Ecuaciones en Derivadas Parciales

Ecuaciones en Derivadas Parciales
Una ecuación en derivadas parciales (EDP) es una ecuación diferencial cuya incógnita es una función
que depende de más de una variable. El orden de una EDP es el orden de la derivada parcial más alta.
En este tema vamos a estudiar algunas EDPs lineales de segundo orden a coeficientes constantes.
Las tres ecuaciones básicas: ondas, calor y Laplace/Poisson
Todas las EDPs que estudiaremos provienen de modelos fı́sicos: la vibración vertical de las cuerdas
de una guitarra o la membrana de un tambor; la evolución de la temperatura en piezas 1D, 2D o
3D; los equilibrios elásticos y térmicos de los problemas anteriores, etc. Esto proporciona una valiosa
intuición del comportamiento que deben tener las soluciones de las EDPs consideradas y podremos
interpretar fı́sicamente los resultados obtenidos.
La ecuación de ondas 1D (cuerda vibrante). Consideramos el movimiento ondulatorio vertical
de una cuerda vibrante horizontal de longitud L de densidad constante y composición homogénea
sometida a una fuerza externa que actúa en la dirección vertical. Notamos por u(x, t) al desplazamiento
vertical respecto la posición de equilibrio del punto x ∈ [0, L] de la cuerda en el instante t ∈ R.
Análogamente, F (x, t) es la fuerza externa por unidad de masa que actúa sobre el punto x ∈ [0, L] en
el instante t ∈ R. La fuerza empuja hacia arriba/abajo cuando F (x, t) es positiva/negativa.
La EDP que modela el movimiento es
utt − c2 uxx = F (x, t),
x ∈ (0, L),
t ∈ R.
Aquı́, los sı́mbolos utt y uxx denotan las segundas derivadas parciales respecto el tiempo y la posición,
respectivamente. El parámetro c2 = τ /ρ depende de la tensión τ y de la densidad lineal ρ. La cantidad
c será interpretada más adelante como la velocidad a la que viajan las ondas en el material considerado.
Diremos que esta EDP es homogénea cuando F (x, t) ≡ 0. Si consideramos que la cuerda vibrante es
de longitud infinita —algo sin sentido fı́sico, pero con interés matemático—, escribiremos x ∈ R.
Ejercicio. Usar que los términos utt y c2 uxx tienen las mismas unidades para deducir que c tiene
unidades de velocidad “horizontal” (es decir, espacio “horizontal” partido tiempo).
La ecuación del calor 1D. Consideramos la evolución de la temperatura en una barra homogénea
de longitud L que posee algunos focos o sumideros de calor internos1 descritos por una función F (x, t).
Las focos/sumideros de calor corresponden a los puntos x e instantes t tales que la función F (x, t) es
positiva/negativa. Notamos por u(x, t) la temperatura del punto x ∈ [0, L] en el instante t ≥ 0. Como
no vivimos en un mundo 1D, desde un punto de vista fı́sico tiene más sentido considerar la evolución
de la temperatura en un muro homogéneo infinito de grosor L, siendo x ∈ [0, L] la coordenada que
“atraviesa” el muro.
La EDP que modela la evolución de la temperatura es
ut − k 2 uxx = F (x, t),
x ∈ (0, L),
t > 0.
El parámetro k 2 = κ/cρ depende de la conductividad térmica κ, la densidad lineal ρ y el calor especı́fico
c del material que conforma la barra o el muro infinito. La EDP es homogénea cuando F (x, t) ≡ 0. Si
consideramos que la barra es de longitud infinita, escribiremos x ∈ R.
Ejercicio. Probar que la función u : R × (0, +∞) → R definida por
u(x, t) = √
1
4πk 2 t
e−x
2
/4k2 t
cumple la ecuación del calor homogénea. Calcular lı́mt→0 u(x, t). ¿Qué pasa cuando t < 0?
1Por ejemplo, un transistor se calienta cuando una corriente eléctrica circula por él.
1
Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/edp.pdf
2
Equilibrios elásticos y térmicos 1D del caso homogéneo. Buscamos los equilibrios elásticos en
ausencia de fuerzas externas y los equilibrios térmicos en ausencia de focos/sumideros de calor internos:
F (x, t) ≡ 0. Equilibrio significa que el estado del cuerpo se mantiene estacionario en el tiempo, luego
buscamos soluciones u = u(x) que no dependan del tiempo y ası́ desaparecen las derivadas parciales
ut y utt . En tal caso, las EDPs utt = c2 uxx y ut = k 2 uxx se reducen a la EDO lineal de segundo orden
u00 = 0, cuyas únicas soluciones son las funciones lineales de la forma u(x) = ax + b, con a, b ∈ R.
Queda probado pues que los únicos equilibrios elásticos de una cuerda vibrante no sometida a
fuerzas externas y los únicos equilibrios térmicos de una barra sin focos ni sumideros de calor internos
son los estados (desplazamiento o temperatura) lineales.
Las versiones multidimensionales. Antes de dar las versiones multidimensionales de las ecuaciones
anteriores, recordamos que el Laplaciano de una función u : Ω ⊂ Rn → R que depende de una variable
vectorial x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn es la función
∆u = div grad u =
n
X
∂2u
j=1
∂x2j
= ux1 x1 + · · · + uxn xn .
Por ejemplo, si la función u depende de una única variable x ∈ R, entonces ∆u = uxx . En cambio, si
depende de tres variables: (x, y, z) ∈ R3 , entonces ∆u = uxx + uyy + uzz . Además, cuando la función
dependa de la posición x = (x1 , . . . , xn ) y el tiempo t, interpretaremos que el Laplaciano sólo afecta
a las variables de posición; es decir, el Laplaciano no incluye el término utt .
Las versiones n-dimensionales de las ecuaciones anteriores son las siguientes.
La ecuación de ondas que modela el movimiento ondulatorio de un cuerpo elástico Ω ⊂ Rn es
utt − c2 ∆u = F (x, t),
u = u(x, t),
x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Ω,
t ∈ R.
La ecuación del calor que modela la evolución de la temperatura en un cuerpo Ω ⊂ Rn es
ut − k 2 ∆u = F (x, t),
u = u(x, t),
x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Ω,
t > 0.
Desde un punto de vista fı́sico, sólo interesan los casos 1D, 2D o 3D. Es decir, n ≤ 3. Al igual que en
las versiones 1D estamos suponiendo que el cuerpo es completamente homogéneo. La función F (x, t)
representa la acción de una fuerza exterior en el caso de la ecuación de ondas o los focos y sumideros
de calor internos en el caso de la ecuación de calor. Se supone que F (x, t) es un dato conocido.
La ecuación de Laplace/Poisson. A partir de las versiones n-dimensionales de las ecuaciones de
ondas y calor, vemos que si la función F (x, t) no depende de t, entonces los equilibrios térmicos y
elásticos de un cuerpo Ω ⊂ Rn están modelados por la llamada ecuación de Poisson
∆u = G(x),
u = u(x),
x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Ω.
2
Aquı́, G(x) = −F (x)/c en la ecuación de ondas y G(x) = −F (x)/k 2 en la ecuación del calor. La
versión homogénea de esta ecuación recibe el nombre de ecuación de Laplace:
∆u = 0,
u = u(x),
x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Ω.
Condiciones iniciales, condiciones de frontera y flujo
Todas las ecuaciones anteriores tienen infinitas soluciones. Para capturar una solución concreta
impondremos condiciones adicionales, que pueden ser de dos tipos: iniciales y de frontera.
Condiciones iniciales: desplazamiento, velocidad y temperatura. Estas condiciones fijan el
estado del objeto en el instante inicial. Empezamos por la ecuación de ondas, que es de segundo orden
en el tiempo, luego necesita exactamente dos condiciones iniciales; a saber, fijar
El desplazamiento inicial : u(x, 0) = f (x) para x ∈ Ω; y
La velocidad inicial : ut (x, 0) = g(x) para x ∈ Ω.
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En cambio, la ecuación del calor es de primer orden en el tiempo, luego basta fijar la temperatura
inicial : u(x, 0) = f (x) para x ∈ Ω. Y, para acabar, la ecuación de Laplace/Poisson es estática, luego
no tiene sentido fijar el estado inicial del objeto, ya que ese estado es justamente la incógnita del
problema. Serı́a como preguntar de qué color es el caballo blanco de Santiago.
Condiciones de frontera: Dirichlet, Neumann, mixtas y periódicas. Estas condiciones (también llamadas condiciones de contorno) determinan la interacción del objeto con el medio que lo rodea,
luego sólo tienen sentido cuando el objeto estudiado tiene frontera. Por ejemplo, la cuerda vibrante
infinita no tiene frontera y las cuerdas de una guitarra sı́.
Consideraremos cuatro tipos de condiciones de frontera.
Dirichlet: Consisten en fijar el valor de la función u en los puntos de la frontera.
∂u
en los puntos de la frontera. El sı́mbolo
Neumann: Consisten en fijar el valor de la derivada ∂n
∂u
denota
a
la
derivada
en
la
dirección
normal
exterior
a la frontera. La convención que
∂n
∂u
∂u
seguimos en el caso 1D es: ∂n = ux en el extremo derecho y ∂n = −ux en el extremo izquierdo.
∂u
cuantifica el flujo de calor a través de la frontera.
Más adelante, veremos que la derivada ∂n
Mixtas (sólo en el caso 1D): Consisten en considerar una condición de tipo Dirichlet en un
extremo y una condición de tipo Neumann en el otro.
Periódicas (sólo en el caso 1D): Consisten en imponer que las funciones u y ux tengan el mismo
valor en los dos extremos del intervalo [0, L].
En los tres primeros casos, diremos que estas condiciones son homogéneas cuando todos los valores
fijados sean iguales a cero. La función idénticamente nula (también llamada solución trivial) cumple
cualquier condición homogénea.
Ejemplo 1. Sea W ⊂ R3 un cuerpo de frontera S = ∂W . Un PVI de calor en este cuerpo 3D sin focos
ni sumideros de calor interno con condiciones de frontera de tipo Neumann consiste en las ecuaciones

