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Estudiamos algunos ejemplos de distribuciones de variables aleatorias continuas. De ellas merecen especial mención las
derivadas de la distribución normal (χ2, t de Student y F de Snedecor), por su importancia en el desarrollo de la última
parte de este manual (Inferencia estadística).
Se incorporan otros ejemplos para que el lector pueda disponer de una referencia para su conocimiento básico. Tales
distribuciones son : uniforme o rectangular, de Cauchy, exponencial, de Laplace, de Pareto, Gamma, Beta y log-normal.
Los ejemplos se centrarán casi exclusivamente en las distribuciones : χ2, t de Student y F de Snedecor.
DISTRIBUCIÓN UNIFORME (o rectangular)
Se denomina así a la variable aleatoria continua que toma valores comprendidos entre dos fijos a y b , siendo constante la
probabilidad para cada uno de ellos :
Función de densidad :
Función de distribución :
Esperanza matemática y varianza :
1
b−a
⎧0
para x < a
⎪x − a
F(x) = Pr(X = x) = ⎨
para a ≤ x ≤ b
⎪b − a
para x > b
⎩1
( b − a) 2
a+b
E( X) =
V( X) =
2
12
X ∈ [a , b]
con f(X) =
DISTRIBUCIÓN DE CAUCHY
Tiene por función de densidad :
f ( x) =
1
π. ( 1 + x 2 )
-∞ < x < ∞
para :
Esta distribución carece de esperanza matemática y
varianza.
Puede generalizarse a :
f ( x) =
1
π. ( a + ( x − b) 2 )
2
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Definida en función del parámetro α, tiene por función de densidad :
⎧α. e −α.x
f ( x) = ⎨
⎩0
para x > 0
para x ≤ 0
Esperanza matemática y varianza :
E ( X) =
1
α
V( X) =
1
α2
DISTRIBUCIÓN DE LAPLACE
Esta distribución nace del análisis de errores en la medición, quedando definida a partir de su promedio (μ) y en función de
un valor α. Recibe también el nombre de "distribución doble exponencial".
Distribuciones continuas - 129
Tiene por función de densidad :
1 −
f ( x) =
.e
2.α
x−μ
α
para − ∞ < x < ∞
Esperanza matemática y varianza :
E ( X) = μ
V( X) = 2. α 2
Gráfica de la función de densidad de Laplace
de promedio μ = 0, para α = 1
DISTRIBUCIÓN DE PARETO
Utilizada en la descripción de fenómenos biológicos y económicos, se define para valores de la variable superiores a uno dado (x0).
Tiene por función de densidad (para un cierto α > 0) :
⎧ α ⎛ x ⎞α+1
⎪ .⎜ 0 ⎟
f ( x) = ⎨ x 0 ⎝ x ⎠
⎪⎩0
para x ≥ x 0
para x < x 0
Esperanza matemática y varianza :
α. x 0
E ( X) =
α −1
NOTA :
V( X) =
α. x 0 2
(α − 1) 2 .(α − 2)
La esperanza matemática existe sólo para valores α > 1.
La varianza existe sólo para valores α > 2.
DISTRIBUCIÓN GAMMA
Definida en función de dos parámetros positivos α y p,
y representada por G(α , p), tiene por función de
densidad :
⎧ α p −α.x p−1
⎪
.e
.x
f ( x ) = ⎨ Γ( p )
⎪⎩0
para x > 0
para x ≤ 0
donde Γ(p) es la función gamma de Euler, que se
describe al final de la exposición teórica del tema.
Esperanza matemática y varianza :
E ( X) =
p
α
V( X) =
p
α2
Moda :
Gráficas de funciones de densidad gamma con parámetro α =
1
(para valores de p : 1, 2 y 3)
Mo =
p −1
α
con p > 1
Relación con otras distribuciones :
• Para p = 1, la distribución gamma G(α , 1) coincide con la distribución exponencial de parámetro α.
