Definición 1. Una función )x(f tiene un máximo absoluto (o máximo

CALCULO DIFERENCIAL
Definición 1.
Una función f ( x ) tiene un máximo absoluto (o máximo global) en c si f ( c )  f ( x )  x  D ,
donde D es el dominio de f . El numero f ( c ) se llama valor máximo de f en D . De manera
∀ ∈ . El numero f© se denomina
análoga, f tiene un mínimo absoluto en c si
valor mínimo de f en D.
Los valores máximo y mínimo de f se conocen como valores extremos de f
Definición 2.
Una función f posee un máximo local ( o máximo relativo), en c si
cuando x
esta cercano a c . [Esto significa que f ( c )  f ( x )  x en algún intervalo abierto que contiene a
. de manera análoga, f tiene un mínimo local en c si f ( c )  f ( x ) cuando x esta cerca
de c.
Teorema del valor extremo:
Si f es continua sobre un intervalo cerrado I  a, b  , entonces f alcanza un valor máximo
absoluto f ( c ) y un valor mínimo absoluto f ( d ) en algunos números c y d en a, b 
Definición 3. Un numero critico de una función f es un numero c en el dominio de f tal
que f ( c )  0 , ó, f ( c ) no existe.
Definición 4. Si f tiene un extremo local en c, entonces c es un número crítico de f .
Método del intervalo cerrado: para hallar los valores máximo y mínimo absolutos de una
función continua f sobre un intervalo cerrado a, b  :
a. Encuentre los valores de f en los números críticos de f en a , b  .
b. Halle los valores de f en los puntos extremos del intervalo
c. El mas grande de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto; el mas
pequeño , el valor mínimo absoluto.
Prueba de las funciones decrecientes:
a. Si f ( x )  0 sobre un intervalo, entonces f es creciente en ese intervalo.
b. Si f ( x )  0 sobre un intervalo entonces f es decreciente en ese intervalo.
Prueba de la primera derivada.
Supóngase que c es un número crítico de una función continua f .
a. Si f  cambia de positiva a negativa en c; entonces f tiene un máximo local en c.
b. Si f  cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo local en c.
c. Si f  no cambia de signo en c, (es decir, f  es positiva en ambos lados en c, o negativa
en ambos lados), entonces f no tiene máximo ni mínimos locales en c.
Se dice que una función (o su grafica), es cóncava hacia arriba sobre un intervalo I si f  es
una función creciente sobre I . Se dice que es cóncava hacia abajo sobre I si
f  es
decreciente sobre I .
Prueba de la continuidad.
Si f ( x )  0 para todo x en I , entonces la grafica de f es cóncava hacia arriba sobre I .
Si f ( x )  0 para todo x en I , entonces la grafica de f es cóncava hacia abajo sobre I .
Prueba de la segunda derivada.
Supóngase que f  es continua cerca de c.
a. Si f ( c )  0 y f ( c )  0 entonces f tiene un mínimo local en c.
b. Si f ( c )  0 y f ( c )  0 entonces f tiene un máximo local en c.
Regla de L´Hospital: Supóngase que f
a (excepto quizás en a ). Supóngase que:
lim f ( x )  0 y
xa
lim g ( x )  0
xa
o
y g son diferenciables y que g ( x )  0 cerca de
que
lim f ( x )  
xa
En otras palabras, tenemos una forma indeterminadas de tipo
lim
x a
f(x)
f ( x )
 lim
g( x ) xa g ( x )
y
lim g ( x )  
xa
0

o del tipo
0

, entonces:
si el limite del segundo miembro existe o es  o -∞
Teorema de Rolle.
Sea f una función tal que:
i.
Es continua en el intervalo I  a, b
ii.
Es diferenciable en el intervalo abierto ( a , b )
f (a ) 0 y f (b) 0
iii.
Entonces existe un número c en el intervalo abierto ( a , b ) talque f ( c )  0
Demostración: se consideran dos casos:
Caso1: f ( x )  0  x  a, b  entonces f ( x )  0  x  (a, b) por tanto , cualquier número entre a y
b puede considerarse como c
f(x)0
( a , b ) como f es continua en
I  a , b entonces por el teorema del valor extremo f tiene un valor máximo
el intervalo
a ,b
absoluto en a , b  y un valor mínimo absoluto en
f(a)0
f(x)0
De iii
y f ( b )  0 . Además
para algún valor de x  ( a , b ) . En
Caso 2. Si
Para algún valor de x
en el intervalo
consecuencia f tendrá un valor máximo absoluto positivo en c1  ( a , b ) , o un valor mínimo
absoluto negativo en c 2  (a, b) o ambos. Así para c  c1 o c  c 2 , según sea el caso, existe un
extremo absoluto en un punto interior del intervalo [a,b]. por tanto , el extremo absoluto f ( c ) es


también un extremo relativo, y como f ( c ) existe por hipótesis, se deduce que f ( c )  0
Quedando demostrado el teorema.
Teorema del valor medio.
Sea f una función talque:
i.
Es continua en el intervalo I  a , b
ii.
Es diferenciable en el intervalo I  ( a , b )
Entonces existe un número c  I  ( a , b ) tal que
f (b) f (a )
f ( c ) 
ba
Demostración: Una ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B de la grafica es:
f (b) f (a )
(xa)
ba
f(b) - f(a)
(x  a) f(a)
ba
Ahora, si F ( x ) mide la distancia vertical entre el punto ( x , f ( x )) de la grafica de la función f y el
y  f(a)

