LA LEY DE COULOMB COMO CASO PARTICULAR DE LA LEY DE

LA LEY DE COULOMB COMO CASO PARTICULAR DE LA LEY DE
GAUSS
Una carga eléctrica genera un campo eléctrico cuyas líneas de fuerza son radiales que permiten concluir que
el vector de intensidad de campo eléctrico
hay desde la propia carga puntual.
r
E tiene dirección radial y su magnitud depende de la distancia que
En consecuencia para los puntos a la misma distancia de la carga puntual corresponde una magnitud idéntica
del vector de intensidad de campo eléctrico.
Estas dos condiciones que cumple el vector de intensidad de campo eléctrico, aseguran que el Campo de
vectores
r
E tiene simetría esférica.
Se elige como superficie Gaussiana una esfera de radio R centrada en el origen, (posición de la carga
puntual).
r
La diferencial de superficie d S sobre la Esfera Gaussiana, evidentemente tiene dirección radial y por ello es
paralela al vector de Intensidad de Campo Eléctrico, en todos los puntos de la Superficie Gaussiana.
Es por ello que se obtiene el resultado:
r r
r
r
E ⋅ d S = E d S cos ( 0° ) = E dS
En consecuencia, la Integral de Flujo sobre la superficie Gaussiana en este caso cumple:
r r
E
∫ ⋅ dS =
esfera
radio R
∫E
∫ dS
dS = E
esfera
radio R
= E 4π R 2
esfera
radio R
Como la carga total encerrada en la esfera Gaussiana es la carga q de la carga puntual, el Teorema de Gauss
permite escribir:
∫
r r q
E ⋅ dS =
ε0
esfera
radio R
que evidentemente conduce a:
E 4π ε 0 R 2 =
q
ε0
de donde despejando E, se obtiene la magnitud del vector de Intensidad de campo eléctrico sobre la superficie
Gaussiana:
E=
1
4πε 0
q
R2
La dirección es evidentemente radial y su magnitud depende de la distancia R desde la carga puntual.
En consecuencia, el vector de intensidad de campo eléctrico es obtenido por el producto de su magnitud
multiplicada por el vector unitario en dirección radial en coordenadas esféricas
r
q
1
E =
4πε 0 R 2
eˆ
r
êr :
r
r entonces el Vector de intensidad de campo eléctrico es dado por:
Si en el punto donde se desea conocer el vector de intensidad de campo eléctrico es dada su posición por el
vector
r
E =
1
4πε 0
q rr
q
1
=
r 2 r 4πε 0 r 3
r
r
que coincide con el valor vectorial obtenido en el análisis del campo de una carga puntual.
Si en el punto de vector de posición
es dada por :
r
r , se coloca una carga Q, entonces la fuerza que aparece sobre esa carga
r
r
F =Q E
y en consecuencia, la fuerza sobre la carga Q debida a la presencia de q es dada por:
r
1 qQ
F =
4πε 0 r 3
r
r
que no es otra cosa que la ecuación vectorial de la Ley de Coulomb.
De manera formal podemos decir que la Ley de Coulomb se obtuvo a partir de la Ley de Gauss considerando
el tratamiento de una estructura física dada por una carga puntual única en el espacio.
Debido a esta óptica, podemos decir que la Ley de Coulomb pasa a ser un Caso muy particular de la
aplicación de la Ley de Gauss.
CAMPO ALREDEDOR DE UNA CARGA "q" DEPOSITADA EN UN
CONDUCTOR ESFERICO MACIZO
Recordamos que en un conductor, la carga se almacena en su superficie externa, (recordamos el experimento
de la Jaula de Faraday).
Por tal motivo, en el interior de ese conductor, aun cuando es macizo, no hay cargas eléctricas depositadas.
La carga se distribuye uniformemente en la superficie de ese conductor, por la siguientes razones:
Al ser el conductor esférico, no hay una dirección preferencial sobre la cual se vayan repelidas entre sí las
partículas portadoras de carga cuantizada. Por ello no hay región preferente para que se depositen.