• La distribución gamma G(α=1/2 , p=ν/2) coincide con la distribución χ2 con ν grados de libertad (estudiada
más adelante)
DISTRIBUCIÓN BETA
Está definida en función de dos parámetros positivos p y q, y tiene por función de densidad :
130 - Distribuciones continuas
⎧ 1
⎪
. x p−1 .(1 − x) q −1
f ( x) = ⎨ B( p, q )
⎪⎩0
para 0 < x < 1
para x ≤ 0 y x ≥ 1
donde B(p,q) es la función beta de Euler, que se describe al final de la exposición teórica del tema.
Los siguientes gráficos nos muestran la evolución de la función de densidad en función de p y q :
Esperanza matemática, varianza, moda y asimetría :
E( X) =
Mo =
As =
p
p+q
V( X) =
p. q
( p + q ) .( p + q + 1)
2
p−1
p+q−2
2. p. q.(q − p)
( p + q ) 3 .( p + q + 1).( p + q + 2)
DISTRIBUCIÓN LOGARÍTMICO-NORMAL
La distribución normal surge formalmente de la suma de muchas variables aleatorias. En múltiples situaciones es preciso
considerar el producto de variables, resuelto con la presente distribución.
Una variable aleatoria es logarítmico-normal (o lognormal) , si su logarítmo ( ln(X) ) corresponde a una
distribución normal.
Función de densidad :
( ln( x ) − μ) 2
−
1
f ( x) =
.e
x. σ. 2π
para ln( x) ≥ 0
2.σ2
siendo μ y σ la media y desviación típica de la
distribución normal de partida.
Distribuciones continuas - 131
DISTRIBUCIÓN χ2 DE PEARSON
Siendo X1 , X2 , ... , Xn n variables aleatorias normales e independientes con media 0 y varianza 1, se define la nueva
variable ⊗
χ 2 = X12 + X 22 + ... + X 2n
A ella queda asociado el número n de sumandos que la integran, mediante lo que denominamos : grados de libertad = n
Función de densidad :
⎧ 2 −( n / 2 )
(
)
− x/2
⎪
. x n−2 / 2
f ( x ) = ⎨ Γ( n / 2 ) . e
⎪⎩0
Esperanza matemática y varianza :
E( X ) = n
Moda (definida para n > 2) :
Mo = n - 2
para x > 0
para x ≤ 0
V( X) = 2 n
Gráficas de la función de densidad de χ2, en función del número
ν de grados de libertad :
Tabla de la distribución :
La tabla proporciona el valor de χ2 que deja a su
izquierda un área 1-α , en función del número ν de
grados de libertad
Para valores superiores a 50 grados de libertad, puede aproximarse mediante la distribución normal tipificada N(0,1) :
Para n > 30 se verifica que z =
De aquí : χ 2 =
2. χ 2 − 2. n − 1 con z ∈ N(0,1)
1
2
.( z + 2. n − 1)
2
Relación con otras distribuciones :
•
•
La distribución χ2 con ν grados de libertad es una distribución gamma G(1/2 , ν/2).
La distribución χ2 con 2 grados de libertad es una distribución exponencial de parámetro α = 1/2.
DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT
La variable aleatoria denominada t de Student, se define como combinación de una variable Z
normal tipificada y una χ2 con n grados de libertad, de la forma indicada a la derecha.
Como en χ2 , queda asociado a cada variable t el número de sumandos de la variable χ2 :
grados de libertad = n
t=
Z
χ2
n
Función de densidad :
⎛ n + 1⎞
⎟
− ( n−1)/ 2
Γ⎜
⎝ 2 ⎠ ⎛ x2 ⎞
f ( x) =
.⎜1 + ⎟
⎛n⎞ ⎝
n ⎠
n. π . Γ⎜ ⎟
⎝2⎠
Esperanza matemática (definida si n>1) :
E( X) = 0
Varianza (definida si n>2):
V( X) =
para − ∞ < x < ∞
n
n−2
Tablas de la distribución :
⊗ Formalmente se define como suma de cuadrados de variables normales con desviación típica igual a la unidad, pero con cualquier
promedio. En particular, la que estudiamos, es una χ2 centrada (aquella que verifica que la suma de promedios es igual a cero : Σμ =
0) con todas las medias nulas.
