener G(k).
57
B. La misma situación puede enfocarse pensando en que el divisor
de haz genera dos pulsos iguales de amplitudes
y
de modo que, al superponerse sobre el campo de
observación se obtiene un promedio estimable en
(3.16)
donde se ha aplicado el teorema de convolución. El tercer término
de la ec. 3,16 es la transformada de Fourier inversa del módulo
cuadrado del espectro
del pulso
. Entonces
debe ser proporcional a G(k), por lo cual G(k) se conoce también como
espectro de potencias. Se ha supuesto que es
real.
C. El método de transformada de Fourier fue aplicado primeramente
por M. M. Michelson, con lo que pudo descubrir las estructuras
hiperfinas de las líneas espectrales de diversos elementos,
encontrando que la línea roja del Cadmio era la más “pura” de los
espectros a disposición. Por esa razón, basó una nueva definición de
metro usando dicha línea. La estructura hiperfina tuvo enorme
importancia histórica en el desarrollo de los estudios de los niveles
energéticos atómicos. El estudio de espectros complicados, como los
de absorción de infrarrojo en gases, se realiza con esta técnica.
Actualmente, puede implementarse con un osciloscopio con
memoria equipado con análisis de Fourier.
58
3.2.5 Divisores cúbicos de haz.
Existe una gran variedad de divisores de haz prismáticos, como los
empleados en microscopía interferencial; pero los más ampliamente
usados son los divisores cúbicos de haz, por lo que se considerarán
en lo siguiente.
A.
Divisores cúbicos de haz no polarizantes.
Se puede formar a partir de dos prismas de 45° unidos con cemento
óptico por sus caras hipotensas. Las interfaces las define una capa
reflectora ahí, que resulta así protegida. Sin embargo no es muy
resistente a impacto térmico. De usarse en un interferómetro de
Michelson, los caminos ópticos resultan compensados, aunque es
particularmente cierto para haces colimados (y más estrechos que la
abertura que ofrezca el divisor) debido sobre todo a la aberración de
esfericidad. Presenta cierta sensibilidad espectral y de polarización si
la capa semireflejante no se diseña apropiadamente puede haber
capas híbridas dieléctrico-metal, dieléctricas, ó de apilamientos.
Figura 3.6. Divisor de haz cúbico no polarizante
B.
Divisores cúbicos de haz polarizantes.
Estos divisores separan un haz incidente de polarización apropiada en
sus dos componentes perpendiculares y , como esquematiza la fig.
3.7. Las hipotenusas de los prismas componentes (de índice de
59
refracción np) se unen con un apilamiento multicapa al ángulo de
Brewster alternando índices alto na y bajo nb de espesor efectivo /4.
Se debe cumplir que
. A menudo se requiere el
uso de placas retardadoras de
y de
, como se ejemplifica más
adelante.
Figura 3.7. Divisor de haz cúbico polarizante
B.1 Considere un campo de amplitud
incidiendo en una placa
retardadora
con su eje rápido a  radianes del campo, como se
esquematiza en la fig. 3.8.
Figura 3.8. Campo linealmente polarizado incidente en una placa retardadora de un medio
(/2) y separado por un divisor cúbico de haz.
60
El efecto consiste en que la componente del campo en dirección de
eje rápido se adelanta medio periodo respecto de la componente
perpendicular a dicho eje.
Gráficamente: a) entrada a la placa y b) salida de la placa. Entonces,
la orientación del campo emergente es de 2 respecto al incidente.
Sus nuevas componentes respecto a los ejes y del divisor son, la
(reflejada)
, mientras que la (horizontal, transmitida) es
.
Para ajustar estas polarizaciones de salida del divisor de modo que
sean paralelas, basta emplear otro retardador de
con su eje rápido
a 45° respecto a la vertical en el brazo en que se necesite realizar el
cambio. La razón del haz transmitido al reflejado es, en amplitud, de
. Se consigue entonces un divisor variable con
como el
parámetro de ajuste.
B.2 Otro ejemplo lo constituye el interferómetro esquematizado en la
fig.3.9, que es un interferómetro tipo Michelson con prismas de
esquina de cubo en vez de espejos planos. El divisor es uno cúbico
polarizante y se emplean retardadores de
(debido al doble paso).
61
El haz incidente es circularmente polarizado y de frecuencia
. Los
retardadores tienen su eje rápido a 45° del plano del esquema para
ajustar las polarizaciones reincidentes en el divisor de modo que se
transmitan o reflejen hacia los detectores A o B según el caso (¿Qué
sucedería si no estuvieran presentes los retardadores?).
Figura 3.9. Interferómetro de polarización para medición de distancias.
Los polarizadores lineales frente a los detectores proporcionan
patrones de interferencia en cuadratura, para una medición de fase de
muy buena precisión.
Estas aplicaciones requieren de iluminaciones monocromáticas
debido al cromatismo de los retardadores, principalmente. Una
influencia importante para dicho cromatismo la constituye la
dispersión de los índices de refracción.
Otros aspectos que influyen en el patrón de interferencia se repasan
brevemente en el apéndice J.
62
Capítulo 4.
Otros interferómetros.
4.1
Interferómetros con autorreferencia.
En el interferómetro de Michelson (o sus variantes) y en el
experimento de Young se ha considerado que las dos ondas
superpuestas posen distintas distribuciones de fase. En muchas
ocasiones, para visualizar la distribución de fase de una de estas dos
ondas, se usa la otra onda con una distribución de fase conocida (una
onda plana o una onda esférica). Esta onda se conoce como onda de
referencia.
Pero es posible usar la misma onda de inspección como referencia
de sí misma a condición de modificarla apropiadamente antes de una
superposición. La interpretación de las franjas es distinta a la del caso
con referencia simple y depende del tipo de modificación realizada.
Dicha modificación puede expresarse como una transformación, por
ejemplo, un desplazamiento lateral, un desplazamiento radial, o un
giro (desplazamiento rotacional). Puede ser un plegado o una
conjugación de fase (holografía convencional o en tiempo real). Estos
casos se muestran en la tabla 4.1, donde se incluyen posibles cambios
temporales, los cuales pueden usarse con memorias holográficas
volátiles.
En la técnica del desplazamiento lateral, un haz por inspeccionar se
copia y se desplaza lateralmente una cierta distancia s en una
dirección (etiquetada como x para su discusión en este párrafo). Cada
punto de un frente se corresponde con otro punto del segundo frente a
lo largo de la dirección x. El desplazamiento entre ellos, Si (i=1,2), es
constante e igual a s. Si la copia del frente de onda descrito por
fuera ideal, tras la superposición del haz original con su copia
63
desplazada
se generaría un patrón de interferencia con un
término de interferencia dependiente de la diferencia de fases
. El patrón de interferencia puede
interpretarse aproximadamente como si sus variaciones se
describieran por la derivada
.
En el desplazamiento radial, una copia del frente de onda se contrae
de escala según
, con ρ el cociente de la distancia radial de
un punto del patrón de interferencia con el radio máximo del frente de
onda sin contraer, y ρ´ el cociente de la misma distancia radial con el
máximo radio del frente contraído. Si el segundo frente de onda se
expande
, con similar definición para ρ´, el desplazamiento
radial efectivo es
. Las distancias Si medidas radialmente,
son iguales para dos puntos correspondientes. Puede realizarse con un
interferómetro Mach-Zehnder con un par telescopios intercalados en
cada brazo de distinto diámetro de salida. También, se logra con
interferómetros cíclicos y lentes colocadas asimétricamente respecto
al divisor de haz empleado.
Con la técnica rotacional, la copia del frente de onda se rota por un
cierto ángulo
(con prismas Dove, por ejemplo). El resultado puede
interpretarse como debida a una derivada angular del frente de onda
. Puntos de un mismo radio sufren igual desplazamiento Si. El
desplazamiento inverso es un caso especial (
= 180°) con doble
sensibilidad, pero sólo a la parte impar del frente de onda (la parte par
no es detectada).
En el plegado, un frente se invierte respecto de alguna línea,
resultando en un desplazamiento perpendicular a dicha línea. El
desplazamiento Si se incrementa conforme el punto está más separado
de dicha línea. Se pueden usar prismas o espejos retro-reflectores para
lograr la inversión.
En conjugación de fase, la copia de la onda con factor espacial
se superpone con su onda compleja conjugada, de factor
. La diferencia de fase determinando el patrón de
interferencia resulta
, duplicándose así la
sensibilidad del sistema respecto de uno basado en interferencia con
referencia plana. La onda conjugada puede obtenerse mediante
64
procedimientos holográficos, ya sea estáticos (fotográficos con alta
resolución, por ejemplo, H) o dinámicos (en tiempo casi real, con
materiales no lineales como los cristales fotorrefractivos, NLH).
El esquema de la tabla 4.1 solo muestra la generación de la onda
conjugada. Para superponerla con la onda señal, se requiere un divisor
de haz que forme un segundo brazo con un espejo convencional en
configuración Michelson (no mostrado). El primer brazo, entonces, se
forma teniendo como espejo a un elemento conjugador.
Usando procedimientos de holografía dinámica, también puede
compararse una onda conjugada grabada al tiempo t con la onda
conjugada actualizada al tiempo
. Esto es posible cuando el
holograma al tiempo t se va borrando por el holograma al tiempo
. Dos frentes de onda pueden coexistir con similares
amplitudes. Uno de éstos va desapareciendo cuando el holograma que
lo genera se halla en proceso de ser borrado. El segundo, va surgiendo
cuando el nuevo holograma está en proceso de grabarse. Entonces, se
puede generar un interferograma transitorio generado por la
superposición de las dos ondas reconstruidas durante el tiempo en que
las respectivas amplitudes sean similares. Las franjas las determina la
diferencia de fase
,
expresión que puede aproximarse a
. Ver también la sec. 4.3.3 B.
En configuración Michelson con espejo convencional en el segundo
brazo, no se presentaría el retraso del conjugador.
Para un rápido vistazo comparativo, estos seis casos de autoreferencia se esquematizan en la Tabla 4.1.
Uno de los casos más empleados es el de desplazamiento lateral,
rápidamente realizable con una placa de vidrio con sus caras plano
paralelas. Debido a su empleo para verificación y medición del estado
de colimación de un haz, se inspeccionarán algunos de sus detalles.
65
Tabla 4.1. Casos de Autorreferencia
Nombre
Desplazamiento
(shear)
Lateral
Radial
Rotacional
66
Superposición
Patrón de
interferencia
(desplazamiento
pequeño)
método
Plegado
Conjugación
de fase
Temporales
67
4.2
Interferencia en placa dieléctrica de caras plano paralelas.
A. Dos haces pueden emerger paralelos de una placa paralela por reflexión
y transmisión de un haz incidente, corno muestra la fig. 4.1.
Figura 4.1. Reflexión y transmisión de haces en una placa paralela
Si las interfaces planas son interdielectricas separando índices de
refracción
, las amplitudes reflejadas y transmitidas se pueden
describir con los coeficientes de Fresnel respectivos.
La diferencia de caminos ópticos viene a ser
( 4.1 )
Donde los segmentos marcados cumplen con las relaciones siguientes:
De la segunda y tercera se obtiene que
68
donde se uso también la ley de Snell, ec. 3.6. De la cuarta igualdad,
, de modo que
( 4.2 )
El termino adicional de fase por reflexión en los puntos A y B depende de
los valores de índices; pero si
, la diferencia de fase requerida es
( 4.3 )
La expresión anterior resulta análoga a la e c. 3.2 si se expresa en términos
del ángulo . La formación de franjas es, pues, semejante a las de un
interferómetro de Michelson.
B. Nótese también que, si los rayos de la figura son los centrales de un haz
de sección finita (circular o rectangular, por ejemplo), se obtendrán dos
haces abandonando la placa de igual sección con sus centros mutuamente
desplazados por la cantidad
(caso de haz colimado). Como
consecuencia de las relaciones geométricas anteriores (
)
( 4.4 )
Rangos típicos de
para
se pueden obtener
con una placa debido a que la ec. 1.4 presenta un máximo en
para
. La detección de una óptima colimación será al obtener el
69
número más reducido de franjas rectas dentro del campo de superposición,
siendo paralelas al desplazamiento.
***
El siguiente segmento de programa en código Mathcad® exhibe una
gráfica mostrando las desviaciones respecto al rayo original y la
desviación entre rayos emergentes.
N  1024
i  0 N  1
0  0
M 
n1  1
n2
nr 
n1
n2  1.5

  0  i
i
2
M  0
N 1
parámetros: índices de refracción y espesor
d  1
shear_r ( )  d  sin ( 2)  
1

 2
2
 nr  sin ( ) 
shear_t ( )  d  sin ( )   1 
desviación respecto al rayo original

2
2
nr  sin ( ) 
cos ( )


desviación entre rayos emergentes
Desplazamientos de direcciones de rayos en placas de caras plano paralelas
1
0.9
0.8
0.7
shear_t  i
0.6
0.5
shear_r  i
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
20
40
60
 i
70
180

80
100
C. EI espesor y el índice de refracción
de una placa puede estimarse
con conteo de franjas. Para ello, considérese la diferencia de caminos
ópticos de placas plano paralelas inclinadas, según la figura 4.2. Un rayo
vertical incide por abajo al ángulo respecto de la normal,
Figura 4.2. Diferencia de caminos ópticos entre dos rayos incidentes paralelos. Sólo uno de
ellos, atraviesa la placa dieléctrica.
refractándose al ángulo . La diferencia de caminos ópticos respecto a un
haz paralelo al incidente, pero que no cruza por la placa, es
(4.5.a )
donde
(4.5.b )
y
(4.5.c )
entonces, con
71
(4.6.a )
expresión que, para el caso
se simplifica a
( 4.6.b )
Figura 4.3. Arreglo interferométrico para conteo de franjas como función del ángulo de
incidencia en placa dieléctrica.
72
D. La anterior situación puede realizarse mediante un arreglo MachZehnder, como se muestra en la figura 4.3.
En dicho arreglo, los espejos
y
no regresan a los haces en dirección del
divisor
que los originó sino que los envía a un segundo divisor de
DH2 después del cual se observa un patrón de interferencia de la forma
( 4.7.a )
con
( 4.7.b )
El patrón puede verse en ambos lados del divisor DH2 con un contraste
que depende del comportamiento de la superficie parcialmente reflectora
a (ya sea dieléctrico o híbrido).
es periódica con periodo y rango
de valores
(4.7.c)
de donde el espesor cumple
(4.8.a)
y
73
(4.8.b)
Las gráficas de las fases  y  se muestran a continuación, realizadas
en base a los renglones siguientes en el paquete empleado multicitado.
Los parámetros usados se describen más adelante.
7
  6.32810

