Matemáticas y Computaci´on: aprendizaje basado en problemas

Matemáticas y Computación: aprendizaje basado en
problemas
Miguel Atencia e Inmaculada de las Peñas
Ingenierı́a en Informática
Universidad de Málaga
Resumen
Se pretende contribuir al debate sobre la elaboración de una planificación
docente de la asignatura de Cálculo para la Computación en la titulación de
Ingenierı́a Técnica en Informática, en el ámbito de un proyecto piloto de implantación del crédito europeo. Con este objetivo no es posible ignorar, por
una parte, el impacto de la informática en toda la matemática y, por otra,
los recientes avances en didáctica de las ciencias, con especial énfasis en la
metodologı́a de aprendizaje basado en problemas. La innovación alcanza los
tres ejes de la docencia: contenidos, metodologı́a y evaluación. Con respecto
al temario, se pretende promover un consenso sobre los temas que tienen una
importancia crucial que, además, deben aparecer ligados al planteamiento
de determinados problemas conductores. La metodologı́a didáctica, sin prescindir de la clase magistral, requiere la elaboración de materiales docentes
complementarios, de forma que el desarrollo de la clase se simultanea con
el uso de un programa matemático. Por último, se ensaya, al menos parcialmente, un sistema de evaluación continua, basado en la elaboración por parte
de los alumnos de un conjunto de proyectos que irán dando respuesta, con un
grado creciente de sofisticación, a los problemas conductores.
1. Introducción
El principal objetivo de la presente contribución es la elaboración de una planificación docente de la asignatura de Cálculo para la Computación en la titulación
de Ingenierı́a Técnica en Informática de Gestión. Dicha asignatura se encuentra
incluida en el proyecto piloto de implantación del crédito europeo, establecido por
la dirección de la Escuela Técnica Superior de Ingenierı́a en Informática de la
Universidad de Málaga, con objeto de adaptar la titulación al Espacio Europeo de
Educación Superior (EEES)[8]. La motivación de la innovación educativa se fundamenta, por una parte, en el impacto que la invención del ordenador ha tenido
en todas las ramas de la matemática y, por otra, en los más recientes avances en
didáctica de las ciencias, con especial énfasis en la metodologı́a de aprendizaje basado en problemas. De esta forma, se pretende que el Cálculo sea percibida por
los estudiantes como una disciplina con un grado asequible de dificultad, al tiempo
que proporcione conocimientos útiles, tanto para subsiguientes asignaturas como
en la formación del futuro ingeniero. Este planteamiento resulta del todo coherente
con la concepción del aprendizaje como un proceso vital (“long-life learning”) en
lugar de restringido al ámbito académico, que es una de las claves del EEES [3].
Desde un punto de vista más amplio, se pretende contribuir a una reflexión
sobre el papel de la matemática como ciencia hoy en dı́a, ası́ como establecer un
marco de intercambio de ideas sobre las nuevas estrategias pedagógicas que deben
definirse, como consecuencia del desarrollo de la matemática a lo largo del siglo
XX y, en particular, a la aparición de las técnicas computacionales. El hecho de
que existen circunstancias que hacen aconsejable este debate queda probado por la
existencia de diversas iniciativas en este sentido, provenientes de distintos ámbitos. Resulta reseñable, por ejemplo, el movimiento del “Reform Calculus” [10]
que tuvo lugar en los Estados Unidos ası́ como, más recientemente, el proyecto
“Cuerpo y Alma” de un grupo de matemáticos computacionales suecos [7, 2]. Esta
búsqueda de mejoras en el ámbito educativo, siempre conveniente, se ha convertido en imprescindible ante la introducción del EEES. El cambio de enfoque que el
EEES supone, centrando el énfasis en la visión del alumno más que en la del profesor, coincide con algunas de las reformas antes mencionadas y encaja a la perfección en la metodologı́a del aprendizaje basado en problemas. Incidentalmente, cabe
mencionar que estas innovaciones se encuentran relacionados con enfoques provenientes de ámbitos muy distintos, como la teorı́a psicológica histórico-cultural [9],
existiendo significativas contribuciones al diseño curricular en este ámbito [4]. La
propia metodologı́a bajo la que se desarrolla la innovación, la investigación en la
acción, es bien conocida también en el ámbito pedagógico [5]. Asimismo, se han
desarrollado experiencias de construcción de “portfolios” [1], ası́ como de su uso
en la evaluación de estudiantes [6].
