Problemario I - laboratorio de física de sólidos

FS 3411, Física Moderna 1, Problemario III
Prof. Estrella Laredo y Alfredo Bello
RELATIVIDAD ESPECIAL
Física Moderna I
FS 3411
Problemario propuesto por:
Estrella Abecassis de Laredo
Alfredo Bello
Septiembre 2002
FS 3411, Física Moderna 1, Problemario III
Prof. Estrella Laredo y Alfredo Bello
Introducción
El curso de Física Moderna I es el primer contacto con la física relativista y
cuántica que los estudiantes de la licenciatura en física tienen.
El curso comprende como se ve en el programa oficial adjunto, una
introducción a la relatividad especial y la parte de física moderna con una
introducción importante sobre los experimentos que llevaron a sentar las bases de
la física actual y los modelos que se propusieron para explicar estos experimentos.
Después se entra a una parte más detallada y formal de Mecánica cuántica en la
cual se explica el formalismo de Schrödinger y se aplica a átomos hidrogenoides
para pasar luego a átomos complejos y a rudimentos de moléculas. Se adoptará el
desarrollo histórico de esta fascinante etapa de descubrimientos en física que llevó
a abandonar conceptos y creencias que habían sido firmemente afianzados en el
Siglo XIX. El principio del siglo XX fue una época sumamente fértil para la
generación de ideas, y los gigantes que fueron los protagonistas de esa revolución
aún son hoy día admirados y respetados.
La teoría especial de la relatividad propuesta por Albert Einstein en 1905
modifica las transformaciones galileanas para pasar de un referencial a otro que se
desplaza a velocidad constante con relación al primero. A partir de los postulados
de Einstein se demuestra que el éter no existe, confirmado experimentalmente por
el experimento de interferometría óptica de Michelson y Morley. Se expondrán las
transformaciones de Lorentz, la ley de composición de velocidades, dilatación del
tiempo, concepto de simultaneidad. El concepto de masa en movimiento y masa en
reposo será expuesto así como el de momentum relativista. La energía total de una
partícula en mecánica relativista será deducida y también la equivalencia masaenergía.
Este problemario cubre el tema 1 del Programa de FS3411, hemos tratado de
agrupar los problemas más representativos de cada tema y hemos indicado las
respuestas. Es nuestro consejo que traten de resolver estos problemas a medida que
se va viendo la teoría para que al resolverlos en clase se den cuenta de cuales eran
las dificultades o los errores que cometieron.
Créannos, este es el curso más fascinante de física que van Uds. a ver. Suerte
y dedicación.
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Objetivos
Entre los objetivos de este curso, y por ende de este problemario, que cubre
los temas de Relatividad especial están los siguientes:
1) Entender el concepto del éter.
2) Entender como el experimento de Michelson Morley demostró la inexistencia
del éter
3) Conocer los postulados de Einstein y sus consecuencias más importantes.
4) Saber explicar la dilatación del tiempo y la contracción de longitudes en
sistemas inerciales distintos
5) Poder explicar el concepto de simultaneidad
6) Saber aplicar las transformaciones de Lorentz
7) Saber usar la ley de composición de velocidades
8) Entender la paradoja de los gemelos.
9) Saber aplicar la expresión del momentum relativista
10) Saber aplicar la expresión de la energía relativista
11) Poder calcular energías cinéticas de partículas relativistas
12) Poder resolver choques entre partículas
13) Entender los conceptos de la equivalencia masa energía
14) Poder encontrar la energía de enlace de un sistema ligado
Estos objetivos están cubiertos por la serie de problemas propuestos a
continuación sobre estos temas. Se ha tratado de proponer problemas de
dificultades crecientes que ilustran los diferentes temas tratados en las clases
teóricas. Muchos de estos problemas son problemas de examen en algún trimestre
en el cual hemos dictado este curso. Esperamos que este problemario les ayude en
el proceso de aprendizaje.
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Unidades Temáticas del Programa de FS-3411 Cubiertas por este
Problemario:
1.Teoría de la Relatividad Especial
Transformaciones Galileanas
Postulados de Einstein
Simultaneidad
Experimento de Michelson-Morley
Transformaciones de Lorentz
Masa relativista
Momentum relativista
Energía relativista
Equivalencia masa-energía
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Guía Nº 1 : Relatividad Especial
1.1.- El malvado de la película ha maquinado un plan diabólico para aniquilar al
héroe, hace caer una lluvia venenosa sobre el héroe que bien prevenido posee
un paraguas especial. La lluvia cae con velocidad de 20 m/s ¿A qué ángulo
deberá mantener el paraguas para no sucumbir a la lluvia venenosa mientras
corre a 18 km/h para escapar del peligro?