En consecuencia, el conductor pasa a convertirse en una distribución uniforme de carga eléctrica estática,
porque los movimientos de los portadores se detienen cuando ellos llegan a la superficie y alcanzan una
situación de equilibrio estático, que sólo se puede conseguir cuando ellas se distribuyen uniformemente sobre
la superficie de la esfera, quedando finalmente como se muestra en la siguiente Figura:
r
d
S
Por lo tanto, cada elemento diferencial de superficie
contiene exactamente la misma carga de magnitud
d q , la cual es dada por σ dS , donde σ es la densidad superficial de carga que evidentemente es
uniforme y de valor constante sobre toda la superficie de la esfera metálica.
Cada elemento de superficie tiene su simétrico respecto a cualquier eje que pase por el centro de la esfera
metálica, por ejemplo, podríamos tomar como eje de simetría al eje de las Y.
En la figura se observan dos elementos colocados simétricamente respecto a ese eje, además por comodidad
pero sin pérdida de generalidad, podemos suponer que se busca el campo eléctrico en un punto P sobre ese
mismo eje.
Desde luego se supone que el centro de la esfera metálica coincide con el origen del sistema coordenado, el
elemento de carga dq
y
su simétrico dq', generan respectivamente los pequeños campos
r
r
d E y dE ′ que
r
2 d E cos (θ ) ,
al sumarse vectorialmente dan un vector cuya magnitud tiene el valor
al sumarse (integrarse) las contribuciones de elementos de carga sobre la "cinta" de
integración que representamos en la figura, es evidente que el resultado es un vector paralelo al eje de las Y,
finalmente, si se suman todas las "cintas" sobre la esfera, se obtendrá en el punto P un vector también paralelo
al eje de las Y.
Intuitivamente sin necesidad de integrar nuevamente, la magnitud total del vector de campo eléctrico, en el
Punto P sólo dependerá de la distancia entre el origen y el punto P y de la carga depositada en la esfera.
Aún cuando cambiemos del punto P al punto P' en dirección distinta al eje de las Y , pero conservando la
distancia entre el origen y P, para convertirse en la distancia entre el origen y el punto P', la nueva integración
tendrá el mismo valor, esto se puede evidenciar con sólo rotar el eje Y de manera adecuada, de tal manera
que la línea uniendo el origen y el punto P' coincida con el eje de las Y.
A partir de este argumento, es evidente que el campo vectorial del vector de intensidad de campo eléctrico,
tiene simetría esférica porque es radial y constante sobre puntos que equidistan del origen de coordenadas.
Esto permite elegir como superficie gaussiana, a una esfera centrada en el centro de la esfera metálica.
Nos resta calcular el Vector de Intensidad de Campo Eléctrico en todos puntos dentro, fuera y sobre la
superficie de la esfera metálica, para tener todo el campo vectorial que buscamos.
Esto provoca que nuestra superficie gaussiana tenga radio menor que el de la esfera, igual a este o superior a
su radio R.
La siguiente Figura presenta un corte de las esferas con el plano X-Y:
Analicemos primero el caso en que la esfera gaussiana tiene un radio mayor al de la esfera metálica, es decir
cuando el radio "r" de la esfera gaussiana y el de la esfera metálica R complen la relación:
r > R
En este caso los vectores de campo eléctrico y de diferencial de superficie se comportan como se representa
en la siguiente figura:
r
r
E y dS son paralelos
y por ello su producto escalar cumple:
r r
E ⋅ dS = E dS cos ( 0° ) = E dS
Por ello la integral de flujo sobre la superficie gaussiana elegida, con radio "r", es dada por:
r r
E
∫ ⋅ dS =
esfera
radio r
∫
∫ dS
E dS = E
esfera
radio r
= E 4 π r2
esfera
radio r
como la carga que se depositó en la esfera metálica es "q" y ésta se encuentra totalmente dentro de la esfera
gaussiana, y usando el Teorema de Gauss, podemos escribir la siguiente ecuación:
E 4π r 2 =
q
ε0
de donde despejando E, tenemos la magnitud del Vector de Intensidad de Campo eléctrico a una distancia r
mayor que el radio R de la esfera metálica:
E =
1
4πε 0
q
r2
y como el campo es radial, entonces se puede escribir:
r
E=
1
4πε 0
q
r2
r
r
r
que es la expresión similar a la de un campo eléctrico debido a una carga puntual centrada en el origen del
sistema de coordenadas.