132 - Distribuciones continuas
Se utilizan habitualmente los dos tipos de tablas, que se describen a continuación.
Esta tabla proporciona el valor de t que deja a su izquierda un área
1-α , en función del número ν de grados de libertad.
Esta tabla proporciona el valor positivo de t que deja a su derecha
un área α/2 , en función del número ν de grados de libertad
Para valores superiores a 50 grados de libertad, puede aproximarse mediante la distribución normal tipificada N(0,1) , siendo, en este
caso, equivalentes :
para ν > 50
t ≈ z ∈ N(0,1)
DISTRIBUCIÓN F DE SNEDECOR
La variable aleatoria denominada F de Snedecor, se define como el cociente de dos variables χ2 ,
tal como se indica a la derecha.
En este caso , queda asociado a cada variable F los grados de libertad de cada χ2 :
grados de libertad = (ν1 , ν2) =
= (grados de libertad de la χ2 del numerador , id. del denominador)
χ 12
F=
χ
2
2
ν1
ν2
Función de densidad :
⎧ ν / 2 ν / 2 ⎛ ν1 + ν2 ⎞
ν1
−1
⎪ ν1 1 .ν2 2 . Γ⎜⎝ 2 ⎟⎠
2
x
⎪
.
ν1 +ν2
f ( x) = ⎨
⎛ ν1 ⎞ ⎛ ν2 ⎞
2
⎟
⎜
⎟
⎜
.
Γ
Γ
+
.
x
ν
ν
(
)
⎪
1
2
⎝2⎠ ⎝2⎠
⎪0
⎩
para x > 0
para x ≤ 0
Esperanza matemática (definida si ν1 > 2) :
E( X) =
ν1
ν1 − 2
Varianza (definida si ν2 > 4):
V( X) =
2. ν1 2 . (ν1 + ν2 − 2)
ν1 . (ν2 − 2) 2 . (ν2 − 4)
Moda (definida si ν1 > 2):
Mo =
ν2 .(ν1 − 2)
ν1.(ν2 + 2)
Tabla de la distribución :
La tabla proporciona el valor de F que deja a su derecha un área α , en
función del número de grados de libertad del numerador ν1 y del
denominador ν2 .
Se suelen independizar las tablas en función del área α .
Aquí se ofrecen para áreas iguales a 0'05 , 0'025 , 0'01 y 0'005, con
grados de libertad (para el numerador y el denominador) correlativos
desde 1 a 60 y para 100, 200, y 400 y valores muy elevados del número
de grados de libertad (representado por ∞).
Se verifica que :
Distribuciones continuas - 133
Fν 1 , ν 2 , α =
1
Fν 2 , ν 1 ,1− α
La relación anterior es utilizable para el cálculo de valores F que dejan a su derecha áreas 0'95, 0'975, 0'99 y 0'995 (1-α).
Propiedades :
• Si ν1 y ν2 tienden a infinito, el valor de F tiende a 1 : F∞,∞ ≡ 1
• Para ν1 = 1, el valor F de Snedecor que deja a su izquierda un área 1 - α, coincide con el cuadrado de una t
de Student que deja a su izquierda un área 1 - (α/2).: F1,ν ,1−α
2
≡ t ν22 ,1−(α / 2 )
FUNCIÓN GAMMA DE EULER
Denominada también "integral euleriana de segunda especie", se define (para valores p > 0) como :
Γ( p) = ∫ x p−1 . e − x . dx
∞
Propiedades :
•
0
⎛1⎞
Γ(1) = 1 ; Γ⎜ ⎟ = π
⎝2⎠
•
Fórmula de recurrencia :
•
Para valores enteros de p :
•
Verifica la relación :
Γ( p) = p . Γ( p − 1)
Γ( p) = ( p − 1)! (si p no es entero se recurre a tablas)
π
Γ( p). Γ(1− p) =
sen ( p. π )
Gráfica de la función Gamma de Euler:
FUNCIÓN BETA DE EULER
Denominada también "integral euleriana de primera especie", se define (para valores p > 0 , q > 0) como :
Β( p, q ) = ∫ x p−1 .(1 − x) q −1 . dx
1
0
Propiedades :
1
p
•
Β( p , 1) =
•
Simetría de la función :
Β( p , q ) = Β( q , p )
(q − 1)!
p.( p + 1).( p + 2). ... .( p + q − 1)
( p − 1)!