(x, y, z) ∈ W t > 0
 ut = k 2 ∆u
u(x, y, z, 0) = f (x, y, z)
(x, y, z) ∈ W
 ∂u
(x, y, z) ∈ S t > 0
∂n (x, y, z, t) = h(x, y, z, t)
donde la temperatura inicial f : W → R y el flujo h : S × [0, +∞) → R son funciones conocidas.
Ejemplo 2. Un PVI de calor 1D en una barra de longitud L sin focos ni sumideros de calor interno
con condiciones de frontera de tipo Neumann consiste en las ecuaciones

2
x ∈ (0, L) t > 0

 ut = k uxx

u(x, 0) = f (x)
x ∈ (0, L)
u
(0,
t)
=
−h
(t)
t>0

x
i


ux (L, t) = hd (t)
t>0
donde la temperatura inicial f : [0, L] → R y los flujos hi , hd : [0, +∞) → R son funciones conocidas.
Análogamente, si imponemos que las condiciones de frontera sean periódicas, el problema queda ası́:

2
x ∈ (0, L) t > 0

 ut = k uxx

u(x, 0) = f (x)
x ∈ (0, L)
u(0, t) = u(L, t)
t>0



ux (0, t) = ux (L, t)
t>0
Ejemplo 3. Un problema de Poisson 2D en un cuadrado de lado 2L con condiciones de frontera de
tipo Dirichlet homogéneas consiste en las ecuaciones

 uxx + uyy = G(x, y) x ∈ (−L, L) y ∈ (−L, L)
u(±L, y) = 0
y ∈ (−L, L)

u(x, ±L) = 0
x ∈ (−L, L)
4
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donde la función G : [−L, L] × [−L, L] → R es un dato conocido. Análogamente, si imponemos que
las condiciones de frontera sean de tipo Neumann homogéneas, entonces el problema queda ası́:

 uxx + uyy = G(x, y) x ∈ (−L, L) y ∈ (−L, L)
ux (±L, y) = 0
y ∈ (−L, L) .

uy (x, ±L) = 0
x ∈ (−L, L)
Interpretación del flujo en la ecuación del calor. Para entender qué es flujo de calor a través
de la frontera, explicaremos una ley de conservación referente a la evolución de la temperatura en un
cuerpo 3D o una barra 1D sin focos ni sumideros de calor internos.
Empezamos por el caso 3D. Consideramos un cuerpo W ⊂ R3 y sea S = ∂W su frontera. Sea
u(x, y, z, t) una solución del problema considerado en el ejemplo 1 e introducimos la función
Z
1
u(x, y, z, t) dx dy dz
T (t) =
Vol(W ) W
que mide la temperatura promedio del cuerpo en el instante t. Su derivada es
Z
Z
1
k2
T 0 (t) =
ut (x, y, z, t) dx dy dz =
∆u(x, y, z, t) dx dy dz
Vol(W ) W
Vol(W ) W
I
I
k2
∂u
k2
(x, y, z, t) dS =
h(x, y, z, t) dS.
=
Vol(W ) S ∂n
Vol(W ) S
Las propiedades que hemos usado son: derivada bajo el signo de la integral (primera igualdad), la
ecuación del calor homogénea (segunda igualdad), el teorema de la divergencia de Gauss (tercera
igualdad, mirar el ejemplo 33 de los apuntes de Cálculo Vectorial ) y las condiciones de frontera de
tipo Neumann (cuarta igualdad).
Por tanto, la tasa de variación de la temperatura promedio es proporcional a la integral del flujo
de calor h sobre la superficie cerrada S. En realidad, la función h(x, y, z, t) determina exactamente a
qué velocidad se escapa/entra el calor a través de cada punto (x, y, z) ∈ S en cada instante t ≥ 0. La
temperatura promedio se mantiene constante cuando h ≡ 0 (es decir,
H cuando el cuerpo está térmicamente aislado y ni entra ni sale calor por la frontera) o cuando S h dS ≡ 0 (es decir, cuando el
calor que entra por un lado se compensa exactamente con el calor
que sale por otro). Por contra, la
H
temperatura promedio aumenta/disminuye cuando la integral S h dS es positiva/negativa (es decir,
cuando hay una entrada/salida neta de calor).
A continuación, estudiamos el caso 1D; o sea, la evolución de la temperatura en una barra de
longitud L. Sea u(x, t) una solución del problema considerado en la primera parte del ejemplo 2 e
introducimos la función
Z
1 L
T (t) =
u(x, t) dx
L 0
que mide la temperatura promedio de la barra en el instante t. Su derivada es
Z
Z
x=L
k2 L
k2 k2
1 L
T 0 (t) =
ut (x, t) dx =
uxx (x, t) dx =
ux (x, t) x=0 =
hd (t) + hi (t) .
L 0
L 0
L
L
Las propiedades que hemos usado son: derivada bajo el signo de la integral (primera igualdad), la
ecuación del calor (segunda igualdad), el teorema fundamental del cálculo (tercera igualdad) y las
condiciones de frontera (cuarta igualdad). Por tanto, la suma hd (t) + hi (t) nos dice cual es la tasa de
variación de la temperatura promedio T (t). En otra palabras, las funciones hd (t) y hi (t) nos dicen a
qué velocidad fluye el calor por el extremo derecho e izquierdo de la barra, respectivamente. Cuando
son positivas/negativas, tenemos una entrada/salida de calor por el extremo correspondiente.
Ejercicio. Comprobar que la temperatura promedio se mantiene constante al considerar condiciones
de frontera periódicas en una barra 1D. Interpretar fı́sicamente el resultado.
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Linealidad: superposición y homogeneización
Existen varios trucos simples que se pueden aplicar en todos los problemas lineales que aparecen
en este tema, pero los explicaremos a través de ejemplos concretos para no dispersarnos.
Superposición. Consideramos los dos PVIs de calor 1D en una barra de longitud L sin focos ni
sumideros de calor internos dados por