0  0
( )  2
N  1024
M  2
d



2
2
i  0 N  1
M  0
  0  i
i
N 1
n2  sin(  )  1  sin( )

d  1
n2  1.5
W  
2

  ( 0)
 2
 ( )  (( )  (0))
74
6
710
6
6.310
6
5.610
6
4.910
6
4.210
 (  ) 3.5106
6
2.810
6
2.110
6
1.410
5
710
0
0 20 40 60 80 100 120 140160 180 200220 240 260 280300 320 340 360

180

7
1.210
7
110
  i
 

2

6
810
( 0)
6
610
6
410
0
100
200
 i
180
75

300
400
La ec. 4.8.b puede usarse para ajustar datos experimentales con
parámetros de ajuste
y
(o
para calcular ) estimando
por
conteo de franjas como función del ángulo .
El conteo de franjas es la técnica empleada para medición de longitudes y de
longitudes de onda usada con el interferómetro de Michelson. Equivale a
determinar el cambio en el orden de las franjas cruzando un punto central
a medida que el ángulo formado con el haz incidente, varía.
Un resultado típico arroja los valores
con
un cambio total de
radianes (ec. 4.7.c) para un cubre objetos
comercial.
4.3 Algunos interferómetros adicionales.
Existen otros interferómetros, algunos con división por transmisiónreflexión y otros, usando diversos principios, como difracción o
esparcimiento. Se revisarán algunos de ellos.
4.3.1 División de amplitud por transmisión-reflexión
A.
Interferómetro tipo Twyman-Green.
Pueden pensarse como una variante del Michelson con iluminación
monocromática colimada y adaptaciones para prueba interferométrica de
componentes ópticas.
El ángulo formado por el haz y el divisor puede elegirse distinto a los 45°,
para usarse el ángulo de Brewster y disminuir reflejos parásitos.
B.
Interferómetro tipo Mach-Zehnder.
Mencionado en la sec.4.2, fig.4.3. No es un interferómetro de doble
recorrido, lo cual puede facilitar la interpretación de las franjas a costa de
una reducción en sensibilidad comparado con un sistema Michelson. Por
76
razones de compensación de trayectorias, los divisores usados son
cúbicos.
C.
Interferómetro tipo Fizeau.
Cuando dos superficies pulidas de cuerpos transparentes igualmente
pulidos se acercan suficientemente, se forma una película de aire muchas
veces. Esta película se comporta como una placa de caras, en general, no
paralelas. En incidencia normal,
en la ec. 4.2 y el
generando franjas de igual espesor. Estas franjas se comportan como
líneas de nivel aproximadamente Los anillos de Newton son un ejemplo
de este tipo de franjas, que son formadas por dos superficies esféricas.
Para una película en forma de cuña con ángulo α entre dos superficies
planas
, donde es la posición de observación. La separación entre
máximos adyacentes es
. Para una superficie de radio R enfrente
de otra plana, se cumple que
si
,
entonces, el radio del anillo (franja) de orden es
(4.9)
Figura 4.4. Interferómetro del tipo Fizeau.
77
D.
Interferómetro cíclico tipo Sagnac.
Considere un divisor de haz cuyos haces transmitido y reflejado entran por
cada extremo de una fibra óptica que forma un círculo, interrumpido sólo
por el divisor y los dobleces necesarios para introducir a los haces. Si el
sistema gira con velocidad angular Ω entorno al centro de círculo, la
posición del divisor cambiará en
durante el tiempo
en que
un haz emergiendo del divisor lo rencuentre después de recorrer la fibra de
longitud aproximada
.
Figura 4.5. Interferómetro cíclico del tipo Sagnac
Pero mientras un haz viaja hacia el encuentro con el divisor, el otro se
aleja de él por igual cantidad. Así, la diferencia de trayectos de los haces
al salir del haz rumbo a la fuente es de
, donde C es la
velocidad de fase del haz en la fibra. Por lo anterior, se ve que el
es
y, por tanto, algún cambio en Ω ocasionará un corrimiento en el patrón
de franjas (o en la intensidad sobre un punto). La dependencia con Ω y con A es
compartida por otros arreglos cíclicos (en triángulo o en rectángulo, por
ejemplo). Usado extensivamente en giroscopía.
78
E.
Patrones de interferencia de frentes aberrados observados en
Twyman-Green.
Considérese un interferómetro tipo Michelson con iluminación colimada.
Suponiendo uno de los espejos idealmente plano, los cambios en el frente
de onda plano incidente se pueden atribuir al espejo no plano
exclusivamente.
El primer espejo se puede entonces considerar como un espejo de
referencia. El segundo espejo, puede llamarse espejo de prueba.
Si el frente de onda emergente del espejo de prueba puede describirse
como una desviación de un frente de onda dado expresado según

se dice que el frente de onda está afectado de aberraciones. El polinomio
se conoce como el polinomio de aberraciones. Los nombres de cada
coeficiente corresponde a los nombres de una aberración de acuerdo a la
siguiente lista:
a: esfericidad
b: coma
c: astigmatismo
d: defoco
e: inclinación en dirección y
f : inclinación en dirección x
g: fase constante
Las gráficas de algunos patrones se han obtenido atendiendo a los valores
marcados en la tabla siguiente (adaptado de Malacara ed., 1978):
79
Coef.
a
b
c
d
E
f
g
Gráfica
I
II
III
IV
V
6
0
0
0
0
0
5
5
0
0
0
0
0
2
2
0
0
1.6
0
-4
0, 1.7
0. 1.7
0, 1.7
0, 1.7
0, 1.7
0, 1.7
0, 1.7
0, 1.7
0, 1.7
0, 1.7
0
0
0
0
0
El coeficiente g, aquí tomado siempre con valor cero, adquiere especial
aplicación en los métodos heterodinos y de corrimiento de fase que se
tratarán en el cap. 5.
80
I. Esfericidad en foco paraxial e inclinaciones.
I0_1I 127
I_10 127
I0_1I 127
I0_1 127
I00 127
I0_1 127
I0_3I 127
I10 127
I0_1D 127
y
81
II. Coma en foco paraxial e inclinaciones.
I0_3I 127
I_10 127
I0_3D 127
I0_1 127
I00 127
I01 127
I0_1I 127
I10 127
I0_1D 127
y
82
III. Coma con defoco e inclinaciones.
I0_1D 127
I_10 127
I0_1I 127
I0_1 127
I00 127
I01 127
I0_3I 127
I10 127
I0_3D 127
y
83
IV. Astigmatismo sin defoco (foco de Petzval).
I0_1I 127
I_10 127
I0_1D 127
I0_1 127
I00 127
I01 127
I0_3I 127
I10 127
I0_3D 127
y
84
V. Astigmatismo en mejor foco (medio).
I0_3I 127
I10 127
I0_3D 127
I0_1 127
I00 127
I01 127
I0_1I 127
I_10 127
I0_1D 127
y
85
F.
División por birrefringencia.
Una de las anisotropías ópticas más usadas en sistemas ópticos es la
birrefringencia. Una onda cruzando por un material birrefringente observará
dos índices de refracción de acuerdo a su estado de polarización lineal y a
su dirección de propagación respecto al eje óptico del material. En
general entonces, habrá una separación de rayos con polarizaciones
asociadas lineales y perpendiculares en una interfaz de acuerdo a la ley de
Snell (ejem. en 4.6).
Figura 4.6. División con birrefringencia.
Dicha separación será a cierto ángulo, muchas veces menor a 90° (ondas
ordinarias y extraordinarias). Esta propiedad posibilita a la formación de
interferencia por desplazamiento lateral, con la ventaja de poder usar
iluminación policromática, como es el caso de la interferometría de
contraste diferencial (o de Nomarsky, de empleo en microscopía). Otro
arreglo para visualizar flujo de corrientes de aire (túnel de viento) se
muestra en el esquema de la fig. 4.7, donde se emplean dos espejos
parabólicos (fuera de eje con focos
y ) y luz policromática de tamaño
limitado por un pequeño diafragma.
86
Figura 4.7. Interferómetro diferencial con elementos birrefringentes.
4.3.2 Interferómetros de trayectoria común.
En un interferómetro de dos brazos como algunos de los ya considerados,
los trayectos de cada haz cruzan por distintas componentes ópticas, lo
que demanda de buena estabilidad mecánica. Pero cuando resulte posible
hacer pasar ambos haces por las mismas componentes del sistema, dicho
requisito puede relajarse. Así mismo, la monocromaticidad del haz puede
no necesitarse. Esto sucede con el túnel de viento con división por
birrefringencia, pero puede realizarse también bajo otros principios,
como se expone continuación.
A.
Interferencia por esparcimiento (scattering)
La luz puede difundirse en varias direcciones por el efecto de
partículas esparsoras, cuyo tamaño es del orden o mayor que λ Partículas
de polvo, gis ó talco pueden usarse para observar el efecto, aunque resulta
muy conveniente el preparar una placa de vidrio esmerilada finamente
primero y luego, semipulida.
87
En la fig.4.8 se esquematiza una superficie plana con partículas o granos
de esparcimiento. Puesto que la superficie puede pertenecer a una placa,
habrá una segunda superficie a una distancia d. Se supondrá aquella
fuente puntual de alta reflectividad. Dos rayos coherentes
Figura 4.8. Interferencia con esparcimiento (scattering).
emergen de la fuente situada a una distancia de la primera superficie.
Uno de ellos cruza la primera interfaz sin ser esparcido y se refleja en la
segunda, de regreso a la primera. Pero esta vez sí toca una partícula y es
esparcido hacia P. El otro rayo incide sobre la misma partícula, por lo
que es esparcido y reflejado en la segunda superficie. De regreso a la
primera, no toca otra partícula y no se difunde rumbo a P. Existen otros
dos tipos de rayos: los que no se difunden y los que se difunden dos
veces (directo-directo y esparcido-esparcido).
De la fig. 4.8.
y
. Entonces,
88
( 4.10 )
si
(incidencia normal) y
máximos de orden m deben cumplir,
. Las posiciones de los
( 4.11 )
Note que el efecto es equivalente a tener dos placas esparsoras idénticas.
B.
Interferómetro con esparcimiento.
Considérese el sistema esquematizado con un espejo esférico
cóncavo (
en fig. 4.9).
Figura 4.9. Interferómetro con placas esparsoras idénticas.
89
El haz procedente de la fuente cruza por la placa
antes de enfocarse por
la lente L en el centro del espejo cóncavo. La posición de
se elige sobre
el centro de curvatura de , de modo que su imagen aparecerá al otro
lado del centro cc con amplificación unitaria. Si ahí se coloca una
réplica de
( ), se tendrá la situación de la fig. 4.8. Diversas técnicas se
han sugerido para obtener réplicas de placas esparsoras; pero puede
colocarse un espejo plano en su lugar, y observar atrás de un divisor de haz
que sustituya a . En este caso, sin embargo, sólo los términos pares del
frente de onda podrían contribuir al patrón de interferencia (aunque su
contribución sería doble).
Nótese que los haces involucrados en la interferencia (directo-esparcido y
esparcido-directo) atraviesan por las mismas componentes ópticas. Sus
caminos ópticos son muy parecidos y puede iluminarse en luz
policromática. Usado en pruebas de taller óptico.
Otros elementos de efectos similares al de las placas de esparcimiento
también pueden usarse, como las placas zonales de difracción.
C. Interferómetro de trayectoria común con difracción.
El esquema anterior puede implementarse sustituyendo a las placas
esparsoras por elementos difractivos. Usualmente, estos últimos son
placas zonales idénticas, la cuales pueden realizarse fotografiando un
mismo patrón de interferencia de Newton formado con luz láser (placas
zonales generalizadas).
Otro tipo de arreglo con rejillas de difracción se muestra en la fig. 4.10. Dos
ventanas ( ,
separadas por ) se colocan en el plano focal anterior de
una lente
de focal f. En su plano focal posterior se tiene una rejilla de
periodo .
Este plano está separado de una segunda lente
por su respectiva
longitud focal, que es igualmente . En su plano focal posterior, se
forman las imágenes paraxiales de
y
(denotadas por
y
); pero, producidos por la rejilla, también aparecen órdenes de
90
Figura 4.10. Interferómetro con rejilla de difracción.
difracción igualmente separados por
(como señala la llave en la
figura). Se muestran sólo dos órdenes:
(orden de difracción +1,
hacia arriba) y
(orden de difracción -1, hacia abajo).
En el caso en que
se ajuste convenientemente, se puede conseguir la
superposición de, por ejemplo, los órdenes
con
. Para ello
se requiere que
.
Satisfecha la condición, automáticamente se obtiene también que
y
se superponen, así como otros órdenes adyacentes.
Para una rejilla binaria de perfil cuadrado con anchos iguales (rejilla de
Ronchi), las dos superposiciones mencionadas son aquellas originando
los patrones de interferencia más brillantes como resultado de la
superposición de campos.
Puede mostrarse que un desplazamiento u = u0 transversal de la rejilla
induce una diferencia de fase entre órdenes superpuestos proporcional a
la longitud de la translación,
. Esto permite introducir una o
varias fases tanto para ajustar las franjas resultantes dentro de un campo
91
de observación, como para implementar el método interferométrico de
corrimiento de fase (descrito en el capítulo 6).
La generación de varios patrones simultáneos puede aprovecharse muy
eficientemente, ya que existen maneras de introducir fases diferentes en
cada patrón (modulación de polarización, por ejemplo).
Las rejillas de fase ofrecen adicionales ventajas sobre las de absorción, ya
que sus eficiencias difractivas pueden generar un superior número de
patrones útiles simultáneamente.
Además, debido a que la amplitud de los órdenes difractivos se
determinan por funciones de Bessel de 1ª clase y de orden entero, pueden
introducir corrimientos de fase de  según la paridad de los órdenes
superpuestos. Este cambio de fase puede ser también aprovechado.
El método es de desplazamiento lateral para una sola λ y para un solo
valor de , por lo cual no puede usarse bajo iluminación policromática
propiamente.
4.3.3 Interferómetros holográficos.
Para comparar dos frentes de onda que se hayan modificado en tiempos
diferentes se requiere del registro de uno de estos frentes de onda cuando
menos.
Una técnica para almacenar un frente de onda es la holografía. En su
forma clásica la interferencia del frente a grabar y alguna referencia
adecuada se registra en una emulsión fotográfica de resolución adecuada
(2000 ln/mm o aún, un mayor número de franjas). El patrón de
interferencia así registrado, después de revelada la emulsión forma una
rejilla de difracción no necesariamente periódica (holograma). Cuando el
holograma se ilumina con la referencia, los primeros órdenes de difracción
(± 1) reconstruye el frente de onda del objeto original y su complejo
conjugado, respectivamente.
92
A. En una holografía de doble exposición, en una misma emulsión
fotográfica se exponen dos hologramas en distintos tiempos. Cuando el
estado del objeto genera distintos frentes de onda en cada tiempo de
registro, al iluminar la rejilla resultante, se reconstruyen los dos frentes al
mismo tiempo. Así, estos frentes interfieren entre sí, ofreciendo al
espectador un patrón de interferencia en tres dimensiones por lo general
(fig.4.11).
Si el cambio en el frente de onda fuera relativamente pequeño (algunas
longitudes de onda), no se llegan a distingir dos objetos reconstruidos
como imagen doble. Sólo se detecta una imagen, aparentemente la misma
que estuvo presente en ambas tomas. Entonces, el patrón resultante
observable se superpone al objeto y contiene la información de la
diferencia entre los dos frentes de onda (Figs.4.11 y 6.7). Si otro objeto
estuvo ausente en alguna toma, se percibirá como transparente y sin
franjas. Mientras permanezcan los dos frentes reconstruidos, el patrón de
franjas no puede modularse.
Figura 4.11. Interferometría holográfica. Izquierda: grabación o registro holográfico clásico. R 1, expansor de
haz de referencia. Derecha: con la misma referencia, lectura de dos frentes de onda grabados en la misma
placa en tiempos diferentes.
93
Figura 4.12. Interferometría holográfica con emulsiones fotográficas Holograma tipo Fresnel de figurilla
Confucio con báculo y cervatillo (izquierda). Misma figurilla en doble exposición con única referencia
mostrando franjas de interferencia (derecha). El cambio se produjo con un balín sobre la plataforma perforada
en una toma, y sin él (fig.4.11, izquierda), en la otra. El balín se aprecia como un elemento transparente sin
franjas.
B. En materiales holográficos dinámicos puede grabarse un holograma de
referencia al tiempo t, con un tiempo de borrado relativamente largo. Al
grabar un siguiente frente de onda (pero un tiempo después t + t y bajo
condiciones de registro que no borren totalmente al primer holograma), se
formará un patrón de interferencia momentáneo durante un tiempo 
(interferograma volátil) entre el primer frente reconstruido y el segundo,
reunidos y observados con el divisor de haz DH. Como puede irse
grabando un segundo holograma a intervalos controlables con obturadores
S, se puede ir observando la evolución del frente de onda relativa al
inicial mediante las franjas de interferencia holográfica.
En la fig.4.13 se muestra un caso donde la grabación se realiza con una
longitud de onda al cual un cristal fotorrefractivo BGO es sensible ( 1 =
514.5 nm) y se reconstruye con otra longitud de onda diferente a la cual
no lo sea tanto (lectura no destructiva, 2 = 632.8 nm). Puede considerarse
como una mezcla no degenerada de cuatro ondas. El efecto es semejante
si las longitudes de onda fueran iguales.
94
Figura 4.13. Interferencia holográfica con cristales fotorrefractivos Bi12GeO20 (BGO) en mezclas de dos ondas
con lectura no destructiva.
Los métodos holográficos de doble exposición requieren una referencia en
cada exposición pero el patrón de interferencia holográfico observado
tiene como haz de referencia al frente de onda inicial (ver. tabla 4.1).
Otras técnicas holográficas para inspección, medición y
caracterización de desplazamientos dinámicos son:
 Interferometría con holografía promediada en tiempo
 Interferometría holográfica estroboscópica.
 Interferometría holográfica de pulso dual.
95
4.4. Interferómetros electrónicos
Una alternativa a los métodos holográficos es el aprovechamiento de
moteado coherente (speckle) en conjunto de cámaras de estado sólido
(CCD) y almacenamiento en memorias de ordenadores. La alternativa
resultante es bastante más práctica y versátil para muchos propósitos
prácticos.
4.4.1 Interferometría digital y ESPI.
Considérese un interferómetro Mach-Zehnder como se esquematiza en la
fig. 4.14. Los haces de cada brazo se expanden, de manera que las placas
esmeriladas esparsoras
y
resulten uniformemente iluminadas. Un
sistema óptico L forma sus imágenes sobre un charge couple device
(CCD).
La imagen captada y digitalizada puede grabarse en memoria de un
ordenador. Cada placa produce su propio patrón speckle (moteado o
granulado coherente), el cual puede pensarse como una distribución de
fase aleatoria
Además de estas fases, pueden haber otras no
aleatorias
y .
Figura 4.14. Arreglo experimental (Mach-Zehnder) para un interferómetrro electrónico.
96
En un determinado tiempo , se adquiere el patrón de interferencia
existente sobre la cámara CCD. Dicho patrón debe ser de la forma (caso
escalar).
(4.12.a)
donde
denota el valor de
t. Después de un lapso, al tiempo
la forma
en el tiempo
se tendrá sobre el CCD otro patrón de
( 4.12.b )
donde se ha supuesto la importante condición de que
e
. Contando con las dos
imágenes e en memoria, se puede buscar su correlación. Una manera
de hacerla consiste en obtener su resta digitalmente lo cual proporciona
(4.12.c)
Notando la propiedad trigonométrica
tomando
y
debe ser
y
se tiene que
. Entonces el módulo de la diferencia de irradiancias
( 4.13 )
97
donde la diferencia de fase
contiene la diferencia
con un término aleatorio
es de rápida variación, será visible sólo con alta resolución.
que si
En un despliegue de con baja resolución, los factores trigonométricos
con argumento
,
resultan imperceptibles. Sin embargo,
en el monitor de despliegue se deben observar franjas debidas a los
factores trigonométricos dependientes sólo de
. En otras palabras, en
despliegue de baja resolución, se cumplen las dos condiciones
de donde, por la ec. 4.13,
debe mostrar franjas dependientes
esencialmente de
. Ésta, a su vez, cambia por las modificaciones de
fase macroscópicas.
Otra manera de correlacionar los patrones de interferencia es a través de
la suma, esto es
(4.14)
que resulta en un patrón de menor contraste que el de la resta, por lo cual
se prefiere a sobre . Al grabar en memoria
(patrón llamado de
referencia), puede restarse continuamente de un patrón actual,
observándose la interferencia de correlación casi en tiempo real (a razón de
video).
Cuando se usan las placas esparsoras
específicamente para
producir speckle, se habla de Electronic Speckle Pattern Interferometry
(ESPI). Sin ellas, se tiene un interferómetro dígital en general. Es
importante mencionar que el sistema funciona en reflexión también.
Las imágenes siguientes resultan de los códigos básicos enlistados.
Simulan el speckle de dos estados diferentes de la superficie (primera
98
fila), así como la resta de ellos (segunda fila, izquierda) y la suma
(segunda fila, derecha).
N  512
i  0 N  1
x  Xm  2 i
i
I0
i j
XM
N 1
 ij
 1  cos R
j  0 N  1
y  Ym  2 j 
j
I1
i j