• Si p es un número entero : Β( p, q ) =
q.(q + 1).(q + 2). ... .(q + p − 1)
Γ( p). Γ(q )
• Β( p , q ) =
Γ( p + q )
•
Si q es un número entero :
134 - Distribuciones continuas
Β( p, q ) =
EJERCICIOS RESUELTOS
1
Una variable aleatoria se distribuye uniformemente en el intervalo [0 , 100].
a)
Calcule la probabilidad de que su valor esté comprendido entre 20 y 35.
b)
Determine su esperanza matemática y varianza.
Para el cálculo de probabilidades se pueden seguir dos procedimientos; uno basado en la función de distribución y, el segundo, en el
significado gráfico de la distribución uniforme.
a)
⎧0
⎪ x−0
x
F(x) = Pr(X ≤ x) = ⎨
=
⎪100 − 0 100
⎩1
Su función de distribución es :
para x < 0
para 0 ≤ x ≤ 100
para x > 100
La probabilidad pedida es :
35
20
15
−
=
= 0' 15
100 100 100
Pr(20 ≤ X ≤ 35) = Pr(X ≤ 35) - Pr(X ≤ 20) = F(35) - F(20) =
De otro modo. Observando la gráfica de la distribución, deducimos que
Pr (20 ≤ X ≤ 35) = 15.
1
= 0'15
100
(área sombreada)
dado que la altura es el valor común de las probabilidades :
f(X) =
b)
(b − a )
a + b 0 + 100
E(X ) =
=
= 50 V ( X ) =
2
2
2
12
2
(
100 − 0 )
=
12
1
b−a
= 833'33
2
Determinar los valores de una variable χ2 con 11 grados de libertad :
a)
que deja a su derecha un área 0'1
b)
que deja a su derecha un área 0'925
Determinar los valores de una variable χ2 con 76 grados de libertad :
c)
que deja a su derecha un área 0'155
d)
que deja a su izquierda un área 0'75
e) Calcule, con 20 grados de libertad , Pr( χ2 > 28).
2
χ 11
= 17'275116
a)
La tabla de χ2 nos proporciona, para α=0'1, el valor :
b)
La tabla de χ2 nos proporciona los valores :
2
χ 11
= 4'574829 para un área a la derecha α=0'95
2
para un área a la derecha α=0'90
χ 11
= 5577713
'
Como el área dada se encuentra entre las dos anteriores (es su media), interpolamos los valores tabulados de χ2 ,
obteniendo :
2
χ 11
=
'
4'574829 + 5577713
= 5'076271
2
c)
Siendo el número de grados de libertad superior a 50, determinamos el valor de χ2 mediante la distribución normal
tipificada:
El valor de z ∈ N(0,1) que deja a su derecha un área igual a 0'155, deja a su izquierda un área 0'845.
Consultando la tabla normal (con áreas a la izquierda) obtenemos el valor más próximo para z = 1'02.
Con esto :
d)
1
2
(
)
2
1
2
(
2
Como en el apartado anterior, determinamos el valor de χ2 mediante la distribución normal tipificada :
El valor de z ∈ N(0,1) que deja a su izquierda un área 0'75 es : z = 0'67.
Con esto :
e)
)
χ 2 = . z + 2.ν − 1 = . 1'02 + 2.76 − 1 = 88'55417
1
2
(
)
2
1
2
(
)
2
χ 2 = . z + 2.ν − 1 = . 0'67 + 2.76 − 1 = 83'957548
Para 20 grados de libertad, el valor más próximo a 28 es 28'411865.
Dicho valor deja a su derecha un área α = 0'10.
