CONTROL DE LOS MOVIMIENTOS DE UN ROBOT

CONTROL DE LOS MOVIMIENTOS
DE UN ROBOT
1. INTRODUCCIÓN. CONTROL DEL PUMA-560.
2. CONTROL PD DE UNA ARTICULACIÓN INDEPENDIENTE.
a) Aproximación mecánica de una articulación independiente.
b) Control PD.
c) Efecto de las perturbaciones.
3. TÉCNICAS DEL PAR CALCULADO.
a) Par calculado para articulaciones independientes.
b) Par calculado para articulaciones acopladas.
4. IMPLEMENTACIÓN DIGITAL.
1.
INTRODUCCIÓN. CONTROL DEL PUMA-560
Problema de control: conseguir que la trayectoria real coincida con la deseada.
Posicion
Deseada
PLANIFICADOR
DE
TRAYECTORIAS
Error de
Posicion
+
-
Tension CC
al motor
ALGORITMO
DE
CONTROL
Posicion
Real
MOTOR CC
+
RESPUESTA
DINAMICA
SENSOR
POSICION
Dificultad: complejidad de la respuesta dinámica del robot (acoplamientos inerciales,
fuerzas centrı́petas y de Coriolis, y carga gravitatoria).
Solución sencilla: considerar cada articulación como un servomecanismo
independiente. Problemas: respuesta lenta, poco precisa, vibraciones innecesarias.
Ejemplo: PUMA-560.
2.
CONTROL PD DE UNA ARTICULACIÓN INDEPENDIENTE
2.1.
Aproximación mecánica de una articulación independiente
Cáculo del par en el motor:
θ(t)
ENGRANAJE
n
JL
θ(t) = nθm (t)
τ (t) = τm (t)/n
CARGA
Jm
θm(t)
MOTOR CC
Par motor: τm (t)
∗ (t) + τ ∗ (t)
= τm
L
∗ (t) = J τ̈ : par debido exclusivamente al motor.
τm
m m
τL∗ (t) : par debido a la carga visto en el motor.
τL∗


= nτL
τL = JL θ̈ = nJL θ̈m 
Par motor: τm
τL∗ = n2 JL θ̈m
= (Jm + n2 JL )θ̈m = Jef θ̈m
Jef = Jm + n2 JL → Momento de Inercia Eficaz (momento de inercia referido al
eje del motor)
Comportamiento dinámico de la articulación: se ha simplificado como,
τm = Jef θ̈m
No se han tenido en cuenta: efectos inerciales (acoplamiento entre distintas
articulaciones), centrı́fugos y gravitatorios.
Función de tranferencia del motor (sin autoinducciones ni rozamientos):
Gm (s) =
Θm (s)
Ka
=
Vin (s)
s (Ra Jef s + Ka Kb )
2.2.
Control PD
Control PD:
1. Parte P: una ganancia kp grande permite aumentar la rapidez de la respuesta,
reducir errores en régimen permanente y mejorar el rechazo a perturbaciones.
2. Parte D: proporciona una respuesta más estable (rápida y sin sobreoscilaciones).
Diagrama de bloques:
θd (t) +
e(t)
k p +sk d
-
1
n
v (t)
in
Ka
+
-
τm (t)
Ra
.
1 θm (t) 1
sJ ef
s
θm (t)
θ (t)
n
Kb
MOTOR CC
Acción de control: se introduce un bloque 1/n para contrarrestar el efecto del
engranaje.
kp + skd
kp E(s) + kd Ė(s)
E(s) =
n
n
kp e(t) + kd ė(t)
kp (θd (t) − θ(t)) + kd (θ̇d (t) − θ̇(t))
vin (t) =
=
n
n
Vin (s) =
Funciones de transferencia:
FTBA
FTBC
Ka (kp + skd )
s(sRa Jef + Ka Kb )
G(s)
Ka (kp + skd )
= 2
M (s) =
1 + G(s)
s Ra Jef + s(Ka Kb + Ka kd ) + Ka kp
G(s) = Gc (s)Gp (s) =
Requerimientos de diseño: respuesta rápida y sin error (error de velocidad pequeño)
⇒ amortiguamiento crı́tico o un ligero sobreamortiguamiento.
Ka Kb + Ka kd
Ka kp
s+
= s2 + 2δωn s + ωn2
Ra Jef
Ra Jef

