Ingenierı́a Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Probabilidad MA 3403, 18/04/11, Prof. R. Gouet. Solución Control #1 1. Una persona dispone de 6 monedas equilibradas, de las cuales dos tienen cara por ambos lados, dos tienen doble sello y dos son monedas usuales, con cara y sello. a) (2 pts.) La persona escoge una moneda al azar, la lanza y cae sobre una superficie. Cuál es la probabilidad de que el lado oculto de la moneda sea cara (sin que sepamos nada del lado visible)? b) (2 pts.) En la situación anterior, sabiendo que el lado visible es cara, cuál es la probabilidad de que el lado oculto sea cara? c) (2 pts.) Suponga que la persona lanza nuevamente la moneda de (b) (de la cual sabe que mostró cara en el lado visible al lanzarla la primera vez). Calcule la probabilidad de que el lado visible sea cara. Solución: a) Se trata claramente de una aplicación de la regla de probabilidades totales. Consideremos los sucesos Mi , i = 1 . . . 6, donde Mi indica que la moneda i fue seleccionada. Los sucesos Mi son una partición de Ω (como quiera que sea definido). Sea CO el suceso “cara en el lado oculto de la moneda” y CV el suceso “cara en el lado visible de la moneda”.Entonces P (CO ) = 6 ∑ P (CO |Mi )P (Mi ). i=1 Supongamos que las monedas con dos caras son numeradas 1,2; que las monedas con dos sellos son numeradas 3,4 y que las monedas normales son numeradas 5,6. Entonces, P (CO |M1 ) = P (CO |M2 ) = 1, P (CO |M3 ) = P (CO |M4 ) = 0 y P (CO |M5 ) = P (CO |M6 ) = 1/2. Además, puesto que la moneda a lanzar se escoge al azar, P (Mi ) = 1/6, i = 1 . . . 6. Reemplazando en la fórmula más arriba se llega a P (CO ) = (1 + 1 + 0 + 0 + 1/2 + 1/2)/6 = 1/2. Alternativamente podemos trabajar a partir del siguiente espacio muestral Ω = {(m, x, y)|m ∈ {1, 2, . . . , 6}, x, y ∈ {0, 1}}, donde m representa el número de la moneda escogida, x el resultado del lado visible (cara=1, sello=0) e y el resultado del lado oculto. Si descartamos los ω imposibles, tenemos Ω = {(1, 1, 1), (2, 1, 1), (3, 0, 0), (4, 0, 0), (5, 1, 0), (5, 0, 1), (6, 1, 0), (6, 0, 1)}. Para definir P debemos especificar P ({ω}) para todo ω ∈ Ω y reconocemos primero que no se trata de un espacio equiprobable. Los probabilidades que debemos asignar a los ω, de acuerdo con la descripción del experimento, son las siguientes: los primeros 4 elementos con probabilidad 1/6 y los 4 últimos con probabilidad 1/12. El razonamiento que justifica estos valores es muy simple. Por ejemplo, el suceso {(1, 1, 1)} se puede escribir como M1 ∩CV ∩CO , cuya probabilidad es 1 1 P (M1 ∩ CV ∩ CO ) = P (CV ∩ CO |M1 )P (M1 ) = 1 · = . 6 6 Por otra parte, P ({(6, 1, 0)}) = P (M6 ∩ CV ∩ C O ) = P (CV ∩ C O |M6 )P (M6 ) = 1 1 1 · = . 