XM  10
XM
R
i j
N 1
 1  cos R
i j

i j

Xm  XM
YM  10
 rnd ( 2 3.14159)

ID
i j
I0 128
I1 128
ID 128
IS 128
y
99
 I0
i j
 I1
i j
i j
IS
i j
Ym  YM
 1.5 y
 I0
j
i j
 I1
i j
N  512
x  Xm  2 i
i
I0
i j
i  0 N  1
XM
N 1
 ij
 1  cos R
j  0 N  1
y  Ym  2 j 
j
I1
i j
XM  10
XM
R
i j
N 1

 1  cos R
i j

i j

Xm  XM
YM  10
 rnd ( 2 3.14159)
ID
i j
I0 128
I1 128
ID 128
IS 128
 I0
i j

 I1
i j
y
100
i j
IS
Ym  YM
 3 x
i j
i
 I0
i j
 I1
i j
N  512
x  Xm  2 i
i
a  1.2
I0
i j
i  0 N  1
XM
j  0 N  1
y  Ym  2 j 
j
N 1
b  1.3
 ij
 1  cos R

I1
i j
i j
XM  10
XM
R
i j
N 1
 a x  b  y
i

 1  cos R
i j

Xm  XM
YM  10
Ym  YM
 rnd ( 2 3.14159)
j
i j

ID
i j
 I0
I0 128
I1 128
ID 128
IS 128
y
101
i j
 I1
i j
IS
i j
 I0
i j
 I1
i j
N  512
i  0 N  1
x  Xm  2 i
i
a  0
I0
i j
XM
j  0 N  1
y  Ym  2 j 
j
N 1

b  0.6
 ij
 1  cos R
I1
i j
i j
XM  10
YM
Xm  XM
R
i j
N 1
YM  10
Ym  YM
 rnd ( 2 3.14159)
 i2  b yj2
 a x

 1  cos R
i j

i j

ID
i j
 I0
I0 128
I1 128
ID 128
IS 128
i j
 I1
i j
y
102
IS
i j
 I0
i j
 I1
i j
N  512
i  0 N  1
x  Xm  2 i
i
a  0.25
I0
i j
XM
j  0 N  1
y  Ym  2 j 
j
N 1

b  0.07
 ij
 1  cos R
I1
i j
i j
XM  10
YM
Xm  XM
R
i j
N 1
YM  10
Ym  YM
 rnd ( 2 3.14159)
 i2  b yj2
 a x

 1  cos R
i j

i j

ID
i j
 I0
I0 128
I1 128
ID 128
IS 128
i j
 I1
IS
i j
i j
y
103
 I0
i j
 I1
i j
N  512
i  0 N  1
x  Xm  2 i
i
1
i j

N 1
 a  x
  j 
i
2
 y

i j
 1  cos R
IP
 I0  I1
ID 128
i j
2
 2
 ij
I0
i j
j
0
b  5 10
  1
i j
y  Ym  2 j 
2
a  8 10

XM
j  0 N  1
2




I1
XM
R
i j
N 1
0
c  2 10
 b  x
XM  10
d  4 10
Xm  XM
YM  10
Ym  YM
 rnd ( 2 3.14159)
1
e  5 10
1
f  5 10
2
g  0 10
2  yj2 yj  cxi2  3yj2  d xi2  yj2  eyj  f xi  g
i
i j
i j

 1  cos R
i j

i j

ID
i j
 I0
i j
 I1
i j
i j
IS 64
IP 64
ID: diferencia
IS: suma
IP: producto
104
IS
i j
 I0
i j
 I1
i j
4.4.2 Interferometría de correlación fotográfica de speckle.
Otra forma de correlacionar dos patrones puede ser mediante el producto
de los mismos.
De hecho, superponiendo los negativos de los patrones es una de las
primeras técnicas de la Interferometría por correlación de speckle. ESPI
evita el proceso fotográfico y la relocalización del patrón de referencia. La
fig. 4.15 muestra un arreglo tipo Michelson (para comparar dos
superficies rugosas
Figura 4.15. Interferometría fotográfica de speckle.
y ) obtenido sustituyendo a los espejos por placas esparsoras aunque la
equivalencia con el arreglo Mach-Zehder de la fig.4.11 es directa,
muestra cómo es prácticamente la superposición de PA con
(a través de
, la imagen de ). Fotografiando el patrón de interferencia resultante
al tiempo inicial y sobre el plano imagen, tras revelarlo y colocarlo en
su posición original se puede proceder a desplazar (o modificar) alguna
de las placas y observar
detrás de la fotografía (usualmente el
negativo) de . Es así como se obtiene un término proporcional a
. La
observación puede realizarse en tiempo real una vez contando con la
105
fotografía, aunque debe indicarse que un cambio en arriba de cierto nivel,
puede perder la correlación con y requerir de otra fotografía. Las franjas
tienen
.
4.4.3 Aplicaciones de ESPI: deformación.
Una de las aplicaciones de ESPI consiste en la inspección
interferométrica de objetos de reflexión difusa, como los que se presentan
como partes metálicas en la industria mecánica (o madera o plásticos
opacos). Los interferómetros puramente ópticos usualmente inspeccionan
superficies de reflexión especular (como vidrios pulidos) o transparentes,
lo cual muchas veces impide su uso en materiales de reflexión difusa o
translúcidos. Y aunque la interferometría holográfica puede superar estos
inconvenientes, las técnicas ESPI suelen ser una opción más práctica.
A.
EI vector de sensibilidad.
Considérese la superficie de un cuerpo deformada en dos instantes distintos.
Un rayo incide en el punto P en un primer estado de la superficie y se
refleja horizontalmente al ángulo
respecto del rayo incidente (fig.
4.16).
Figura 4.16. Geometría para el vector de sensibilidad.
106
En el segundo estado de la superficie, otro rayo, paralelo al primero
incidente, se encuentra con el mismo punto P pero en otra posición (P’).
Suponiendo que es dispersado igual que el primero por tratarse del mismo
punto, emerge de la superficie paralelamente al primer rayo emergente y a
una distancia . Esta distancia es la separación de P entre sus dos estados
en dirección vertical. En la otra dirección ortogonal existirá una separación
. A lo largo de la dirección del haz incidente, la separación de los planos
perpendiculares a dicho haz que pasan por los puntos
es cada estado
. Entonces, la DCO entre el par de rayos considerados es
(4.15)
Este resultado puede rescribirse en términos del vector que une a los
puntos
. Considerando las coordenadas
del sistema en la fíg.
4.16,
. Si las normales de los rayos incidente y difundido son
y
respectivamente, pueden expresarse como.
(4.16.a)
habiendo considerado las orientaciones de la figura. Así, la expresión
(4.16.b)
es equivalente a la ec. 4.15. El vector
sensibilidad.
B.
es conocido como el vector de
Sensibilidad fuera y dentro de plano.
Dado que el vector de sensibilidad puede darse en tres dimensiones, se
separan los desplazamientos en dos partes mediante dos distintas
configuraciones. Una permite detectar y medir los desplazamientos fuera
del plano (del plano
, por ejemplo). La segunda detecta y mide
desplazamientos en el plano.
107
B.1
Configuración fuera de plano
Figura 4.17.a. Detección de variaciones fuera del plano.
En la configuración de la fig. 4.17.a se procura trabajar con
ecuación 4.15
. Por la
(4.17.a)
Posibilitando la medición de w únicamente.
B.2 Configuración en el plano.
En la configuración de la fig. 4.17.b se tienen dos haces separados
(A,B). Entonces,
y en consecuencia,
(4.17.b)
Lo cual permite medir
aparte de w.
108
Figura 4.17.b. Detección de cambios dentro del plano.
B.3 Deformación de una plancha plana combando en cuatro
puntos.
Como un ejemplo de Ia configuración fuera de plano, se considera una
plancha rectangular de sección transversal uniforme, rígidamente
mantenida en posición por los apoyos
y
a igual distancia de su
centro. Se aplican cargas simétricas aplicando fuerzas iguales en los
puntos
y
(combando en cuatro puntos). Como resultado, en referencia al
sistema coordenada de la fig. 4.18, se obtienen las siguientes componentes
del vector
(4.18.a.b.c)
109
de donde, para el caso de la inspección fuera de plano, por la ec. 4.17.a,
( 4.19)
Figura 4.18. Detección de plancha combada.
donde R2 es el radio de curvatura en dirección , M el momento de
combado aplicado, la razón de Poisson del material, el grueso o
espesor de la placa o plancha, E el módulo de Young del material e el
momento de inercia de la sección transversal de la plancha. De la ec.1.19
se tiene que las franjas observadas cumplen la condición
(4.20.a)
que representan hipérbolas. Las asíntotas de ángulo más pequeño forman
un ángulo α que satisface
(4.20.b)
110
Midiendo experimentalmente el ángulo α, puede obtenerse la razón de
Poisson.
***
Los elementos de un programa en código Mathcad ® son los siguientes.
Para distintos valores del parámetro v:
N  512
i  0 N  1
Ym  YM
x  Xm  2 i
i j
XM
i