Distribuciones continuas - 135
Pr( χ2 > 28) ≈ 0'10
La probabilidad pedida es aproximadamente ese área :
3
Determinar los valores de una variable t con 16 grados de libertad :
a)
que deja a su derecha un área 0'01
b)
que deja a su izquierda un área 0'05
c) Determinar el valor de una variable t con 90 grados de libertad que deja a su derecha un área igual a 0'121.
Calcule, con 20 grados de libertad :
d)
Pr( ⏐t⏐ < 2'09)
e)
Pr(1'3 ≤ t ≤ 2'5)
a)
De la tabla obtenemos directamente el valor t = 2'583476
b)
Por la simetría de la distribución, buscamos el valor t que deja a su derecha
un área 0'05.
El valor pedido es el opuesto del anterior : t = -1'745880
c)
Aproximamos mediante la distribución normal N(0,1).
Entre 0 y el valor pedido queda un área 0'5 - 0'121 = 0'379,
correspondiendo al valor z = 1'17.
Luego :
t ≈ z = 1'17
d)
El valor más próximo de t es 2'085962. De aquí , consultando la tabla que
relaciona t con las dos áreas laterales :
Pr( t < 2'05) ≈ 1 - 0'05 = 0'95
Los valores más próximos a los de t (con 20 g.l.) son, respectivamente,
1'325340 y 2'527973, con áreas a su izquierda 0'90 y 0'99. Luego :
Pr(1'3 ≤ t ≤ 2'5) ≈ 0'99 - 0'90 = 0'09
e)
4
Calcular los valores Fϕ de una distribución F de Snedecor tales que :
a)
Pr(F > Fϕ ) = 0'05 con ν1 = 8 y ν2 = 12 grados de libertad
b)
Pr(F ≤ Fϕ ) = 0'99 con ν1 = 29 y ν2 = 4 grados de libertad
c)
Pr(F > Fϕ ) = 0'95 con ν1 = 8 y ν2 = 100 grados de libertad
Calcular las probabilidades :
d)
Pr(F < 4'7 )
con ν1 = 4 y ν2 = 9 grados de libertad
e)
Pr(5'3 < F ≤ 7'56 ) con ν1 = 15 y ν2 = 6 grados de libertad
f)
Pr(F ≥ 4 )
con ν1 = 120 y ν2 = 10 grados de libertad
a)
La tabla correspondiente a α = 0'05 proporciona el valor pedido :
F = 2'848633 (para 8 y 12 g.l.)
b)
Para α = 0'01 (1 - 0'99) encontramos :
F = 13'851563
c)
En este caso tenemos que hacer uso de la propiedad :
Fν1 ,ν2 ,α =
136 - Distribuciones continuas
1
Fν2 ,ν1 ,1−α
⇒
F0' 95,8,100 =
1
F0'05,100,8
=
1
= 0'3361785
2'974609
d)
Localizamos el F más próximo en las distintas tablas :
Para 4 y 9 g.l. encontramos los valores de F :
3'633057 (0'05) ; 4'717773 (0'025) ; 6'421875 (0'01) y 7'957031 (0'005).
Luego :
F = 1 - 0'025 = 0'975
e)
Para 15 y 6 g.l. encontramos los valores de F :
3'937988 (0'05) ; 5'268555 (0'025) ; 7'558594 (0'01) y 9'812500 (0'005).
Luego :
F = 0'025 - 0'010 = 0'015
f)
Para 110 (tomamos 100 como más próximo) y 10 g.l. encontramos los valores de F
:
2'588379 (0'05) ; 3'151855 (0'025) ; 4'013672 (0'01) y 4'771484 (0'005).