En consecuencia, podemos asegurar que:
Una Esfera metálica uniformemente cargada, produce un campo eléctrico en el exterior de ella, equivalente a
una carga puntual en la que se concentra la carga de la esfera metálica y la cual se encuentra en el centro del
sistema coordenado que coincide con el centro de la esfera metálica.
Este resultado justifica que el manejo de esferas metálicas cargadas para crear distribuciones discretas de
cargas eléctricas, es completamente equivalente al manejo de cargas puntuales para crear esas distribuciones,
con la salvedad de que el campo se calcula en regiones exteriores a esas esferas.
En consecuencia, este resultado valida decir que los experimentos realizados con esferas metálicas
(experimentos reales), coinciden perfectamente con experimentos en los cuales se desea trabajar con cargas
puntuales ( experimentos ideales).
Por ejemplo, el experimento de la Balanza de Torsión que se usa para deducir la ley de Coulomb, es
aceptable, debido a que en lugar de usar cargas puntuales, utiliza esferas metálicas cargadas, y el anterior
resultado le dá completa validez.
Si ahora, la superficie Gaussiana esférica tiene radio idéntico al de la esfera metálica, r = R, es evidente que
la integral de flujo sobre esta nueva superficie gaussiana tiene el mismo valor que el ecalculado
anteriormente, ya que el tamaño del radio no es importante, sino sólo que se trata de una esfera.
Por ello se tiene:
r r
2
∫ E ⋅ dS = E 4π r
esfera
radio r
ahora debe considerarse cual es la carga neta encerrada por la superficie gaussiana:
esa carga es exactamente q ya que esa carga se encuentra en la superficie de la esfera metálica y por ello está
contenida por la esfera de integración, por ello de nueva cuenta, tenemos:
E =
q
r2
1
4πε 0
y de nueva cuenta, el Vector de Intensidad de Campo Eléctrico es dado por:
r
E=
1
4πε 0
q
r2
r
r
r
Y entonces, podemos asegurar que el campo eléctrico alrededor y en la superficie, de una esfera metálica
cargada estáticamente, es idéntico al originado por una carga puntual equivalente colocada en el centro de la
esfera metálica y con una carga idéntica a aquélla con la que se cargó a la esfera metálica.
Finalmente, si la esfera gaussiana es elegida como una esfera cuyo radio es inferior al radio de la esfera
cargada, es decir, si r < R, entonces el campo que se calculará es el campo de puntos interiores de la esfera
metálica cargada.
En este caso, la integral de flujo es evidentemente idéntica, y por ello:
r r
2
∫ E ⋅ dS = E 4π r
esfera
radio r
pero ahora, la carga neta encerrada tiene valor cero, porque la carga se deposita en la superficie de la esfera
metálica, y por ello entonces la integral se iguala a cero porque la carga neta encerrada, como ya
mencionames es nula, y entonces:
r r
2
∫ E ⋅ dS = E 4π r
esfera
radio r
=
0
ε0
=0
Dada la ecuación anterior, se puede concluir inmediatamente que el valor del campo es cero, es decir, en el
interior de una esfera metálica cargada es nulo, es decir:
r r
E =0
para todos los puntos dentro de la esfera metálica.
CAMPO ALREDEDOR DE UNA CARGA "q" DEPOSITADA
UNIFORMEMENTE EN UN DIELECTRICO ESFERICO MACIZO
En el caso de un material dieléctrico, la carga no se desplaza como en el caso de un conductor, en este caso, la
carga se deposita en todo el cuerpo del material, por esa razón para el análisis de este caso, imponemos
estrictamente que la distribución de la carga eléctrica es uniforme, es decir los portadores se distribuyen
uniformemente en todo el cuerpo del dieléctrico, aún siendo una situación ideal, resulta interesante analizar
este caso.
En este caso, la distribución de carga es volumétrica, en consecuencia la carga depositada en un elemento de
volumen dV, es dada por : dq = ρ dV .
Cada elemento de volumen dentro de la esfera tiene su simétrico respecto al eje de las Y cuando la esfera está
centrada en el origen.