  0.08
I0
j  0 N  1
N 1
XM  10
y  Ym  2 j 
j
I1
i j

 1  cos R
i j
 
i j


  0.35
I0
i j
I0
i j
I1
i j
( )  tan 

 I0
 I1
i j
i j
i j

 1  cos R
i j
 
i j

I
i j
 I0
i j
 I1
i j
 i2  yj2
 x
 ij
 
I
i j
 i2   yj2
 1  cos R
   2 tan 



i j
 I1
i j
 x
i j
 ij

 I0
 x
 1  cos R
  0.65
i j
I
i j
 i2   yj2
I0  1  cos R 
I1  1  cos R   
i j
i j
i j
i j
i j
i j
 rnd ( 2 3.14159)
R
N 1
 i2  yj2
 ij

XM
YM  10
 x
i j
 1  cos R
  0.2
Xm  XM
180

I1
i j

 1  cos R
   2 tan 
i j
 
 
180

i j

I
i j
 I0
   2 tan 
i j
 
 I1
i j
180

   2 tan 
 
180
2

 2
 

  0.089
180
       0.271


180

       0.633


180

111
      2.936


180


I 128
I  128
I  128
I 128
Otros casos de interés que pueden detectarse con el procedimiento
interferométrico incluyen los siguientes:
• Traslaciones de cuerpo rígido
• Gradiente de desplazamiento en plano
• Gradiente de desplazamiento fuera de plano
• Desplazamiento rígido con rotación fuera de plano
112
• Desplazamiento rígido con rotación fuera de plano
• Esfuerzo en plano bajo carga axial
Aunque las técnicas de medición puedan realizarse con arreglos
fotográficos (holográficos de doble exposición o de correlación de speckle)
pueden llevarse a cabo así mismo con interferometría electrónica, o con
ESPI, conllevando decisivas ventajas prácticas.
Una de éstas consiste en que un interferómetro electrónico permite la
generación de patrones de interferencia aun con superficies no pulidas.
Esta propiedad permite la aplicación de los métodos interferométricos a
objetos que puedan estar constituidos por superficies rugosas y
relativamente opacas. De allí se deriva su importante impacto en la
mecánica y en otros sectores donde las técnicas interferometricas más
usuales no se podían aplicar.
113
114
Capítulo 5.
Interferometrías heterodina y cuasiheterodina.
Un problema fundamental en interferometría consiste en extraer
información de fase a partir de interferogramas. Varios procedimientos se
han propuesto y usado para lograrlo cuando sólo se dispone de un
interferograma. Muchos de dichos métodos se basan en el examen de
franjas de valores extremos (máximos o mínimos), como la técnica de
esqueletización de franjas, entre otras. Pero al final de la década de los
70's se ha desarrollado Un nuevo paradigma, conocido corno
interferometría heterodina. Discutiendo esta idea, puede desprenderse la
técnica del corrimiento de fase como un caso especial. La interferometría con
un solo interferograma también ocupa un lugar dentro de dicho esquema.
En lo siguiente se discute la idea general.
5.1 Interferencia con dos disturbios de diferente frecuencia.
Se supondrán dos disturbios de polarización , (perpendicular) que son
aproximadamente ondas planas, aunque con variaciones espaciales de
fase. Tienen estas ondas las siguientes expresiones
(5.1.a)
( 5.1.b)
donde las amplitudes
se permiten poseer variaciones en el
espacio(fig. 5.1), la polarización de ambas ondas es (por lo cual la
115
cuestión puede simplificarse al caso escalar),
son los vectores de la
dirección de principal de cada disturbio,
es la frecuencia angular de
cada onda.
Figura 5.1. Superposición de dos ondas, una plana y otra con desviaciones locales de fase respecto
de un frente de onda plano.
Aunque
, no se suponen muy diferentes
para poder
mantener la simplificación de que
. Las distribuciones
espaciales de fase
representan entonces algunas desviaciones de
una onda plana. Al depender aquellas de las DCO en cada disturbio, son
las portadoras de la información buscada (índices de refracción,
desplazamientos, topografía, etc.).
La irradiancia resultante de la superposición de
y
resulta en
( 5.1.c )
116
donde
,
y
en el caso
colineal
Esta simplificación no es esencial ya que de no
cumplirse la aproximación colineal, en la siguiente aproximación,
es un término lineal que proporciona un patrón de franjas (que,
por otro lado, pueden observarse implícitamente en
).
Generalmente en interferometría, se busca conocer
en base a .
Comúnmente, se elige una distribución de fase (
, por ejemplo) y
entonces de
se conoce la otra distribución (
). La conocida,
usualmente una onda plana o esférica, se llama "onda de referencia” o
"referencia". La desconocida es la "señal”.
Alternativamente, puede escribirse
( 5.2.a )
con
(5.2.b)
y
( 5.2.c )
En cualquier caso, las ecs. 5.1.c ó 5.2.a revelan que
sólo
(
de
sino
).
de
otros
dependen no
parámetros
más
.
5.2 Interferometría homodina:
En el caso en que ambos disturbios posean igual frecuencia
y
en la ec. 5.2.a, reduciéndose la irradiancia a
( 5.3 )
117
que deja de ser una expresión dependiente de t. Es el caso homodino. Sus
características esenciales se discuten en el ejemplo de una distribución de la
forma arbitraria polinomial unidimensional dada por el camino óptico f(x) y 
= 632.8 nm.
31.16
31.16 28.044
24.928
21.812
f ( x) 18.696
2 
15.58
 12.464
9.348
6.232
0 3.116
0
 0.1
 0.1
 0.075
 0.05
 0.025
0
x
0.025
0.05
0.075
0.1
0.1
PI0 Distribución de fase hipotética y patrón de interferencia correspondiente.
Figura 5.2.
Con la distribución planteada, suponiendo
(esto es, el
caso partículas de amplitudes constantes), el interferograma
es
inmediato de calcular y resulta constar de las franjas en tonos gris
expuestas. Puesto que para x > O la fase cambia más rápidamente que
para
, la primera región corresponde con una zona del
PI1
interferograma
con varias franjas. La zona izquierda con solo una franja
se corresponde con una lente de variación de fase. Notese que el máximo
cambio de fase en
es cercano a rads, pero no alcanza ese valor.
En consecuencia, la franja obscura tampoco llega a ser completamente de
valor cero en gris (no es totalmente negra).
PI2
118
Por el contrario, para
, en cada valor de fase que es múltiplo de π, se
genera un máximo o un minimo (gris de valor cero).
Pero experimentalmente el problema es uno de carácter inverso: se parte
de un interferograma para hallar la distribución de fase. El uso de un
único interferograma, como plantea la interferometría clásica, acarrea las
siguientes inconveniencias:

depende de tres cantidades desconocidas en general
2
ó
,
. Sólo conociendo 1, 2, por ejemplo,
puede definirse un problema inverso biunívoco, pero no siempre se
puede tener esa información.
 los datos más confiables ocurren en las posiciones de los valores extremos
(x) de (para esqueletizar, por ejemplo). Pero por ser valores
extremos, es en ellas donde precisamente existe menor sensibilidad en
la detección
.
 los datos en valores extremos aparecen equidistantes en fase (cada
cambio de ) y no equidistantes en el espacio. Entonces, las regiones
de pocas franjas (o cambios menores a
) pueden quedar
submuestradas.
 la incertidumbre en la posición de las franjas depende de
por lo cual resulta no uniforme.
 la interpolación entre franjas es poco confiable porque
no son precisamente constantes en lo general.
119
y
En algún tipo de problemas,
y
pueden mantenerse constantes,
como es el caso en la prueba de componentes ópticas. Pero cuando los
objetos de estudio son reflectores difusos, como en mecánica o en
holografía, esa condición no puede cumplirse. El resto de inconvenientes,
sin embargo, son más difíciles de superar.
Aunado a estos últimos, cabe mencionar la ambigüedad en cuanto al
orden de interferencia (el orden del múltiplo de π) y el signo del mismo,
ya que estos aspectos se hallan encubiertos por una función oscilante.
5.3 Interferometría heterodina:

