27·10 108·10 E x (0,2 x) = - - T F P (10 ·5,36·10 ) 0,2 0,21N = + = + =

Campo Eléctrico
01. Dos cargas puntuales de 3 C y 12 C, están situadas en los puntos A y B que distan 20 cm.
a) Cómo varía el campo entre los puntos A y B y representarlo gráficamente.
b) ¿Hay algún punto de la recta AB en el que el campo E sea cero?
A
B
P
x
El campo se anula en un punto intermedio P
EP  E3  E12 
0,2-x
27·103 108·10 3

0
x2
(0,2  x)2
1
4

 2 x  0,2  x  x  0,067 m
2
x
(0,2  x)2
EINT
Para cualquier punto intermedio:
0,067
0,2
EINT 
x
27·103 108·103

x2
(0,2  x)2
que en el intervalo (0, 0.2) es decreciente, corta al eje OX en
x=0,067 y tiene dos asíntotas verticales: x=0 y x=0,2
02. Una esfera cargada, de 20 g de masa se encuentra suspendida de un hilo de 1 m de longitud,
en una zona en la que hay un campo eléctrico uniforme horizontal de 104 NC-1. Calcular el valor
de la carga sabiendo que alcanza el equilibrio cuando el hilo forma 15º con la vertical.
tg  

L
q
FE
P
FE E·q

P mg
m·g·tg  20·10 3 ·10·tg15

 5,36·10 6 C
E
10 4
La tensión del hilo es

T  FE2  P2  (10 4 ·5,36·10 6 )2  0,22  0,21N
03. Una carga positiva de 6 C está en el origen de coordenadas. Calcular:
a) El potencial a 5 m de la carga.
6·10 6
q
 9·109
 10800 v
d
5
b) El trabajo que hay que hacer para traer una carga de 2 C desde el infinito hasta ese punto.
V k
W  qMOVIL(VF  V0 )  2·106(10800  0)  2,16·102 J
c) La energía potencial de esa carga en esa posición.
EP  q·V  2,16·102 J
04. Un electrón con una velocidad de 105 m·s-1 entra en un condensador de 10 cm de longitud y
2cm de separación, paralelamente a las láminas por el centro. Calcular el valor del campo en el
interior sabiendo que sale “rozando” una de las láminas.
1
Fco Javier Corral 2011-2012
Campo Eléctrico
La velocidad en horizontal es siempre 105 ms-1
y atraviesa el condensador en
t
L
0,1
 5  10 6 s
v H 10
En ese tiempo desciende 1cm
2·e
1
e V  a t2  a  2 V  2·1010 ms2 y como la fuerza que tira del electrón hacia abajo es
2
t
ma 9,1·10 31·2·1010
N
F  E·q  ma  E 

 0,114
19
q
C
1,6·10
05. Un electrón con una velocidad de 105 m/s penetra en una zona de 10 cm de anchura en la
que hay un campo eléctrico uniforme. Sale de esa zona sin desviarse pero con una velocidad
igual a un tercio de la inicial. Calcular el valor del campo eléctrico e indicar su orientación.
Si se frena, la fuerza del campo va en contra del movimiento. Si la velocidad se reduce a
un tercio, la aceleración es:
v F2  v O2  2a e  a 
v F2  v O2 1,11·109  1010

 4,45·1010 ms2
2e
2·0,1
la fuerza de frenado es la fuerza del campo eléctrico:
m·a 9,1·10 31·4,45·1010
E·q  m·a  E 

 0,25N·C1
19
q
1,6·10
Si el electrón se mueve hacia la derecha, el campo que se encarga de frenarlo está
dirigido hacia la derecha.¿? ¡Ojo! La carga es negativa y el campo indica cómo se movería
una carga positiva.
06. Se tienen dos placas metálicas horizontales cargadas separadas 10 cm. La intensidad del
campo eléctrico en la zona comprendida entre ambas es uniforme y de módulo igual a 200
N·C1. Una partícula de 10 g de masa y 104 C de carga se suelta, con velocidad inicial nula, en la
placa positiva. Determina:
a) El módulo de la aceleración que experimenta la partícula.
b) La diferencia de potencial eléctrico entre las dos placas.
c) La energía cinética de la partícula cuando llega a la placa negativa.
El peso no es despreciable y la fuerza que actúa sobre la carga es:
+
E·q  mg 200·10 4  10 1

