Capítulo 3 Transformadas de Laplace

3.4 Trasformada de Laplace de funciones definidas por tramos
201
3.4 Trasformada de Laplace de funciones definidas por tramos
La transformada de Laplace requiere la operación de integración y produce la nueva
función
L { f (t )} = F ( s )
(1)
Que depende de una nueva variable independiente s .
Dada la función f (t ) definida para toda t ≥ 0 , la transformada de Laplace de f es la
función F ( s ) definida de la siguiente manera
∞
L { f (t )} = F ( s ) = ∫ e − st f (t )dt
(2)
0
En todos los valores de s para los cuales la integral impropia converja. Una integral
impropia sobre un intervalo infinito se define como un límite de integrales sobre intervalos
finitos, es decir
∫
x
a
b
g (t )dt = lim ∫ g (t )dt
b→ x
(3)
a
Si el límite existe decidimos entonces que la integral impropia converge. Si no es así,
diverge o no existe. Nótese que el integrando de la integral impropia contiene el parámetro
s además de la variable de integración t . En consecuencia, cuando la integral converge,
no lo hace solo a un número, sino a una función F ( s ) . Como en los siguiente ejemplos, la
integral impropia que define L { f (t )} suele converger para ciertos valores de s y divergir
para otros.
Propiedad de integrales
∫
c
a
b
c
a
b
e − st f (t )dt = ∫ e − st f (t )dt + ∫ e− st f (t )dt
siendo a < b < c
(4)
De tal manera que si tenemos una función definida por tramos podemos aplicar la
propiedad de integración, y transformar segmento por segmento.
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Amalia C. Aguirre Parres
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Ejercicio 3.4.1 Evaluar L { f (t )}
202
0 0 ≤ t ≤ 3
f (t ) = 
3<t
2
si
Aplicando propiedades de integración como (4)
3
b
F ( s ) = lim  ∫ e − st (0)dt + ∫ e − st (2)dt 

3
b →∞ 
 0
(5)
b
F ( s ) = 2 lim  ∫ e − st dt 

b →∞ 
 3
(6)
∞
2
Integrando y evaluando límites de (6), F ( s ) = − lim e − st 
3
s
2
F ( s ) = − lim e − s( ∞ ) + e − s (3)  tomando en cuenta que

s
e
− s(t )
→ 0 si t → ∞
Entonces queda F ( s ) =
(7)
2 −3 s
e
s
 −1 0 ≤ t ≤ 1
Ejercicio 3.4.2 Obtener la transformada de Laplace de f (t ) = 
t ≥1
1
Aplicando la definición (2) y propiedades de integración (4)
1
¨b
F ( s ) = lim  ∫ e − st (−1)dt + ∫ e − st (1)dt 
1
b →∞ 
 0

Completando el diferencial
  −1  1

 1  b
F ( s ) = lim   ∫ e − st ( − s ) dt +   ∫ e − st (− s )dt 
0
1
b →∞
 −s 
 − s 

1
Integrando
(8)
1
1
F ( s ) =   e − st −   e− st
s
s
0
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∞
1
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203
Sustituyendo los límites de la integral
 1
   1

 1
 1
F ( s ) =  e − s (1)  −  e − s (0)   −  e− s ( ∞ )  −  e− s (1)  
 s
 s
   s
 
 s
 1   1   
 1 
Aplicando el límite de la función F ( s ) =  e − s  −    −  0 ) −  e − s   ,
  s   
s
 
 s
Simplificando F ( s ) =
Ejemplo 3.4.3
2 −s 1
e −
s
s
 sen ( t ) 0 ≤ t ≤ π
Encontrar la Transformada de Laplace de f (t ) = 
t ≥π
 0
π
b
Aplicando la definición (4), F ( s ) = lim  ∫ e − st ( sen ( t ))dt + ∫ e− st (0)dt 

π
b →∞ 
 0
Aplicando fórmulas de integración
− st
∫ e  sen ( t ) dt =
e − st  s sen ( t ) − cos ( t ) 
s2 + 1
 e − st  s sen ( t ) − cos ( t )  
De tal manera que F ( s ) = 

s2 + 1


(9)
π
0
Sustituyendo los límites de la integral
 −e − s (π ) cos(π ) − se − s (π ) sen(π )   −e− s (0) cos(0) − s e (0) sen(0) 
F (s) = 
−

s2 + 1
s2 + 1
 


−e − sπ (−1) − 0
1
+ 2
, finalmente
Simplificando F ( s ) =
2
s +1
s +1
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F (s) =
204
1 + e − sπ
s2 + 1
t 0 ≤ t ≤ 1
Ejemplo 3.4.4 Encontrar la Transformada de Laplace de f (t ) = 
t ≥1
1
1
b
Aplicando (4), F ( s ) = lim  ∫ e − st (t )dt + ∫ e − st (1)  dt

1
b →∞ 
 0
Integrando por partes, haciendo u = t entonces du = dt , haciendo dv = e − st dt entonces
1
  1
  1 1
 1 ∞

v = − e − st , integrando F ( s ) = t  − e − st  −  −  ∫ e − st dt  +  − ∫ e − st (− s )dt 

0
1

s
  s
 s

  s
1
 t
Resulta F ( s ) =  − e − st − 2
s
 s
 1 − st
− st
∫0 e (− s)dt  − s e
1
1
 t
Integrando nuevamente F ( s ) =  − e − st − 2 e − st
s
 s
∞
(10)
1
  1 − st
− e
 s
0

1
∞
1



 1
  0
1
1    1   1  
Sustituyendo límites F ( s ) =  − e − s − e − s  −  − e0 − 2 e0   −  e∞  −  e − s  
s2
s
   s   s


  s
 s
1
1
1 1
Simplificando F ( s ) = − e − s − 2 e − s + 2 + e− s , finalmente
s
s
s
s
F (s) = −
1 −s 1
e + 2
s2
s
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