.
Aunque diversos esquemas atacan algunos de los inconvenientes
mencionados, la introducción de un término adicional conocido (tal como
en la ec. 5.2.a) puede dar cuenta de todos los problemas indicados
alcanzando precisiones en mediciones de fase mejores que)
uniformemente en el campo de interferencia.
Para ver la razón de lo afirmado, considérese el interferómetro tipo
Michelson de la fig. 5.3. En él, un elemento fundamental consiste en la
modulación sistemática del DCO. Se consigue mediante un apilamiento
piezoeléctrico cuyo desplazamiento a lo largo del brazo horizontal se
controla con un voltaje V (función del tiempo t) opcional de cuatro
alternativas indicadas por los conmutadores 1, 2, 3 y 4.
120
Figura 5.3. Esquema general de modulación de fase para interferometrías heterodina y
cuasi-heterodina.
1.Ωt 2.
3.
4. Ωt con detección continua por
etapas.
Cada alternativa determina un tipo de enfoque de captura de datos. Sobre
el apilamiento, se fija el espejo de referencia. Otro elemento opcional y
menos usual es el espejo auxiliar. Colocado junto al espejo de prueba,
permite el monitoreo del desplazamiento real del espejo de referencia.
Con cualquiera de las posibles modulaciones del espejo a través del
piezoeléctrico, se introduce una fase en el patrón de interferencia, f(t),
proporcional a V(t). Así, la irradiancia puede expresarse como
( 5.4 )
Para las dos modulaciones superiores esquematizadas,
. Pero
existen procedimientos basados en modulaciones discretas (tercer y
121
cuarto tipo de modulación,
,) y en modulaciones espaciales (en los
cuales
). Según sea (t),
o
, surge la Tabla 5.1.
Modulación
Tabla 5.1
Detección
Analógica, fotomultiplicador
Sincrónica, fotomultiplicador
Discreta, CCD, CMOS
Discreta, CCD, CMOS
Discreta, CCD, vidicón
Procesamiento
Medición
Electrónica
Sistema de ecuaciones
Sistema de ecuaciones
Filtraje de Fourier con
PC
La primera modulación (voltaje en forma de señal diente de sierra),
simula un voltaje lineal t en tanto genere un patrón de interferencia
cuyas franjas aparenten trasladarse constantemente. Es la modulación
heterodina propiamente. La segunda modulación, sinusoidal tipo
, puede dar lugar a detecciones sincronizadas de amarre de
fase con lock-in, tal como se describe más adelante.
En el tercer caso de modulación esquematizado en la fig.5.3, ciertos
valores de corrimientos de fase
son introducidos por el trasductor
bajo aplicación de voltajes escalonados Vi. Cada voltaje es aplicado por
etapas (de duración t). Si la detección de la irradiancia es de un solo
interferograma por etapa, se habla de interferometría de corrimiento de
fase. Al introducir fases discretas
, se puede construir un sistema de
ecuaciones para despejar la fase
(módulo ). Dado que el número
de incógnitas es de tres por punto (dos amplitudes y una fase
;o
bien una luz de fondo a(x), una modulación de franjas m(x) y una fase
), i debe variar de 0 a 2 cuando menos, para así construir un
sistema 3X3 de ecuaciones resoluble. En el cuarto voltaje modulador
alternativo, se tiene nuevamente un voltaje diente de sierra; pero en la
detección de irradiancia se acumulan los interferogramas continuamente
durante tiempos de varios periodos t. Se habla entonces de paquete de
integración (integrated bucket).
Cuando se introduce una fase espacial,
, se habla del método de
Takeda, o de interferometría de Fourier (quinto en la tabla). No se
122
muestra en el esquema, pero puede introducirse inclinando el espejo de
modulación (frecuencia portadora espacial). Para métodos como los
mencionados (corrimiento de fase, paquete de integración o método de
Takeda) algunos autores han empleado el término genérico de
interferometría cuasi-heterodina.
Los métodos cuasi-heterodinos citados se discutirán en el siguiente
capítulo a través del estudio de casos ilustrativos.
5.3.1 Interferometría heterodina propiamente dicha.
Aunque algunos autores usan el término heterodino para englobar a las
técnicas que involucran las modulaciones referidas, otros reservan el
término a sólo la primera mencionada
. En este caso la
irradiancia se encuentra expresada como la ec. 5.2.a. Aunque
no es físicamente realizable, es prácticamente posible una excelente
aproximación utilizando un voltaje tipo "diente de sierra” con tiempo de
retroceso pequeño.
De esta manera, se obtiene un patrón de interferencia desplazándose con
velocidad constante. Ajustando el período del voltaje, su pendiente y el
período del patrón, puede conseguirse un patrón en movimiento
constante sin discontinuidades. En la fig. 5.4 se muestran dos detectores A
y B separados una distancia
sensando el patrón móvil. En rango
lineal, cada detector envía sendas señales a dos canales de un osciloscopio.
En el modo
de éste, debe desplegarse una elipse debido a que la
frecuencia de
(las señales de cada detector) es la misma Ω’.
La elipticidad, inclinación y sentido de giro de la elipse dependen de las
amplitudes de cada señal, así como también de la fase
óptica entre
los puntos. Debido a las limitaciones de medir los parámetros referidos
en base a una elipse, puede emplearse un medidor de fase. Dado que las
fases electrónicas pueden medirse con precisiones del orden de
, la
potencialidad en precisión del método es
. Nótese que esta propiedad
no depende de la variación del patrón de interferencia sobre los puntos de
123
medición, eliminando así algunas de las inconveniencias propias de la
interferometría homodina.
Figura 5.4. Conversión de fase óptica en fase de señales electrónicas.
Si ambos canales se despliegan paralelamente, se exhibirían dos señales
con diferente valor de DC
, diferente
modulación de franjas (
) y, sobre todo, una
mutua diferencia de fase
. Los parámetros que influyen en la
irradiancia total resultan separados aun cuando pueden variar a lo largo de
la posición x.
Puede fijarse un punto
variar
, “escaneando"
como se
considere apropiado a fin de hallar la distribución de fase
respecto
a la fase sobre el punto de posición .
Alternativamente puede barrerse el campo con el par de detectores a
distancia constante
para conocer directamente el gradiente de la
distribución
, de más directa relación con la tensión y el esfuerzo de
muestra sólidas bajo inspección (F(x)=∆Ф(x+DAB)-∆Ф(x)
).
124
5.3.2 Interferometría con modulación sinusoidal.
El segundo caso consiste en una modulación sinusoidal de amplitud
(oscila dentro del período del patrón) a inspeccionar. Se
ejemplifica con dos situaciones.
A. Un solo detector registra la oscilación del patrón sobre un punto. La
señal se divide en tres partes y cada una se filtra con un filtro distinto: uno
centrado en Ω, otro en 2Ω y el último en 3Ω.
Figura 5.5. Estimación de la fase con un detector puntual único.
La irradiancia del patrón resulta
( 5.5 )
Para amplitudes de oscilación Am pequeñas, se justifica la aproximación
cortada hasta J3. Con el cociente
se determina
, lo
cual permite conocer
y
para obtener
a partir de
125
( 5.6 )
y sobre el valor de
. Esto equivale a obtener la fase
módulo (ó
), que se conoce como "fase envuelta"'. Para obtener
se requiere algún método de desenvoltura de "fase envuelta”.
B. El esquema muestra un sistema con amarre de fase.
Con dicho sistema, se obtiene una irradiancia total dada por
( 5.7 )
Por el desarrollo en serie finita como el caso anterior,
( 5.8.a )
Figura 5.6. Sistema de estabilización con bucle de retroalimentación.
126
(5.8.b )
Notándose que, para cuando
,
y
Alcanzando la condición, φ’ obtenida es el valor de
. Algunos
bloques pueden ser parte de un mismo amplificador lock-in. Las
precisiones de los ejemplos resultan del orden de
.
5.3.3 Medición de fase: cruce por cero.
En la fig. 5.7 se muestra un esquema para medir la diferencia de fase entre
dos señales
y
como las obtenidas en la fig. 5.4. Las señales
y
obtenidas por detección lineal se transforman en señales cuadradas
y
(con disparadores Schmitt, por ejemplo).
Figura 5.7. Esquema de medición y desplegado de fase con cruce por cero.
127
La fase (mod
) se determina con dos flip-flops en paralelo: un reloj
arranca cuando la señal de referencia alcanza determinado valor y se
detiene cuando la señal de prueba cruza ese mismo valor.
El cociente del tiempo medido por el reloj y el período de la señal
proporciona la diferencia buscada. El signo se determina por el conteo de
pulsos en un mismo intervalo.
Dos contadores adicionales en serie con cada señal y controlados por las
pendientes baja/alta proporcionan valores que, al restarse, proveen el
número de saltos de fase. El método ofrece precisiones de
. El
error en la medición de la fase depende inversamente de Ω (frecuencia
heterodina).
5.3.4 Interferometría super-heterodina.
Se ha tratado de reducir la frecuencia de trabajo de un sistema heterodino
empleando la diferencia de dos frecuencias ópticas con la longitud de onda
sintética ΛΔ (sec.2.5). La fuente puede constar de dos láseres mutuamente
coherentes o, mejor, de un láser multilínea muy estable. Se han logrado
alcanzar resoluciones de micras. Las frecuencias se han logrado disminuir
aún más con el uso de rejillas de difracción en diversas configuraciones
(giratorias, por ejemplo).
5.3.5 Ejemplo suplementario: el caso de la conjugación de fase con
cristales fotorrefractivos silénidos.
Los cristales fotorrefractivos son materiales con capacidades holográficas
en los cuales pueden grabarse rejillas de interferencia de fase por efecto
Pockels (efecto electroóptico lineal) de modo reversible. Los mecanismos
involucrados en la formación y borrado de la rejilla pueden ser debidos a
difusión, deriva (arrastre por campo eléctrico) o el llamado efecto
fotovoltáico, efectos presentados por los portadores de carga. La diferencia
de fase espacial entre una rejilla formada por interferencia y la resultante
de índice de refracción depende del mecanismo específico que contribuya
al proceso con mayor eficiencia. A su vez, este valor de fase determina el
acoplamiento entre haces en mezclas de dos y cuatro ondas. En mezcla de
128
cuatro ondas (de amplitudes Ak, k =1,2,3,4), una de ellas es la llamada
onda con frente conjugado, A3, por expresarse como la amplitud compleja
conjugada de alguna de las tres, llamada señal A4, cumpliéndose que
.
La eficiencia en la generación de la onda conjugada es mayor si la
diferencia de fase equivalente en radianes es de /2. En ferroeléctricos
como BaTiO3 o LiNbO3, por ejemplo, el efecto de difusión y fotovoltáico
determinan una fase de /2, lo que hace que sean muy eficientes para
generar ondas conjugadas (espejo conjugador de fase). En contraste, en
cristales silénidos (silenitas) como los Bi 12(Si,Ge.Ti)O20 (abreviados BSO,
BGO y BTO respectivamente), la deriva (arrastre) es el mecanismo más
importante para la formación de rejillas y suele mejorarse con la aplicación
de un campo eléctrico transversal E0 de entre 5,000 y 10,000 volts/cm.
Pero, como resultado de esta técnica, la diferencia de fase espacial difiere
del valor para el óptimo acoplamiento, reduciendo la reflectividad del
espejo conjugador de fase.
Aprovechando el tiempo de respuesta de los cristales silénidos (del orden
de ms; pero en dependencia del valor del campo aplicado E0 entre otros
parámetros), la diferencia de fase espacial óptima puede aproximarse (y
eventualmente, alcanzarse) imprimiendo una velocidad determinada en la
rejilla de interferencia (rejilla móvil). Al desplazarse ésta con velocidad
constante, deja atrás de sí a la rejilla de fase formada en el material. Puede
existir una velocidad óptima
entonces, tal que mantenga una
separación espacial de fase apropiadamente aproximada de /2. La técnica
de la rejilla móvil en régimen de difusión para cristales fotorrefractivos
silénidos optimiza la reflectividad de conjugación de fase en tiempo casi
real. La translación de la rejilla de interferencia puede realizarse con un
espejo montado sobre un trasductor piezoeléctrico. Si el voltaje V aplicado
sobre el apilamiento es constante, se obtiene una modulación tipo
.
Con esta técnica, al tener una rejilla transladándose constantemente, se
consigue una onda conjugada con una fase temporal lineal.
Consecuentemente, de usarse como uno de los dos brazos de un
129
interferómetro, la variación
heterodina.
A.
, puede servir también como señal
Un arreglo experimental heterodino con BSO y rejilla móvil.
La fig.5.8 muestra el esquema de un interferómetro heterodino con espejo
conjugador de fase a base de un BGO (BGO) con rejilla móvil para
incrementar su reflectividad. Dicho “espejo” conjugador se realiza con los
haces A1 y A2 (ondas de bombeo), donde el segundo haz se consigue del
primero por reflexión en el espejo montado sobre el apilamiento PZT.
Eligiendo a las ondas de bombeo como ondas planas, se observa la
condición
para PZT estático. Si en movimiento óptimo, A2
adquirirá una fase temporal (
).
Figura 5.8. Interferómetro heterodino con fase conjugada usando BGO y
rejilla móvil.
130
Las ondas de bombeo A1 y A2 se forman siguiendo las trayectorias e1-Tdh1-BGO y e1-T-dh1-BGO-PZT-BGO respectivamente. La señal A4 se
forma con la trayectoria dh1-e2-T’-DH-e3-e4-BGO y se genera la conjugada
A3=A4* si PZT permanece estático, como si el cristal BGO fuera un
holograma, viajando esta onda conjugada en dirección inversa a la señal.
Una onda del interferómetro atraviesa entonces por DH-M1-DH, que es la
onda A4 pero propagada a lo largo del doble de la separación entre esas
componentes. La otra onda del interferómetro es la conjugada. Se
superpones así, A4 con A4* (autorreferencia, Tabla 4.1). Si PZT recibe un
voltaje tal que
, el patrón oscilará correspondientemente como
se describe en la sec.5.3.
La distribución de onda medida es la que justamente incide en DH.
Entonces, el lugar que debería de ocupar una muestra de fase a
inspeccionarse por autorreferencia se halla en el espacio comprendido por
el telescopio T’ y el divisor DH.
Los caminos ópticos dh1-T-BGO-PZT-BGO y el dh1-e2-T’-DH-e3-e4-BGO
deben igualarse. Así mismo, el camino óptico dh1-T-BGO-e4-e3-DH debe
igualarse con el dh1-e2-T’-DH-M1-DH.
Debido a que los silénidos muestran birrefringencia inducida por campo
eléctrico, puede requerirse de una optimización en la polarización de los
haces (no se muestran las componentes respectivas, tales como
polarizadores lineales).
Bajo estas condiciones, un detector puntual en algún punto, A, del campo
de interferencia generará una señal sinusoidal si detectado linealmente por
un fotomultiplicador FMA auxiliado por una fibra óptica, como puede
verificarse en un osciloscopio (OSC). La fase eléctrica  puede medirse
con un amplificador lock-in respecto a un punto fijo del interferograma, B,
similarmente detectado por FMB. El punto A puede variar de posición para
muestrear representativamente al campo de interferencia.
131
B.
Monitoreo y resultados.
Un interferograma típico observado bajo las condiciones esquematizadas
en la fig.5.8 se muestra en la fig.5.9a (plano x,y).Un ejemplo de
mediciones con un sistema como el descrito se muestra en la fig.5.9b.
Dado que las señales desde A y B son sinusoidales, las figuras observadas
en un osciloscopio en modo horizontal-vertical serán elipses. Su
elipticidad e inclinación depende de la fase y las amplitudes detectadas.
Mientras permanezcan constantes, el proceso observado es suficientemente
estable. A bajas frecuencias (< 10 Hz), puede determinarse el signo de la
fase visualmente con observar el sentido de giro de la traza de Lissajouss.
a)
b)
Figura 5.9 a) Patrón de interferencia con espejo conjugador. b) lecturas de diferencia de fase
y monitoreo en osciloscopio. La superficie es la diferencia de fases en una región del campo de
interferencia x,y.
132
Algunas elipses capturadas de la pantalla de un osciloscopio se aprecian en
la columna izquierda de la fig.5.9b. Su aparición y permanencia sin
deformación es una manera de monitorear la estabilidad del sistema
(fig.5.8). Algunas mediciones de la fase realizadas con un amplificador
lock-in entre un punto fijo referencial B y otro movible a lo largo de
campo de interferencia, A, se muestran en la gráfica de líneas de nivel,
obtenida por interpolación de las lecturas realizadas.
La gráfica de superficie correspondiente a la diferencia de fases registradas
e interpoladas se puede apreciar en la fila inferior y debe interpretarse
como aproximadamente el doble de la diferencia real.
Otros materiales pueden emplearse como espejos de fase conjugada y
formar con ellos interferómetros heterodinos; pero en el caso de los
silénidos se puede aprovechar la técnica de la rejilla móvil también como
señal heterodina. La modulación ejerce así dos funciones. Dicha señal, sin
embargo, puede ser de bajas frecuencias, limitando un poco la precisión en
las mediciones.
En general, la detección heterodina tiene alta relación señal/ruido,
especialmente con fotomultiplicadores. Éstos son capaces de realizar una
conversión de señales ópticas a eléctricas muy lineal. Al medir en torno a
la frecuencia heterodina Ω, cualquier influencia de distinta frecuencia, se
filtra y puede suprimirse.
En interferometría óptica, una de las fuentes de error más importante
puede ser el speckle. Contribuye al error con cero si las franjas tienen
contraste unitario; pero aumenta rápidamente si el número de speckles en
el área de detección es reducido (
) para contraste
ligeramente menores a 1.
133
134
Capítulo 6.
Tópicos de interferometría de
corrimiento de fase.
Como se mencionó en referencia a la fig.5.3, un elemento
modulador tal como un trasductor piezoeléctrico puede introducir
corrimientos de fase discretos
. Éstos corresponden a N
desplazamientos aparentes de cada interferograma resultante o, en otros
términos, se determinan N irradiancias. Puede entonces formarse un
sistema de ecuaciones, teniendo como a la incógnita principal a la
distribución de fase, para despejarla en cada situación particular. En este
capítulo se considerarán los casos N = 3 y 4 principalmente, discutiendo
las técnicas típicas con simulaciones en Mathcad® .
6.1
Corrimiento de Fase (Phase-Shifting Interferometry).
Considérense N interferogramas con corrimientos
. Nótese que el
término g de la ecuación para aberraciones ópticas de la sec.4.3.1.E, se
corresponde con un cierto corrimiento fi.
El i-ésimo patrón de interferencia puede escribirse como



con
135
( 6.1 )


( 6.2 )
La solución por mínimos cuadrados (ec.6.29) proporciona los siguientes
resultados tras derivación apropiada respecto de las tres incógnitas Ai(x,y),
( 6.3 )
donde, para N interferogramas,
( 6.4 )
e
( 6.5 )
siendo la solución para la fase (módulo )
( 6.6 )