vt = k 2 vxx
x ∈ (0, L) t > 0
wt = k 2 wxx
x ∈ (0, L) t > 0






v(x, 0) = f (x) x ∈ (0, L)
w(x, 0) = 0
x ∈ (0, L)
,
.
v
(0,
t)
=
0
t
>
0
w
(0,
t)
=
−h
(t)
t>0


x
x
i




vx (L, t) = 0
t>0
wx (L, t) = hd (t)
t>0
Ambos problemas tienen condiciones de frontera de tipo Neumann. La diferencia estriba en que el
primero tiene una única condición no homogéna: la temperatura inicial, mientras que el segundo tiene
dos: las condiciones de frontera en los extremos de la barra.
Entonces, dadas dos soluciones cualesquiera v(x, t) y w(x, t) de estos problemas, su superposición
(suma) u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) es una solución del PVI de calor 1D presentado en la primera parte
del ejemplo 2, que tiene tres condiciones no homogéneas.
En general, podemos “trocear” cualquier problema lineal en varios subproblemas de forma que cada
subproblema tenga pocas (quizá incluso sólo una) ecuaciones/condiciones no homogéneas, siendo, por
tanto, más simple que el problema original. En tal caso, si conseguimos resolver todos los subproblemas,
la superposición (suma) de sus soluciones cumplirá el problema original.
Homogeneización. Este truco es similar al anterior, pero en vez de “trocear” el problema original
en varios subproblemas simples, ahora queremos simplificarlo mediante un cambio de variables astuto.
Para fijar ideas, consideramos el PVI de calor 1D en una barra de longitud L = 1 sin focos ni
sumideros de calor internos con condiciones de frontera de tipo Dirichlet constantes

2

 ut = k uxx 2 x ∈ (0, 1) t > 0

u(x, 0) = x x ∈ (0, 1)
.
u(0, t) = 1
t>0



u(1, t) = 2
t>0
La función v(x) = x + 1 cumple las condiciones de frontera: v(0) = 1 y v(1) = 2. Por tanto, si
realizamos el cambio de variables w(x, t) = u(x, t) − v(x), el problema original se transforma en

wt = k 2 wxx
x ∈ (0, 1) t > 0



w(x, 0) = x2 − x − 1 x ∈ (0, 1)
t>0
 w(0, t) = 0


w(1, t) = 0
t>0
que es un problema bastante más simple pues hemos homogeneizado las dos condiciones de frontera,
sin deshomogeneizar la EDP.
Fórmula de D’Alembert para la cuerda vibrante infinita
Teorema (Fórmula de D’Alembert). Consideramos el

 utt − c2 uxx = F (x, t)
u(x, 0) = f (x)

