combinatoria básica objetivo general objetivos específicos palabras

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
CÁLCULO
Y NATURALES
TALLER Nº 8
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS
SEMESTRE 2
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS
COMBINATORIA BÁSICA
Leonhard Euler (nombre completo, Leonhard Paul Euler) nació el 15 de
abril de 1707 en Basilea, Suiza, y murió el 18 de septiembre de 1783 en San
Petersburgo, Rusia. Fue un respetado matemático y físico, y está
considerado como el principal matemático del siglo XVIII y como uno de los
más grandes de todos los tiempos.
Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes
descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos. También
introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para
el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción de función matemática. También
se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica, óptica y astronomía.
Euler ha sido uno de los matemáticos más prolíficos, y se calcula que sus obras completas
reunidas podrían ocupar entre 60 y 80 volúmenes.[2] Una afirmación atribuida a Pierre-Simon
Laplace expresa la influencia de Euler en los matemáticos posteriores: «Lean a Euler, lean a
Euler, él es el maestro de todos nosotros.»
En conmemoración suya, Euler ha aparecido en la serie sexta de los billetes de 10 francos
suizos, así como en numerosos sellos postales tanto suizos como alemanes y rusos. El
asteroide (2002) Euler recibió ese nombre en su honor.
 OBJETIVO GENERAL
Familirializar al estudiante con los conceptos básicos de combinatoria y probabilidad.
 OBJETIVOS ESPECÍFICOS




Saber de cuantas maneras es posible realizar determinado proceso, sin necesidad de
especificar cada una de ellas.
Comprender el concepto de permutación.
Comprender el concepto de combinación.
Comprender el concepto de probabilidad.
 PALABRAS CLAVES
Principio fundamental, permutación, combinación, probabilidad, evento, suceso, experimento,
espacio muestral.
1
 MARCO TEÓRICO
1. PRINCIPIO FUNDAMENTAL: Si una operación requiere dos etapas para completarse y
una de esas etapas puede hacerse de 𝒏 maneras y por cada una de estas la segunda
etapa puede hacerse de 𝒎 maneras, entonces la operación tiene 𝒏 × 𝒎 maneras de
realizarse.
2. PERMUTACIONES: La expresión 𝒏! Se lee 𝑛 factorial y representa el producto de los
primeros 𝒏 enteros positivos. Por definición 0! = 1.
Ejemplos:
3! = 1 × 2 × 3 = 6.
5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120.
Los factoriales tiene múltiples aplicaciones, pero muy especialmente aparece en la teoría
de la probabilidad. Una permutación es un arreglo ordenado de 𝒏 objetos de tamaño 𝒓,
donde r puede ser menor o igual a n. Se denota por: 𝑛 𝑃𝑟 .
La permutación de 𝒓 objetos, sin repetición, seleccionados de entre 𝒏 objetos distintos, se
𝑛!
calcula con la expresión:
0≤𝑟≤𝑛
𝑛 𝑃𝑟 = (𝑛−𝑟)!
Cuando se dan 𝒏 objetos algunos de ellos, repetitivos, para realizar arreglos de tamaño
𝑛!
𝒓 el cálculo del número de arreglos se hace con la expresión 𝑟 !𝑟 !𝑟 !…𝑟 ! , donde los ri
1 2 3
𝑘
representan los elementos de n que se repiten.
Cuando se tienen n objetos y todos intervienen en los arreglos, esto es, 𝒓 = 𝒏, el número
de arreglos se realiza con la expresión 𝑛 𝑃𝑟 = 𝑛!
3. COMBINACIONES: El termino combinación, se refiere a las distintas formas como se
pueden agrupar r elementos en un conjunto de tamaño n sin importar el orden, donde r
puede ser menor o igual a n. Una combinación de r elementos tomados de un conjunto de
𝑛!
n elementos se denota por 𝑛 𝐶𝑟 , y
0≤𝑟≤𝑛
𝑛 𝐶𝑟 = 𝑟!(𝑛−𝑟)!