A.
Por ejemplo, para el caso de N = 3, si
como

, la fase resulta calculable
( 6.7 )
136
mientras que si
, se obtiene

( 6.8 )
Un poco más general, si
, se tiene
( 6.9 )

Para tres corrimientos
, en general diferentes, con
( 6.10 )
B.
Para cuando se tiene el caso de N=4, si

, la fase viene siendo
dada por
( 6.11 )

C.
Como
otro
ejemplo
más general para el caso de N=4, si
, aunque no se conozca  de antemano y pueda variar
en cada punto del campo, puede calcularse a partir de los interferogramas como
( 6.12 )
de modo que,

( 6.13 )
y, combinando las dos fórmulas previas,
137

( 6.14 )
Este es la técnica de Carré y las soluciones para α y  son las Fórmulas de
Carré.
Algunos ejercicios numéricos relacionados con corrimientos equidistantes se
muestran en las siguientes secciones.
En los ejercicios, se usa la misma distribución de fase de la fig.5.2. Ésta es
obtenida basándose en el polinomio
con a0 = 0x10-7, a1 = 1.0x10-7, a2 = 0.5x10-4, a3 = 0.5x10-3, a4 = 1.0x10-5,
a5 = 1.0x10-4.
Se ha tomado indistintamente

como la distribución
de diferencia de caminos ópticos. Con ello, la correspondiente distribución de
fase en radianes se ha escrito como
.
138
6.1.1 Tres corrimientos de fase.
Dos corrimientos de 2 /3 a ambos lados del corrimiento cero
proporcionan los siguientes tres patrones de interferencia.
PI0
PI1
PI2
Las tres irradiancias obtenidas
proporcionan la relación siguiente:
139
con
corrimientos
equidistantes
Usando la expresión para corrimientos equidistantes y obteniendo la
tangente inversa, se obtiene la gráfica adjunta:


i j

 atan Tan
i j

El corte longitudinal del patrón se muestra a continuación, siendo una
distribución de fase llamada “envuelta”. Las discontinuidades de fase son
consecuencia de la inversa de la tangente, que proporciona la fase módulo
 únicamente.
200
2
100
1
0
Tan i  10
 100
0
 i  j
1
 200
 300
0
200
2
400
i
Las expresiones correspondientes explícitamente empleadas en Mathcad ©
son las siguientes:

3 PI2
Tan
i j

2PI0
i j
i j
 PI1
i j
 PI1
i j

 PI2
i j

i j

 atan Tan
i j

Note la semejanza entre la fase envuelta y la original, que es la
previamente mostrada en la fig.5,2.
140
6.1.2 Cuatro corrimientos de fase.
Con cuatro patrones de interferencia y corrimientos de /2, se obtiene:
PI0
PI1
PI2
PI3
141
Las cuatro irradiancias obtenidas con corrimientos equidistantes de /2
proporcionan la relación siguiente:

que, como puede mostrarse, es equivalente al código siguiente (ver
Apéndice C)
TanC
i j

3PI1i j  PI2i j   PI0i j  PI3i j   PI1i j  PI2i j   PI0i j  PI3i j 
.
PI1ij  PI2ij  PI0ij  PI3ij
Usando la expresión para corrimientos equidistantes para este caso y
obteniendo la tangente inversa, se obtiene la gráfica adjunta:

Las discontinuidades de fase son consecuencia de la inversa de la
200
2
100
1
0
Tan i  10
 100
0
1
 200
 300
0
 i  j
200
400
i
2
tangente, que proporciona la fase módulo  únicamente (envuelta).
142
Las expresiones correspondientes explícitamente empleadas en Mathcad ©
son las siguientes.
Tan
i j

PI3
 PI1
PI0
 PI2
i j
i j
i j
i j

i j

 atan Tan
i j

Note la semejanza entre la fase envuelta y la original, mostrada en la
fig.5,2. Hay similitud también con la fase envuelta obtenida en el caso de
tres corrimientos.
El método de cuatro corrimientos se caracteriza por generar dos pares de
interferogramas de contrastes opuestos, lo que facilita su automatización
en conjunto con un modulador (piezoeléctrico) lineal.
6.1.3 Método de Carré.
Con cuatro patrones de interferencia y corrimientos de /2, se obtienen los
interferogramas de la siguiente página, donde se ha considerado
, con
dentro de un rectángulo y
fuera de él.
Esto representa un corrimiento heterogéneo, simulando algún error
sistemático no uniforme en el modulador.
La aplicación de las Fórmulas de Carré resultan entonces en las gráficas
de enfrente a los inerferogramas.
Para el corrimiento efectivo
y para la fase en cada
punto, 
.
143
PI0
PI1
PI2
PI3
144
c
p
Para la fase envuelta (x,y), su tangente y la tangente inversa
correspondiente son
174.17
200
2
100
1.5
1.567
0
Tan i  10
 100
1
 200
 280.733
 300
0
0
 i  j
0.5
4
3.40810
200
0
400
i
511
habiendo tomado el módulo de la función tangente.
El resultado envuelto es comparable a los demás métodos considerados.
145
6.1.4 Modulación Espacial (Método de Takeda, o interferometría de
Fourier).
Como anteriormente se había apuntado, el corrimiento puede ser espacial.
Por ejemplo, un corrimiento dado por la expresión
.
Entonces, la irradiancia de un patrón formado por la inclusión de dicha
fase es:
donde se ha rescrito a la función coseno en forma de usar exponenciales
complejas. El patrón así formado para la misma distribución hipotética de
fase de la fig. 5.2 adopta el siguiente aspecto.
PT
La influencia de la frecuencia fa0, llamada “frecuencia portadora” se
patentiza en un incremento de la frecuencia espacial del patrón.
Obteniendo la transformada de Fourier unidimensional de esta expresión,
se llega a la siguiente:
146
(6.16)
Una gráfica de la transformada unidimensional de Fourier para el caso
considerado se muestra a continuación.
30
22.653
20
CFTT i
10
0.026
0
0
51
102
153
204
255
0
i
306
357
408
459
510
510
Se aprecia que la información de la fase se distribuye en los espectros
centrados en fa0 =  α/2π.
Entonces, la transformada inversa de cualquiera de estos espectros puede
proporcionar a la fase. Sin embargo, antes de realizar la transformación
inversa, alguno de dichos espectros debe de trasladarse al origen para
evitar términos de fase.
Concretamente, el término c(x) cumple con lo siguiente:
por lo cual, la fase de c(x) es la misma fase buscada.
En la siguiente figura, se muestra la traslación al origen del segmento
derecho del espectro anterior, naturalmente centrado.
147
Debido al empleo de la Transformada numérica de Fourier Rápida, la
figura adyacente muestra al espectro centrado partido por mitad. Una de
estas mitades se halla en el extremo izquierdo del campo, mientras que la
otra mitad, en el extremo derecho (trazos continuos). La posición relativa
FilteredC FTT2
if 0  i  50se
FilteredC
FTT1en línea
FilteredC
FTT1
original
deli espectro
muestra
segmentada
para comparación.
i 460
i 51
6
FilteredCFTT1 i 4
FilteredCFTT2 i
2
0
0
200
400
i
La fase módulo  de la transformada inversa del espectro centrado se
muestra a continuación.
4
3.127
2
 i  10 0
2
 3.119
4
0
0
50
100
150
200
250
i
300
350
400
450
500
500
Este resultado es comparable con los obtenidos por corrimientos de tres y
cuatro fases. Como diferencia respecto a éstos, con el método de Fourier
aparecen algunas oscilaciones espúreas y cierta modulación. Estos efectos
se deben a las aproximaciones numéricas realizadas y, de modo
particularmente importante, al valor efectivo introducido en el
desplazamiento del espectro. En la medida de que exista una discrepancia
con el valor preciso, las oscilaciones y la modulación pueden aparecer de
manera más notable.
148
Cabe mencionar que este método, a diferencia de los métodos
secuenciales descritos para corrimiento de fase, requiere de una sola toma
para adquirir los datos interferométricos.
Sin embargo, los métodos de corrimiento de fase también pueden
implementarse en modo con una sola toma si se introduce algún
procedimiento de generación de copias de las dos amplitudes involucradas
en el mismo interferograma. Además, se debe poder cambiar la fase entre
las amplitudes de modo independiente para cada interferograma.
El método de Fourier recibe beneficios de detecciones con excelente
resolución y de un amplio rango dinámico.
6.1.5 Corrimiento de fase con dos longitudes de onda.
La utilidad de la longitud de onda sintética se manifiesta en la
caracterización de discontinuidades de fase mayores que una longitud de
onda simple. Como ejemplo, una distribución de camino óptico se supone
con una discontinuidad (o salto) en x = 0.025 por estarse calculando la
siguiente función:
(6.18)
siendo
la distribución empleada en casos anteriores y Heav(x) la
función escalón de Heaviside. Usando dos longitudes de onda 1 y 2 para
una misma distribución de espacial de camino óptico f(x), pueden
extraerse las fases por corrimiento de fase para cada una. Las gráficas de
interferogramas muestran los resultados de utilizar las longitudes de onda
1= 514.5 nm y 2= 488 nm sin corrimiento (
).
.
Para 1 puede identificarse una franja oscura muy delgada cerca del punto
306.6.
149
Las fases respectivas a cada longitud de onda son:

y





,
La resta de diferencias de fase resulta ser, usando definiciones de la
sec.2.5,


(6.19)
Considerando los cocientes

,

, se tiene que
. Los números N1 y N2 pueden ser mayores que la
unidad, significando que en el proceso de desenvolvimiento sólo se
rescatará la resta entre el múltiplo de longitudes de onda más cercano
menor y Ni. Pero la diferencia entre estos números puede ser menor que
ΛΔ, en cuyo caso, la discontinuidad será una fracción de ΛΔ, y la diferencia
de caminos ópticos equivalente pierde dicha ambigüedad.
La diferencia de las fases con desenvoltura se muestra en la gráfica
siguiente. Se compara con los saltos de fase módulo  (línea punteada).
En el ejemplo,
y
, mientras que
alcanza
150
apenas un valor de 0.077. Así, los datos en la diferencia podrán
desenvolverse debido a que ésta resulta menor que /2. Algunos detalles
sobre la desenvoltura, en sección 6.3.4.B.
La reducción de rango de valores en un factor menor que 0.1 se refleja en
la gráfica en tonos de gris del interferograma equivalente, realizado con la
longitud de onda sintética 
m. Se tiene que
. Más detalles en apéndice G.
PI
El muestreo de fase se ha realizado entonces prácticamente a menos de
una franja de la longitud de onda 
. No es necesario realizar ni
siquiera una captura del producto de los dos interferogramas por
corrimiento de fase (holograma).
Otros procedimientos para el procesamiento con este tipo de datos
también son posibles. Este método es adaptable a interferómetros
electrónicos también.
151
6.2 Implementación experimental: ejemplos.
6.2.1 Corrimiento de fase.
La fig.5.8 muestra un sistema de corrimiento de fase automatizado basado
en un apilamiento piezoeléctrico. Un interferómetro óptico tipo Michelson
tiene un espejo controlado por un apilamiento piezoeléctrico en uno de
sus brazos. Una señal sale de un ordenador hacia él y es, eventualmente,
amplificada atendiendo a las demandas de voltaje del apilamiento.
El interferograma resultante es captado por una cámara CCD, cuya señal
es desplegada en un monitor y digitalizada en el ordenador. Una tercera
señal se obtiene del ordenador para controlar el disparo de la cámara.
Figura 6.1. Sistema de Medición de Fase Óptica por corrimiento de Fase (
)
Para calibración de cuatro interferogramas equidistantes en fase por /2,
primero se define el área de trabajo. Distintos voltajes de reducido nivel
se empiezan a aplicar al apilamiento, incrementando cada valor de modo
progresivo. Cada valor correrá al patrón por cierta cantidad. Grabando el
152
interferograma con cero voltaje, cada nuevo interferograma se puede
comparar con el grabado a cero volts; por ejemplo, por suma. Cuando se
consiga un interferograma de contraste complementario al grabado, se
obtiene el voltaje V que genera un corrimiento de  en el interferograma
particular de trabajo.
Conocido el comportamiento del apilamiento, se pueden determinar así
los voltajes V y V requeridos para corrimientos respectivos de /2 y
de 3/2. Por ejemplo, en el caso lineal, los voltajes serían V = (V
yV = 3(V.
Los voltajes 0, V , V y V se aplican en secuencia, capturando el
respectivo interferograma. Se usa la relación de arco tangente por pixel, y
la tangente modulo 2  se busca en tablas. En un proceso intermedio,
pueden filtrarse los interferogramas si así se necesitara.
La calibración final puede realizarse mediante las fórmulas de Carré
(ec.5.20) tras observar las condiciones arriba expuestas. Un histograma
del número de puntos en función del corrimiento  debe mostrar un
máximo en el corrimiento deseado, acompañado de una dispersión
reducida. Cada cambio en el interferómetro requiere de un proceso nuevo
de calibración para el transductor piezoeléctrico.
6.2.2 Interferometría Holográfica con doble referencia.
La fig. 6.2 muestra un arreglo experimental para grabar un holograma de
doble exposición con doble referencia según el procedimiento descrito por
Dändliker.
La doble referencia demandará de dos haces de lectura simultáneamente
para obtener un patrón de interferencia en la doble imagen reconstruída.
La existencia de dos haces de lectura permite modular la fase de cada haz
independientemente.
Esto representa una diferencia importante con la interferometría
holográfica de doble exposición con una sola referencia. En este último
caso, no es posible la introducción arbitraria de corrimientos debido a la
imposibilidad de modular un haz independientemente del otro (sec.4.3.3).
153
Para el propósito de modulación de franjas, un transductor piezoeléctrico
modula la fase de un haz de reconstrucción únicamente. De ese modo, el
patrón de interferencia holográfico puede desplazarse durante la
reconstrucción a determinado ángulo de detección según la posición de la
cámara empleada.
Para cada interferograma holográfico, las técnicas de extracción de fase
descritas pueden aplicarse de modo similar.
La calibración del transductor es también análoga a la descrita para un
interferómetro óptico de dos brazos.
En la reconstrucción del holograma, se deben usar las dos referencias
como ondas de lectura simultáneamente para poder observar las franjas de
interferencia (doble onda de lectura o de reconstrucción). La diferencia de
fase extraíble del patrón acarrea información de los cambios de estado del
objeto entre las dos exposiciones.
Figura 6.2. Holograma de doble exposición con dos referencias (
154
y
)
6.3
Algunas consideraciones suplementarias.
6.3.1 Cinco corrimientos (método de Hariharan).
Si
, los denominadores de Carré tienden a cero junto con los
numeradores y se incrementa la incertidumbre en
y en
.
Introduciendo un corrimiento más de modo que los cinco valores de fase a
diferencia constante adopten los valores (i,j=1,2,3,4,5):
( 6.20)
las expresiones de Carré se modificarán a las siguientes
(6.21)
Si
la variación tiende a cero. Para calibrar el ángulo
emplearse la relación
, puede
( 6.22)
Usando la previa formulación, es posible obtener los siguientes
interferogramas para el mismo ejemplo de la sec.6.1.3.
155
PI0
PI1
PI2
PI3
PI4
mientras que las gráficas para el corrimiento  y para la fase envuelta
resultan como se muestra.
50
2
44.635
1.557
1.5
0
Tan i  10
1
 50
0.5
 71.944
 i  j
5
8.73410
 100
0
0
c
200
0
400
i
511
La ec.6.22 puede ser empleada también para la calibración del elemento
modulador.
156
6.3.2 Uso de un espejo auxiliar.
El esquema muestra un interferómetro tipo Twyman-Green con espejo de
referencia montado en apilamiento piezoeléctrico (PZT).
En el otro brazo, el haz es reflejado por un espejo de prueba. Junto a éste
espejo, se coloca otro espejo plano auxiliar. Entonces, se trata de detectar
dos patrones de interferencia en el mismo campo de observación: un
patrón es el producido por los campos del espejo de prueba y de la
referencia. El otro patrón, surge de de la superposición de los campos del
espejo de prueba y del otro espejo plano fijo auxiliar, cercano al de
prueba.
Los corrimientos efectivos fi generados por el desplazamiento del
apilamiento, se pueden determinar midiendo los desplazamientos del
patrón auxiliar.
Figura 6.3. Sistema interferométrico de corrimiento de fase con espejo auxiliar.
6.3.3 Paquete de Integración.
El corrimiento de fase puede realizarse de manera continua, tal como se
efectúa en la modulación heterodina con  constante por períodos (diente
de sierra). Pero la detección puede llevarse a cabo acumulando los valores
157
de irradiancia por intervalos de tiempo t. En consecuencia, se obtiene
una integración de patrones, uniformemente trasladados, de la forma
siguiente
( 6.23)
con c una constante de calibración (caso lineal ideal, c=1). Para el caso
cuadrático, la fase introducida es de la forma
( 6.24)
Ajustando el valor de c, puede compensarse el efecto determinado por el
término que incluye a d como factor.
Figura 6.4. Acumulación de irradiancia por “paquetes” en un tiempo de medición t
(irradiancia promediada en el tiempo t).
158
La irradiancia In acumulada durante el tiempo t puede expresarse como
( 6.25)
El resultado de la integración puede escribirse como
( 6.26)
donde las integrales coseno y seno son
,
(6.27a,b)
con