ut (x, 0) = g(x)
PVI de la cuerda vibrante infinita
x∈R
x∈R
x∈R
t∈R
donde la fuerza externa F (x, t), el desplazamiento inicial f (x) y la velocidad inicial g(x) son funciones
conocidas. Este PVI tiene una única solución que viene dada por
)
Z x+ct
Z t (Z x+c(t−s)
1
1
1
g(y) dy +
F (y, s) dy ds.
u(x, t) = f (x + ct) + f (x − ct) +
2
2c x−ct
2c 0
x−c(t−s)
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La siguiente demostración es opcional, no forma parte del temario de examen, pero deben entenderse
las consecuencias fı́sicas que se derivan de la fórmula.
Demostración. Sólo consideramos el caso F (x, t) ≡ 0; es decir, cuando no actúa ninguna fuerza externa
sobre la cuerda. La idea principal consiste en realizar el cambio de variables
ξ = x + ct,
η = x − ct
para simplificar la EDP. Para eso debemos relacionar las derivadas parciales de la función transformada
v(ξ, η) = u(x, t)
con las derivadas parciales de la función original u(x, t). Aplicamos repetidamente la regla de la cadena:
ux
=
ut
=
uxx
=
utt
=
∂u
∂v ∂ξ
∂v ∂η
=
+
= vξ + vη
∂x
∂ξ ∂x ∂η ∂x
∂v ∂ξ
∂v ∂η
∂u
=
+
= cvξ − cvη
∂t
∂ξ ∂t
∂η ∂t
∂ux
∂vξ
∂vη
∂vξ
∂vη ∂ξ
∂vξ
∂vη ∂η
=
+
=
+
+
+
= vξξ + 2vξη + vηη
∂x
∂x
∂x
∂ξ
∂ξ ∂x
∂η
∂η ∂x
∂vξ
∂vη
∂vξ
∂vη ∂ξ
∂vξ
∂vη ∂η
∂ut
=c
−c
=c
−
+c
−
= c2 vξξ − 2vξη + vηη .
∂t
∂t
∂t
∂ξ
∂ξ ∂t
∂η
∂η ∂t
Por tanto, resolviendo la EDP transformada se obtiene que
utt = c2 uxx ⇐⇒ c2 vξξ − 2vξη + vηη = c2 vξξ + 2vξη + vηη
⇐⇒
vξη = 0
⇐⇒
vξ (ξ, η) = r(ξ) para alguna función r : R → R arbitraria
⇐⇒
v(ξ, η) = p(ξ) + q(η) para algunas funciones p, q : R → R arbitrarias
⇐⇒
u(x, t) = p(x + ct) + q(x − ct) para algunas funciones p, q : R → R arbitrarias.
Es decir, la “solución general” de la EDP de la cuerda vibrante infinita posee infinitas soluciones,
las cuales dependen de dos funciones arbitrarias, de la misma manera que la solución general de una
EDO lineal de segundo orden dependı́a de dos constantes libres. Por tanto, para hallar la solución del
PVI planteado, utilizaremos la misma estrategia seguida con las EDOs: determinar las dos funciones
“libres” imponiendo las dos condiciones iniciales. Ası́ pues, imponemos que
f (x) = u(x, 0) = p(x) + q(x),
g(x) = ut (x, 0) = cp0 (x) − cq 0 (x).
Derivando la primera ecuación y multiplicando por c, se obtiene la relación cp0 (x) + cq 0 (x) = cf 0 (x).
Combinando esta última relación con la segunda ecuación resulta que
1 0
1
f (x) + g(x).
2
2c
Integrando esta última igualdad, se obtiene que
Z x
Z x
1
1
1
1
g(y) dy + k,
q(x) = f (x) − p(x) = f (x) −
g(y) dy − k,
p(x) = f (x) +
2
2c 0
2
2c 0
p0 (x) =
con lo cual las funciones “libres” p(x) y q(x) quedan determinadas salvo una constante de integración
común k ∈ R. Finalmente,
Z x+ct
1
1
u(x, t) = p(x + ct) + q(x − ct) = f (x + ct) + f (x − ct) +
g(y) dy,
2
2c x−ct
pues las dos constantes de integración se cancelan entre si.
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Observación. La fórmula de D’Alembert implica que el desplazamiento vertical de la cuerda en el
punto x y en el instante t sólo depende de: 1) El desplazamiento inicial en los puntos x ± ct; 2) La
velocidad inicial en el intervalo [x − ct, x + ct]; y 3) La fuerza externa ejercida sobre los puntos y en
los instantes s tales que (y, s) pertenece al triángulo de vértices (x, t) y (x ± ct, 0).
Observación. La anterior demostración de la fórmula de D’Alembert muestra que, en ausencia de
fuerzas externas, el desplazamiento de la cuerda es de la forma
u(x, t) = p(x + ct) + q(x − ct)
para algunas funciones p, q : R → R. Esto significa que el desplazamiento de la cuerda vibrante
infinita en ausencia de fuerzas externas consiste en la superposición de dos ondas, cuyos perfiles vienen
dados por las funciones p(x) y q(x), viajando en sentidos opuestos a velocidad c. Concretamente, la
onda de perfil p(x) se desplaza hacia la izquierda, mientras que la onda de perfil q(x) se desplaza
hacia la derecha. Es recomendable conectarse al enlace http://www-math.mit.edu/daimp/ para ver la
animación Waves que muestra este fenómeno mediante un applet de JAVA.
Pregunta. Sea F (x, t) la fuerza (por unidad de masa) externa sobre la cuerda. Sean f (x) y g(x) el
desplazamiento y la velocidad iniciales de la cuerda. ¿Cuál es la aceleración inicial?
(Respuesta: utt (x, 0) = c2 uxx (x, 0) + F (x, 0) = c2 f 00 (x) + F (x, 0).)
Separación de variables
El método de separación de variables es un método para resolver problemas con simetrı́as que poseen
una única condición (inicial o de frontera) no homogénea. No desarrollaremos una teorı́a general, sino
que lo aplicaremos a tres o cuatro ejemplos concretos.
PVFs lineales de segundo orden. El susodicho método de separación de variables requiere resolver
ciertos problemas de valores en la frontera (PVFs) asociados a EDOs lineales homogéneas a coeficientes
constantes de segundo orden mediante el método del polinomio caracterı́stico.
Definición. P (m) = m2 + a1 m + a0 es el polinomio caracterı́stico de la EDO x00 + a1 x0 + a0 x = 0.
La importancia del polinomio caracterı́stico radica en que si x(t) = emt , entonces
x00 (t) + a1 x0 (t) + a0 x(t) = m2 emt + a1 memt + a0 emt = P (m)emt .
Usando esta relación podemos expresar la solución general de la EDO x00 + a1 x0 + a0 x = 0 en términos
de las raı́ces de su polinomio caracterı́stico.
Lema. Sea xh (t) la solución general de la EDO x00 + a1 x0 + a0 x = 0, donde a1 , a2 ∈ R. Entonces:
P (m) tiene dos raı́ces reales diferentes m1 , m2 ∈ R ⇒ xh (t) = c1 em1 t + c2 em2 t ;
P (m) tiene una raı́z real doble m∗ ∈ R ⇒ xh (t) = em∗ t (c1 + c2 t); y
P (m) tiene raı́ces complejas conjugadas m± = α ± β i 6∈ R ⇒ xh (t) = eαt c1 cos βt + c2 sin βt .
Demostración. En la asignatura de Cálculo 2 se explicó que el conjunto de soluciones de una EDO
lineal homogénea de orden n es un subespacio vectorial de dimensión n. Por tanto, si encontramos dos
soluciones linealmente independientes x1 (t) y x2 (t) de la EDO x00 + a1 x0 + a0 x = 0, podemos asegurar
que su solución general es xh (t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t), con c1 , c2 ∈ R libres.
Si P (m) tiene dos raı́ces reales diferentes m1 y m2 , entonces x1 (t) = em1 t y x2 (t) = em2 t son
dos soluciones linealmente independientes.
Si P (m) tiene una raı́z real doble m∗ , entonces x1 (t) = em∗ t es una solución y aplicando el
método de reducción de orden (ver Cálculo 2 ) obtenemos que x2 (t) = tem∗ t es otra solución.
Si P (m) tiene dos raı́ces complejas conjugadas m± = α ± β i 6∈ R, entonces las funciones
x± (t) := e(α±β i)t = eαt e±βt i = eαt cos βt ± i sin βt ,
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son soluciones de la EDO. La última igualdad es consecuencia de la fórmula de Euler. En
particular, las combinaciones lineales
x1 (t) :=
x+ (t) + x− (t)
= eαt cos βt,
2
x2 (t) :=
x+ (t) − x− (t)
= eαt sin βt
2i
también son soluciones de la EDO y resultan ser linealmente independientes.
Con esto queda probado que la solución general tiene una de las tres formas dadas en el lema.
Nos centramos ahora en los PVFs homogéneos de la forma
 00
 x + a1 (λ)x0 + a0 (λ)x = 0
α10 x(t1 ) + α11 x0 (t1 ) = 0