4. PROBABILIDAD: Una Probabilidad es darle un valor numérico a la posibilidad de que se
de un evento, suceso, o acontecimiento al realizar un experimento.La Probabilidad de que
se de un evento 𝐴, se denota por
(A) y, se define como:
p
r
p (A
r
) =
Número de casos favorables
Número de casos posibles
Los casos favorables son aquellos sucesos que permiten que ocurra el evento.
Los casos posibles son todos los sucesos en general, favorezcan o no la ocurrencia del
evento.
 EJERCICIOS PROPUESTOS
Responder las preguntas 1 a 3 de acuerdo
con la siguiente información:
Para ir de A a C, es necesario pasar por B;
hay tres rutas distintas entre A y B y cuatro
rutas distintas entre B y C.
2
1.
¿De cuántas maneras puede una
persona hacer un viaje de A a C?
A. 10
B. 7
C. 12
D. 18
2.
¿De cuántas maneras puede una
persona hacer un viaje de ida y vuelta de A
a C?
A.
14
B.
144
C.
24
D.
18
3. ¿De cuántas maneras puede una
persona hacer un viaje de ida y vuelta de A
a C sin repetir ruta?
A.
12
B.
144
C.
24
D.
72
4. En un estudio médico se clasifica a los
pacientes de 8 formas, de acuerdo a si
tienen sangre de tipo AB+, AB-, A+, A-, B+,
B-, O+, O- y también de acuerdo a su
presión arterial si es baja, normal o alta. El
número de formas en la que un paciente
pude ser clasificado es:
A.
11
B.
24
C.
120
D.
110
5. Un estudiante de primer semestre de
universidad debe tomar un curso de
ciencias, uno de humanidades y uno de
matemáticas. Si es posible elegir entre 6
cursos de ciencias, 4 de humanidades y 4
de matemáticas. ¿De cuántas formas
diferentes pude elaborar el estudiante su
horario?
A.
14
B.
24
C.
96
D.
84
6. El testigo de un accidente de tránsito en
el que el causante se dió a la fuga le dijo a
la policía que las placas del automóvil tenía
las letras ELN seguidas de tres dígitos, el
primero de los cuales era un 3, si el testigo
no puede recordar los últimos dígitos, pero
está seguro que todos los dígitos eran
diferentes, el número de registros de
automóviles que la policía tendrá que
revisar es:
A.
56
B.
81
C.
72
D.
64
7. ¿De cuántas maneras diferentes es
posible contestar una prueba de verdadero
y falso que consta de 5 preguntas?
A.
120
B.
25
C.
64
D.
32
Responder las preguntas 8 y 9 de acuerdo
con la siguiente información:
Si una prueba de opción múltiple consta de
5 preguntas, cada una de ellas con 4
respuestas posibles, de las cuales sólo una
es la correcta.
8. ¿De cuántas formas diferentes puede un
estudiante asignar una respuesta a cada
pregunta?
A.
1024
B.
20
C.
64
D.
243
9. ¿De cuántas maneras diferentes puede
un estudiante asignar una respuesta a
cada una de las preguntas y tener todas
las respuestas equivocadas?
A.
1024
B.
243
C.
184
D.
118
3
10. El número de formas en el que se
pueden asignar 6 maestros a 4 secciones
de un curso introductorio de sicología, si a
ningún maestro se le puede asignar más
de una sección es:
A.
270
B.
360
C.
256
D.
1296
Responder las preguntas 11 a 14 de
acuerdo con la siguiente información:
Con los números 1, 2, 3, 4, 5
11. ¿Cuántos números de tres dígitos
distintos pueden formarse?
A.
125
B.
12
C.
60
D.
72
12. ¿Cuántos números impares de tres
dígitos distintos pueden formarse?
A.
36
B.
60
C.
10
D.
48
13. ¿Cuántos números pares de tres
dígitos distintos pueden formarse?
A.
24
B.
64
C.
9
D.
36
14. ¿Cuántos números de tres dígitos
distintos que comiencen 1 y terminen en 5
pueden formarse?
A.
24
B.
3
C.
12
D.
