optica geométrica - UTN

FÍSICA INTERACTIVA PARA INGENIEROS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
1
OPTICA GEOMÉTRICA
LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION
En el primer capítulo hemos visto como una perturbación electromagnética se propaga en el
vacío, de acuerdo con la ecuación diferencial de la onda, con una velocidad c ≅ 3.10 8 m/s;
también sabemos que velocidad de propagación de la onda, longitud de onda y frecuencia están
relacionadas entre sí a través de la ecuación:
c=λ ν
(1)
λ y ν ; de hecho hay una gran variedad de
la cual permite, obviamente, infinitos valores de
ondas electromagnéticas cuyas características satisfacen la ecuación (1).
Al conjunto de estas ondas se le llama espectro electromagnético; dado el enorme rango de
variación de la longitud de onda el espectro electromagnético está representado en la Figura 1 en
escala logarítmica.
Frecuencia, Hz
100
103
Corriente
Alterna
109
106
6
10
9
10
12
10
Microondas
AM
FM T.V.
Radio
103
100
15
10
18
10
21
24
10
Rayos gamma
Rayos X
Visible
Infrarojo
10-3
10
Ultravioleta
10-6
10-9
10-12
10- 15
Longitud de onda, m
Figura 1. Diagrama del espectro e.m. en escala logarítmica.
Como está señalada en la Figura 1 una muy pequeña porción del espectro e.m. corresponde a la
luz visible o sea a las ondas e.m. que pueden ser percibidas por el ojo humano; son aquellas
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cuyas longitudes de onda están comprendidas en el intervalo 4 .000 Å ÷
angström = 10
− 10
2
7 .000 Å ( 1 Å = 1
m) y correspondientemente sus frecuencias son del orden de 10 14 Hz..
Ultravioleta Violeta Azul Verde Amar.
4000
5.000
Longitud de onda
Naranja
6000
λ EN A
Rojo
Infrarojo
7000
Figura 2. Longitudes de onda de la porción del espectro e.m.
correspondiente a la luz visible.
La Figura 2 muestra un diagrama de la luz visible y de los colores percibidos por el ojo humano
asociados a las diferentes longitudes de onda.
En este capítulo y en el próximo nos ocuparemos de los fenómenos conexos a la porción del
espectro e.m. correspondiente a la luz visible es decir desarrollaremos esa parte de la física
normalmente llamada óptica.
Si bien la luz sea una onda e.m. y por lo tanto sea capaz de rodear los obstáculos ( 1 ) , en nuestras
observaciones cotidianas podemos ver que, en la mayoría de los casos, la luz se propaga en forma
rectilínea; para tal fin basta observar las sombras bien definidas proyectadas por los objetos o la
trayectoria de la luz que entra en una habitación oscura a través de un hueco en los póstigos de la
ventana.
La óptica geométrica analiza precisamente los fenómenos luminosos y los sistemas
ópticos para los cuales pueda considerarse válido el principio de propagación rectilínea de la
luz.
Para estos fenómenos y estos sistemas ópticos reemplazaremos entonces las ondas luminosas con
los rayos entendiendo como rayos a las direcciones de propagación de los frentes de onda.
(
1 )
La capacidad de la luz para rodear los obstáculos fue observada por primera vez por
Grimaldi, cuyos estudios fueron publicados en 1665, sin embargo la experiencia común
es que, normalmente, la luz se propaga en forma rectilínea; los fenómenos en los cuales
la desviación de la luz (difracción) se hace evidente, deben tratarse mediante un
formalismo ondulatorio y señalan el límite entre la óptica geométrica y la óptica física.
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3
La Figura 3 muestra los frentes de onda y los correspondientes rayos para los casos de ondas
luminosas que se propagan por ondas esféricas a partir de una fuente puntual o por ondas planas a
partir de una fuente puntual localizada en el infinito.
S
λ
Figura 3. Frentes de ondas y rayos luminosos para dos diferentes situaciones .