En principio, se preveı́a la implantación de innovaciones en los tres ejes de la
docencia: contenidos, metodologı́a y evaluación:
Con respecto al temario, se pretende promover un consenso sobre los temas
y conceptos que tienen una importancia crucial, distinguiéndolos de aquéllos
cuyo estudio es secundario. Además, los conceptos deben aparecer de forma
natural, ligados al planteamiento de determinados problemas conductores,
cuya solución computacional y analı́tica requerirá el desarrollo del temario.
La identificación de este conjunto de problemas, extraı́dos de situaciones
realistas de la ciencia y la ingenierı́a, es uno de los objetivos del proyecto.
Desde el punto de vista de la metodologı́a docente, aunque no se contempla prescindir de la clase magistral, se requiere la elaboración de materiales docentes complementarios. El uso de estos materiales no se limita a la
proyección, ya habitual, de transparencias o animaciones, sino que incluye
el desarrollo completo de la clase simultaneando la explicación con el uso
de un programa matemático especı́fico. Se obtendrı́a, ası́, una pizarra virtual, incluyendo texto, gráficos y ejercicios numérico-simbólicos, apta para
su publicación en el entorno de campus virtual.
Con respecto a la evaluación, de acuerdo con las directrices del EEES, se
pretende ensayar, al menos parcialmente, un sistema de evaluación continua,
basado en la elaboración por parte de los alumnos de un conjunto de proyectos (“portfolio” en la terminologı́a inglesa). Estos proyectos irán dando
respuesta, con un grado creciente de sofisticación conceptual, a los problemas conductores del desarrollo del temario.
Un objetivo clave de la contribución es evaluar hasta qué punto la combinación
de estos tres aspectos, aprendizaje basado en problemas, clases con ordenador y
evaluación basada en proyectos, resulta factible y eficiente en la situación actual o,
en otro caso, identificar qué recursos adicionales serı́an necesarios. Por esta razón,
estas innovaciones se ensayarán también en una asignatura denominada Matemáticas y Computación y que se oferta como asignatura de libre configuración. Esta
asignatura presenta peculiaridades como menor número y mayor motivación de los
alumnos, que se prevé sirvan como elemento de comparación con la asignatura de
Cálculo. Las innovaciones aquı́ descritas fueron llevadas a cabo en ambas asignaturas durante el curso 2004-2005, por lo que en el momento actual, tras un periodo de
reflexión del equipo docente, se dispone de una cierta perspectiva sobre los logros
alcanzados y las dificultades del proceso.
En nuestra opinión, el conocimiento del desarrollo histórico de la enseñanza
de la matemática en los estudios de ingenierı́a resulta crı́tico para tener una visión
completa de algunos de los dilemas educativos a los que la presente innovación pretende contribuir. No puede dudarse de la revolución que ha constituido, a lo largo
del siglo XX, la invención del computador. En el ámbito de la matemática aplicada,
en particular, la resolución de problemas requiere de conocimientos en los que no
se pueden deslindar los fundamentos matemáticos de los métodos computacionales. Sin embargo, un sector de cientı́ficos, considerados habitualmente “matemáticos puros”, aboga por relegar la computación al Análisis Numérico, ignorando que
la revolución tecnológica demanda alternativas pedagógicas que integren el conocimiento conceptual con las habilidades procedimentales. A menudo los estudiantes
adquieren una visión inadecuada de la naturaleza de las matemáticas, que valoran
como difı́cil e inútil a un tiempo. En nuestra opinión, la metodologı́a de aprendizaje
basada en problemas, es especialmente útil para superar este dilema. En particular,
en el caso de la Ingenierı́a en Informática, resulta muy adecuada para integrar el
aprendizaje de las matemáticas con las restantes disciplinas.
En la Sección 2 se detalla la forma en que se estructuró la asignatura Matemáticas y Computación, ası́ como los resultados obtenidos. Idéntico esquema presenta
la Sección 3, referida ahora a la asignatura Cálculo para la Computación. Por último, las principales conclusiones ası́ como las lı́neas de futuro trabajo, se describen
en la Sección 4.
2. Asignatura Matemáticas y Computación
El temario de esta asignatura hace referencia a la resolución de problemas del
mundo real, mediante su modelado matemático y la implementación de una solución computacional. Los contenidos incluyen el aprendizaje de (uno o varios)
programas de cálculo matemático, ya sea numérico o simbólico. Dado que la innovación que aquı́ presentamos propone un método no centrado en el profesor, el
equipo docente tomó la decisión de prescindir por completo de las clases expositivas. Una preocupación fundamental fue explicar este esquema a los alumnos.