α20 x(t2 ) + α21 x0 (t2 ) = 0
donde los instantes t1 6= t2 y los coeficientes αij y ai (λ) son datos del problema. Los coeficientes a1 (λ)
y a0 (λ) son constantes, pero dependen de un parámetro λ. La función x(t) ≡ 0 siempre es una solución
de estos PVFs. Es la llamada solución trivial. Queremos saber para qué valores del parámetro λ ∈ R
existen soluciones no triviales.
Definición. Estos valores son los valores propios (VAPS) y las soluciones no triviales son las funciones
propias (FUPS) del PVF. Un VAP es simple/doble cuando la dimensión del subespacio vectorial
formado por sus FUPS es uno/dos.
Seguiremos los siguientes pasos para calcular los VAPs y sus FUPS:
1. Expresar la solución general de la EDO homogénea en función del parámetro λ ∈ R; es decir,
xh (t; λ) = c1 x1 (t; λ) + c2 x2 (t; λ),
c1 , c2 ∈ R.
2. Imponer las condiciones de frontera, para ası́ obtener un sistema lineal homogéneo de la forma
c1
Aλ c = 0,
c=
.
c2
3. Calcular los (posiblemente infinitos) VAPs resolviendo la ecuación caracterı́stica det[Aλ ] = 0.
4. Para cada VAP λ = λ∗ , calcular sus FUPs resolviendo el sistema indeterminado Aλ∗ c = 0.
Antes de calcular los VAPs y las FUPs de algunos PVFs clásicos, observamos que es posible expresar
la solución general de la EDO x00 = λx, λ ∈ R, como una combinación lineal de:
Funciones trigonométricas si λ = −µ2 < 0: xh (t) = c1 cos µt + c2 sin µt;
Funciones hiperbólicas si λ = µ2 > 0: xh (t) = c1 cosh µt + c2 sinh µt; y
Funciones monomiales si λ = 0: xh (t) = c1 + c2 t.
La importancia de estas expresiones radica en que la EDO x00 = λx aparece en casi todos los problemas
de separación de variables que estudiaremos después. En particular, conviene saber resolver con soltura
los cuatro PVFs que aparecen en la siguiente proposición.
Proposición. Listamos los VAPs y las FUPs de los siguientes PVFs clásicos.
1. PVF con condiciones de frontera tipo Dirichlet: x00 = λx, x(0) = x(L) = 0.
VAPs: λn = −(nπ/L)2 , FUPs: xn (t) = sin(nπt/L), para n ≥ 1.
2. PVF con condiciones de frontera tipo Neumann: x00 = λx, x0 (0) = x0 (L) = 0.
VAPs: λn = −(nπ/L)2 , FUPs: xn (x) = cos(nπt/L), para n ≥ 0.
3. PVF con condiciones de frontera mixtas: x00 = λx, x(0) = x0 (L) = 0.
VAPs: λn = −(n + 1/2)2 π 2 /L2 , FUPs: xn (t) = sin (n + 1/2)πt/L , para n ≥ 0.
4. PVF con condiciones de frontera periódicas: x00 = λx, x(−L) = x(L) y x0 (−L) = x0 (L).
λ0 = 0 es un VAP simple de FUP c0 (t) ≡ 1.
λn = −(nπ/L)2 es VAP doble de FUPs cn (t) = cos(nπt/L) y sn (t) = sin(nπt/L), para n ≥ 1.
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Demostración. Ninguno de estos cuatro PVFs tiene VAPs positivos. Por ejemplo, si x(t) es una FUP
de VAP λ, integrando por partes, usando que x00 = λx y cualquiera de los tres primeros tipos de
condiciones de frontera anteriores (Dirichlet, Neumann o mixtas), vemos que
RL 0
Z L
Z L
Z L
2
t=L
2
(x (t))2 dt
x(t) dt ⇒ λ = − R0L
x(t)x00 (t) dt − x(t)x0 (t) t=0 = λ
≤ 0.
x0 (t) dt =
−
2 dt
0
0
0
(x(t))
0
En el caso periódico se obtiene el mismo resultado, pero integrando en el intervalo [−L, L].
Además, λ = 0 ⇔ x0 (t) ≡ 0. Es decir, λ = 0 es un VAP si y sólo si la función x(t) ≡ 1 cumple las
condiciones de frontera, lo cual sólo sucede con las condiciones de tipo Neumann y las periódicas.
Finalmente, basta calcular los VAPs negativos: λ = −µ2 < 0 y sus FUPs. Recordamos que en tal
caso la solución general de la EDO x00 = λx es la combinación lineal de funciones trigonométricas
xh (t) = c1 cos µt + c2 sin µt,
c1 , c2 ∈ R.
1. Al imponer que xh (t) cumpla las condiciones de frontera tipo Dirichlet, obtenemos el sistema
1
0
c1
Aλ c = 0,
Aλ =
,
c=
.
cos µL sin µL
c2
nπ 2
2
, n ≥ 1.
Por tanto, sin µL = det[Aλ ] = 0 ⇔ µ = µn = nπ
L , n ∈ Z ⇔ λ = λn = −µn = − L
En la última equivalencia hemos pasado de n ∈ Z a los enteros n ≥ 1. Las dos razones para
hacerlo son que n está elevado al cuadrado (por tanto, los enteros negativos son superfluos) y
que la elección n = 0 no tiene sentido (pues estamos en el caso λ < 0).
Para calcular las FUPs de VAP λ = λn = −µ2n , debemos resolver el sistema indeterminado
c1 =
c1 cos 0 + c2 sin 0
= x(0) = 0
c1 = 0
=⇒
.
(−1)n c1 = c1 cos nπ + c2 sin nπ = x(L) = 0
c2 ∈ R libre
Por tanto, xn (t) = sin(µn t) = sin(nπt/L) es una FUP de VAP λn = −(nπ/L)2 , para n ≥ 1.
2. Al imponer que xh (t) cumpla las condiciones de frontera tipo Newmann, obtenemos el sistema
0
1
c1
Aλ c = 0,
Aλ =
,
c=
.
− sin µL cos µL
c2
nπ 2
2
Por tanto, sin µL = det[Aλ ] = 0 ⇔ µ = µn = nπ
, n ≥ 1.
L , n ∈ Z ⇔ λ = λn = −µn = − L
Hemos pasado de n ∈ Z a los enteros n ≥ 1 por el mismo motivo que antes.
Para calcular las FUPs de VAP λ = λn = −µ2n , debemos resolver el sistema indeterminado
µn c2 =
−c1 µn sin 0 + c2 µn cos 0
= x0 (0) = 0
c1 ∈ R libre
=⇒
.
(−1)n µn c2 = −c1 µn sin nπ + c2 µn cos nπ = x0 (L) = 0
c2 = 0
Por tanto, xn (t) = cos(µn t) = cos(nπt/L) es una FUP de VAP λn = −(nπ/L)2 , para n ≥ 0.
Hemos escrito n ≥ 0, en vez de n ≥ 1, para incluir que x0 (t) ≡ 1 es una FUP de VAP λ0 = 0.
3. Al imponer que xh (t) cumpla las condiciones de frontera mixtas, obtenemos el sistema
1
0
c1
Aλ c = 0,
Aλ =
,
c=
.
− sin µL cos µL
c2
2
2
π
Y cos µL = det[Aλ ] = 0 ⇔ µ = µn = (n+1/2)π
, n ∈ Z ⇔ λ = λn = −µ2n = − (n+1/2)
, n ≥ 0.
L
L2
Hemos pasado de n ∈ Z a los enteros n ≥ 0 por lo de siempre.
Para calcular las FUPs de VAP λ = λn = −µ2n , debemos resolver el sistema indeterminado
c1 =
c1 cos 0 + c2 sin 0
= x(0) = 0
c1 = 0
=⇒
.
(−1)n+1 µn c1 = −c1 µn sin µn L + c2 µn cos µn L = x0 (L) = 0
c2 ∈ R libre
Por tanto, xn (t) = sin(µn t) = sin (n + 1/2)πt/L es una FUP de VAP λn = −(n + 1/2)2 π 2 /L2 ,
para todo n ≥ 0.
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4. Al imponer que xh (t) cumpla las condiciones de frontera periódicas, obtenemos el sistema
0
2 sin µL
c1
Aλ c = 0,
Aλ =
,
c=
.
−2µ sin µL
0
c2
nπ 2
2
, n ≥ 1.
Luego 4µ sin2 µL = det[Aλ ] = 0 ⇔ µ = µn = nπ
L , n ∈ Z ⇔ λ = λn = −µn = − L
Hemos pasado una vez más de n ∈ Z a los enteros n ≥ 1.
Para calcular las FUPs de VAP λ = λn = −µ2n , debemos resolver el sistema indeterminado
0 =
2c2 sin(µn L)
= x(L) − x(−L) = 0
c1 ∈ R libre
=⇒
.
0 = −2µn c1 sin(µn L) = x0 (L) − x0 (−L) = 0
c2 ∈ R libre
Por tanto, cn (t) = cos(µn t) = cos(nπt/L) y sn (t) = sin(µn t) = sin(nπt/L) son dos FUPs
linealmente independientes del VAP doble λn = −(nπ/L)2 , para todo n ≥ 1.
Con esto hemos acabado la prueba de la proposición.
Ejercicio. Resolver el PVF con condiciones mixtas x00 = λx, x0 (0) = x(L) = 0.
Separación de variables en la ecuación de ondas 1D. Consideramos una ecuación de ondas 1D
homogénea con condiciones de contorno de tipo Neumann homogéneas. Para simplificar supondremos
que la cuerda tiene longitud L = π y que la soltamos, sin impulso, con un desplazamiento inicial
f (x) = 1 − 2 cos(3x). También supondremos que no actúa ninguna fuerza externa. Notamos por c la
velocidad a la que viajan las ondas por la cuerda. Las ecuaciones que modelan este problema son