1 PRINCIPIO DE FERMAT
Como hemos dicho en repetidas ocasiones, la velocidad de propagación de las ondas
electromagnéticas y por lo tanto de la luz es c = 3.10 8 m/s en el vacío; observaciones
experimentales realizadas a partir de los inicios del siglo XIX (Fizean, Foucault, etc...) y medidas
posteriores han demostrado que en diferentes medios de propagación (agua, vidrio, plástico.....) la
luz tiene diferentes velocidades menores que c ; podemos entonces definir un número n que
llamaremos índice de refracción del medio de propagación de manera que si v es la velocidad
de propagación de la luz en el medio, sea:
nv =c ó n=c / v
(2)
Así si tenemos diferentes medios en los cuales la luz se propaga con velocidades v 1 , v 2 .... v i
podremos asociar a esos medios diferentes índices de refracción de modo que:
n1 v 1 = n2 v 2 = n3 v 3 = .... = ni v i = c
(3)
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4
Consideremos ahora un haz de luz que se propaga en un medio de índice de refracción n con
velocidad v = c ; después de un tiempo t habrá recorrido una distancia AB = S dada por:
n
AB = S = v. t
(4)
En el mismo tiempo t un haz de luz, en el vacío, recorrería una distancia A0 B 0 = S0 > S dada
por:
A0 B 0 = S0 = c . t
(5)
Teniendo en cuenta la relación (2):
A0 B 0 = S0 = n. vt = n. AB = n. S
(6)
A la distancia n. S = ∆ la denominamos camino óptico.
El concepto de camino óptico es obviamente útil para comparar trayectorias luminosas recorridas
en distintos medios que, de otra manera, no serían comparables dado que en cada medio la luz se
propaga con diferente velocidad; en cambio los diferentes tramos de trayectoria pueden
compararse a través de los caminos ópticos asociados, dado que éstos corresponden a trayectorias
todas recorridas en el vacío.
Así por ejemplo, si un haz de luz recorre tramos de trayectoria de longitudes S1 , S2 , S3 .... S i
en medios de índices de refracción n1 , n2 , n3 .... ni respectivamente (Figura 4).
S1
n
1
S2
S3
S4
S5
n2
n3
n4
n5
S1 , S2 ,.... Si recorridos
en medios de índices de refracción n1 , n2 ,.... ni .
Figura 4. Trayectoria de un haz de luz de tramos
Si
ni
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La longitud total de la trayectoria será:
L = S1 + S 2 + S 3 + ....+ Si = ∑ i Si
(7)
pero el camino óptico total estará dado por:
∆ = n1 S1 + n2 S 2 + n3 S 3 + ....+ ni S i = ∑ i ni S i
(8)
El camino óptico ∆ corresponde a la longitud de la trayectoria que la luz recorre, en el vacÍo, en
el mismo tiempo que emplea para recorrer la trayectoria de longitud L en los medios de índices
de refracción n1 , n2 ,.... ni .
Volvamos ahora a considerar un haz de luz (ver Figura 3.4) que se propaga desde A hasta B
atravesando varios medios de diferentes índices de refracción; es evidente que es posible
imaginar muchas o más bien infinitas trayectorias que unen los puntos A y B ; el principio de
Fermat nos permite establecer cuál de todas las trayectorias imaginables es la que efectivamente
recorre el haz de luz.
El principio de Fermat afirma que:
La trayectoria real de un haz de luz es la que se asocia al camino óptico máximo, mínimo o
estacionario.
Con relación al caso ilustrado en la Figura 4 este principio nos dice que de todas las trayectorias
que pueden trazarse entre los puntos A y B la que realmente recorre la perturbación luminosa
es la que cumple con la relación:
D ∆ = D ∑i n i S i = 0
(9)
2 LEYES DE REFLEXION Y REFRACCION
Las leyes de reflexión y refracción de la luz tienen indudables fundamentos experimentales, sin
embargo es posible obtenerlas por vía analítica utilizando el principio de Fermat.