,
,
(6.28a,b,c)
El procesamiento de irradiancias es semejante al de corrimiento de fase.
El error en la estimación de la fase se reduce con series de corrimientos
y
tales que
.
159
6.3.4 Error en la recuperación de la fase por corrimiento de fase.
Para un conjunto
de R-1 corrimientos (R interferogramas Ii) no
necesariamente equidistantes en fase se tiene un error cuadrático medio E
dado por
( 6.29)
con el valor de la irradiancia medida. Los coeficientes ai se relacionan
con la luz de fondo y con la fase desconocida, como se describió.
La minimización del error E, determina el sistema de ecuaciones ya
apuntado al inicio de la sec.6.1.
El comportamiento del error está estudiado en Ohyama, Kinoshita,
Cornejo-Rodriguez, Honda, Tsujiuchi, JOSA A5, 12, 1988.
6.4 Modulación y detección en interferometría heterodina y de
corrimiento de fase: comparaciones.
La introducción de modulación continua de fase, o de valores discretos de
corrimiento de fase, puede realizarse con elementos diferentes. Los
métodos de modulación de fase más empleados se enlistan a continuación,
siendo el procedimiento basado en apilamientos piezoeléctricos uno de los
más prácticos para corrimiento de fase realizado secuencialmente.
Empleo de efecto Zeeman con fuente Hg
Rejillas radiales giratorias
Celdas acusto-ópticas (de Bragg)
Placas retardadores giratorias
Espejos montados en apilamientos piezoeléctricos
Placas divisoras de haz a velocidad constante
Rejillas de Ronchi o de fase
Modulación de polarización (retardadores
y polarizadores lineales)
160
Para el caso de modulación por efecto Zeeman, se deben tomar en cuenta
las observaciones de la se.2.5 para lograr frecuencias convenientemente
bajas.
En corrimiento de fase, el conocimiento del modulador debe de incluir un
procedimiento particular de calibración. Este procedimiento de
calibración puede necesitar de ser repetido si se modifica el
interferograma, aún sin cambiar de interferómetro.
De los métodos de modulación más usados, destacan los de apilamientos
piezoeléctricos y los de rejillas. De hecho, la modulación basada en
apilamientos piezoeléctricos se ha usado extensamente en sistemas
comercializados. La modulación es secuencial, lo que limita su uso
fundamentalmente a fases estáticas. La calibración debe repetirse si el
interferograma se modifica sustancialmente.
Por su parte, el corrimiento con rejilla demandan de desplazamientos
laterales con valores de fracciones del período de la rejilla. Si se usa un
período de rejilla que sea corto, se generarán órdenes de difracción más
separados y, en consecuencia, pueden usarse campos o pupilas de mayor
tamaño; pero el desplazamiento lateral debe ser correspondientemente
corto. Esto demanda mayor precisión para el actuador que efectúe la
translación, limitando entonces la frecuencia de la rejilla usada. El
desplazamiento no depende del interferograma, pero debe de ser
secuencial.
En sub-secciones posteriores, se puede mostrar que la modulación de
polarización puede simplificar algunos de los inconvenientes
mencionados.
6.4.1 Calibración del modulador (corrimiento de fase).
La calibración del modulador es particular del mismo y del número de
corrimientos. En el caso de los apilamientos piezoeléctricos, se requiere la
determinación de los voltajes que realizarán los corrimientos demandados.
Similarmente, para la calibración de rejillas, se requiere encontrar los
161
voltajes que un actuador usa para trasladar la rejilla por fracciones de su
periodo (usualmente, múltiplos de ¼ de periodo).
A. Caso piezoeléctrico.
En un ejemplo específico, referido al corrimiento de fase con cuatro
interferogramas, primero se puede determinar el voltaje que consiga un
patrón complementario del patrón inicial. Para ello, pueden incrementarse
valores de voltaje desde uno pequeño inicial. Cada patrón así obtenido se
puede suma numéricamente del patrón inicial, el cual ha sido previamente
digitalizado y grabado. En general, se obtendrá un nuevo patrón de suma,
excepto cuando el patrón obtenido con cierto corrimiento sea
complementario del inicial, en cuyo caso se obtendrá una constante. El
patrón complementario se interpreta como debido a un corrimiento de  y
el voltaje con el cual se obtuvo,
, servirá para determinar los voltajes
que producirán otros corrimientos.
Si el apilamiento tuviera un comportamiento lineal (desplazamiento
contra voltaje aplicado), para conseguir los corrimientos de /2, , 3π/2 y
2π, se usarían los voltajes /2, , 3 /2 y 2 . Como los corrimientos
reales pueden estimarse a partir del interferograma suma según algunos
procedimientos, una estadística de los valores de voltaje y los
corrimientos medidos proporciona la etapa final de la calibración del
modulador piezoeléctrico. Si el modulador piezoeléctrico no fuera lineal,
habrá que conocer su curva piezoeléctrica (desplazamiento vs. voltaje
aplicado).
162
B. Caso rejilla.
Considerando el interferómetro de rejilla de la sec.4.3.2 (fig.5), el caso
una rejilla como elemento modulador proporciona otro ejemplo
calibración. Ésta se da en conjunto con el actuador que efectúa
translación de la rejilla (fig.5.13). La rejilla puede ser de absorción o
fase.
de
de
la
de
(b)
Figura.6.5. Interferómetro con rejilla: O, objeto; DC, actuador; CCD, camera; PC,
ordenador. Interferómetro Michelson para calibración translación de rejilla en dependencia
del ancho de pulso de voltaje en actuador: M (sujeto al desplazador), M’, espejo; BS, divisor
de haz; PIN, detector al centro del patrón; OSC, osciloscopio. a) doble ventana (plano
objeto). Una contiene a la onda de inspección (objeto O) y la segunda a la onda de referencia.
b) Ancho temporal de pulso en función del número de franjas contadas (seis diversas alturas
de pulso).
Un espejo adherido al soporte (M) se complementa con las componentes
necesarias (BS, M´) para construir un interferómetro tipo Michelson, de
modo que la traslación del actuador se encuentre alineada con un brazo
del interferómetro. Un detector tipo PIN se coloca en el centro de un
patrón preferentement4e circular. Aplicando un pulso de voltaje al
actuador de cierta altura V y duración del pulso (ancho en ms), se pueden
contar el número de las franjas generadas (conteo de franjas). La curva del
tiempo de aplicación de voltaje en el actuador como función del
desplazamiento medido interferométricamente, permite la elección de los
163
tiempos requeridos para inducir los corrimientos elegidos (fig.5.13.b).
Éstos generalmente son submúltiplos del período de la rejilla empleada.
A diferencia del método piezoeléctrico, esta calibración resulta
independiente del interferograma. Sin embargo, también debe ser
secuencial.
6.4.2 Modulación de polarización.
Por la versatilidad ofrecida por el método de modulación con
polarización, vale la pena detallar
su fundamento.
Dos disturbios elípticamente polarizados pueden ser expresados como

( 6.25 )
donde ´es una fase introducida por algún retardador. Los disturbios
emergentes de un Polarizador Lineal l al ángulo  caracterizado por una
transmisión dada por





( 6.26 )

determina las amplitudes de salida
.
Entonces, la irradiancia total de la superposición de los disturbios emergentes
es

El CORRIMIENTO




( 6.27 )
  originado es




164

( 6.28 )
con una amplitud
  dada por


( 6.29 )
Estas relaciones se verifican para el caso más conocido de modulación, que es
cuando se tienen dos polarizaciones circulares opuestas con ´= /2.