 12ms2
2
m
10
La diferencia de potencial entre placas es VA  VB  E·d  20 v
F  E·q  mg  m·a  a 
-
La velocidad de llegada a la placa negativa es
1
2
vF2  v O2  2a e  vF  1,56ms1 y EC  mv 2  1,2·10 2 J
2
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Campo Eléctrico
07. Una carga de +1 µC se coloca a 1 cm de un hilo largo delgado, cargado con +5 µC/m.
Calcular:
a) La fuerza que ejerce el hilo sobre esa carga.
b) La diferencia de potencial entre ese punto y otro situado a 3 cm del hilo.
c) Trabajo que hay que realizar para llevar la carga desde este punto al anterior.
a) El campo creado por el hilo es E 
5·10 6


 9·106 N·C1
12
2   d 2  8,85·10 ·0,01
y la fuerza sobre la carga F  E·q  9·106 ·106  9N
b) El campo a 1 cm de distancia es 9·106 NC1 y a 3 cm el campo es 3·106 NC1
El potencial es V  E·d luego los potenciales son 9·10 4 v y 3·10 4 v
c) El trabajo es W  qMOVIL(VF  V0 )  qMOVIL(V1  V3)  1·106(9·104  3·104 )  6·102 J
08. En el interior de un condensador plano horizontal hay un campo eléctrico de 104 N/C dirigido
hacia arriba. La longitud del condensador es de 5·10-2m y la separación de 2·10-2m. Equidistante
de las láminas penetra un electrón con una velocidad de 107 m/s. Calcular:
a) Lo que desciende el electrón dentro del condensador
b) El valor de la velocidad de salida (módulo y dirección)
c) El punto de impacto con una pantalla vertical situada a 10 cm del final.
La aceleración vertical sobre el electrón, dentro del
condensador es
E·q 10 4 ·1,6·10 19

 1,76·1015 ms2
m
9,1·10 31
El electrón está dentro del condensador un tiempo t
F  E·q  ma  a 
t
L
v HOR
1
2

5·10 2
 5·10 9 s
107
1
2
en ese tiempo recorre, en vertical y1  a t2  1,76·1015 ·(5·10 9 )2  2,2·10 2 m
A partir de ese punto ya no hay aceleración y el movimiento es uniforme. La velocidad es

v HOR  107 ms1

2
v  v HOR
 v 2VERT  1,33·107 ms1
6
1 
v VERT  a·t  8,8·10 ms 

v
y el ángulo es   arc tg VERT  41,35º
v HOR
si la escribimos en notación vectorial sería:
v  vHOR i  v VERT j  107 i  8,8·106 j
Para llegar a la pantalla tiene que recorrer 10 cm, en lo que tarda t 
0,10
 1·10 8 s
107
y en ese tiempo recorre en vertical y 2  v VERT ·t  8,8·106 ·108  8,8·102 m
luego choca con la pantalla y  y1  y 2  2,2·102  8,8·102  0,11 m por debajo de la
trayectoria inicial del electrón.
3
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Campo Eléctrico
09. Tres cargas puntuales iguales de 3·10-7 C están colocadas en los vértices de un triángulo
equilátero de 1 m de lado. Calcular:
a) El campo eléctrico en el centro del triángulo.
b) La energía potencial del sistema.
El campo en el centro es cero, por simetría: tres vectores iguales
dirigidos hacia los vértices de un triángulo equilátero.
La energía potencial de un sistema de tres cargas es:
EP  k
qq
qq
q1q2
 k 1 3  k 2 3 , como q1  q2  q3
r12
r13
r23
EP  3k
r12  r13  r23
(3·10 7 )2
q2
 3·9·10 9
 2,43·10 3 J
d
1
10. Una esfera conductora de 8 cm de radio tiene una carga de 0,3 C. Calcular:
a) el potencial en A(r=4 cm), en B(r=8 cm) y en C(r=12 cm)
El campo en esos puntos es
EA  0
N
C
EB 
0,3·10 6
q
N