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Consideremos, por ejemplo, un haz de luz que se propaga desde el punto A hacia el punto B
reflejándose sobre un espejo plano.
A
h1
θ1
B
θ2
θ1 θ2
M
Figura 5.
X
P
l
h2
N
APB es una de las posibles trayectorias para un haz
de luz que se propaga desde A hacia B reflejándose
sobre el espejo.
Evidentemente podemos imaginar infinitas trayectorias para el haz de luz y es claro que éstas
dependen del punto del espejo en el cual pensemos vaya a reflejarse el haz; de manera que si
determinamos la posición del punto P habremos determinado la trayectoria real. Con relación
a la Figura 5, si trazamos las perpendiculares al espejo desde los puntos A, B e indicamos con
M , N los pies de esas perpendiculares, podemos identificar la posición del punto P a través de
su distancia x con respecto al punto M .
Si ponemos AM = h1 , BN = h2 , MN = l entonces MP = x y PN = l − x de manera que
la longitud de la trayectoria del haz de luz será:
L = AP + PB =
h12 + x 2 +
h22 + (l − x)
2
mientras el camino óptico asociado a la trayectoria será:
∆ = n. L = n h12 + x 2 + n h22 + ( l − x )
2
siendo n el índice de refracción del medio en el cual este sumergido el espejo.
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Dado que la trayectoria de la luz depende de la posición del punto P o sea del valor de x ,
podemos encontrar la trayectoria real aplicando el principio de Fermat, es decir imponiendo la
condición:
d∆
=−
dx
2
2nx
h12 + x 2
2n(l − x)
+
2
h22
+ ( l − x)
2
=0
de donde obtenemos:
x
h12 + x 2
=
l− x
h22 + ( l − x )
2
relación que es equivalente a la siguiente:
MP PN
=
AP PB
y entonces: sen θ 1 = sen θ 2
relación ésta que solamente puede cumplirse cuando θ 1 = θ 2 o sea cuando los ángulos de
incidencia y de reflexión son iguales.
Lo anterior implica entonces que la trayectoria real del haz de luz es la que se asocia a la
condición
d∆
= 0 (principio de Fermat) y que esta condición se satisface cuando θ 1 = θ 2
dx
(ley de reflexión).
De la misma forma podemos obtener la ley de SNELL para la refracción.
Consideremos, por ejemplo, el caso de un haz de luz que se propaga desde el punto A situado en
un medio de índice de refracción n1 hacia un punto B situado en un medio de índice de
refracción n2 ; en este caso tambié n podemos imaginar infinitas trayectorias las cuales difieren
por la posición del punto P sobre la interfase en la cual incide la luz (Figura 6).
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8
A
θ1
θ1
h1
n1
P
M
N
θ2
θ2
n2
h2
B
X
Figura 6.
l
APB es una de las posibles trayectorias para un haz
de luz que se propaga desde A hacia B atravesando
la interfase entre dos diferentes medios de propagación.
La longitud de la trayectoria calculada con base en la Figura .6 será:
L = AP + PB =
x 2 + h12 +
(l − x ) 2 + h22
y correspondientemente el camino óptico:
∆ = n1
x 2 + h12 + n2
(l − x ) 2 + h22
Para determinar la trayectoria real introduzcamos la condición impuesta por el principio de
Fermat:
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2 n2 (l − x)
d∆
−2 n1 x
=
+
=0
2
dx
2
2 x 2 + h12
2 ( l − x ) + h2
de donde obtenemos:
n1
x
x 2 + h12
= n2
n1 sen θ 1 = n2 sen θ 2
o sea :
l−x
( l − x ) 2 + h22
(Ley se Snell)
(10)
Otra consecuencia importante del principio de Fermat es el principio de reversibilidad; con
relación a la Figura 7, dicho principio establece que si T es la trayectoria que, de acuerdo con el
principio de Fermat, recorre un haz de luz que se propaga desde A hacia B , esa misma
trayectoria T es la que recorre la luz que se propaga desde B hacia A .
n1
n2
S1
S2
n3
S3
n4
S4
n5
S5
Figura 7. La trayectoria real de un haz de luz es independiente
del sentido de propagación.