y
punto correspondiente de la recta secante que pasa por A y B, entonces:
f (b ) f (a )
(x a) f(a) *
ba
Debemos mostrar que esta función F ( x ) satisface las tres condiciones de la hipótesis el tma de Rolle.
F( x )  f ( x ) 
Veamos:
La función F ( x ) es continua en el intervalo I  a , b  por que es la suma de f y una función lineal, las
que son continuas. Por tanto F ( x ) satisface la condición i.
También F ( x ) satisface la condición ii ya que f
es diferenciable en ( a , b ) . De * tenemos que
F ( a )  0 y F ( b )  0 , por tanto F ( x ) satisface la condición iii del tema de Rolle.
Recordemos que la conclusión del tma de Rolle establece que existe un numero c en el intervalo
I  ( a ,b )
tal
que
F ( c )  0 pero:
F ( x )  f ( x ) 
f (b) f (a )
ba
de
modo
que
f (b) f (a )
. Lo que nos lleva a concluir que en consecuencia, existe un número
ba
f (b) f (a )
f (b)  f (a )
 f ( c ) 
c  (a,b) tal que 0  f ( c ) 
.
ba
ba
F ( c )  f ( c ) 
Nota: en la mayoría de los casos nos e puede determinar el valor exacto de c. sin embargo, el valor de
c no es significativo ya que el hecho realmente importante es que el numero c exista.
Ejercicios de práctica:
En los siguientes ejercicios halle todos los puntos críticos de cada función. Defina si hay máximos o
mínimos extremos o relativos. Examine el signo de f ( x )  0 y determine los intervalos en los que f

crece o decrece. Examine el signo de f ( x ) indique la concavidad que tiene la función.
a.
f ( x )  x2  3x  2
b.
x2  4
d.
f(x)
g.
f ( x )  x 5  x2
f ( x )  ( x  1)2 ( x  2 )
1
( x  1)( x  3 )
e.
f(x)
h.
f(x) x 
x 9
2
1
x
f.
i ..
2
f ( x )  2  ( x  1)4
c.
f ( x )  x  sen x
1
f ( x )  x 3( x  4 )
2
3
En los siguientes ejercicios determine los extremos relativos de la función , calcule los valores x
en los que ocurren los extremos relativos. Determine los intervalos en los que la función es
creciente o decreciente. Dibuje la grafica a partir de las respuestas obtenidas.
a.
2 x  9 , si x  2
f(x) 2
 x  1, si - 2  x
c.
12  ( x  5 ) 2 , si x  3

f ( x )  5 - x
, si - 3  x  -1
 100 - (x - 7) 2 , si - 1  x  17

d.
sen 2x , si x  0
f ( x )  cos
x , si 0  x



tan x  1, si -   x  2

f ( x )  Csc x , si -   x  -

sec x , si x  

2
g.
 2 x , si x  3
f ( x )  5
3x  10 , si 3  x
b.
h..
2

f ( x )  4  ( x  5 )2 , si x  4
10 - (x  1) , si x  4
En los siguientes ejercicios encuentre el punto de inflexión de la grafica de la función, si existe
alguno, y determine donde la grafica es cóncava hacia arriba y donde es cóncava hacia abajo.
Dibuje la grafica.
a.
 2
f ( x )   x 21, si x  2
7 - x , si 2  x
c.
 3
f ( x )   x2 , si x  0
- x , si 0  x
e.
f ( x )  4 x 3  3 x 2  18 x
b.
d.
2

f ( x )  2  x2 , si x  1
4 - x , si 1  x
 2
f ( x )   x 4 , si x  0
 x , si 0  x
f.
f ( x )  2 x 3  9 x 2  27
PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS.
1. Asignar símbolos a todas las cantidades dadas y a las cantidades a determinar.
2. Escribir una ecuación primaria para la magnitud que se desea hacer máxima o mínima.
3. Reducir la ecuación primaria a otra que tenga una sola variable independiente. Esto puede
exigir el uso de ecuaciones secundarias que relacionen las variables independientes de la
ecuación primaria.
4. Determinar el dominio de la ecuación primaria.( esto es para aquellos valores en que el
problema tenga sentido).
5. Hallar el valor máximo o mínimo por medio de las técnicas ya conocidas.
Solucionar los siguientes problemas:
1. ¿qué largo y ancho debe tener un rectángulo de 100 m de perímetro para que su área sea
máxima?.
2. Una empresa construye cajas abiertas con base cuadrada, para el empaque de uno de sus
productos; empleando 108 in2 de material. ¿qué dimensiones producirán una caja de
volumen máximo?´
3. Un hombre dispone de 200m de valla para delimitar dos
corrales adyanecentes trectangulares. (como lo muestra la
figura), ¿qué dimensiones debe elegir para que el área
encerrada sea máxima?
4. Se desea hacer una caja abierta, con una pieza cuadrada de material de 12 cm de lado,
cortando cuadritos iguales de cada esquina y doblando por las líneas internas, como lo
muestra la . Hallar el volumen máximo que puede lograrse con una caja de estas
características.
5. Una página ha de tener 30 cm2 de texto. Las márgenes superior e inferior son de 2 cm y los
laterales de 1 cm. Halle las dimensiones de la pagina que ahorra mas papel.
6. Se forman triángulos rectángulos en el primer cuadrante, limitados por los ejes y por una
recta que pasa por el punto (2,3). Ver figura 2. Halle los vértices del triangulo de área
mínima.
7. El rectángulo esta limitado por el eje x y por el semicírculo y  25  x 2 ( figura 3.) ¿qué
longitud y ancho debe tener tal rectángulo para que su área sea máxima?
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 3
8. Hay que construir un cilindró circular recto para contener 12 onzas de refresco, usando la
menor cantidad posible de material. Halle sus dimensiones ( 1 onza de refresco
aproximadamente equivale a 1,80469 pul3)