Guía de Cinemática

Guía de Ejercicios Mecánica Racional
Cinemática de la Partícula
Primer Semestre 2004
1.
El disco grande de radio R de la figura Nº1 rota entorno a su eje vertical con velocidad angular ω constante en
el sentido indicado. Los discos pequeños de radio r rotan en torno a sus respectivos ejes horizontales con
velocidad angular p constante, como se muestra en la figura. Determine la velocidad y aceleración absolutas de
un punto en el borde del disco D1 utilizando:
a) Ecuaciones de movimiento relativo.
b) Coordenadas cilíndricas.
En ambos casos exprese los resultados en el sistema de coordenadas absolutas x-y-z.
c) Evalúe los resultados para los puntos A y B en el instante que se muestra en la figura.
2.
Una partícula se mueve a lo largo de una espiral plana tal que su posición, en coordenadas polares,
está dada por:
3.
4.
r(t) = b t 2 , φ (t) = ct donde c y b son constantes. Determine v y a en función del
tiempo, en términos de las componentes r y φ.
El sistema de la figura Nº2 consiste en un cilindro vacío de radio R, que rueda sin deslizar sobre
una superficie horizontal fija con velocidad constante u, y un segundo cilindro de radio r, que rueda
sin deslizar al interior del primero. P es un punto fijo en la superficie del cilindro interior. C y D
son los centros de las caras de los cilindros exterior e interior respectivamente. Suponiendo que el
movimiento se inicia en un instante en que los tres puntos P, D y C están alineados en la vertical (de
arriba hacia abajo) y que el centro D del cilindro interior se mueve con rapidez constante v en
sentido contrario al reloj, con respecto al cilindro exterior, determine la velocidad absoluta del
punto P.
Si se dispara un proyectil hacia el Este del un punto de la superficie terrestre situado a una latitud
Norte λ, con velocidad v0 y un ángulo α de inclinación con la horizontal, demuestre que la
desviación lateral d cuando el proyectil cae a tierra es (figura Nº3):
d =
4v 30
ω sen λ sen 2α cos α
g2
5.
El sistema de la figura Nº4, que consiste en una plataforma conectada rígidamente a un eje OA, rota
en el plano horizontal en torno a un eje vertical que pasa por el punto O, con velocidad angular
constante Ω . Una partícula P, que inicialmente se encontraba sobre el punto A, se mueve sobre la
plataforma, en dirección perpendicular al eje AO, con velocidad constante v0 . Determine la
velocidad y aceleración absolutas de P cuando la partícula se encuentra a distancia r de A,
utilizando:
a) Principios del movimiento relativo.
b) Descripción del movimiento en coordenadas cilíndricas.
En ambos casos exprese sus resultados en el sistema utilizado y en el sistema absoluto.
Compare y comente.
Suponga que la partícula mantiene la velocidad v0 en dirección normal a OA, pero es libre de
desplazarse en cualquier dirección del plano. Determine la desviación lateral que sufre al llegar a un
punto a distancia r = d de A.
6. Una partícula P se mueve en el plano x-y siguiendo una trayectoria cualquiera (figura Nº5). En un
instante dado su velocidad está dada por v = ser + ueu , donde er es la dirección del vector r desde el
origen O a P y eu es siempre horizontal. Demuestre que la aceleración de P es:
 ds us