3 Reflexión total
Consideremos dos medios de índices de refracción n1 , n2 (con n2 > n1 ), y supongamos que
una fuente de luz esté localizada en el medio de mayor índice de refracción; nos proponemos
analizar qué ocurre cuando la luz incide sobre la interfase entre los dos medios. De acuerdo con
la ley de Snell, n1 sen θ1 = n2 sen θ 2 y dada la condición n2 > n1 , el ángulo de refracción
θ 1 resulta siempre mayor que el ángulo de incidencia θ 2 ; esto implica que existe un valor
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θ 2 lim para el ángulo de incidencia para el cual resulta θ 1 = π 2 o sea para el cual el rayo
refractado es paralelo a la interfase.
Rayos refractados
θ1
El rayo refractado roza la superficie
No hay rayo refractado
n1
Reflexión
Interna
total
θ2 θ 2
θ 2 lim
n2
Figura 8. Reflexión total. Los rayos que inciden sobre la interfase
con ángulos mayores que θ 2 lim se reflejan en el medio
de índice de refracción
n2 > n1 .
Es fácil ver que para ángulos de incidencia mayores de θ 2 lim , la ley de Snell daría para el
senθ
θ 1 valores mayores de 1 , lo cual naturalmente es imposible.
¿Qué ocurre entonces con los rayos que inciden bajo ángulos θ2 > θ2 lim ?
Experimentalmente se observa que estos rayos se reflejan completamente en el medio de índice
de refracción n2 , o sea que la interfase (para esos rayos) se convierte en un espejo perfecto, en
el sentido que la luz no puede transmitirse al medio de índice de refracción n1 .
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Es obvio que el valor del ángulo límite para la reflexión interna total (así se llama este
fenómeno!) puede calcularse fácilmente con la condición que si θ 2 = θ 2 lim entonces
θ 1 = π 2 ; esta condición reemplazada en la ley de Snell para la interfase considerada nos da:
n 
θ 2 lim = sen−1  1 
 n2 
Por ejemplo si la fuente luminosa está localizada en el vidrio
aire
( n1 ≅ 1)
(11)
( n2 = 1 .5 ) , solamente saldrán al
aquellos rayos que inciden sobre la superficie de separación con ángulos inferiores
a:
 1 
θ 2 lim = sen−1   = 41.81°
 1.5 
Los rayos que inciden con ángulos superiores a 41.81° se reflejarán en el vidrio.
4. PRISMAS
El prisma es un sistema óptico formado por dos superficies planas que se cortan formando un
ángulo α y que separan medios de diferentes índices de refracción.
α
n1
n2
n3
Figura 9. Esquema de un prisma.
El prisma es, después de los lentes, el sistema de más amplia utilización en los aparatos ópticos
dado que puede funcionar como dispersor o reflector.
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4.1 Dispersión de la luz.
En la sección 1 observamos que la velocidad de la luz en los diversos medios de propagación
tiene diferentes valores siempre inferiores a c ≅ 3.10 8 m/s, que es la velocidad de la luz en el
vacío. Teniendo en cuenta este hecho experimental definimos el índice de refracción n asociado
a cada medio de propagación de manera que:
n=
c
v
(12)
Siendo v la velocidad de la luz en el medio de propagación considerado. Sin embargo si se
analiza con más precisión la propagación de la luz en los diferentes medios se llega a la
conclusión que mientras la velocidad de la luz en el vacío es la misma para todas las frecuencias
que componen el espectro de la luz visible, la velocidad en una sustancia material es distinta para
las diferentes frecuencias.