36
Responder las preguntas 15 a 17 de
acuerdo con la siguiente información:
Con los números 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6
cuántos números de tres dígitos pueden
formarse
15. Si cada dígito se puede utilizar una
sola vez.
A.
17
B.
180
C.
216
D.
228
16. Si los números son impares y cada
dígito se puede utilizar una sola vez.
A.
75
B.
216
C.
120
D.
210
17. Si los números son mayores que 330 y
cada digito se puede utilizar una sola vez.
A.
15
B.
90
C.
105
D.
120
Responder las preguntas 18 a 20 de
acuerdo con la siguiente información:
Con los números 1, 3, 5, 6, 7, 9
18. ¿Cuántos números de cuatro dígitos
pueden formarse?
A.
270
B.
1296
C.
1180
D.
360
19. ¿Cuántos números pares de cuatro
dígitos pueden formarse?
A.
120
B.
216
C.
180
D.
228
20. ¿Cuántos números impares de cuatro
dígitos pueden formarse?
A. 150
B. 1080
C. 216
4
D. 1020
21. ¿Cuántas señales distintas pueden
hacerse con siete banderas izando tres a
cada vez?
A. 21
B. 210
C. 64
D. 343
22. Con 10 jugadores de microfútbol. ¿De
cuántos modos se puede disponer un
equipo de 5 jugadores si el centrodelantero
y el portero han de ser siempre los
mismos?
A. 30.240
B. 150
C. 184
D. 336
23. ¿Cuántos números de 4 cifras distintas
pueden formarse con los números 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9?
A. 6561
B. 3024
C. 360
D. 1256
24. Con 9 jugadores de béisbol. ¿De
cuántos modos se puede descomponer
una novena si el pitcher y el catcher
son siempre los mismos?
A. 3270
B. 5040
C. 7940
D. 2360
25. ¿De cuántos modos puede colocarse
en un estante 5 libros?
A. 120
B. 5040
C. 140
D. 24
26. Un comité de 5 personas ha de repartir
los 5 puestos directivos de presidente,
vicepresidente, secretario, tesorero y
A.
B.
C.
D.
vocal. ¿De cuántas maneras es posible
hacerlo?
24
105
120
240
27. ¿Cuántos números de 3 cifras es
posible formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4,
6, 8, 9?
A. 120
B. 210
C. 343
D. 720
28. ¿Cuántas palabras se pueden formar
con todas las letras de la palabra
MISSISSIPPI?
A. 56720
B. 14120
C. 34650
D. 98570
29. Se ordenan en una fila 5 bolos rojas, 2
bolos blancas y 3 bolas azules. Si las
bolas de igual color no se distinguen
entre sí, ¿De cuántas formas posibles
pueden ordenarse?
A. 10!
B. 10! / 3!
C. 7! / 5!.2!
D. 10! / 5!.2!.3!
Responder las preguntas 30 y 31 de
acuerdo con la siguiente información:
Cuatro libros distintos de matemáticas, 6
diferentes de física y dos diferentes de
química se colocan en un estante. ¿De
cuántas formas distintas es posible
ordenarlos si…
30. ¿Los libros de cada asignatura deben
estar todos juntos?
A. 120.540
B. 207.360
C. 264.320
D. 362.146
5
31. Solamente los libros de matemáticas
deben estar juntos
A. 4!.6!.2!.3!.
B. 9!
C. 9!.4!
D. 6!.3!
32. ¿Cuántos números mayores que 2.000
y menores que 3.000 se pueden formar
con los números 2, 3, 5 y 6?
A. 6
B. 120
C. 720
D. 64
33. ¿De cuántos modos pueden
descomponerse 11 muchachos para
formar una rueda?
A. 11!
B. 11!.10!
C. 10!
D. 11! / 9!.2!
Cuatro parejas de casados compran 8
asientos en una fila para un concierto. ¿De
cuantas maneras diferentes se pueden
sentar?
34. Sin restricciones
A. 3.620
B. 384
C. 40.320
D. 578
35. ¿Si cada pareja se sientan juntas?