2 6 12 Finalmente identificamos los sucesos y calculamos: CO = {(1, 1, 1), (2, 1, 1), (5, 0, 1), (6, 0, 1)}, cuya probabilidad es 1/2 y CV = {(1, 1, 1), (2, 1, 1), (5, 1, 0), (6, 1, 0)}, cuya probabilidad es también 1/2. b) Para calcular la probabilidad condicional nos apoyamos de nuevo en el espacio Ω descrito más arriba. Notemos que CO ∩ CV = {(1, 1, 1), (2, 1, 1)} tiene probabilidad 1/3. Aplicamos la definición de probabilidad condicional para obtener: P (CO |CV ) = P (CO ∩ CV ) 1/3 2 = = P (CV ) 1/2 3 y de paso vemos que ambos sucesos no son independientes. Un razonamiento alternativo es el siguiente: el hecho de saber que el lado visible de la moneda es cara, nos indica que la moneda no es del tipo doble sello, entonces nos piden calcular la probabilidad de que haya cara en el lado oculto, sabiendo que la moneda no es doble sello. Es decir P (CO |M1 ∪ M2 ∪ M5 ∪ M6 ) = = P (CO ∩ (M1 ∪ M2 ∪ M5 ∪ M6 )) P (M1 ∪ M2 ∪ M5 ∪ M6 ) P ((1, 1, 1), (2, 1, 1), (5, 0, 1), (6, 0, 1)) 1/2 3 = = . P ((1, 1, 1), (2, 1, 1), (5, 1, 0), (5, 0, 1), (6, 1, 0), (6, 0, 1)) 2/3 4 Este resultado discrepante se basa en el supuesto que “cara en lado visible” es equivalente a “la moneda no es doble sello”. Esto no es correcto porque, aunque la primera afirmación implica la segunda, la implicación recı́proca es falsa. c) Aquı́ tenemos que ampliar el espacio Ω para considerar la segunda tirada de la moneda. Digamos entonces que Ω = {(m, x, y, u, v)|m ∈ {1, 2, . . . , 6}, x, y, u, v ∈ {0, 1}}, donde m, x, y tienen el mismo sentido que en la primera definición de Ω y u, v representan los lados visible e invisible, en el segundo lanzamiento de la moneda. Excluyendo ω’s imposibles tenemos: Ω = {(1, 1, 1, 1, 1), (2, 1, 1, 1, 1), (3, 0, 0, 0, 0), (4, 0, 0, 0, 0), . . . (5, 1, 0, 1, 0), (5, 1, 0, 0, 1), (5, 0, 1, 1, 0), (5, 0, 1, 0, 1), . . . (6, 1, 0, 1, 0), (6, 1, 0, 0, 1), (6, 0, 1, 1, 0), (6, 0, 1, 0, 1)}. Siguiendo la lógica de la construcción de P en la primera parte del ejercicio, vemos que las probabilidades para los ω’s serı́an las siguientes (en el mismo orden que los elementos de Ω): {1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/24, 1/24, 1/24, 1/24, 1/24, 1/24, 1/24, 1/24}. 2 Sea el suceso CV2 = “cara en el lado visible, en el segundo lanzamiento de la moneda”. Entonces, CV2 = {(1, 1, 1, 1, 1), (2, 1, 1, 1, 1), (5, 1, 0, 1, 0), (5, 0, 1, 1, 0), (6, 1, 0, 1, 0), (6, 0, 1, 1, 0)} y CV = {(1, 1, 1, 1, 1), (2, 1, 1, 1, 1), (5, 1, 0, 1, 0), (5, 1, 0, 0, 1), (6, 1, 0, 1, 0), (6, 1, 0, 0, 1)}. Buscamos la intersección, para aplicar luego la fórmula de probabilidad condicional: CV ∩ CV2 = {(1, 1, 1, 1, 1), (2, 1, 1, 1, 1), (5, 1, 0, 1, 0), (6, 1, 0, 1, 0)}. Finalmente, P (CV2 |CV ) = P (CV ∩ CV2 ) 5/12 5 = = . P (CV ) 1/2 6 2. Un cajón contiene b calcetines blancos, r rojos y a azules (n = a + b + r). Se extraen calcetines al azar del cajón, uno tras otro y sin reposición, hasta tener un par del mismo color. Calcule la probabilidad de los siguientes sucesos: a) (2 pts.) El par (del mismo color) se obtiene al sacar el k-ésimo calcetı́n, para 1 ≤ k ≤ n. b) (2 pts.) El par seleccionado es de color blanco (azul, rojo). c) (2 pts.) El par se obtiene en la tercera extracción, sabiendo que es rojo. Solución: a) Sea pk la probabilidad de que el primer par se obtenga al sacar el k-ésimo calcetı́n. Entonces, claramente p1 = 0. Además, dado que hay tres colores, el primer par tiene que aparecer, como máximo, en la extracción 4. Por lo tanto, pk = 0, para 5 ≤ k ≤ n. Faltarı́a entonces calcular pk para k = 2, 3, 4. Para que el primer par surja en k = 2 debe ocurrir que el los dos primeros calcetines sean blancos, o rojos o azules. Esto tiene probabilidad p2 = b(b − 1) r(r − 1) a(a − 1) b(b − 1) + r(r − 1) + a(a − 1) + + = . n(n − 1) n(n − 1) n(n − 1) n(n − 1) Para p3 debemos considerar las extracciones de tres calcetines tales que el último tiene igual color que alguno de los anteriores, que son diferentes entre sı́. Podemos listar las posibilidades como sigue (la notación indica el color de los calcetines con la inicial del color en mayúscula): BAA, ABA; BRR, RBR; RBB, BRB; RAA, ARA; ABB, BAB; ARR, RAR. Las probabilidades respectivas son 2 br(r − 1) rb(b − 1) ba(a − 1) ,2 ,2 ,... n(n − 1)(n − 2) n(n − 1)(n − 2) n(n − 1)(n − 2) 2 ab(b − 1) ar(r − 1) ra(a − 1) ,2 ,2 . n(n − 1)(n − 2) n(n − 1)(n − 2) n(n − 1)(n − 2) Finalmente, p3 = 2 ba(a − 1) + br(r − 1) + rb(b − 1) + ra(a − 1) + ab(b − 1) + ar(r − 1) . n(n − 1)(n − 2) Para terminar, notamos que p4 = 1 − p2 − p3 . 3 b) Calculemos la probabilidad de que el par que aparezca sea blanco. Las probabilidades de los otros colores tienen la misma fórmula, intercambiando b por r o por a. Podemos definir los sucesos Ak =“el par sale en la k-ésima extracción”, k = 2, 3, 4 y W = “el par es blanco”. Entonces, usando la notación “natural”, tenemos que A2 ∩ W ⇔ BB, lo cual tiene probabilidad b(b−1) n(n−1) ; A3 ∩ W ⇔ RBB, BRB, ABB, BAB, lo cual tiene probabilidad 2rb(b−1) n(n−1)(n−2) + 2ab(b−1) n(n−1)(n−2) . Finalmente, A4 ∩ W ⇔ ARBB, ABRB, BARB, RABB, RBAB, BRAB, lo cual tiene probabilidad P (W ) = 6arb(b−1) n(n−1)(n−2)(n−3) . Sumando las probabilidades llegamos a b(b − 1) 2rb(b − 1) + 2ab(b − 1) 6arb(b − 1) + + . n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) n(n − 1)(n − 2)(n − 3) c) Sea V el suceso correspondiente a obtener el par rojo. Se pide calcular P (A3 |V ), para lo cual usamos la fórmula