 4,22·105
2
2
C
4 RB 4 (0,08)
y el potencial es V  E·d
VA  0 v
VB  33760 v
b) la densidad superficial de carga sobre la esfera  
EC 
0,3·10 6
q
N

 1,87·105
2
2
C
4 R C 4 (0,12)
VC  22440 v
0,3·10 6
q
C

 3,73·10 6 2
2
S 4  (0,08)
m
11. Una gota de agua de 2 mm de radio se carga a un potencial de 300 voltios. Calcular la carga
que adquiere. Si se unen dos gotas como esa para formar una sola, ¿cuál sería el potencial de la
gota resultante?.
Sacamos la carga a partir del potencial, V  k
El volumen de la gota es Vol 
4
3
V·r 300·2·10 3
q
 q

 6,66·10 11 C
r
k
9·109
4
3
r 3  (2·10 3 )3  3,35·10 8 m3 , si se unen dos gotas el
volumen es el doble y el radio de la nueva gota es rFIN  2,52·103 m
y el potencial de la nueva gota es VFIN  k
q FIN
2·6,67·10 11
 9·109
 476,43 V
r FIN
2,52·10 3
12. Un dipolo eléctrico es un sistema de dos cargas iguales y de signo contrario separadas por
una distancia 2a.
a) Calcular el campo en los puntos situados entre las dos cargas.
b) Calcular el campo en los puntos de la bisectriz del eje del dipolo.
En un punto situado en la línea que une las cargas:
+
x
2a-x
E  E  E 
4
kq
kq
2x 2  4ax  4a 2


k
q
x 2 (2a  x)2
x 2(2a  x)2
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Campo Eléctrico
ET
E-
2a
x
La distancia entre cada carga y el punto P es: x 2  a2
El campo en cualquier punto es paralelo al dipolo y vale:
E+

P
ET  2·E sen   2·k
+
q
x  a2
a
2
x 2  a2

2k qa
(x 2  a2 )3
13. Un electrón se encuentra en reposo en un punto situado a 1 m de una esfera conductora de 1
cm de radio, que tiene una carga de 10-8 C. El electrón es atraído por la esfera y se mueve hacia
ella. Calcular la velocidad de éste cuando haya recorrido 50 cm desde el punto inicial hacia la
esfera.
El electrón se mueve desde A hasta B. La energía total en los
B
A
dos puntos es la misma y suponemos que en A está parado
1
2
EA  EB
EP A  0  EP B  mv 2

q1·q2
10 8 ·1,6·10 19
 9·10 9
 1,44·10 17 J
rA
1


8
19
q1·q2
9 10 ·1,6·10
17 
EB  k
 9·10
 2,88·10 J

rB
0,5

EA  k
v
v
2·(EP A  EP B )
m
2·(1,44  2,88)·10 17
 5,63·106 ms1
31
9,1·10
14. Tres cargas iguales de +5 µC se encuentran situadas en tres vértices de un cuadrado de 20
mm de lado. Hallar el campo y el potencial en el cuarto vértice. Qué pasaría si las cargas fuesen
de -5 µC.
E1  E2  k
E3  k
d
E1
E2
5·10 6
q
 9·10 9
2
d
20·10 3

q
 2d
2

2
 5,65·107 NC1

 1,13·10 8 NC1 









2
2
8
1
 E  EX  EY  2,16·10 NC
EY  E2  E3sen45  1,53·10 

EX  E1  E3 cos 45  1,53·10 8
E3
El potencial es V  V1  V2  V3  k
8
9·109 ·5·10 6
q
q
q
k k

