f x ax b = f x x 1, 0 a b = 10 f x x 1( ) 10 f x x =

 Actividad EXTRA 1.2.
AE1.2.1. Un problema clásico de ecuaciones diofánticas es el de “los tres reyes, el mono
y los plátanos”.
Dice así:
Tres reyes de un tablero de ajedrez, que formaban sociedad, tenían un mono. Una tarde
compraron una partida de plátanos con intención de repartírsela al día siguiente.
Llegada la noche uno de ellos se levantó, se puso a contar los plátanos, e hizo tres partes.
Tomó una de ellas para si y dejó el resto (otras dos partes). Viendo que después del
reparto le había sobrado un plátano se lo dio al mono.
Poco después se despertó otro rey e hizo lo mismo que el anterior… se fue a contar los
plátanos para coger su tercera parte. Después de tomar esa cantidad y dejar las otras dos
partes, vio que sobraba un plátano y se lo dio también al mono.
Al poco tiempo se levantó el tercer rey, sin sospechar lo que habían hecho sus compañeros;
al querer tomar su tercera parte vio que además le sobraba un plátano, y se lo dio de nuevo
al mono. Finalmente se llevó la parte que creyó le correspondía, dejando el resto, y se fue a
acostar.
A la mañana siguiente, cuando todos se levantaron, ninguno dijo nada de lo que habían
estado haciendo la noche anterior. Hicieron el reparto de los plátanos que había en ese
momento, cada uno se llevó la tercera parte y un plátano que les sobró se lo dieron también
al mono.
¿Cuál es el menor número posible de plátanos para realizar estas operaciones?
Nota.- Como ayuda diremos que el planteamiento se puede reducir a una ecuación diofántica
de dos variables restringida a una sola solución al haberla limitado con la frase: “… menor
número de plátanos”
AE1.2.2. En uno de los grupos se planteó la pregunta de si era posible que una función de cifrado afín ( f ( x)  a x  b en Zn) tuviera como función de descifrado a ella misma. Hay un ejemplo sencillo de ello, la función identidad f ( x)  x ( a  1, b  0 ). ¿Pero hay más? Sí. Por ejemplo, en Z20 la función de cifrado afín f ( x)  x  10 tiene como inversa f 1 ( x)  x  10 , pero como 10  10 en Z20, se tiene que f 1 ( x)  x  10  f ( x) . Coinciden la función de cifrado y descifrado. a) ¿Se puede generalizar esa situación para un Zn cualquiera, (n>2)? ¿En qué casos sí se puede? b) En Z21, encontrar alguna función de cifrado afín f ( x)  a x  b (distinta de la identidad) que verifique f 1 ( x)  f ( x) . c) ¿Es posible hallar una en cualquier Zn (n>2)? ¿Y más de una?