utt = c2 uxx
x ∈ (0, π) t ∈ R




 u(x, 0) = 1 − 2 cos(3x) x ∈ (0, π)
ut (x, 0) = 0
x ∈ (0, π)
.
(1)


u
(0,
t)
=
0
t
∈
R

x


ux (π, t) = 0
t∈R
La idea básica del método consiste en buscar soluciones en forma de variables separadas
u(x, t) = X(x)T (t)
de la parte homogénea del problema a resolver. En el caso anterior, todas las condiciones y ecuaciones
son homogéneas, salvo la referente al desplazamiento inicial, luego su parte homogénea es

utt = c2 uxx x ∈ (0, π) t ∈ R



ut (x, 0) = 0 x ∈ (0, π)
.
(1)h
ux (0, t) = 0
t∈R



ux (π, t) = 0
t∈R
Al imponer que la función u(x, t) = X(x)T (t) cumpla:
La ecuación del ondas utt = c2 uxx , se obtiene que X(x)T 00 (t) = c2 X 00 (x)T (t), luego
X 00 (x)
T 00 (t)
= 2
= λ ∈ R.
X(x)
c T (t)
La condición inicial ut (x, 0) = 0, vemos que T 0 (0) = 0.
La condición de frontera ux (0, t) = 0, vemos que X 0 (0) = 0.
La condición de frontera ux (π, t) = 0, vemos que X 0 (π) = 0.
Por tanto, obtenemos dos problemas separados:
00
00
X (x) = λX(x)
T (t) = λc2 T (t)
,
.
0
0
X (0) = X (π) = 0
T 0 (0) = 0
En la sección anterior vimos que los VAPs y las FUPs del PVF con condiciones de Neumann
asociado a la función X(x) son
VAPs: λ = λn = −n2
n ≥ 0.
FUPs: X(x) = Xn (x) = cos(nx)
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Ahora nos centramos en el problema asociado a la función T (t), pero teniendo en cuenta que
λ = λn = −n2 . En particular, la solución general de la EDO T 00 + n2 c2 T = 0 es
T (t) = c1 cos(cnt) + c2 sin(cnt),
c1 , c2 ∈ R.
Al imponer la condición inicial T 0 (0) = 0, vemos que c2 = 0 y c1 ∈ R queda libre. Tras tomar c1 = 1,
que es la opción más simple, obtenemos la familia de funciones
T (t) = Tn (t) = cos(cnt),
n ≥ 0.
Ası́ pues, hemos obtenido que todas las funciones de variables separadas de la familia
un (x, t) = Xn (x)Tn (t) = cos(nx) cos(cnt),
n≥0
son soluciones del problema homogéneo (1)h . Estas funciones reciben el nombre de modos normales
y describen la forma en que vibra la cuerda. Concretamente, debido a la linealidad del problema
homogéneo (1)h , cualquier vibración de la cuerda que estamos estudiando es una superposición (suma)
de estos infinitos modos normales. En otra palabras, la solución general del problema homogéneo (1)h
viene dada, al menos a nivel formal, por la serie
X
X
u(x, t) =
an un (x, t) =
an cos(nx) cos(cnt),
n≥0
n≥0
donde las infinitas amplitudes a0 , a1 , a2 , . . . ∈ R quedan, de momento, indeterminadas. Para resolver
esta indeterminación, recuperamos la única condición no homogénea del problema original; es decir,
la referente al desplazamiento inicial. Imponiendo que
X
1 − 2 cos(3x) = f (x) = u(x, 0) =
an cos(nx) = a0 + a1 cos x + a2 cos(2x) + a3 cos(3x) + · · · ,
n≥0
se obteniene por inspección directa que a0 = 1, a3 = −2 y las demás amplitudes son nulas, luego
u(x, t) = a0 u0 (x, t) + a3 u3 (x, t) = 1 − 2 cos(3x) cos(3ct)
es una solución del problema original. (En realidad es la única, pero no lo probaremos.) Ası́ pues, en
este caso la vibración de la cuerda es la superposición de dos modos normales: el cero y el tres.
Observación. La solución anterior se puede reescribir en forma de dos ondas superpuestas viajando
en sentidos opuestos a velocidad c. Efectivamente, pues
u(x, t) = 1 − 2 cos(3x) cos(3ct) = 1 − cos 3(x + ct) − cos 3(x − ct) = p(x + ct) + q(x − ct),
con p(x) = 1/2 − cos(3x) = q(x). (Hemos usado la relación 2 cos a cos b = cos(a + b) + cos(a − b).)
Ejercicio. Leer la entrada inglesa de Wikipedia sobre standing waves; es decir, sobre ondas estacionarias. Ver alguno de los muchos videos que existen en Youtube sobre standing waves, en los cuales se
visualizan experimentalmente los primeros modos normales de vibración de una cuerda.
También se pueden ver algunos modos normales de vibración de una membrana elástica rectangular
en un video de Youtube titulado Science fun. El experimento consiste en derramar sal encima de una
membrana negra que vibra por el sonido que emite un altavoz situado debajo para comprobar que los
modos normales cambian con la frecuencia del sonido.
Ejercicio. Escribir las dos EDOs que se obtienen al imponer que la función u(x, t) = X(x)T (t) cumpla
la EDP utt = −kut + c2 uxx , escogiendo la opción que proporciona una EDO lo más simple posible
para la función X(x). Esta EDP recibe el nombre de ecuación de la cuerda vibrante con fricción, pues
el término −kut proviene de una fuerza de fricción proporcional (y opuesta) a la velocidad.
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Desarrollos de Fourier. En el último paso del ejemplo anterior, hemos conseguido determinar todos
los coeficientes libres por inspección directa. Cuando eso no sea posible, utilizaremos las siguientes
fórmulas, ya vistas en la asignatura Cálculo 2, para calcular desarrollos de Fourier.
El desarrollo de Fourier completo de una función f : [−L, L] → R es