Para facilitar la transición desde el papel de profesor tradicional al de facilitador,
los alumnos se dispusieron de forma diferente, de manera que el docente pudiera
mezclarse con ellos. Dado que se trata de una asignatura optativa, se limitó a treinta alumnos, lo que resulta una ventaja a la hora de disponer de medios materiales
como aulas, ordenadores, etc. Al final de la primera sesión presencial, los alumnos
debı́an formar grupos de trabajo.
El principal objetivo de la asignatura era la adquisición de habilidades que
permitan manejar programas de ordenador para resolver problemas matemáticos,
de forma que el problema en sı́ mismo sirviera de vehı́culo para la adquisición de
nuevos conocimientos. Los propios problemas eran elegidos por los grupos en base
a sus distintos conocimientos previos y las titulaciones de las que procedı́an. Dado
que los problemas no eran explicados por los docentes, se pensó que su imposición
a los estudiantes podrı́a conllevar un esfuerzo excesivo de adaptación a un contexto
desconocido. Por otra parte, la elección de temas proporcionaba a los estudiantes
la oportunidad de considerar los aspectos claves de sus titulaciones y desarrollar
sus aptitudes de autonomı́a e iniciativa.
En la segunda sesión presencial, cada grupo debı́a presentar un informe inicial,
motivando el problema elegido y planificando los objetivos, la metodologı́a y los
medios necesarios para el desarrollo del proyecto. Tras el análisis del informe por
parte de los profesores, se planificó una nueva sesión presencial con objeto de
proporcional una guı́a a los estudiantes y monitorizar el desarrollo del proyecto.
A partir de ese momento, los grupos disponı́an de un mes completo de trabajo
autónomo. Finalmente, los resultados del proyecto eran presentados en una sesión
oral, al tiempo que se hacı́a entrega de un informe escrito. La presentación de
cada grupo era valorada por los grupos restantes y, además, cada estudiante debı́a
presentar una evaluación personal del trabajo del equipo.
Una vez finalizado el curso, el equipo docente efectuó una reflexión sobre el
grado de consecución de los objetivos propuestos y las diversas circunstancias que
afectaron el proceso de aprendizaje. En primer lugar, se mantuvo la hipótesis de que
los estudiantes eran capaces de trabajar de forma autónoma, tanto para la elección
del problema como para su resolución. Naturalmente, se dejó clara la disponibilidad de los docentes para atender cuestiones puntuales, pero se consideró crucial
que los estudiantes afrontaran el trabajo en equipo usando sus propias concepciones. La mayorı́a de los grupos se adaptó satisfactoriamente a la metodologı́a, tras
algunas vacilaciones iniciales. Sin embargo, un grupo experimentó serias dificultades en esta fase, quedando completamente sorprendidos al darse cuenta de que
no habrı́a sesiones de explicación del software. Los profesores proporcionaron documentación del software a este grupo, ası́ como cierto grado de asesoramiento en
el diseño del trabajo. Finalmente, los resultados fueron aceptables. Para el resto
de los grupos, las conclusiones fueron claramente satisfactorias, ya que los estudiantes manifestaron alcanzar una profunda comprensión del problema a resolver
y del uso de las herramientas computacionales. Incluso, en el informe individual,
algunos alumnos mostraron su satisfacción personal por la visión general obtenida
sobre el papel de la matemática y su interacción con la computación en la ciencia
y la ingenierı́a actuales, ası́ como por la conveniencia de desarrollar habilidades
transversales como, por ejemplo, el trabajo en equipo y la presentación oral.
3. Asignatura Cálculo para la Computación
En un principio, estaba previsto aplicar en esta asignatura las mismas innovaciones descritas en la sección anterior, referentes a contenidos, metodologı́a y
evaluación. Se pretendı́a desarrollar un conjunto de problemas conductores que,
en cierto modo, dieran lugar de forma natural al temario a desarrollar y que, en
algunos casos, podı́an tratarse casi de problemas abiertos, de enunciado incierto,
tal como ocurre en el mundo real. Pronto resultó evidente, sin embargo, que las innovaciones debı́an ser de alcance mucho más modesto que en la asignatura de libre
configuración, debido a condicionantes de diversa ı́ndole. Fue preciso contemplar
la necesidad de desarrollar un programa previamente publicado en la guı́a del curso, la dificultad de acomodar la metodologı́a de aprendizaje basado en problemas a
los esquemas actuales y la conveniencia administrativa de mantener un sistema de
evaluación basado, al menos en parte, en pruebas finales.
