Guía de estudio para el examen de Matemáticas

Guía de estudio para el examen de Matemáticas
1
Ecuaciones diferenciales.
1. Por favor, clasi…que las siguientes ecuaciones diferenciales.
(a) La ecuación de Schrödinger
@2
@2
u
(x;
y)
+
u (x; y)
@x2
@y 2
z (x; y) u (x; y) = 0:
(b) La ecuación de Makey-Glass
x (t
)
d
x (t) = n
dt
x (t
)+1
x (t) :
(c) La ecuación de Lagrange
d @
E
dt @v
@
E = 0:
@x
(d) Las ecuaciones de Maxwell
!
@!
!
rot H = j + D ;
@t
!
@!
rot E =
B;
@t
!
div D =
;
!
div B = 0:
(e) La ecuación de Riccati
d
f (t) + a (t) f 2 (t) = g (t) :
dt
(f) La ecuación de Helmholtz
d2
f (t) + k 2 f (t) = 0:
dt2
1
2. Por favor, demuestre que la función
f (t) = A cos kt + B sen kt;
donde k es una constante real distinta de cero, t es la variable del tiempo,
y A; B son constantes reales arbitrarias distintas de cero, es la solución
general de la ecuación
d2
f (t) + k 2 f (t) = 0:
dt2
3. Por favor, empleando la expresión
f (t) = Ke
R
g(t)dt
+e
R
g(t)dt
Z
R
e
g(t)dt
q (t) dt;
que es la solución general de la ecuación
d
f (t) + g (t) f (t) = q (t) ;
dt
calcule la solución general de la ecuación
d
1
f (t) + f (t) = 5:
dt
t
4. Por favor demuestre que al aplicar el cambio de variable
R
f (t) = e
g(t)dt
;
la ecuación de Schrödinger
d2
f (t)
dt2
e t f (t) = 0;
es equivalente a la ecuación de Riccati
d
g (t) + g 2 (t) = e t :
dt
5. Empleando las series de Taylor, por favor demuestre que
eit = cos t + i sen t;
donde i2 =
1 y t es la variable del tiempo.
6. Por favor demuestre que al introducir la notación
Cn =
1
(an
2
2
ibn ) ;
la serie trigonométrica de Fourier de una función periódica
f (t) =
1
X
an cos n! 0 t + bn sen n! 0 t;
n=0
donde an ; bn ; n y ! 0 son constantes reales y t es la variable de tiempo,
puede escribirse como
1
X
f (t) =
Cn ein!o t :
n= 1
7. Por favor, demuestre que
d
f (t) = sL [f (t)]
dt
L
donde
L [f (t)] =
t es la variable del tiempo, s =
2
Z
1
f (0) ;
st
f (t) e
dt;
0
+ i!, y
> 0 y ! son constantes reales.
Elementos del Álgebra lineal
1. Por favor demuestre que
1
2
3
3
0
1
2
0
2. Por favor demuestre que
2
1
6 0
6
det 4
1
1
3
2
0 7
7=
1 5
1
2
1
6 2
6
4 3
2
2
1
0
1
3
1
1 7
7 = 7:
2 5
1
0
2
0
1
3. Por favor demuestre que
A
es la matriz inversa de
1
2
6
16
5
= 6
74 4
3
2
1
6 0
A=6
4 1
1
4
1
5
2
2
1
0
1
3
11
5
5
3
1
1
0
2
0
1
3
8
2 7
7
3 5
4
3
1
1 7
7
2 5
1
4
3
:
4. Por favor demuestre que
2
1
A=4 2
2
es un divisor de cero.
5. Por favor demuestre que
de la matriz
= 1;
2
0
A=4 0
6
mientras que
1
3
3
1 5
6
0
1
0
=
2
2y
1
0
11
=
3
3
3; son valores propios
0
1 5;
6
2
3
2
3
2
3
1
1
1
!
v 1 = 4 1 5;!
v 2 = 4 2 5;!
v 2 = 4 3 5;
1
4
9
son respectivamente, los vectores propios de los valores propios antes citados.
3
Elementos de Estadística y Probabilidad.
1. Sea
A = f0; 3; 2; 1; 3; 5; 6; 2; 3; 3; 3g:
(1)
Por favor, demuestre que la media x de este conjunto es
31
;
11
x=
que la mediana x es
x = 3;
que la moda x
~ es
x
~ = 3;
y que la desviación standard
aproximada es
1:662;
mientras que la varianza
es igual a
=
152
:
55
2. Proponga un histograma, con su respectivo polígono de frecuencias, que
ilustre las características del conjunto (1).
4
3. Demuestre que la probabilidad p (A) de extraer un elemento con valor igual
a 3 del conjunto A, una vez extraído un elemento cuyo valor es distinto
de 3, es precisamente
1
p (A) = :
2
5