Z
1 L


f (x) cos(nπx/L) dx,
a
=

n
a0 X
L −L
Z L
f (x) ∼
+
an cos(nπx/L) + bn sin(nπx/L),

1
2

n≥1
 bn =
f (x) sin(nπx/L) dx.
L −L
El desarrollo de Fourier en cosenos de una función f : [0, L] → R es
Z
a0 X
2 L
f (x) ∼
an cos(nπx/L),
an =
f (x) cos(nπx/L) dx.
+
2
L 0
n≥1
El desarrollo de Fourier en senos de una función f : [0, L] → R es
Z
X
2 L
bn sin(nπx/L),
bn =
f (x) ∼
f (x) sin(nπx/L) dx.
L 0
n≥1
En los dos primeros casos, el primer término a0 /2 es el promedio de la función f (x).
Se puede probar que estos desarrollos en serie son (absoluta, uniformemente) convergentes cuando
la función f (x) es suficientemente regular, pero en esta asignatura trabajamos a un nivel puramente
formal, sin preocuparnos por la convergencia.
Ejercicio. Sea f : [0, 2π] → R la función definida por f (x) = 1 − π 2 x. Comprobar, integrando por
partes, que los coeficientes de su desarrollo de Fourier en senos son
Z
1 2π
2 1 − (−1)n
(−1)n
bn =
+
,
n ≥ 1.
(1 − π 2 x) sin(nx/2) dx = 4π 2
π 0
n
π
n
Separación de variables en la ecuación del calor 1D.
Objetivo. En este segundo ejemplo del método de separación de variables, veremos que al resolver
la ecuación del calor 1D homogénea con condiciones de contorno de tipo Dirichlet constantes, la
temperatura tiende al equilibrio térmico (en inglés, steady state). Homogeneizaremos las condiciones
de contorno antes de separar variables mediante un cambio de variables “astuto”.
Problema fı́sico. Tenemos una barra de longitud L > 0 compuesta por un material de conductividad
térmica κ, densidad ρ y calor especı́fico c. Notamos k 2 = κ/cρ. La temperatura inicial de la barra
viene dada por una función f : [0, L] → R. Finalmente, mantenemos constante la temperatura de la
barra en ambos extremos: α ∈ R es la temperatura en el izquierdo y β ∈ R es la temperatura en el
derecho. Además, suponemos que no hay focos o sumideros de calor internos.
Modelo matemático. Las ecuaciones que modelan este problema son

ut = k 2 uxx
x ∈ (0, L) t > 0



u(x, 0) = f (x) x ∈ (0, L)
.
t>0
 u(0, t) = α


u(L, t) = β
t>0
Pasos del método.
1. Encontrar unas funciones v(x) y g(x) tales que el cambio de variables w(x, t) = u(x, t) − v(x)
transforme el problema original en el problema con condiciones de contorno homogéneas

wt = k 2 wxx
x ∈ (0, L) t > 0



w(x, 0) = g(x) x ∈ (0, L)
(∗)
.
t>0
 w(0, t) = 0


w(L, t) = 0
t>0
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13
Expresar v(x) y g(x) en términos de las cantidades α, β, L y de la función f (x).
2. Imponer que w(x, t) = X(x)T (t) cumpla la parte homogénea del problema (∗). Escribir el PVF
asociado a la función X(x) y el problema asociado a la función T (t).
3. Resolver el PVF asociado a la función X(x).
4. Teniendo en cuenta los VAPs del PVF anterior, resolver el problema asociado a T (t).
5. Calcular los modos normales (es decir, las FUPs) de la parte homogénea del problema (∗).
6. Probar que, a nivel formal, la solución del problema original cumple lı́mt→+∞ u(x, t) = v(x).
7. Interpretar fı́sicamente estos resultados.
Desarrollo del método.
1. Al imponer que la función w(x, t) = u(x, t) − v(x) cumpla la EDP wt = k 2 wxx resulta
0 = wt − k 2 wxx = (ut − k 2 uxx ) − (vt − k 2 vxx ) = 0 − k 2 v 00 (x) =⇒ v 00 (x) = 0.
Al imponer que la función w(x, t) = u(x, t) − v(x) cumpla las condiciones de contorno queda
0 = w(0, t) = u(0, t) − v(0) = α − v(0)
=⇒ v(0) = α
0 = w(L, t) = u(L, t) − v(L) = β − v(L) =⇒ v(L) = β.
La única función v(x) tal que v 00 (x) = 0, v(0) = α y v(L) = β es v(x) = α + (β − α)x/L. La
gráfica de la función v(x) es la linea recta que une los puntos (0, α) y (L, β).
Finalmente, g(x) = w(x, 0) = u(x, 0) − v(x) = f (x) − α + (α − β)x/L.
2. Al imponer que la función w(x, t) = X(x)T (t) cumpla:
La ecuación del calor wt = k 2 wxx , se obtiene que X(x)T 0 (t) = k 2 X 00 (x)T (t), luego
T 0 (t)
X 00 (x)
= 2
= λ ∈ R.
X(x)
k T (t)
La condición de frontera w(0, t) = 0, vemos que X(0) = 0.
La condición de frontera w(L, t) = 0, vemos que X(L) = 0.
Por tanto, obtenemos dos problemas separados:
00
X (x) = λX(x)
(a)
(b) T 0 (t) = λk 2 T (t).
X(0) = X(L) = 0
El problema (a) es un PVF con condiciones de tipo Dirichlet asociado a la función X(x).
3. Vimos en la sección anterior que los VAPs y las FUPs del PVF (a) son:
VAPs: λ = λn = −n2 π 2 /L2
n ≥ 1.
FUPs: X(x) = Xn (x) = sin(nπx/L)
2 2
2
2
4. Una solución de problema (b) para λ = λn = −n2 π 2 /L2 es T (t) = Tn (t) = e−n k π t/L , n ≥ 1.
5. Ası́ pues, los modos normales (las FUPs) de la parte homogénea del problema (∗) son
wn (x, t) = Tn (t)Xn (x) = e−n
2
π 2 k2 t/L
sin(nπx/L),
n ≥ 1.
Teniendo en cuenta que Xn (x) es una función acotada y Tn (t) tiende a cero cuando t → +∞,
resulta que lı́mt→+∞ wn (x, t) P
= 0 para toda x ∈ (0, L) y para todo entero n ≥ 1.
6. La solución final w(x, t) =
n≥1 bn wn (x, t) del problema (∗) se determina imponiendo la
condición no homogénea
X
X
g(x) = w(x, 0) =
bn wn (x, 0) =
bn sin(nπx/L).
n≥1
n≥1
RL
Es decir, bn = L2 0 g(x) sin(nπx/L) dx, n ≥ 1, son los coeficientes del desarrollo de Fourier en
senos de la función g(x) en el intervalo [0, L]. Por tanto, deshaciendo el cambio de variables, la
solución u(x, t) = v(x) + w(x, t) del problema original cumple
X
lı́m u(x, t) = v(x) + lı́m w(x, t) = v(x) +
bn lı́m wn (x, t) = v(x).
t→+∞
t→+∞
n≥1
t→+∞
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14
7. Hemos probado que cuando el tiempo tiende a infinito, la temperatura tiende al equilibrio
térmico consistente en que la temperatura viene dada por la recta que une las temperaturas en
los extremos. Algo acorde con nuestra experiencia fı́sica, la cual nos enseña que el calor tiende
a distribuirse de la forma mas uniforme posible.
Ejercicio. Conectarse al enlace http://www-math.mit.edu/daimp/ y entender el applet de JAVA titulado Heat Equation que ejemplifica este fenómeno fı́sico.
Ejercicio. Probar que si substituimos las dos condiciones tipo Dirichlet constantes por dos condiciones
tipo Neumann homogéneas, entonces se cumple que
Z
1 L
f (x) dx.
lı́m u(x, t) =
t→+∞
L 0
La interpretación fı́sica de este resultado es la siguiente. Las condiciones tipo Neumann homogéneas
equivalen a la existencia de un aislamiento térmico perfecto en los extremos que impide que el calor
escape o entre, luego tan sólo puede redistribuirse internamente. Por tanto, la temperatura tiende a
un valor constante y este valor debe coincidir con el promedio de la temperatura inicial.
Separación de variables en la ecuación de Poisson 2D en dominios rectangulares.
Objetivo. En este último ejemplo del método de separación de variables, vamos a resolver una ecuación
de Poisson 2D en un dominio rectangular con condiciones de contorno de tipo Dirichlet. Dos de las
cuatro condiciones de contorno son no homogéneas. Antes de separar variables, homogeneizaremos
tanto la ecuación de Poisson (es decir, la transformaremos en una ecuación de Laplace) como una
condición de contorno, mediante un cambio de variables.
Problema original. Consideramos las ecuaciones