A. 240
B. 384
C. 720
D. 3.620
36. ¿Si todos los hombres se sientan juntos
a la derecha de todas las mujeres?
A. 720
B. 576
C. 270
D. 3.620
Responda las preguntas 34 a 36 de
acuerdo a la siguiente información:
COMBINACIONES Y PROBABILIDAD
1. Con 7 personas, ¿cuántos comités
distintos de 5 personas se pueden
formar?
A. 42
B. 21
C. 5040
D. 720
2. De 12 libros. ¿Cuántas selecciones de
5 libros pueden hacerse?
A. 792
B. 60
C. 720
D. 24
3. ¿Cuántas selecciones de cuatro letras
pueden hacerse con las letras de la
palabra ALFREDO?
A. 42
B. 35
C. 5040
D. 210
4. ¿Cuántas selecciones de 3 monedas
pueden hacerse con una pieza de 5
centavos, una de 10, una de 20, una de
40 y una de a peso?
5. 10
6. 60
7. 120
8. 24
9. De entre 8 candidatos, ¿Cuántas ternas
se pueden escoger?
6
A.
B.
C.
D.
336
56
120
40320
10. Encontrar el número de comités que
se pueden formar con 4 químicos y 3
físicos y comprenden de 2 químicos y 1
físico.
A. 144
B. 4
C. 18
D. 36
11. Un colegio participa en 12 partidos de
fútbol en una temporada; ¿de cuántas
maneras puede el equipo terminar una
temporada con 7 victorias?
A. 792
B. 124
C. 5040
D. 64
12. Un colegio participa en 12 partidos de
fútbol en una temporada. ¿de cuántas
maneras puede el equipo terminar la
temporada con 2 empates?
A. 124
B. 66
C. 720
D. 5040
13. Un colegio participa en 12 partidos de
fútbol en una temporada. ¿de cuántas
maneras puede el equipo terminar la
temporada con 3 derrotas?
A. 220
B. 64
C. 720
D. 3604
14. Un colegio participa en 12 partidos de
fútbol en una temporada. ¿de cuántas
maneras puede el equipo terminar la
temporada con 7 victorias, 3 derrotas, y
2 empates?
A. 7920
B. 720
C. 792
D. 330
15. Siete viejos amigos se reúnen para
celebrar el cumpleaños de uno de ellos.
Al encontrarse los siete, cada uno le da
la mano a otro, ¿cuántos apretones de
mano se dan en total?
A. 42
B. 21
C. 7
D. 14
16. Una bolsa contiene 6 balotas blancas y
4 negras. ¿de cuántas formas
diferentes se pueden extraer 3 balotas
y que éstas sean de un mismo color?
A. 10
B. 120
C. 210
D. 24
17. ¿Cuántas formas hay de seleccionar a
5 candidatos de un total de 10 recién
graduados
y
con
las
mismas
capacidades para ocupar vacantes en
una firma contable?
A. 120
B. 240
C. 252
D. 184
18. En un examen se ponen 8 temas para
que el alumno escoja 5. ¿cuántas
selecciones puede hacer el alumno?
A. 56
B. 81
C. 124
D. 520
19. ¿De cuántas formas se pueden sacar
2 balotas de una bolsa que contiene 4
amarillas y 3 rojas?
A. 36
B. 12
C. 21
D. 7
7
20. ¿De cuántas formas se pueden sacar
3 balotas amarillas de una bolsa que
contiene 8 amarillas y 5 rojas?
A. 36
B. 56
C. 72
D. 12
21. Al reunirse cierto número de personas
se dan la mano para saludarse, si en
total se dieron 105 apretones de mano.
¿cuántas personas se saludaron?
A. A. 52
B. B. 35
C. C. 51
D. D. 15
22. Una bolsa contiene 4 bolas, 3 blancas
y 1 amarilla. ¿cuál es la probabilidad de
que al sacar una bola, esta sea
amarilla?
A. 0
B. 3/4
C. 1
D. ¼
23. Una bolsa contiene 3 bolas rojas y una
negra; ¿cuál es la probabilidad de que
al sacar 2 bolas, las 2 sean rojas?