Respuesta: θ = 14.0º
1.2.- En un experimento de Michelson-Morley para medir el viento de éter el
interferómetro forma un ángulo θ con la vertical. Si los brazos tienen misma
longitud, L, deduzca que la diferencia de tiempo entre ambos caminos será
L  v2  2
aproximadamente ∆t = 3  1 + 2 v cos ( 2θ ) .
θ
c  c 
Fuente
Ojo
1.3.- Dos cohetes se acercan:
a) Si la velocidad de cada uno de ellos es 0.9c con relación a la tierra, ¿cuál
es la velocidad de uno con relación al otro?
b) Si la velocidad de cada uno de ellos es 30000 m/s con relación a la tierra,
¿cuál es la velocidad de uno con relación al otro?
c) En este último caso ¿qué error relativo se comete al usar mecánica clásica?
Respuestas: a) 0.994c b) 2 × 10−4 c c) 10-6 %
1.4.- Los Mirages alcanzan velocidades de 3x10-6 c:
a) Calcule la contracción porcentual que Ud. Desde la tierra observará en su
longitud.
b) Cuando en su reloj haya transcurrido un año ¿cuánto habrá transcurrido en
el reloj del piloto?
Respuestas: a) −4.5 × 10−10 % b) 1 − 4.5 × 10−12 años
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1.5.- Un profesor está examinando a un estudiante y el tiempo fijado es de una hora
en el reloj del profesor. En cuanto empieza el examen el profesor se aleja a
v = 0.97c . Para señalar el fin del examen el profesor lanza un destello
luminoso. ¿Cuánto tiempo habrá pasado en el reloj del estudiante entre el
inicio y el fin del examen?
Respuesta: 8.1 horas
1.6.- Dos gemelos astronautas vuelan con destino a dos planetas distintos distantes
de la tierra de d1 y d2. Ellos quieren escoger sus velocidades de vuelo de tal
manera que al volver a la tierra no presenten diferencia de edad. Encuentre la
relación entre v1 y v2 que se debe cumplir.
v
d
Respuesta: 2 = 1
v1 d 2
1.7.- Una vara se encuentra en reposo en un sistema S y tiene longitud L0 y está
inclinada un ángulo θ con respecto al eje x. Encuentre su longitud L' y el
ángulo de inclinación α’ con respecto al eje x’ según los mediría un
observador en un sistema S’ que se moviese a una velocidad v, paralela a x,
con respecto a S.
(
Respuesta: L′ = L0 1 − β 2 cos2 α
)
12
, tan α ′ = γ tan α
1.8.- T desde la tierra manda una señal cada 6 minutos a P que está en un planeta.
N esta montado en una nave que viaja de la tierra al planeta a una velocidad
de 0.6 c con respecto a la tierra.
a) ¿A qué intervalo recibe P las señales de T ?
b) ¿A qué intervalo recibe N las señales de T ?
Respuestas: a) 6 min. b) 12 min.
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1.9.- A las 12 del mediodía un trasbordador pasa frente a la tierra con una
velocidad 0.8c. Los observadores de la nave y los de la tierra están de acuerdo
en que son las 12:00.
a) A las 12:30 según el astronauta la nave pasa delante de una estación
planetaria fija con relación a la tierra. ¿Qué hora es en la estación?
b) ¿A qué distancia de la tierra en coordenadas terrestres se encuentra la
estación?
c) A las 12:30 según el astronauta se establece comunicación con la tierra
desde la nave. ¿A qué hora según el terrícola se recibe esta señal?
d) La Tierra contesta inmediatamente ¿cuándo recibirá el astronauta la
repuesta según su reloj?
Respuestas: a) 12:50 b) 7.2 × 1011 m c) 13:30 d) 16:30
1.10.- La ecuación para un pulso esférico de luz que sale del origen en t = t ′ = 0 es
x 2 + y 2 + z 2 − c 2t 2 = 0
Muestre a partir de las transformaciones de Lorentz, que un observador O’ en
S’ que se mueve a velocidad v (paralela a x) con relación a S, también medirá
un pulso esférico de misma velocidad.
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Guía Nº 2: Relatividad Especial, Dinámica
2.1.- Dos neutrones A y B se acercan a lo largo de una trayectoria lineal. Cada
uno posee una velocidad constante βc medida desde el laboratorio.