 du us 
a =  − cosθ  e r +  + e u
 dt r

 dt r 
7.
8.
Suponiendo que la Tierra rota solo en torno a un eje que pasa por los polos, con velocidad angular
constante ω (figura Nº6), determine la velocidad y aceleración absolutas de un avión que se mueve
sobre un meridiano de norte a sur, con velocidad constante vo , a una altura h sobre la superficie de la
Tierra.
Resuelva usando:
a) Ecuaciones generales para el movimiento en coordenadas esféricas
b) Principios del movimiento relativo
El sistema de la figura Nº 7 consiste en un disco de radio R unido a una barra de longitud l, que
coincide con el eje del disco, y que pivotea en el punto O. Suponiendo que el disco rota con rapidez
9.
angular p constante en torno a su eje z’, que a su vez este eje rota con velocidad angular Ω
constante en torno al eje z y que el ángulo que forma con el eje vertical en un instante cualquiera es
ψ. Determine la velocidad y aceleración absoluta de un punto P fijo a la periferia del disco.
Un punto P tiene durante su movimiento dos velocidades constantes v1 y v2 , como se observa en la
figura Nº8. La primera permanece siempre perpendicular a la recta fija Cx; la segunda
perpendicular a la recta móvil CP. Demuestre que la magnitud de la aceleración del punto P es igual
a a =
cte
r2
10. El sistema de la figura Nº 9 consiste en un aro de radio r que gira entorno a su eje con velocidad
angular ω constante. En un instante cualquiera el plano del aro presenta una inclinación β con el
plano horizontal. El centro del aro presenta una velocidad constante V horizontal. Suponiendo que
el eje del disco se mantiene en el plano vertical que contiene la dirección de V, determine la
velocidad y aceleración absolutas de una partícula P que circula por la periferia del aro con rapidez
vo constante relativa a él.
11. Un punto se mueve alrededor de un punto fijo O de modo que su aceleración a siempre es normal a
r y el radio polar r gira alrededor de O con velocidad angular constante ω. Hallar la posición del
punto en cualquier instante y su aceleración a. En el instante inicial r = ro , ϕ = 0 y vo ⊥ ro . Figura
Nº10.
12. El sistema de la figura Nº 11 consiste en un disco de radio r que gira con una velocidad angular
constante ωR en torno a su eje, el cual se mantiene horizontal en todo instante unido rígidamente a
distancia l a un segundo eje vertical Z, el que gira con velocidad angular constante ωP . Sobre el
disco se mueve una partícula P con velocidad constante vo en dirección radial hacia el centro del
disco. Determine la velocidad y aceleración de la partícula P
mediante:
a) Principios de movimiento relativo
b) Coordenadas curvilíneas
Demuestre que ambos resultados son idénticos.
13. En la figura Nº 12 se presenta un disco horizontal de radio R que gira entorno a su eje con
velocidad angular ω1 constante. Sobre la periferia el disco se ubica un semi -aro de radio r, el que
gira un torno a un eje vertical fijo al disco horizontal con velocidad angular constante ω2, tal como
lo muestra la figura. Por el semi-aro circula una partícula P con velocidad vo constante relativa al
aro. Determine la velocidad y aceleración de la partícula por medio de:
a) Principio del movimiento relativo.
b) Por coordenadas absoluta utilizando el sistema cartesiano de referencia.
14. El sistema de la figura Nº 13 consiste en la barra rígida OAB que gira en torno al eje vertical con
velocidad angular ω1, manteniendo el segmento OA horizontal durante todo el movimiento. En B
se fija la barra rígida BCD, la que puede girar libremente en torno al eje vertical AB y entorno a su
propio eje a velocidad angular constante ω2. El ángulo β se mantiene constante. Por el brazo CD
circula un pasador con velocidad vo constante tal como se muestra en la figura. Determine la
velocidad y aceleración absolutas del pasador a través de las ecuaciones del movimiento relativo.
15. El sis tema de la figura Nº 14 consiste en un disco horizontal de radio R, el que gira con una
velocidad angular ω1 entorno al eje vertical Z. En la periferia de éste se encuentra adherido un aro
de radio r inclinado formando un ángulo β constante con respecto al plano vertical. El aro gira en
torno a su propio eje con una velocidad angular constante ω2. En el aro existe una barra que pasa
por su diámetro 2r, tal como se muestra en la figura. Por ella circula una pequeña partícula con
velocidad constante vo . Determine la aceleración de la partícula utilizando un único sistema de
coordenadas. (NO utilice ecuaciones de movimiento relativo).
16. El sistema de la figura Nº 15, consta de un punto P que se mueve sobre una circunferencia de radio
r, con una rapidez constante v0 , iniciando su movimiento en el punto X0 . Por detrás se desliza un
plano paralelo a la circunferencia, con aceleración constante ap y partiendo del reposo. Calcular la
velocidad y aceleración del punto P relativas al plano móvil, en componentes x e y, como también
la ecuación de la trayectoria relativa al punto P respecto del plano acelerado.
17. El disco de la figura Nº16 gira en torno al eje horizontal AB con velocidad angular ω=ω(t). La
partícula P se mueve en dirección radial sobre el disco con velocidad vo =vo (t) de tal forma que la
dirección OP forma un ángulo α con el eje AB. Determine la velocidad y aceleración absolutas de
P usando:
a) Principios del movimiento relativo y coordenadas esféricas.
18. En el un cilindro (figura Nº17) se abandonan del reposo pequeños objetos que parten desde el
punto A y deslizan hacia abajo sin rozamiento apreciable, por la espiral cilíndrica de inclinación
constante γ = acrtan (h/2π r). La componente de aceleración tangente a la trayectoria es g sinγ.
Calcular la componente radial de la aceleración ar para cada objeto cuando pasa por el punto B
después de una vuelta completa.
y
P
r
D
C
u
Figura Nº 1
x
R
Figura Nº 2
er
Figura Nº 3
P
y
θ
r
eu
Figura Nº 4
O
Figura Nº 5
Figura Nº6
x
Z’
P
Ω
p
R
P
v2
v1
r
ψ
ϕ
l
x
C
Figura Nº8
X
Y
Figura Nº7
a
M
r
Z
ω
P v
O
l
ωP
vo
ϕ
ro
M (t = 0)
Figura Nº 11
V
P
r
vo
ωR
Figura Nº9
r
Figura Nº 10
ω2
ω1
ω1
v0
p
A
O
a
Figura Nº12
r
b
B
l
D
Vo
β
R
C
Figura Nº 13
α
ω2
Z
Z
ω1
ω1
ω2
R
vo
r
β
R
Figura Nº 14
Figura Nº15
Figura Nº16
Figura Nº17