PR´ACTICA 13 DE REGULACI´ON AUTOM´ATICA

PRÁCTICA 13 DE
REGULACIÓN
AUTOMÁTICA
Dpto. Ing. Sistemas y Automática
Universidad de Sevilla
Mercedes Pérez de la Parte
J. Iván Maza Alcañiz
Agradecimientos a Manuel Berenguel Soria
c
°POSTLOU
2
Control de un servomecanismo
de posición basado en el lugar
de las raı́ces
Introducción
El objetivo de esta práctica es el diseño de controladores mediante el
análisis en el lugar de las raı́ces del sistema controlado.
El lugar de las raı́ces permite conocer la posición de los polos y ceros
del sistema controlado, de manera que el objetivo será situar dichos polos de
modo que se cumplan las especificaciones. Se verá cómo se puede emplear
MATLAB para realizar el diseño de controladores basado en el lugar de las
raı́ces.
Descripción del sistema
El sistema sobre el que se va a trabajar en esta práctica consiste en bucle
abierto en un sistema de segundo orden más un integrador:
G(s) =
Kωn2
1
·
2
2
s + 2δωn s + ωn s
(1)
El sistema se corresponde con el descrito en el trabajo de curso, por lo
que la práctica puede aprovecharse para el desarrollo de alguna de las tareas
requeridas en el mismo.
Cada alumno debe emplear los parámetros δ, ωn y K obtenidos a partir
del DNI.
3
4
Especificaciones
A lo largo de la práctica, se diseñarán controladores de modo que el
sistema con realimentación en posición presente las siguientes caracterı́sticas:
1. Error de seguimiento en velocidad menor o igual al 0,1 %
2. Sobreoscilación menor o igual al 30 %
3. Tiempo de subida menor o igual a 0,1 segundos.
El lugar de las raı́ces
Recordemos que el lugar de las raı́ces no es más que el lugar geométrico de los polos del sistema controlado en bucle cerrado, en función de un
parámetro que normalmente es una ganancia. Es decir, en el plano complejo,
se representan las soluciones de la ecuación:
1 + KC(s)G(s) = 0
(2)
en función de K.
La figura 1 muestra el lugar de las raı́ces para un sistema como el estudiado. El lugar de las raı́ces permite analizar tanto la estabilidad del sistema
en bucle cerrado como la situación precisa de polos y ceros.
Descripción de las especificaciones en el lugar de las
raı́ces.
Antes de comenzar con el diseño, es necesario traducir las especificaciones
temporales a información que podamos emplear para el diseño basado en el
lugar de las raı́ces.
Dadas las especificaciones anteriores, y suponiendo que la planta controlada en bucle cerrado se puede asimilar a un sistema con dos polos dominantes,
podrı́amos calcular los parámetros δbc y ωnbc deseados:
SO = 100e
√−δπ
1−δ 2
(3)
5
Root Locus Design
3
2
Imag Axes
1
0
−1
−2
−3
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
Real Axis
−0.5
0
0.5
1
Figura 1: Lugar de las raı́ces de un sistema como el estudiado.
ts =
π−ϕ
√
ωn 1 − δ 2
δ = cos(ϕ)
(4)
(5)
S.O. −→ δbc
ts , δ −→ ωnbc
Los valores de δbc y ωnbc deseados determinarán una región en el lugar de
las raı́ces donde deben situarse los polos dominantes de la planta controlada
en bucle cerrado.
En la figura 2 puede verse la situación de los polos en el plano complejo
según los valores de δbc y ωnbc . δbc determinará una región angular donde
deben situarse los polos en bucle cerrado, y ωnbc determinará la distancia al
origen de los mismos.
En el caso que nos ocupa, hay que determinar los valores de δbc y ωnbc :
δbc
ωnbc
Parámetros deseados:
En apartados posteriores se verá como esto se puede incorporar muy
fácilmente a la herramienta rltool de MATLAB.
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Figura 2: Posición de los polos en función de δbc y ωnbc .
Root Locus Design
1.5
1
Imag Axes
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−1.5
−1
−0.5
Real Axis
0
0.5
1
Figura 3: Lugar de las raı́ces con las especificaciones incorporadas. El valor
de δbc confina a los polos en una región angular, y el correspondiente valor
de ωnbc la distancia al origen de los mismos.
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Introducción a la Herramienta RLTOOL
Esta herramienta es una GUI (Graphic User Interface) para diseñar controladores SISO (Single Input Single Output) mediante técnicas del lugar de
las raı́ces. El modelo de la planta se puede importar fácilmente para trabajar
sobre él. Es una herramienta fácil de manejar y muy intuitiva que permite visualizar simultáneamente diversa información acerca de un sistema. La
introducción que se hará en este apartado será breve, dejando el resto al
alumno. Para iniciar la herramienta, basta escribir
>>rltool
Aparece entonces una pantalla como la que se muestra en la figura 4.
Una vez se ha definido el sistema con el que se va a trabajar en el espacio
de trabajo, para importarlo a la herramienta se utilizará File→ import Model, colocándolo en la posición que se indica en el esquema. En la figura 4,
puede verse la posición de los polos y ceros en lazo abierto (fijos y de color
azul) y los mismos también en bucle cerrado (de color rojo). Estos últimos
pueden modificarse arrastrando el icono que aparece de una mano a lo largo
de la representación. Con esto se consigue únicamente variar la ganancia del
controlador colocado en serie en la posición que aparece en el esquema correspondiente.
Hay tres formas de crear ó modificar un controlador:
Modificando sobre la propia representeción los polos y ceros en lazo
cerrado, tal como se ha descrito más arriba.
Añadiendo sobre el esquema polos y ceros del lazo cerrado a discreción
del diseñador. Para esto se utilizan los botones que hay debajo de la
fórmula del controlador, que se irá modificando según lo que se le vaya
añadiendo.
Editando el controlador con Tools→ Edit Compensator. Aparece entonces una pantalla que permite añadir y eliminar polos y ceros del
controlador.
Todas las modificaciones que se vayan realizando sobre el controlador
afectan evidentemente al comportamiento del sistema en lazo cerrado. Esto
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Figura 4: Pantalla de Principio de la Herramienta
se puede ver a partir de las respuestas a escalón e impulso, ası́ como las
representaciones del Bode, Nichols y Nyquist en lazo abierto. Para ver estos,
basta con marcar la casilla correspondiente.
Realización de la práctica
La tarea a realizar en la práctica serı́a:
Diseñar controladores de tipo PD, PI y PID, empleando la herramienta
rltool y tratando de cumplir las especificaciones dadas anteriormente.
El modelo de la planta será el obtenido en el primer apartado de esta
práctica.