K a kp

2

ωn =

Ka Kb + Ka kd
Ra Jef
p
≥1
δ
=
Ka Kb + Ka kd 
2
K
k
J
R

a p ef a

2δωn =
Ra Jef
s2 +
p
2 Ka kp Jef Ra − Ka Kb
kd ≥
Ka
Requerimiento adicional: que la frecuencia natural ωn del sistema no alcance la
frecuencia de resonancia estructural ωr :
0 < ωn ≤ 0,5ωr
Ka kp
0<
≤ (0,5ωr )2
Ra Jef
Se puede comprobar:
Ã
ωr = ω0
J0
Jef
!1/2
Despejando kp :
ωr2 Jef Ra
ω02 J0 Ra
=
0 < kp ≤
4Ka
4Ka
Tomando kp máximo:
p
Ra ω0 J0 Jef − Ka Kb
kd ≥
ka
2.3.
Efecto de las perturbaciones
Perturbaciones: además de la tensión aplicada vin (t), los efectos centrı́fugos y
gravitatorios también contribuyen al par motor. Consideramos estos efectos mediante
un par perturbador τper (t).
+
-
s
.e(t)
TACOMETRO
τper (t)
kd
.
s
θd (t)
1
n
+
θd (t)
v (t)
in
Ka
+
-
Ra
τin (t)
-
+
τm (t)
.
1 θm (t) n
sJ ef
s
θ (t)
Kb
kp
e(t)
PLANIFICADOR
+
-
Respuesta del sistema:
Tm (s) = Tin (s) − Tper (s)
·
¸
Ka
Θ(s)
=
Vin (s) − Kb s
− Tper (s)
Ra
n
·
¸
Ka kp + skd
Θ(s)
=
(Θd (s) − Θ(s)) − Kb s
− Tper (s)
Ra
n
n
n
Θ(s) =
Tm (s)
Jef s2
kp + skd
Ra
Θd (s) −
Tper (s)
n
Ka
Θ(s) = nKa
Ra Jef s2 + (Ka Kb + Ka kd )s + Ka kp
Error en régimen permanente:
Tper (s)
Ra Jef s2 + (Ka Kb + Ka kd )s + Ka kp
nRa
θ(∞) = lı́m sΘ(s) = −
lı́m [sTper (s)]
s→0
Ka kp s→0
Θ(s) = −nRa
TÉCNICAS DEL PAR CALCULADO
3.
3.1.
Par calculado para articulaciones independientes
Componentes de perturbación: pares centrı́fugos y gravitatorios, mas otros pares
desconocidos:
τper (t) = n (τC (t) + τG (t)) + τe (t)
Técnica del par calculado: compensar los pares perturbadores conocidos
calculándolos de forma anticipada.
+
-
s
.e(t)
TACOMETRO
COMPENSACION
F.C.E.M.
kd
.
θd (t)
θd (t)
CALCULO
PAR DE
COMPENSACION
τcomp
CONVERSION
PAR/TENSION
v
comp
Ra
τper (t)
Kb
1
n
+
v (t)
Ka
in
Ka
+
-
τin (t)
Ra
-
+
τm (t)
.
1 θm (t) n
sJ ef
s
Kb
kp
e(t)
+
-
Respuesta del sistema:
(kp + skd )Θd (s) + Vcomp (s) Ra
−
Tper (s)
n
Ka
Θ(s) = nKa
Ra Jef s2 + (Ka Kb + Ka kd )s + Ka kp
Ka kp + skd
Tcomp (s)
Θd (s) +
− Tper (s)
Ra
n
n
= nRa
Ra Jef s2 + (Ka Kb + Ka kd )s + Ka kp
Cálculo del par de compensación:
τcomp (s) = n2 (τC (t) + τG (t))
Error en régimen permanente:
θ(t = ∞) = −
nRa
lı́m [sTe (s)]
θ (t)
Mejoras a la técnica del par calculado:
1. Compensación de la fuerza contraelectromotriz (en lı́nea de puntos en gráfico
anterior):
Ka kp + skd
Tcomp (s)
Θd (s) +
− Tper (s)
Ra
n
n
Θ(s) = nRa
Ra Jef s2 + Ka kd s + Ka kp
2. Precálculo del par motor:
Tcomp (s) = Jef Θ̈d (s) + n2 (τC (t) + τG (t))
µ
¶
J
ef
= n2
+ τC (t) + τG (t)
n2
Respuesta del sistema:
¡
¢
Ka kp + sKa kd + s2 Ra Jef Θd (s) − Te (s)
Θ(s) =
Ra Jef s2 + Ka kd s + Ka kp
Caso de Te (s)
= 0: θ(t) = θd (t) ∀t
Fuentes de Error:
1.
Te (s) 6= 0 en general (p.ej., pares τG y τC no exactamente compensados).
2. La caracterı́stica par/tensión no es ideal.
3. No se han considerado los acoplos inerciales entre articulaciones.
Soluciones:
1. Caracterı́stica par/tensión: uso de tablas obtenidas experimentalmente.
2. Acoplos inerciales: uso del modelo dinámico.
3.2.
Par calculado para articulaciones acopladas
Par calculado anteriormente:
0
τcomp (t) = n2 τcomp
(t)
Jef
θ̈d (t) + τC (t) + τG (t)
n2
0
θ̈d (t) + τC (t) + τG (t)
= Jef
0
τcomp
(t) =
0 =
Jef
Jef
n2
Compensación de acoplos debidos a las aceleraciones: uso del modelo dinámico
completo.
0
τcomp
(t) = D(q)q̈d + h(q, q̇) + c(q)
Problema: gran cantidad de cáculo. Soluciones:
1. Simplificar el cáculo de τcomp . Inconvenientes: mal comportamiento (vibraciones)
a altas velocidades.
a)
Calcular sólo los elementos diagonales de D(q)
b)
No calcular los términos centrı́fugos.
2. Realizar el cálculo de la secuencia de pares de compensación con antelación al
movimiento.
4.
IMPLEMENTACIÓN DIGITAL
Esquema general de un control con par calculado:
+
A/D
COMPENSACION
ERROR
VELOCIDAD
.
qd (t)
PLANIFICADOR
qd (t)
CALCULO
PAR DE
COMPENSACION
τcomp
CONVERSION
TACOMETRO
COMPENSACION
F.C.E.M.
q (t)
v (t)
+
D/A
in
MOTOR CC
ENGRANAJE
PAR/TENSION
COMPENSACION
ERROR
POSICION
+
A/D
COMPUTADOR
TARJETA
INTERFASE
ROBOT
Simplificación de la interfase: uso de codificadores y de entrada de pulsos al motor.
v (t)
in
V max
v̄in =
t
Frecuencia de muestreo: Fs
= 1/T
• Regla práctica: Fs ≥ 20fn
• Valores tı́picos de resonancias: 5-10 Hz
fn ≤ 0,5fr = 2,5-5 Hz ⇒ Fs ≥ 50 Hz.
• Valor tı́pico de Fs : 60 Hz (T = 16 mseg).
t1 Vmax
t1 + t2