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MECANICA DE FLUIDOS
Problema Líneas de Corriente
Dado el campo bidimensional de velocidades
u=
x
;
t0 + t
v=
x
,
t0 + 2 t
donde u y v son las componentes de la velocidad en las direcciones de los ejes x e y, t≥0 es
el tiempo y t 0 es una constante conocida con dimensiones de tiempo. Se pide determinar:
1. Divergencia y rotacional de la velocidad.
2. Función potencial y función de corriente si existen.
3. Líneas de corriente.
4. Trayectorias
5. Sendas.
6. Líneas de traza.
7. ¿En que se convierte al cabo del tiempo la circunferencia que en el instante inicial
es una circunferencia de radio R y centro en el origen?.
Cinemática
1
SOLUCIÓN
Divergencia y rotacional de la velocidad
r ∂u ∂v
1
1
2t 0 + 3t
∇⋅ v =
+
=
+
=
≠0
∂ x ∂ y t 0 + t t 0 + 2t
t0 + t t 0 + 2t
b gb
FG
H
g
IJ
K
r
∂ v ∂u r
∇×v =
−
k = 0.
∂x ∂y
Dado que la divergencia de la velocidad no es nula, no existe función de corriente. Pero
como el rotacional de la velocidad es nulo, existe función potencial
∂ϕ
x
x2
=u=
; ϕ=
+ C y,t ,
∂x
t0 + t
2 t0 + t
b g b g
∂ϕ
y
∂C
y2
= v=
=
; C=
,
∂y
t 0 + 2t ∂ y
2 t 0 + 2t
b
FG
H
g
IJ
K
1 x2
y2
ϕ=
+
.
2 t 0 + t t 0 + 2t
Las líneas de corriente se obtienen de
b g
b g
y t0 + t
dx dy dy
=
;
=
,
u
v
d x x t0 + 2 t
que debe integrarse para t fijo
y= Kx
t0 + t
t0 + 2 t
.
La constante K se determina eligiendo la línea de corriente que en el instante t pasa por un
punto dado, por ejemplo (x 0 ,y0 )
FG IJ
H K
y
x
=
y0
x0
t0 + t
t0 + 2 t
.
En la figura 1 se muestran las líneas de corriente para distintos instantes de tiempo.
Las trayectorias se obtienen del sistema de ecuaciones
dx
x
dy
y
=u=
;
=u=
,
dt
t0 + t d t
t0 + 2t
cuya solución proporciona
b
g
x = K1 t0 + t ; y = K2 t 0 + 2 t ,
Cinemática
2
donde las constantes K1 y K2 se determinan de la condición inicial
t =τ
: x = xp e y = yp ,
lo que proporciona
x
t +t
y
= 0
;
=
x p t0 + τ y p
t 0 + 2t
.
t 0 + 2τ
Las sendas se obtienen eliminando el tiempo de las ecuaciones de la trayectoria
y
=
yp
FG
H
IJ
K
τ x
−1
t0 x p
.
τ
1+ 2
t0
2 1+
Si consideramos que el instante inicial es τ = 0 y que x p = x 0 e y p = y0 , la ecuación de
las sendas queda
y
x
= 2 −1,
y0
x0
que se ha representado en la figura 1 junto con las líneas de corriente.
Líneas de Corriente y Sendas
y / y0
3.0
2.8
L.C. para t / t 0 = 0
2.6
L.C para t / t 0 = 0.25
2.4
L.C. para t / t 0 = 1
2.2
L.C. para t / t 0 = Infinito
2.0
Sendas
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
x / x0
Figura 1.- Líneas de corriente en distintos instantes y sendas.
Como puede observarse en la figura 1, las líneas de corriente no coinciden nunca con las
sendas. Esto es debido a que el movimiento no es estacionario.
Cinemática
3
Las líneas de traza que en un instante dado forman las partículas que en los instantes τ < t
han pasado por el punto ( x p , y p ), se obtienen de la ecuación de la trayectoria eliminando
el instante de paso τ , obteniéndose
y
=
yp
FG1 + 2 t IJ x
H t Kx
F tI x
2G1 + J −
H tK x
,
FG1 + 2 t IJ x
H t Kx
F tI x
2G 1 + J −
H tK x
.
0
p
0
p
y si cambiamos x p por x 0 nos queda
y
=
y0
0
0
0
0
b g b
g
En la expresión anterior puede verse que no hay solución cuando x x0 ≥ 2 1 + t t 0 , sin
embargo este valor no se alcanza nunca ya que, para un valor dado de t t 0 , la línea de
traza se extiende hasta el valor de x x0 correspondiente al valor de t t 0 considerado y
τ = 0 , que es la posición de la partícula en el instante t t 0 que pasó por el punto x x0 = 1
en el instante τ = 0 . Estos valores máximos están dados por las expresiones
FG x IJ
Hx K
0
=
max
t0 + t
t
= 1+ ;
t0
t0
FG y IJ
Hy K
0
= 1+ 2
max
t
, o bien
t0
FG y IJ
Hy K
0
FG x IJ
Hx K
= 2
max
0
−1 .
max
Líneas de corriente y de traza
1.8
L.C. para t / t 0 = 0
1.7
L.T. para t / t 0 = 0.25
L.C para t / t 0 = 0.25
1.6
L.T. para t / t 0 = 1
L.C. para t / t 0 = 1
y / y0
1.5
L.T. para t / t 0 = infinito
1.4
L.C. para t / t 0 = Infinito
1.3
1.2
1.1
1.0
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
x / x0
Figura 2.- Líneas de corriente y de traza en distintos instantes.
Cinemática
4
Para determinar la línea fluida que en el instante inicial es la circunferencia
x02 + y02 = R2 ,
tomamos la ecuación de las trayectorias con τ = 0 , x p = x 0 e y p = y0
y
t
x
t
= 1+ ;
= 1+2 ,
x0
t 0 y0
t0
de donde se obtiene
x02
F xI
=G
H 1+ JK
t
t0
2
; y02 =
y2
,
1 + 2 tt
0
que sustituidos en la ecuación inicial se obtiene
x2
y2
+
e j R 1+2
que son elipses de semiejes R b1 + t t g y R 1 + 2 t t
R 1+
2
t
t0
t
t2
0
0
2
=1,
.
L.F. para t / t 0 = 0
Línea fluida
L.F. para t / t 0 = 0.5
3.0
L.F. para t / t 0 = 1
L.F. para t / t 0 = 2
2.5
y/R
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
x/R
Figura 3.- Línea fluida en distintos instantes
Cinemática
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