( 6.30 )
Pero la técnica puede aplicarse aún cuando el defasamiento ´adopte otro
valor distinto, como cuando el retardador disponible no esté diseñado para
la longitud de onda de trabajo.
El corrimiento de fase, en todo caso, se realiza ajustando el ángulo de
inclinación  del polarizador lineal.
El corrimiento puede hacerse de manera local, por lo que se han
desarrollado elementos polarizantes pixelizados para realizar esta tarea en
muestreos intercalados. Como alternativa, en combinación con un
elemento multiplexor (rejilla difractiva o interferómetros cíclicos en
serie), un polarizador lineal puede actuar en un interferograma de modo
independiente de los demás. En este caso, la calibración se realiza una
vez, aunque el interferómetro varíe al patrón. Esto es una diferencia
importante en comparación con los sistemas de modulación, como los
basados en apilamientos piezoeléctricos.
165
A.
Holografía interferométrica con doble referencia.
A.1 Como un ejemplo concreto, considérese el holograma de doble
exposición con doble referencia. Como se indicó en la fig. 6.2, sec. 6.2.2,
la observación de las franjas requiere de la reconstrucción con ambas
referencias originales (ahora actuando como ondas de lectura) iluminando
al mismo tiempo, tal como se muestra en la fig.6.6. La modificación que
se indujo en el objeto del caso particular por discutir (esculturilla
representando a un pez), consistió en incorporar a un balín, en sólo una
exposición, sobre la plataforma en que se asentaba la estatuilla (como en
sec.4.3.3).
En la fig. 6.6, se ve que es posible introducir corrimientos de fase fi en una
onda independientemente de la otra. Aunque puede introducirse un
apilamiento piezoeléctrico, el esquema muestra la posibilidad de la
modulación de polarización ya descrita.
Figura 6.6. Reconstrucción de holograma heterodino con doble onda de lectura.
Para ello, se imponen polarizaciones circulares de giros opuestos con las
componentes apropiadas en cada onda de lectura, observando al objeto a
166
través de un polarizador lineal con eje de transmisión al ángulo . Esto
induce un corrimiento en el interferograma.
A.2 La fig. 6.7 es un ejemplo de un patrón observado bajo las
condiciones descritas. La fig. 6.7a es la reconstrucción de una estatuilla
usando una sola onda de lectura, mientras que la fig.6.7b es la
reconstrucción con las dos ondas de lectura según la fig.6.6. El patrón se
define fuera del objeto en este caso.
Las franjas cubren un área del detector relativamente grande y tienen un
rango amplio de frecuencias espaciales.
(a)
(b)
Figura 6.7. Reconstrucción de holograma heterodino. a) Una referencia, b) las dos
referencias.
Obteniendo cuatro patrones a distintos ángulos y secuencialmente, se
obtienen resultados de la extracción de la fase entre los dos diferentes
estados del objeto como los mostrado en la fig.6.8. El procedimiento
seguido para extracción es el mismo descrito en la sec.6.1.2.
167
Figura. 6.8.a. Determinación de la fase observada a dos ángulos distintos en el holograma de
la figura previa. b) Desenvolturas respectivas.
El holograma de doble referencia lo describe Dändliker en el marco de la
detección heterodina (holograma heterodino). La versatilidad de la técnica
de modulación de polarización resulta manifiesta, al menos en procesos
donde se mantenga el grado de polarización suficientemente.
B.
Interferometría de corrimiento de fase con un solo disparo.
Como otro ejemplo de la modulación de polarización, considérese un
interferómetro de rejilla con doble ventana como el descrito en la sec.4.3.2. La
fig.6.9 muestra un interferómetro de ese tipo, con G(, ) la rejilla o malla de
período d y colocada en el plano de Fourier de un sistema telecéntrico 4f. El
procedimiento para formar las dos ventanas echa mano de un interferómetro
cíclico triangular con divisor de haz polarizante (PBS). PBS-M-M´-PBS es el
trayecto del haz con polarización contenida en el plano del esquema
(horizontal), mientras que PBS-M´-M-PBS es el trayecto del otro haz, con su
polarización perpendicular al plano del esquema (vertical). Cada uno de los dos
campos emergentes puede considerarse como ventana si se encuentran
suficientemente separados. Los campos emergentes de PBS tendrán una
separación transversal s ajustable rumbo al sistema telecéntrico. Tal ajuste se
realiza con la translación de un espejo del interferómetro cíclico (M, línea
punteada indicando posición con separación variable distinta a la de M’, fija,
168
respecto a PBS). En la figura, a la entrada del sistema telecéntrico, se muestra
una separación de ventanas x0 (comparar con la fig.4.10). La distancia F0 es la
separación entre órdenes adyacentes
Figura 6.9. Interferómetro de trayectoria común con dos ventanas generadas con un interferómetro
cíclico equipado con divisor de haz cúbico polarizante (PBS). El retardador Q (/4) y el polarizador
lineal P a continuación del láser únicamente permiten ajustar una polarización lineal de inicio
apropiada.
Con el arreglo mostrado, la polarización del campo de cada ventana generada
será lineal, aunque de orientaciones mutuamente perpendiculares. Al colocar
un retardador de onda de /4 (Q’) frente a estos campos, se consiguen dos
polarizaciones circulares de giros mutuamente contrarios si el eje rápido de la
placa retardadora se halla a 45° de una de las polarizaciones lineales incidentes.
Como se apuntó, por ajuste del espejo M, las ventanas saldrán con la
separación x0 que puede ser, en un caso, menor a F0, o, en otro caso, igual o
mayor a F0. Los órdenes de difracción (los cuales son repeticiones de las
amplitudes de las ventanas) se muestran en los recuadros A y B de la fig. 6.9,
según alguno de los dos casos referidos, respectivamente. En trazo continuo, se
esquematizan tres órdenes causados por una ventana. En trazo segmentado, se
esquematizan tres órdenes causados por la otra ventana. Note que las
polarizaciones asociadas a cada trazo son circulares de giros opuestos.
169
Entonces, cualquier patrón de interferencia en la superposición sólo se
observará a través de un polarizador lineal a determinado ángulo .
B.1 En el caso del recuadro A, en el plano imagen se obtiene la superposición
de órdenes iguales con desplazamiento lateral s = x0 (sombreado). En el caso
del recuadro B se obtiene la superposición de órdenes adyacentes con
desplazamiento lateral s = F0-x0 (sombreado).
Cada configuración es la de un interferómetro de desplazamiento lateral con
desplazamiento s. La rejilla o malla G(, ) actúa tanto como desplazador
lateral, como un multiplexor. Los correspondientes patrones de interferencia
pueden detectarse a través de un polarizador lineal. En dependencia del ángulo
i del polarizador lineal con que se ve la superposición del i-ésimo patrón, se
obtendrá un corrimiento i. Si los ángulos i se eligen de valores diferentes, se
generarán distintos interferogramas con diferentes corrimientos i. Todo estos
interferogramas podrán estar en un mismo campo, por lo que pueden capturarse
simultáneamente con un solo disparo del detector.
B.2 Como un caso especial del recuadro B, si se realizara el ajuste F0 = x0 , se
obtendría la superposición de iguales órdenes sin desplazamiento (s = 0). El
sistema sólo repetiría la superposición de campos sin mutuo desplazamiento (la
rejilla o malla G(, ) actuaría como multiplexor únicamente). Pero los
interferogramas resultantes se observarán con diferentes corrimientos si los
ángulos i se eligen diferentes.
En cualquier situación, en el plano de la imagen se consiguen varios
interferogramas con distintos valores de corrimiento fi = i de manera
simultánea (fig.6.10). Los procedimientos usuales de corrimiento de fase
pueden aplicarse a pesar de la posible variación en los contrastes de
franjas de cada patrón. Esto se debe a que cada patrón puede normalizarse
entre sus valores máximo y mínimo.
170
Figura 6.10. Interferogramas obtenidos con mallas de fase G(, ) simultánemente registrados en un
solo disparo. Se muestran resultados de cinco, siete y hasta nueve corrimientos. Los corrimientos
emplearon polarizadores lineales a distintos ángulos. Ver plano (x,y) en fig. 6.9.
El procedimiento tal como se ha descrito, sin embargo, resulta apropiado
para frecuencias espaciales de franjas más bien bajas (una franja en unos
150 pixeles, por ejemplo), especialmente si no se introdujese algún
procedimiento de acoplamiento de pixeles. Cada pixel, en general,
registraría distintas regiones de cada copias de interferograma, por lo que
el error resultante tendería a reducirse cuando la variación de la franja
fuera pequeña en pixeles vecinos.
Esto marca una diferencia en comparación con el método de Takeda, que
introduce frecuencias espaciales altas.
Si el elemento multiplexor fuese una rejilla, de hacerse el corrimiento con
modulación de polarización no sería necesario trasladar la rejilla
transversalmente una fracción de período. Ésta puede muy bien
permanecer estática durante las capturas y algún traslado lateral sería sólo
para ajustar la posición de las franjas que se considere más conveniente.
Así, no se tendría limitante de la frecuencia de la rejilla a emplearse
debida al desplazamiento.
171
6.4.3 Detección.
La detección en enfoques heterodinos se reportó inicialmente con
fotomultiplicadores en detección puntual. El procesamiento podía ser
analógico. Esto, quizá por las etapas iniciales en que se hallaba el
desarrollo de los detectores bidimensionales como los CCD.
En el caso del método de Takeda, el llamado vidicón jugó un papel
importante. El empleo de fotomultiplicadores, por otra parte, determinó
mediciones puntuales secuenciales, requiriendo escaneo mecánico para la
cobertura de campos extendidos. El aprovechamiento del rango dinámico
es esencial.
Detección
Cámaras TV
Fotomultiplicadores,
Diodos (de avalancha),
Arreglos de diodos,
Método
Heterodino  analógico
Cuasi—Heterodino (secuencial, temporal, one-shot)digital
CCD. CMOS
Vidicón, CCD, CMOS Cuasi—Hetero.( espacial, one-shot Takeda) digital (Fourier)
6.4.4 Procesamiento de interferogramas.
A fin de obtener la distribución de fase sobre un dominio plano, se
destacan brevemente dos tareas para el procesamiento de interferogramas
capturados digitalmente en dos dimensiones:
_ filtrado de los interferogramas
_ desenvolvimiento de la fase
172
A.
Ejemplos de filtros.
El filtrado se requiere fundamentalmente para suavizar las franjas y, en
general, mejorar su relación señal a ruido. Estos filtros muchas veces
actúan en plano imagen y son empleados particularmente en ESPI. Un
ejemplo se muestra en la fig.6.11.
Muy empleados son los que promedian los valores ponderados de algunos
pixeles vecinos de uno central. Pueden emplearse matrices cuadradas
3X3. Se ejemplifican los efectos de éstas y de una 5X5 empleando una
función de Mathcad ®: quantfilt(Imagen, filtro, ponderación, fig.6.12). Se
usan ponderaciones de valores 0.2 y 0.4. El patrón original está graficado
en I00, mientras que el I01 es su versión con ruido agregado
(fluctuaciones azarosas dentro de 2 con 1.5 de ponderación) y se
muestran ambos en la fig.6.11. Los detalles y valores se pueden
inspeccionar en el apéndice H. El valor 127 normaliza los tonos de gris a
128 bits.
I00 127
I01 127
Figura 6.11. Interferogramas calculados sin ruido (izquierda) y con ruido aditivo azaroso
(derecha).
173
FiltroCuadro32127

FiltroCruz32127

FiltroCuadro52127

FiltroCruz52127

FiltroCuadro34127

FiltroCruz34127

FiltroCuadro54127

FiltroCruz54127

Figura 6.12. Interferogramas con ruido filtrados usando filtros cuadrado y en cruz de 3X3(recuadro
izquierdo) y 5X5 (recuadro derecho) con ponderaciones 0.2 (filas superiores) y 0.4 (filas inferiores).
B.
Desenvoltura.
Debido al empleo de las fórmulas involucrando tangentes, la fase obtenida
por los procedimientos del corrimiento de fase se encuentra en un rango
restringido, por ejemplo [-,]. Significa esto que la fase es desconocida
en múltiplos: se encuentra “envuelta”. Los procedimientos de
desenvoltura de fase se pueden basar en la detección de discontinuidades
en la fase envuelta. En los puntos de discontinuidad, se prueban
iterativamente múltiplos (positivos o negativos) de  hasta que algún
valor consiga la continuidad en dichos puntos. Este enfoque resulta muy
directo en una dimensión (ver apéndices B-G); pero puede complicarse
considerablemente en dos dimensiones (consultar, por ejemplo, Malacara
et al. 1998).
Para ejemplificar, la figura muestra un interferograma de una distribución
de fase (frente de onda aberrado en interferómetro tipo Twyman-Green
con astigmatismo) de la forma
174

. Por simplicidad, =1.
con
Con el procedimiento de cuatro corrimientos (
resultado de la fase envuelta se muestra en la siguiente gráfica,
), el
distribución de fase envuelta que se busca desenvolver.
Para ello, puede usarse el procedimiento siguiente para una fila (fila 0,s) y
determinar los saltos mayores a /2
175
ind 
0
m
0 0
for s  0  M  1
F  
s
0 s
for s  1  M  1
m
m
m
 1 if F  F

m
m
 1 if F  F

0 s
0 s
0 s
0 s  1
0 s  1
0 s  1
if F  F
s 1
s


m
s 1
s
s 1
s
2

2

2
m
.
(6.31)
Para desenvolver, se suman o restan múltiplos de  a la distribución
envuelta (trazo punteado)
Desenvuelta
0 j

0 j
 T j
 ind
(6.32)
obteniéndose la curva continua. En trazo segmentado es el factor de  a
sumar o restar (ind).
5
0
1.553
0
1
0
Desenvuelta0  j
 0  j
 T
5
 2 ind j
 10
3
 12.566
4
 15
0
40
80
120
0
j
160
4
200
200
Para dos dimensiones, basándose en la primera fila, se usa el
procedimiento siguiente. El resultado del múltiplo de  a sumar o restar a
la fase envuelta se denota por ind2.
A la izquierda se muestran las gráficas de la distribución bidimensional de
los múltiplos, mientras que a la izquierda, las líneas de nivel de los
mismos.
176
ind2 
for r  0  N  1
for s  0  M  1
F
r s
m
0 0

r s
0
for s  0  M  1
m
0 s

T
 ind
s
for r  1  N  1
for s  0  M  1
m
m
m
m
 1 if F
m
m
 1 if F
r s
r s
r s
r 1 s
r 1 s
r 1 s
F
if F
r s
r 1 s
r s
r s

F
r 1 s
F
r 1 s
2



2
2
.
m
ind2
(6.33)
ind2
Con la instrucción en dos dimensiones dada por
Desenvuelta2
i j

i j
 ind2
i j

(6.34)
se obtiene la siguiente superficie, ya desenvuelta (superficie a la izquierda
y líneas de nivel a la derecha).
177
Desenvuelta2
Desenvuelta2
En el apéndice I pueden consultarse mayores detalles del programa usado.
La rutina de desenvolvimiento empleada en la sec.5.4.5 se aprecia en el
apéndice G, y ahí puede verse que es muy semejante a la descrita para el
caso unidimensional de la presente sección.
En los apéndices B-D se emplearon procedimientos manuales de
desenvolvimiento; pero es claro que pueden incorporarse procedimientos
de desenvolvimiento no manual, como el presentado.
Otros paquetes de matemáticas avanzadas cuentan con procedimientos
estándar de desenvolvimiento. En dos dimensiones, el orden en que se
tomen las filas puede cambiar del aquí mostrado.
178
6.5
Comentarios finales.
Se puede finalizar señalando algunos comentarios referentes a los
métodos heterodinos y de corrimiento de fase.
 Las técnicas interferométricas heterodina y cuasi-heterodina
superan algunos inconvenientes de la interferometría homodina y
son realizables con equipo similar.
 Algunos de los efectos discutidos en el apéndice J pueden tener
influencia muy reducida en los errores intrínsecos de estos métodos.
 Estas técnicas heterodina y cuasi-heterodina se diferencian en la
detección y en el procesamiento de los datos.
 Las heterodinas (
ó
) han sido reportadas
usando uno, dos o tres detectores fotomultiplicadores, muestreo
mecánico y procesamiento analógico.
 Las cuasi-heterodinas (corrimiento de fase con
, integrated
bucket o Fourier) usan arreglos matriciales (CCD, CMOS) y
procesamiento digital.
 Los métodos cuasi-heterodinos pueden aplicarse tanto con
interferómetros ópticos como con interferómetros electrónicos
(como en la técnica de Electronic Speckle Pattern Interferometry,
ESPI).
 Las técnicas heterodinas pueden alcanzar de
a
,
siendo la granulación coherente (speckle) una de sus mayores
limitaciones.
 Los cuasi-heterodinos alcanzan
, siendo sus limitantes:
La linealidad de la modulación
Los cambios en
y
durante las mediciones
Agentes externos
Constancia en el intervalo de corrimientos
(en ciertos
métodos que lo requieren)
 Mientras los interferómetros heterodinos no empleen detectores de
rápido posicionamiento y direccionamiento, sus velocidades de
179






ejecución estarán más limitadas que las contrapartes cuasiheterodinos.
El método de Fourier (Takeda) es de una sola toma, por lo que
pueden analizarse distribuciones de fase variables en tiempo.
El corrimiento de fase no está restringido a ser secuencial si se
adopta un método de copiado de amplitudes (amplitude
multiplexing) junto con un procedimiento de corrimiento de fase
independiente en cada copia.
La modulación de la polarización resulta ser un método de
modulación de fase con ventajas sobre otros procedimientos. En
particular, posibilita capturas simultáneas de varios interferogramas
de la misma situación, teniendo cada interferograma un valor
diferente de corrimiento de fase. Esta propiedad posibilita el estudio
de evoluciones de fase dinámicas.
La modulación de polarización simplifica los procedimientos de
calibración.
Como técnicas de un solo disparo, las de Takeda y de modulación
de polarización se distinguen actualmente en que, la primera de
ellas trabaja con frecuencias espaciales relativamente altas para el
patrón de interferencia, mientras que la segunda, por el contrario,
usa frecuencias espaciales bajas (aun en su modelación, que es
paraxial).
Las técnicas heterodinas y las de corrimiento de fase pueden
aplicarse a interferómetros holográficos, a interferómetros
electrónicos, a interferómetros ESPI y a interferómetros con fibras
ópticas.
180
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA.
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