uxx + uyy = 2y x ∈ (0, π) y ∈ (0, 2π)




x ∈ (0, π)
 u(x, 0) = 0
u(x, 2π) = 2πx2 x ∈ (0, π)


u(0, y) = 0
y ∈ (0, 2π)



u(π, y) = 1
y ∈ (0, 2π)
Pasos del método.
1. Encontrar unas funciones v(x, y) y g(y) tal que el cambio de variables w(x, y) = u(x, y)−v(x, y)
transforme el problema original en el problema


 wxx + wyy = 0 x ∈ (0, π) y ∈ (0, 2π)


x ∈ (0, π)
 w(x, 0) = 0
w(x, 2π) = 0
x ∈ (0, π)
(4)


w(0,
y)
=
0
y ∈ (0, 2π)



w(π, y) = g(y)
y ∈ (0, 2π)
2. Imponer que la función w(x, y) = X(x)Y (y) cumpla la parte homogénea del problema (4).
Escribir el PVF asociado a la función Y (y) y el problema asociado a la función X(x).
3. Resolver el PVF asociado a la función Y (y).
4. Teniendo en cuenta los VAPs del PVF anterior, resolver el problema asociado a X(x).
5. Calcular la solución general de la parte homogénea del problema (4).
6. Resolver el problema original.
Desarrollo del método.
1. Al imponer que la función w(x, y) = u(x, y) − v(x, y) cumpla la ecuación wxx + wyy = 0 resulta
0 = wxx + wyy = (uxx + uyy ) − (vxx + vyy ) = 2y − (vxx + vyy ) =⇒ vxx + vyy = 2y.
Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/edp.pdf
Al imponer que la función w(x, y) = u(x, y) − v(x, y) cumpla
correspondientes a los lados inferior, superior e izquierdo queda

=⇒
 0 = w(0, y) = u(0, y) − v(0, y) = 0 − v(0, y)
0 = w(x, 0) = u(x, 0) − v(x, 0) = 0 − v(x, 0)
=⇒

0 = w(x, 2π) = u(x, 2π) − v(x, 2π) = 2πx2 − v(x, 2π) =⇒
15
las condiciones de contorno
v(0, y) = 0
v(x, 0) = 0
v(x, 2π) = 2πx2
Necesitamos una función v(x, y) que cumpla estas cuatro condiciones. Para simplificar los cálculos, buscamos esta función en forma de variables separadas: v(x, y) = X̃(x)Ỹ (y). Entonces, las
cuatro condiciones anteriores equivalen a
X̃ 00 (x)Ỹ (y) + X̃(x)Ỹ 00 (y) = 2y,
X̃(0) = 0,
X̃(x)Ỹ (2π) = 2πx2 .
Ỹ (0) = 0,
Una posible solución es tomar X̃(x) = x2 y Ỹ (y) = y. Es decir, v(x, y) = x2 y, luego
g(y) = w(π, y) = u(π, y) − v(π, y) = 1 − π 2 y.
2. Al imponer que la función w(x, y) = X(x)Y (y) cumpla:
La ecuación de Laplace wxx + wyy = 0 se obtiene que X 00 (x)Y (y) + X(x)Y 00 (y) = 0, luego
−
X 00 (x)
Y 00 (y)
=
= λ ∈ R.
X(x)
Y (y)
La condición de contorno w(0, y) = 0, se obtiene que X(0) = 0.
La condición de contorno w(x, 0) = 0, se obtiene que Y (0) = 0.
La condición de contorno w(x, 2π) = 0, se obtiene que Y (2π) = 0.
Por tanto, obtenemos dos problemas separados:
00
00
X (x) + λX(x) = 0
Y (y) = λY (y)
(a)
(b)
.
X(0) = 0
Y (0) = 0 = Y (2π)
El problema (b) es un PVF con condiciones de tipo Dirichlet asociado a la función Y (y).
3. Ya vimos que los VAPs y las FUPs del PVF (b) son:
VAPs: λ = λn = −n2 /4
n ≥ 1.
FUPs: Y (y) = Yn (y) = sin(ny/2)
4. La EDO X 00 (x) + λn X(x) = 0 es lineal, homogénea y a coeficientes
constantes. Su polinomio
√
caracterı́stico es P (m) = m2 + λn y sus raı́ces son m1,2 = ± −λn = ±n/2. Por tanto, la
solución general de esta ecuación es
X(x) = c1 enx/2 + c2 e−nx/2 ,
c1 , c2 ∈ R.
Al imponer la condición adicional 0 = X(0) = c1 + c2 obtenemos que c2 = −c1 , luego
X(x) = c1 (enx/2 − e−nx/2 ),
c1 ∈ R.
Tomando c1 = 1/2, obtenemos la familia de funciones
Xn (x) =
enx/2 − e−nx/2
= sinh(nx/2),
2
n ≥ 1.
5. Ası́ pues, los modos normales (las FUPs) de la parte homogénea del problema (4) son
wn (x, y) = Xn (x)Yn (x) = sinh(nx/2) sin(ny/2),
n ≥ 1.
En particular, resulta que, por linealidad, todas las series de la forma
X
X
w(x, y) =
βn wn (x, y) =
βn sinh(nx/2) sin(ny/2)
n≥1
n≥1
son soluciones formales de la parte homogénea del problema (4).
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Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/edp.pdf
6. En el paso anterior los coeficientes βn habı́an quedado libres, pero ahora los determinamos
—para ası́ obtener la solución final del problema (4)— imponiendo la única condición no
homogénea del problema; a saber, la condición de contorno en el lado derecho del rectángulo:
X
X
X
g(y) = w(π, y) =
βn wn (π, y) =
βn sinh(nπ/2) sin(ny/2) =
bn sin(ny/2)
n≥1
n≥1
n≥1
donde hemos notado bn = βn sinh(nπ/2). En la sección sobre desarrollos de Fourier vimos que
Z
(−1)n
1 2π
2 1 − (−1)n
(1 − π 2 y) sin(ny/2) dy = 4π 2
bn =
+
,
n≥1
π 0
n
π
n
son los coeficientes de Fourier del desarrollo en senos de la función g(y) = 1−π 2 y en el intervalo
[0, 2π]. Y deshaciendo el cambio de variables w(x, y) = u(x, y) − v(x, y), la solución final es
X
bn
u(x, y) = v(x, y) + w(x, y) = x2 y +
sinh(nx/2) sin(ny/2).
sinh(nπ/2)
n≥1
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