Luego :
F = 0'01
5
Consideradas las siguientes variables :
A
B
C
D
E
f)
Distribuida según
N(0,1)
N(0,1)
t de Student
χ2 de Pearson
F de Snedecor
Definida la variable V =
grados de libertad
no procede
no procede
20
16
4y8
4. A
Calcular las probabilidades :
a)
Pr(-1'2 < A ≤ 3'992)
b)
Pr(6 ≤ A2 + B2 < 7’4)
c)
Pr (C < -2'09)
d)
Pr (D > 32)
e)
Pr (E ≤ 5'05)
, calcule Pr(-1'75 ≤ V ≤ 2'95)
D
a)
Consultando la tabla N(0,1) que proporciona áreas a la izquierda encontramos, para
-1'2 y 3'99 (≈ 3'992) : 0'11507 y 0'99997.
Luego la probabilidad a calcular resulta ser :
0'99997 - 0'11507 = 0'88490
b)
La suma de cuadrados de dos distribuciones N(0,1) es una χ2 con dos grados de
libertad.
La tabla proporciona áreas a la izquierda : 0'975 (7'377930) y 0'95 (5'991455).
Luego la probabilidad es :
0'975 - 0'95 = 0'025
c)
Para 20 grados de libertad encontramos el valor positivo de t que deja a su derecha
un área igual a 0'025 (valor más próximo 2'085962). La probabilidad que se solicita
es la que deja a su izquierda el valor -t, la cuál coincide con la anterior.
Así, la probabilidad pedida es igualmente 0'025.
d)
Para 16 grados de libertad encontramos el valor de χ2 = 31'999023 ≈ 32, que resulta
dejar a su derecha un área igual a 0'01.
Esta es la probabilidad que se solicita.
e)
Entre las cuatro tablas disponibles (diferentes valores de α) encontramos el valor
más próximo 5'052734, correspondiente a α = 0'025.
Siendo el área pedida la correspondiente a la izquierda de E :
Probabilidad pedida = 1 - 0'025 = 0'975
f)
V=
4. A
D
=
A
D
= t de Student con 16 grados de libertad.
16
para - 1'75 : área a la izquierda = 0'05
para 2'95 : área a la izquierda = 0'995
La probabilidad pedida es : 0'995 - 0'05 = 0'945
(1’745880)
(2’920763)
Distribuciones continuas - 137
6
Responda a las siguientes cuestiones :
a) Sea X una VA (variable aleatoria) con distribución normal de media 10 y varianza 16. Calcule Pr(X<4).
b) Sea Y una VA que se distribuye según χ210. Sabiendo que Pr(Y > k) = 0’025, ¿ cuánto vale k ?.
c) Sea Z una VA que se distribuye según “t” con 17 g.l. (grados de libertad). Calcule Pr(Z>1’74).
a)
X ⇒ N(10 , 4)
Pr(X < 4) = 0’06681
b)
Y ⇒ χ210
Pr(Y > k) = 0’025 ⇒ k = 20’483398
c)
Z ⇒ t17
Pr(Z > 1’74) = 0’05
(en tabla aparece 1’739604)
7
Calcule P(X=2) y P(X>2) en los casos siguientes :
a) Si X es normal con media 3 y desviación típica 2.
b) Si X es binomial con n=3 y p=1/2.
c) Si X es F, con n1 = 12 y n2 = 40.