Demuestre que la energía total del neutrón B observada en el sistema en
2
2 1+ β 
reposo del neutrón A está dada por mc 
2 
1− β 
2.2.- Dos partículas relativistas idénticas coliden elásticamente. Una de ellas
estaba en reposo y la otra tenía un momentum p. Si las velocidades finales
tienen igual magnitud ¿qué ángulo α formarían las velocidades finales?
Compárelo con la predicción clásica.
1
2
 K + 2mc 
π
Respuesta: cos α =  1i
, Predicción clásica 2α =
2 
2
 K1i + 4mc 
2
2.3.- Pruebe que una partícula aislada en el vacío no puede emitir un fotón (masa
en reposo nula y momentum p = E c ).
Respuesta: Se obtienen dos ecuaciones incompatibles
2.4.- Encuentre la velocidad y el momentum de un protón cuya energía cinética
Ek es igual a su energía en reposo, E0 .
Respuesta: p = mc 3 ; v = 3 4 c
2.5.- Derive la expresión para el radio de la órbita que describe la partícula
relativista de masa en reposo m, carga q, energía cinética Ek , en un campo
magnético B uniforme y de dirección perpendicular al plano de la órbita.
2
1
Respuesta: R =
Ek + mc 2 − m 2 c 4
9β c
(
)
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2.6.- Sean 2 partículas idénticas de masa en reposo m, energía cinética Ek y
velocidad v’ en S’, que chocan y se quedan pegadas formando una partícula
de masa M. S se mueve con relación a S’ hacia la izquierda con velocidad v
(v = v’) paralelamente al eje x.
a) Describa la colisión en S.
b) Demuestre que en ambos sistemas S y S’ la energía total se conserva.
c) Demuestre que la masa relativista también se conserva en ambos sistemas.
2.7.- La energía requerida para sacar un neutrón de un núcleo de He4 es de 21.6
MeV. ¿Qué error porcentual se comete si se toma para la masa del He4 la
masa del He3 más la de un neutrón?
Respuesta: 0.57%
2.8.- La tierra recibe energía proveniente del sol a razón de 1.345x103 watts/m2.
¿Cuál es la razón a la cual el sol pierde su masa en reposo por segundo y por
año debido a su radiación
Respuesta: 2.18 × 10−21 / s, 6.87 × 10-14 / año
2.9.- En un condensador un electrón inicialmente en reposo en una de las placas
se separa de esta y se mueve hacia la otra distante de 1m bajo la influencia
de la diferencia de potencial entre placas que es de 107 V. Calcule el tiempo
que tarda el electrón en alcanzar la otra placa.
Respuesta: t = 3.49 × 10−9 s
2.10.- Encuentre la energía a) de un protón y b)de un electrón para las cuales la
aproximación clásica es correcta con un 5% de error.
Respuestas: a) 31.27 MeV b) 17.03 keV
2.11.- Muestre que para pc E0 la energía cinética Ek se puede escribir
a) p 2 2m − p 2 c 4 8E03
b) p 2 2m − Ek2 2 E0
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2.12.- Un mesón K 0 K0 en reposo decae en 2 mesones π0 ( M K = 498 MeV/c2,
0
2
M π = 135 MeV/c )
0
a) ¿Cuáles son las energías cinéticas de cada π0?
b) ¿Cuáles son las velocidades de cada π0?
c) ¿Cuáles son los momenta de cada π0?
Respuestas: a) 114 MeV b) 0.84c c) 209.1 MeV/c
2.13.- Pruebe que el trabajo que ejerce la fuerza resultante F que actúa sobre una
partícula de masa m, al desplazarla de dr, es igual al cambio de energía
2.14.- Dos partículas, m1 y m2, chocan de frente elásticamente. Las velocidades
antes del choque son u1 y u2 (u2 = 0). Encuentre la velocidad de la partícula 1
después del choque, u1′ .
Respuesta: u1′ =
(m
2
1
)
− m22 u1
u12
m + m + 2m1m2 1 − 2
c
2
1
2
2
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Bibliografía
1)
P. Tipler, Física Moderna, Reverté 1985
2)
P. Tipler, Foundations of Modern Physics, Worth 1978
3)
P. Tipler, R. A. Llewellyn, Modern Physics, Freeman 1999
4)
E. Anderson, Modern Physics and Quantum Mechanics, Saunders
5)
R. Eisberg and R. Resnick, Quantum Physics of Atoms, Molecules,
Solids, Nuclei and Particles, Wiley 1974