A. 1/6
B. ¾
C. ½
D. ¼
24. Una caja contiene 100 arandelas entre
las cuales hay 10 defectuosas. ¿Cuál
es la probabilidad de que al sacar una
muestra de 3 arandelas, las tres sean
defectuosas?
A. 5/2745
B. 2/2695
C. 2/4720
D. 4/720
25. Una caja contiene 100 arandelas entre
las cuales hay 10 defectuosas, ¿cuál
es la probabilidad de que al sacar una
muestra de tres, por lo menos una sea
defectuosa?
A. 13/2695
B. 2/2695
C. 67/245
D. 4/4720
26. Se lanzan 2 monedas al aire ¿cuál es
la probabilidad de que caigan
alternadas?
A. 1/2
B. 3/4
C. 1
D. 0
27. Se lanzan 3 monedas, ¿cuál es la
probabilidad de que las 3 caigan caras?
A. 1/2
B. 7/8
C. 1/4
D. 1/8
28. Si se saca una carta de una baraja de
póker, ¿cuál es la probabilidad de que
sea un AS o un SEIS? (hay 4 cartas de
una misma especificación; la baraja
tiene 52 cartas)
A. 1/169
B. 2/13
C. 1/13
D. 5/13
29. En un baile de disfraces se reúnen 10
matrimonios. Si se eligen 2 personas al
azar, entonces la probabilidad de que
las dos sean esposos es:
A. 1/10
B. 1/100
C. 1/190
D. 1/200
30. Hay 10 obreros y 3 empleados, si se
eligen 3 de ellos, indistintamente, ¿cuál
es la probabilidad de que sean los tres
empleados?
A. 2/13
8
B. 1/13
C. 3/13
D. 1/286
31. Se lanzan 2 dados y una moneda.
¿cuál es la probabilidad de que salga 6
y 6 en los dados y sello en la moneda?
A. 1/71
B. 1/72
C. 1/73
D. 1/74
32. Del ejercicio 28 al 31, responda según
el enunciado. Un recipiente tiene 12
bombillas, entre las cuales hay 2
defectuosas, ¿cuál es la probabilidad
de que al sacar una muestra de
3….Tres sean buenas?
A. 6/11
B. 3/12
C. 17/12
D. 1/16
33. ¿Cuál es la probabilidad de que 2 sean
defectuosas?
A. 6/11
B. 3/11
C. 1/22
D. 2/11
34. ¿Cuál es la probabilidad de que al
menos una sea defectuosa?
A. 5/22
B. 8/11
C. 5/11
D. 3/11
35. ¿Cuál es la probabilidad de que
exactamente una sea defectuosa?
A. 5/22
B. 9/22
C. 9/11
D. 3/22
36. Si se lanza un dado, ¿cuál es la
probabilidad de que no salga 6?
A. 5/6
B. 1
C. 1/6
D. 1/3
37. Si se lanzan 2 dados y su suma es
6, ¿cuál es la probabilidad de que el
resultado se haya sacado mediante
un 3 en cada dado?
A. 5/36
B. 1/36
C. 1/5
D. 1/18
38. Se tiene una bolsa con fichas
numeradas con todos los números
de dos cifras distintas que se
pueden escribir con los dígitos1, 2,
3. ¿cuál es la probabilidad de que al
sacar una ficha, el número sea par?
A. 1/3
B. 2/3
C. 1/6
D. 5/6
PRUEBAS DEL SABER
Operaciones mal escritas
División mal hecha.
Se trata de dos operaciones muy sencillas y que
seguro que sabes hacer bien, lo que sucede es
que están mal escritas. Totalmente mal escritas.
La primera es una suma, y la segunda una
división. Y en ambas operaciones, el duende de
la impresora ha cambiado todos y cada uno de
los dígitos, o bien por uno una unidad más
mayor, o bien por uno una unidad menor.
Tu misión es encontrar la suma y la división
original, indicando el camino que has seguido
para encontrar los valores. Ánimo, que tienes
tiempo.
9
Nota: la división no tiene resto, es decir, es
exacta.
10