De acuerdo con la relación (12), lo anterior implica que el índice de refracción de una sustancia
depende de la frecuencia de la radiación incidente.
n = n (ν)
(13)
siendo menor para las frecuencias más bajas y mayor para las frecuencias más altas.
Si enviamos entonces un haz de luz blanca (que contiene todas las frecuencias del espectro de la
luz visible) sobre un prisma, de conformidad con la ley de Snell, las diferentes frecuencias
componentes sufrirán diferentes desviaciones, siendo la luz violeta la más desviada y la luz roja la
menos desviada, de manera que, a la salida del mismo, la luz se abre en forma de abanico de
colores o, como se dice, forma un espectro de dispersión en el cual es posible identificar las
diferentes frecuencias (es decir los diferentes colores) presentes en el haz incidente.
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α
n1
n2
n1
n1 < n2
Figura 10. Dispersión de un prisma.
4.2 Desviación producida por un prisma.
Consideremos un rayo de luz que incide bajo un ángulo ϕ1 sobre la cara de un prisma; sea n el
índice de refracción del prisma, α su ángulo en el vértice y supongamos que el prisma esté
sumergido en el aire.
Se define como desviación del prisma al ángulo entre la dirección del rayo incidente y la
dirección del rayo emergente por la segunda cara.
Las observaciones experimentales muestran que variando el ángulo de incidencia ϕ1 varía la
desviación producida por el prisma y que hay un valor de ϕ1 para el cual ocurre la mínima
desviación entre los rayos incidente y emergente; con relación a la Figura 11, en la cual el prisma
tiene forma de triángulo isósceles, la desviación mínima ocurre cuando el rayo al interior del
prisma es paralelo a la base o sea cuando ϕ1 = ϕ4 y ϕ 2 = ϕ 3 .
Cuando se logra esta situación se dice que el prisma está en condiciones de desviación mínima.
Esta situación es muy ventajosa porque puede utilizarse el sistema para determinar, con gran
precisión, el índice de refracción de cualquier material con el cual se construya o se rellene el
prisma; veamos como esto sea posible.
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A
α
n
S
ϕ1
P
δ
Q
ϕ3
ϕ2
ϕ4
R
B
C
Nota: Las líneas naranja son prolongaciones de los rayos incidente y emergente.
Las líneas azules son las rectas normales a las superficies de entrada y salida.
Figura 11. Desviación producida por un prisma .
$ = ϕ − ϕ , de manera que el
$ = ϕ1 − ϕ 2 y SQP
Analizando la Figura 11 es fácil ver que SPQ
4
3
ángulo de desviación δ , adyacente externo al triángulo SPQ , resulta ser:
δ = ϕ1 + ϕ4 − ϕ2 − ϕ 3
(14)
Por otra parte la suma de los ángulos internos del cuadrilátero APRQ debe ser igual a 2π
π , es
decir:
$ + AQR
$ + QRP
$ + RPA
$ = α + π + (π − ϕ2 − ϕ3 ) + π = 2π
PAQ
2
2
de donde:
α = ϕ2 + ϕ 3
y reemplazando en la (14):
(15)
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δ = ϕ1 + ϕ 4 − α
15
(16)
Dado que queremos encontrar el valor de ϕ1 para el cual δ = δ min podemos diferenciar la
ecuación (16) de manera que:
d δ = d ϕ1 + d ϕ4 = 0
de donde d ϕ1 = − d ϕ 4
(17)
Por otra parte diferenciando la (15) y teniendo en cuenta que α es fijo:
d ϕ 2 + d ϕ3 = 0
de donde
d ϕ 2 = − d ϕ3
(18)
La ley de Snell aplicada en el punto P se escribe (si el prisma está sumergido en aire):
sen ϕ1 = n sen ϕ 2
