Soluciones del examen corto

Especialidad SEG
Sede Acámbaro
Examencito
Solución
24 de septiembre de 2011
Instrucciones:
Conteste tantos problemas como le sea posible en una hora. No está
permitido consultar apuntes o con sus compañeros. Indique claramente el inicio
de cada problema. Los problemas 1 a 5 valen 2 puntos cada uno. En la solución
del problema debe
explicar
también el razonamiento que utilizó para resolverlo,
si no llega a la solución nal del problema, puede obtener puntos parciales por el
razonamiento planteado para resolverlo. El problema
calicación nal, no otroga puntos parciales.
+1
vale un punto extra en la
1. Enliste las propiedades de los números reales.
2. En un salón de clases, los alumnos tienen la costumbre de saludar de mano a todos
sus compañeros al iniciar cada clase.
a ) Si sabemos que el dia de hoy asistieron 15 alumnos a la clase de inglés, ¾cuántos
saludos de mano se hiceron en esa clase?
Podemos darnos cuenta que cada uno de los alumnos saluda a 14 de sus compañeros, y como para cada saludo se requieren dos alumnos tenemos entonces
que en total se hicieron
14 · 15
= 105
2
saludos.
Si queremos contar los saludos sin repetirlos, podemos darnos cuenta que primero un alumno saluda a 14, un segundo alumno saluda a 13, el siguiente a
12, y asi sucesivamente. Es decir, en total tenemos
14 + 15 + 13 + · · · + 3 + 2 + 1 = 105
saludos.
b ) Si sabemos que en la clase de matemáticas se hicieron 45 saludos, ¾cuántos
alumnos asistieron a esa clase?
Siguiendo el razonamiento del inciso anterior podemos decir que, si hay
alumnos en la clase, entonces cada uno saluda a
en total tenemos
n−1
n
compañeros, así pues,
n (n − 1)
2
saludos. Si sabemos que en total se hicieron 45 saludos, podemos plantear la
ecuación
n (n − 1)
= 45
2
de donde
n (n − 1)
=
90
2
n −n
=
90
n2 − n − 90
=
0
y usando la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado tenemos
que las posibles soluciones son
− (−1) ±
q
2
(−1) − 4 (1) (−90)
n =
=
=
1±
2 (1)
√
361
2
1 ± 19
,
2
−18
20
= −9
n=
= 10.
2
2
Podemos descartar la solución n = −9 por ser negativa,
clase de matemáticas asistieron n = 10 alumnos.
n=
y asi tenemos que a
3. Escriba el número decimal periódico como un número racional.
a)
3.44
La idea es poder eliminar la parte periódica del número de alguna manera. Sea
x = 3.44.
100x
=
344.44
−x
= −3.44
99x
=
x
341
341
=
99
31
.
=
9
En este ejercicio podíamos también darnos cuenta que
10x =
34.4
−x =
3.4
9x =
31
31
.
9
x =
b)
3.44 = 3.4
y así,
45.3252
De la misma manera que en el anterior, podemos darnos cuenta que
45.3252 =
45.325.
1000x =
45325.25
−10x =
453.25
990x =
44872
44872
990
22436
.
495
x =
=
4. Un estudiante presentó 4 exámenes y sabemos que las calicaciones en tres de ellos
fueron
8.5, 9.2
y
9.5.
Si sabemos que en promedio obtuvo una calicación de
9.2,
¾qué calicación obtuvo en el cuarto examen? (Planteé una ecuación para obtener
la calicación que desea saber y luego resuélvala).
Sabemos que para calcular un promedio primero hay que sumar todas las calicaciones y luego dividir entre el número de calicaciones. De esta manera, si denotamos
por
x
a la calicación desconocida tenemos la siguiente ecuación
8.5 + 9.2 + 9.5 + x
= 9.2,
4
de donde
27.2 + x
4
27.2 + x
=
9.2
=
36.8
x
=
36.8 − 27.2
x
=
9.6
Así, la calicación que el estudiante obtuvo en el cuarto examen es de
9.6.
5. Queremos enviar cargamentos de vino a Suecia, Alemania e India. En cada país
nos es permitido introducir una cantidad máxima de vino por cargamento: Suecia
250 litros; Alemania 360 litros; e India 540 litros. Para facilitar el manejo del vino,
queremos enviarlo en barriles de la misma capacidad.
a ) ¾Cuál es la capacidad máxima que podrán tener nuestros barriles?
Si lo que queremos es enviar barriles de la misma capacidad en todos los cargamentos, lo que estamos buscando es buscar un número que divida de manera
exacta al número máximo de litros que podemos enviar a cada país, es decir
queremos un número que divida de manera exacta a
250, 360
y
540.
Como se
nos esta pidiendo que la capacidad de nuestros barriles sea la máxima posible,
éste número que estamos buscando tiene que ser el máximo común divisor de
250, 360
y
540.
250
125
125
125
125
125
125
25
360
180
90
45
15
15
5
1
540
270
135
135
45
15
5
1
|
|
|
|
|
|
|
|
2
2
2
3
3
3
5
5
Podemos ver que los únicos factores comunes de
entonces el máximo común divisor es
250, 360
y
540
son
2
y
5,
2 · 5 = 10.
b ) ¾Cuántos barriles enviaremos en cada cargamento?
Para saber cuántos barriles se enviarán en cada cargamento hay que dividir la
capacidad del cargamento entre la capacidad de nuestros barriles:
250
= 25
10
De esta manera, tenemos que
+1
Alemania y
54
360
540
= 36
= 54
10
10
enviaremos 25 barriles a
Suecia,
36
barriles a
barriles a India.
Niegue la siguiente armación: En toda escuela, hay un profesor que conoce a todos
los alumnos de la escuela.
Para poder negar la armación hay que jarse en dos cosas. Primero, queremos decir que
no es cierto que en toda escuela..., para que algo no sea cierto en toda escuela, basta con
que no sea cierto para al menos una escuela. Segundo, lo que queremos que no sea cierto
es hay un profesor que conoce a todos los alumnos de la escuela. Si esto no es cierto
quiere decir que ningún profesor conoce a todos los alumnos. Asi, negar la armación
completa queda
En alguna escuela, ningún profesor conoce a todos los alumnos de la escuela.