d
d
20·10 3
2d

1 
6
1  1 
  6,09·10 V
2


Si las cargas son negativas, el campo cambia de sentido y el potencial de signo.
15. Dos cargas iguales +q están separadas una distancia de 6 m. En el punto situado en la
mediatriz del segmento que une ambas cargas, y a una distancia de 4 m del punto medio entre
ellas, la intensidad del campo eléctrico es de 2 V/m. Calcular la intensidad del campo eléctrico
en un 5unto situado en la misma mediatriz, a 8 m del punto medio entre ambas cargas. Calcular
el trabajo realizado cuando una carga de +10 µC pasa desde el primer punto al segundo.
5
Fco Javier Corral 2011-2012
Campo Eléctrico
El campo total en A es EA  2·k
dA
q
cos 
d2A
cos  
4
y la carga es
5
EA d2
2·52

 3,47·10 9 C

9
2k cos  2·9·10 ·0,8
El campo total en B es
3,47·10 9 8
q
EB  2·k 2 cos   2·9·10 9
 0,80 Vm1
73
dB
73
Los potenciales en los dos puntos son:
A
VA  2·k
q
B
3,47·10 9
q
 2·9·10 9
 12,49 V
dA
5
VB  2·k
3,47·10 9
q
 2·9·10 9
 7,31V
dB
73
y el trabajo es W  qMOVIL(VF  V0 )  qMOVIL(VB  VA )  10·106(7,31  12,49)  5,18·10 5 J
16*. En una zona del espacio hay un potencial variable V(x)=x2-3x. Escribir la ecuación del campo
eléctrico E. Calcular los valores del campo y del potencial en x=4 m. Calcular el trabajo
necesario para mover una carga de 10 µC desde x=4 hasta x=10.
El potencial es la derivada del campo cambiada de signo y el campo la integral (-) del
1
3
3
2
potencial: E   V(x)dx   (x 2  3x)dx  x 3  x 2
1
3
3
2
para x=4, el potencial vale V  42  3·4  4v y el campo es E  43  4 2  2,66
el potencial en los puntos x=4 y x= 10 es V4  4 v
V10  70 v
N
C
y el trabajo es W  qMOVIL(VF  V0 )  qMOVIL(V10  V4 )  10·106(70  4)  6,6·10 4 J
17*. Una esfera conductora tiene una densidad superficial de carga . A una distancia L de su
centro, el potencial es la décima parte del potencial superficial. Calcula:
a) El radio de la esfera conductora.
b) La carga eléctrica de la esfera.
c) El potencial eléctrico de la esfera.
d) La intensidad del campo en un punto muy próximo a la superficie.
e) La intensidad del campo en un punto del interior de la esfera.
Los potenciales en la superficie de la esfera
y en el punto que dista L son:
q
R
q
VL  k
L
VS  k

 VS L
  10  R  0,1·L

 VL R

La carga de la esfera es q  4  R 2  4·10 2  L2
El potencial en la superficie es: VS  k
El campo en la superficie es: ESUP  k
4  R 2
q
k
 4k R  0,4 k  L
R
R
4 R 2
q

k
 4 k  y en el interior EINT  0
R2
R2
6
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Campo Eléctrico
18*. ¿Cuánto vale el campo eléctrico en el centro geométrico de un anillo que posee una carga Q
uniformemente distribuida? ¿y a una distancia d medida sobre el eje?
En el centro el anillo:
R
dE
C
Descomponemos el anillo en elementos de
dE
P
carga dq. Para cada elemento hay uno, en la

posición opuesta, que crea el mismo campo
E
dE
pero en sentido contrario, por lo que el campo
dE
total en el centro del añillo es nulo. El campo
se anula por simetría.
d
En el punto P:
Descomponemos el anillo en elementos diferenciales de carga dq. Cada uno crea un campo dE:
dE  k
dq
R  d2
2
El campo total es la suma de todos los campos diferenciales. La suma solo tiene componente en
la dirección del eje OX, las otras se anulan por simetría:
E   dE·cos    k
dq
R  d2
2
d
R 2  d2
7
k
d
(R 2  d2 )3
 dq  k
Qd
(R 2  d2 )3
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