que diferenciada nos dará:
cos ϕ1 .d ϕ1 = n.cos ϕ2 .d ϕ2
(19)
La misma ley de Snell aplicada en Q :
n.sen ϕ 2 = sen ϕ4
y diferenciando:
n cos ϕ3 .d ϕ3 = cos ϕ4 .d ϕ 4
(20)
Dividiendo la (19) por la (20) y teniendo en cuenta las relaciones (17), (18):
cos ϕ1
cos ϕ 2
=
cos ϕ4
cos ϕ 3
o sea:
1 − sen2 ϕ1
1 − sen2 ϕ4
=
1 − sen2 ϕ2
1 − sen2 ϕ 3
(21)
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2
De acuerdo con la ley de Snell sen ϕ2 =
sen2 ϕ1
n2
2
y sen ϕ3 =
sen2 ϕ 4
n2
16
, por lo tanto
la ecuación (21) puede reescribirse así:
1 − sen2 ϕ1
1 − sen2 ϕ 4
El valor de ϕ1
=
n 2 − sen2 ϕ1
n2 − sen2 ϕ4
(22)
que satisface esta última ecuación es evidentemente el que conduce a la
situación δ = δ min deseada; para
n ≠ 1 la ecuación (22) solamente puede satisfacerse si
ϕ1 = ϕ 4 y por consiguiente ϕ 2 = ϕ 3 , de manera que el prisma se encuentra en condiciones
de desviación mínima cuando el ángulo de incidencia ϕ1 en la primera cara es igual al ángulo de
refracción en la segunda cara, o sea cuando el rayo al interior del prisma es paralelo a la base.
Esta situación está ilustrada en la Figura 12.
A
α
n
ϕ1
B
P
ϕ2
δ = δ Min
ϕ3
Q
ϕ4
C
Nota: Las líneas naranja son prolongaciones de los rayos incidente y emergente.
Las líneas azules son las rectas normales a las superficies de entrada y salida.
Figura 12. Prisma en condiciones de desviación mínima. Esto ocurre
cuando ϕ1 = ϕ 4 y ϕ 2 = ϕ 3 lo que implica
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$ = π −ϕ = π −ϕ .
$ = AQP
PQ // BC dado que APQ
2
3
2
2
Cuando el prisma está en condiciones de desviación mínima las ecuaciones (15), (16) se
simplifican así:
α = 2 ϕ2
y
δ = δ min = 2 ϕ1 − α
de donde obtenemos:
ϕ2 = α 2
ϕ1 =
(23)
δ min + α
2
(24)
Recordando la aplicación de la ley de Snell sobre la primera cara del prisma:
n =
sen ϕ1
sen ϕ 2
Se obtiene:
+α
δ
sen  min



2
n =
sen α 2
(25)
ecuación que permite el cálculo del índice de refracción de la sustancia de la que está hecho el
prisma a través de la medición precisa del ángulo al vértice y del ángulo de desviación mínima.
4.3 Prismas de reflexión total
El fenómeno de reflexión interna total tiene interesantes aplicaciones para los prismas que se
utilizan para reflejar la luz en muchos aparatos ópticos (binoculares, cámaras fotográficas, etc....).
Esta utilización de los prismas reflectores (ilustrada en dos casos simples en la Figura 13) es
ventajosa con respecto a la utilización de los espejos porque un prisma utilizado en condiciones
de reflexión total refleja el 100% de la luz incidente, lo que no puede lograrse con ninguna
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superficie metálica; además las propiedades reflectantes son permanentes mientras la reflexión de
los espejos se altera con el tiempo por deslustrado de la superficie reflectora.
45°
45°
90°
90°
45°
45°
a)
(b)
Figura 13. Prismas reflectores. a) Prisma de reflexión total
b) Prisma de Porro.
La Figura 13 muestra dos casos típicos de prismas reflectores en los cuales la luz ingresa al
prisma sin sufrir desviación debido a la incidencia normal y luego se refleja totalmente una o dos
veces porque incide sobre la interfase con un ángulo de
45° mayor del ángulo límite para la
reflexión total cuyo valor es 41.81° si el prisma estuviera hecho de vidrio.