Con respecto a los contenidos, la experiencia reveló con claridad meridiana algo que era ya intuido por los docentes: la extensión desorbitada del temario. Si con
la metodologı́a anterior, basada exclusivamente en clases magistrales y sesiones
de realización de problemas, a duras penas se alcanzaban los objetivos marcados,
mucho menos podı́an abordarse las innovaciones metodológicas. La dificultad del
aprendizaje del Cálculo en las titulaciones de Ingenierı́a se fundamenta, en parte, en
la disparidad de los objetivos marcados, ya que se persiguen tanto habilidades procedimentales (operaciones con polinomios, derivación e integración) como la comprensión de profundos conceptos (derivada, aproximación, series, etc). Un ejemplo
clásico es la técnica del lı́mite, que muchos alumnos superan con técnicas heurı́sticas más o menos mecánicas (por ejemplo, la regla de L’Hôpital y la descomposición de polinomios) pero cuya verdadera comprensión requiere una aproximación
al concepto de infinito que la notación epsilon-delta oculta más que aclara. En todo
caso, la experiencia se considera positiva por parte de los docentes, ya que ha permitido reflexionar sobre las partes del temario que entran en una lı́nea que conduce,
más o menos naturalmente, a la resolución de problemas reales. Asimismo, se han
identificado contenidos que pueden ser tratados con menor énfasis sin perder por
ello el argumento conductor. En este sentido, se considera que el temario puede
centrarse en torno a la teorı́a de la aproximación funcional, cuya implementación
se propone de forma natural a los estudiantes de Ingenierı́a en Informática. El concepto de derivada (y la mecánica del cálculo diferencial e integral), los polinomios
de Taylor, la optimización y, finalmente, las series, se configuran como hitos en
el camino en torno a este argumento central. Por el contrario, el cálculo mecánico
de lı́mites (en especial cuando se aplica a funciones cuyo uso en la ingenierı́a es
muy especializado, cuando no claramente artificial) y los problemas de existencia
de diferencial en máxime cuando la asignatura se desarrolla con una limitación tan
importante de tiempo (se trata de una cuatrimestral de sólo 4,5 créditos).
Con respecto a la metodologı́a, se detectó la imposibilidad de llevar a cabo
un planteamiento riguroso de aprendizaje basado en problemas. A las limitaciones temporales ya comentadas en el párrafo anterior, se unió la falta de autonomı́a
de los alumnos, ya que se trata de estudiantes de primer curso que, en algunos
casos, incluso encuentran dificultades con el cálculo aritmético más elemental. A
esto se unió el gran número de alumnos, con una asistencia media de más de cincuenta. Incluso la disposición fı́sica del aula, con tarima y bancos atornillados al
suelo, estaba orientada a la clase magistral y carecı́a de la flexibilidad necesaria
para organizar trabajo en grupos u otras actividades. Por tanto, la metodologı́a debió ser mucho más directiva de lo previsto, especialmente en lo procedimental. Se
dio, no obstante, la posibilidad de desarrollar, con carácter voluntario, trabajos de
extensión de conocimientos que fomentaran la reflexión en torno a la interacción
matemáticas-computación en la ingenierı́a actual.
Con respecto a la evaluación, se detectó la obligación legal de ceñirse a lo previamente publicado en la guı́a del curso, de forma que debı́a existir una prueba
escrita final que permitiera la superación de la asignatura. También fue necesario
moderar la innovación en el sistema de evaluación al detectar resistencias entre
profesores de otros grupos de la misma asignatura, ya que las pruebas a realizar
debı́an ser consensuadas. Sin embargo, se dispuso de una cierta flexibilidad, de
forma que se valoró la participación en clase, más allá de la simple asistencia.
Asimismo, varios alumnos realizaron los trabajos de ampliación arriba mencionados que, a menudo, consistieron en la implementación directa de algoritmos simples pero que, en ocasiones, requirieron el modelado matemático de situaciones
realistas, introduciendo ası́ a los alumnos en el significado real de la matemática
aplicada. Finalmente, se permitió el uso de apuntes y libros durante la prueba de
evaluación final, lo que permitió confirmar el hecho de que los contenidos de la
asignatura requieren de muy pocos elementos memorı́sticos.
Los resultados académicos fueron ligeramente superiores a los obtenidos por
otros grupos en los que no se llevó a cabo la innovación, aunque esta valoración requiere ciertamente de una investigación más detallada que identifique los distintos
factores actuantes.