P (A3 ∩ V ) P (A3 |V ) = . P (V ) Notemos que A3 ∩ V ⇔ ARR, RAR, BRR, RBR, 2br(r−1) 2ar(r−1) + n(n−1)(n−2) . Además, de la fórmula para P (W ) obtelo cual tiene probabilidad n(n−1)(n−2) nemos P (V ) intercambiando roles de b y r: P (V ) = r(r − 1) 2br(r − 1) + 2ar(r − 1) 6arb(r − 1) + + . n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) n(n − 1)(n − 2)(n − 3) Para ejemplificar numéricamente, supongamos que b = 2, r = 3, a = 5. Entonces obtenemos: p2 = 7/180, p3 = 79/180, p4 = 47/90, P (W ) = 43/420, P (V ) = 107/420, P (U ) = 270/420, donde U representa al par azul. 3. Se ha observado que el volumen por hora de agua radiactiva que expulsa una planta nuclear, expresado en m3 , se puede modelar como una v.a. continua con densidad de probabilidad fX (x), dada por: fX (x) = Ax si 0 ≤ x < 1/2; fX (x) = B(1 − x) si 1/2 ≤ x < 1 y fX (x) = 0 en otro caso. a) (1 pt.) Determine las condición que deben satisfacer los parámetros A > 0, B > 0 para que fX sea una función de densidad. b) (1 pt.) Obtenga la función de distribución FX . c) (1 pt.) Use la función de distribución FX para calcular la probabilidad de que el agua expulsada (en m3 ) sea (i) más de 1/2; (ii) menos de 1/2; (iii) entre 1/4 y 3/4. d ) (1 pt.) Calcule (usando la definición conocida de probabilidad condicional) P [X < 0,2 | X ≤ 1/2] y P [X > 1/2 | 1/4 < X < 3/4]. e) (2 pt.) Calcule E(X) y V (X). Solución: 4 a) Para encontrar la condición imponemos que la integral de la densidad sea 1: ∫ ∫ ∞ −∞ ∫ 1/2 fX (x)dx = 1 B(1 − x)dx = Axdx + 0 1/2 A+B = 1, 8 de donde resulta A + B = 8. ∫x b) Calculamos FX (x) = −∞ fX (t)dt, x ∈ R. Comenzamos con x < 0 y obtenemos ∫ FX (x) = ∫ x fX (t)dt = −∞ x 0dt = 0, x < 0. −∞ Luego, para 0 ≤ x < 1/2, ∫ FX (x) = ∫ 0 x 0dt + −∞ Atdt = Ax2 /2, 0 ≤ x < 1/2. 0 Para 1/2 ≤ x ≤ 1, ∫ FX (x) = ∫ 0 ∫ 1/2 0dt + x Atdt + −∞ 0 B(1 − t)dt = A/8 − 3B/8 + Bx − Bx2 /2, 1/2 ≤ x ≤ 1. 1/2 Finalmente, FX (x) = 1 para x > 1. c) P (X > 1/2) = 1 − FX (1/2) = 1 − A/8. P (X < 1/2) = FX (1/2) = A/8 porque FX es continua. Finalmente, P (1/4 ≤ X ≤ 3/4) = FX (3/4) − FX (1/4) = A/8 − 3B/8 + 3B/4 − 9B/32 − A/32 = 3A/32 + 3B/32 = d) P (X ≤ 0,2|X ≤ 1/2) = 3A+B 3 = . 4 8 4 P (X ≤ 0,2) FX (0,2) 4 = = . P (X ≤ 1/2) FX (1/2) 25 Para la segunda probabilidad condicional calculamos primero P (1/2 < X < 3/4) = FX (3/4) − FX (1/2) = A/8 − 3B/8 + 3B/4 − 9B/32 − A/8 = 3B/32. P [X > 1/2 | 1/4 < X < 3/4] = e) ∫ E(X) = ∞ 2 ∫ ∞ 3B/32 B P (1/2 < X < 3/4) = = . P (1/4 < X < 3/4) 3/4 8 ∫ 1/2 xfX (x)dx = Ax dx + 0 ∫ ∞ E(X ) = ∞ Bx(1 − x)dx = 1/2 ∫ ∫ 1/2 2 1 3 x fX (x)dx = Ax dx + 0 1 B V (X) = E(X ) − (E(X)) = + − 8 24 2 1 2 2 5 ( B 1 B A + = + . 24 12 3 24 Bx2 (1 − x)dx = 1/2 1 B + 3 24 1 B + . 8 24 )2 = (1 + B − B 2 /8)/72.