a)
X ⇒ N(3 , 2)
Pr(X = 2) = 0 (continua)
Pr(X > 2) = 1 - 0’30854 = 0’69146
b)
X ⇒ B(3 , 0’5)
Pr(X = 2) = 0’375
Pr(X > 2) = Pr(X = 3) = 0’125
c)
X ⇒ F12,40
Pr(X = 2) = 0
Pr(X > 2) = 0’050 , ya que :
(continua)
Tabla : α = 0’050
F = 2'003479
Tabla : α = 0’025
F = 2’288086
Tabla : α = 0’010
F = 2’664795
Tabla : α = 0’005
F = 2’953125
NOTA :
Si no hubiésemos encontrado un valor de F próximo a los 4 de las tablas, determinaríamos los que dejan esa probabilidad a
la izquierda (1-α a la derecha), haciendo uso de la expresión :
Fν1 ,ν2 ,α =
1-α = 0’950
F=
1
Fν2 ,ν1 ,1−α
→ F12 ,40,α =
1-α = 0’975
1
F40,12 ,1−α
1-α = 0’990
1-α = 0’995
1
1
1
1
= 0'4122 F =
= 0'3441 F =
= 0'2763 F =
= 0'2365
2'425903
2'906250
3'619141
4'228516
Así, por ejemplo :
138 - Distribuciones continuas
Pr(X > 0’35) = 0’975
o
Pr(X < 0’35) = 0’025
EJERCICIOS PROPUESTOS
1
a) Determine la función de distribución, esperanza matemática y varianza de la variable aleatoria continua X que se
distribuye uniformemente en el intervalo [2 , 4]
b) Para dicha variable, calcule las probabilidades :
Pr(X ≥ 3)
Pr(1'25 < X ≤ 2’05)
2
Determinar los valores de una variable χ2 con 13 grados de libertad :
a)
que deja a su derecha un área 0'99
b)
que deja a su izquierda un área 0'025
Determinar los valores de una variable χ2 con 113 grados de libertad :
c)
que deja a su derecha un área 0'575
d)
que deja a su izquierda un área 0'12
e) Calcule, con 3 grados de libertad , Pr( χ2 > 0'6).
3
Determinar los valores de una variable t de Student con 9 grados de libertad :
a)
que deja a su derecha un área 0'75
b)
que deja a su izquierda un área 0'005
c) Determinar el valor de una variable t con 132 grados de libertad que deja a su izquierda un área igual a 0'7.
Calcule, con 7 grados de libertad :
d)
Pr( t < 3)
e)
Pr(0'7 ≤ t ≤ 3'5)
4
Calcular los valores A de una distribución F de Snedecor tales que :
a)
Pr(F > A ) = 0'005
con ν1 = 4 y ν2 = 2 grados de libertad
b)
Pr(F < A ) = 0'95
con ν1 = 25 y ν2 = 14 grados de libertad
c)
Pr(F > A ) = 0'975
con ν1 = 27 y ν2 = 20 grados de libertad
Calcular las probabilidades :
d)
Pr(F < 2'9 )
e)
Pr(40 < F ≤ 199 )
f)
Pr(F > 3'37 )
con ν1 = 15 y ν2 = 23 grados de libertad
con ν1 = 5 y ν2 = 2 grados de libertad
con ν1 = 10 y ν2 = 20 grados de libertad
5
a) Sabiendo que Pr(χ2 < 11’7) = 0’025, ¿ cuántos grados de libertad tiene dicha variable χ2 ?.
b) Para una variable χ2 con 52 grados de libertad, calcular Pr(χ2 < 50)
6
a) Calcular, para 20 grados de libertad, Pr (t > 2’1).
b) Obtener el valor T de una t de Student con 15 grados de libertad, para el cuál Pr(t < T) = 0’1.
7
Siendo X una variable F de Snedecor con 8 y 20 grados de libertad, determinar su valor sabiendo que Pr(F > X) = 0’95.
8
Con las dos variables aleatorias X1 y X2, distribuidas según una N(0 , 1), se construye la nueva variable V = 5.X12 +
(3.X2)2.
a)
Calcular el valor m de V para el cuál Pr(V < m) = 0'9.
b)
Hallar Pr (V ≥ 6'6).
Distribuciones continuas - 139
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
0
para x < 2
R
1
|
x− 2
para 2 ≤ x ≤ 4
F(x) = Pr( X ≤ x) = S
E(X) = 3 V(X) = 0'3333
||T1 2 para x > 4
b) 0'5 y 0'025
2
a)
b)
c)
d)
e)
4'106934
5'008698
(z=-0'19)
(z=-1'175)
0'90
a)
b)
c)
d)
e)
-0'702715
-3’249564
0'52
0'99
0'245
a)
b)
c)
d)
e)
f)
199'25
2'340698
0'443794
0'99
0'02
0'01
a)
b)
23
0’44038
a)
b)
0’025
-1’340603
3
4
5
6
7
0’3174209
8
V = χ2 con 14 g.l.
a)
21'064087
b)
0'05
140 - Distribuciones continuas
109'66805
95'5653