4. Conclusiones y trabajo futuro
Con el objetivo de evaluar la conveniencia de introducir la metodologı́a de
aprendizaje basado en problemas en el ámbito de las matemáticas aplicadas a
la ingenierı́a, se han introducido innovaciones metodológicas en dos asignaturas:
Cálculo para la Computación y Matemáticas y Computación. Mientras que la primera es una asignatura obligatoria de primer curso, la segunda es una optativa de
libre configuración. Las ventajas de los cambios metodológicos se apreciaron fundamentalmente en la asignatura optativa:
Tras una primera etapa de confusión, los estudiantes se adaptaron razonablemente bien al trabajo autónomo, demostrando una capacidad (en ocasiones
sorprendente) de manejar distintos conceptos matemáticos para modelar situaciones del mundo real, e implementando soluciones computacionales.
El aprendizaje basado en problemas contribuye al desarrollo de habilidades
transversales como el trabajo en equipo, la capacidad de exposición oral, la
organización y planificación de las distintas tareas a desarrollar, la escritura
de informes y el hábito de enumerar las conclusiones alcanzadas.
Es relativamente fácil encontrar problemas en las diversas disciplinas de la
ingenierı́a que obliguen al manejo de los conceptos matemáticos más básicos: cálculo diferencial e integral, optimización y series.
Cuando los problemas tienen un grado razonable de realismo, su modelado
lleva a formulaciones no lineales, que requieren casi siempre de soluciones
computacionales, en contraste con los procedimientos mecánicos tradicionalmente enseñados que se limitan a menudo al caso lineal.
Como resultado de la innovación educativa realizada, se detectó también la
existencia de importantes limitaciones, en especial en la asignatura obligatoria de
primer curso:
La obligación, hasta la implantación de nuevos planes de estudio, de ceñirse a programaciones que, en ocasiones, están sobredimensionadas. En este
sentido, hay que resaltar que la implantación de innovaciones contribuye a
señalar las partes del temario que tienen un carácter nuclear y que coinciden,
muy frecuentemente, con las que pueden describirse en torno a problemas
de aplicación real.
El elevado número de alumnos, con niveles de partida muy heterogéneos.
En este sentido, al menos en el ámbito muy reducido del contexto estudiado, se observó una preocupante limitación de los recursos de profesorado
disponible, motivado y dispuesto a la innovación.
La resistencia a la innovación por parte de los propios estudiantes, en parte
por el temor a que la asignatura resulte más difı́cil de aprobar. Hay que admitir, en este sentido, que dado que estas innovaciones constituyen experiencias
piloto, es comprensible un cierto temor a lo desconocido, que a menudo el
profesorado comparte.
Las limitaciones materiales, por ejemplo, la disposición fı́sica de las aulas y
el acceso a laboratorios de computación (que, a su vez, requiere de mayores
recursos de profesorado).
En el futuro se pretende profundizar en la innovación metodológica, dentro de
lo posible en el actual marco normativo. Para ello, se están proponiendo cambios
en el temario, posponiendo (y, eventualmente, soslayando) los temas considerados
de interés secundario, de forma que se mantenga la lı́nea conductora que lleva de
la derivada a las series. Con respecto a la metodologı́a, se procurará que todos los
resultados sean presentados según la regla del cuatro propuesta por el movimiento
del “Reform Calculus”: en forma geométrica, numérica, analı́tica y verbal. A esto
habrı́a que añadir, de acuerdo con la propuesta de los matemáticos computacionales
suecos, la implementación computacional. Naturalmente que esto sólo será posible
si se dispone de los adecuados recursos materiales y de profesorado. Por último,
con respecto a la evaluación, deberá tener cada vez más en cuenta la participación
en clase y el trabajo autónomo, sin que sea factible de momento basarla exclusivamente en la elaboración de proyectos.
Agradecimientos
Este trabajo ha sido parcialmente apoyado por la Dirección de Espacio Europeo de la Universidad de Málaga, por los Servicios de Innovación Educativa y de
Enseñanza Virtual, a través del Proyecto PIE04/008, ası́ como por los proyectos
UMAN006 y UMAN010 de la Unidad para la Calidad de las Universidades Andaluzas.
Referencias
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[9] Sanz Cabrera, Teresa y Marı́a Emilia Rodrı́guez Pérez: El Enfoque HistóricoCultural: su Contribución a una Concepcion Pedagógica Contemporánea.
En Colectivo CEPES (editor): Tendencias Pedagógicas en la Realidad Educativa Actual. Universidad de Tarija (Bolivia), 2000.
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