Si el punto donde se desea conocer el campo está colocado sobre el eje de las Y, como se muestra en la figura,
se tiene que todo elemento dV tiene su simétrico respecto al eje de las Y dado por el elemento dV', ambos
elementos contienen las cargas iguales en magnitud, dq y dq' respectivamente, esos elementos de carga
r
r
generan los campos eléctricos diferenciales dE y dE ' que al sumarse dan un vector en dirección del
eje de las Y y cuya magnitud es
r
2 dE cos (θ )
r
r
vectores dE y dE ' con el eje de las Y.
donde el ángulo θ es el ángulo que forma cada uno de los
r
r
al punto P es la misma. En consecuencia, los vectores dE y dE ' tienen la misma magnitud y mismo
Como los elementos dq y dq' están colocados simétricamente al eje de las Y, es facil deducir que su distancia
ángulo de inclinación respecto al eje de las Y.
Es por ello que la magnitud del vector resultante de la suma de los vectores
r
r
dE y dE'
tiene el
resultado
r
2 dE cos (θ )
así, se puede integrar sobre una "dona" obtenida por efectuar una revolución alrededor del eje de las Y con
cualquiera de los elementos dV o dV', como se observa en la figura siguiente:
a partir de esa integración se encuentra que la suma resulta en un vector paralelo al eje de las Y.
Ahora si se efectúa la segunda integración de las "donas" sobre la región comprendida entre los círculos de
radio r y r+dr, nos encontramos que se obtendrá como suma un vector que es paralelo al eje de las Y, esto
indica que el campo vectorial es radial en el punto P.
Si se cambiara del punto P a otro P', el campo seguira siendo radial, y si la distancia de P' al origen, es
idéntica a la que hay entre P y el mismo origen, entonces se encuentra que los vectores de campo en esos
puntos tienen la misma magnitud. No realizamos la integración, pero por las condiciones que presenta el
problema, es seguro que se obtenga como resultado la conclusión anterior.
Así, podemos decir que el Campo Eléctrico alrededor de nuestra esfera dieléctrica, tiene simetría esférica, y
en consecuencia, la superficie gaussiana por elegir, será una esfera centrada en el centro de nuestra esfera
dieléctrica cargada uniformemente.
En este caso, como en el anterior, elegiremos esferas gaussianas centradas en la esfera dieléctrica con radios
menor, igual y mayor al radio R de la esfera dieléctrica, para tener el campo entodos los puntos del espacio.
El cálculo de la Integral de Flujo sobre esas esferas Gaussianas es el mismo que en el caso anterior, por esa
razón, cuando la superficie Gaussiana tiene radio "r", la integral de flujo tendrá el valor:
r r
2
∫ E ⋅ dS = E 4π r
esfera
radio r
y esta integral será la misma cualquiera que sea el valor de "r", sólo resta encontrar en cada caso, cual es el
valor de la carga total encerrada por la superficie gaussiana.
Dentro de la esfera dieléctrica, r<R , y la carga que encierra la esfera gaussiana no es toda la carga de la
esfera dieléctrica, para calcularla procedemos de la manera siguiente:
- primero calculamos el valor de la densidad volumétrica de carga ρ.
- después integramos la expresión dq = ρ dV sobre la esfera gaussiana.
- finalmente aplicamos el Teorema de Gauss.
Para calcular la densidad volumétrica de carga es necesario tomar en cuenta que es uniforme, por ello la
densidad media sobre la esfera coincidirá con la densidad en cada punto del volumen del dieléctrico.
La densidad media se calcula dividiendo la carga "q" depositada en la esfera dieléctrica por el volumen "V"
de esa esfera.
El volumen de la esfera es dado por:
V=
4
π R3
3
en consecuencia, la densidad volumétrica de carga tiene el valor:
ρ=
3q
4π R3
Calculemos la carga encerrada en la esfera gaussiana de radio r<R :
Para ello debemos integrar la expresión
dq = ρ dV
sobre la esfera gaussiana.
Esa integral es la siguiente:
Q =
∫ ρ dV
∫ dV
= ρ
sobre volumen
de esfera radio r
= ρ
sobre volumen
de esfera radio r
4
π r3
3
se ha utilizado el hecho de que ρ es constante sobre toda la esfera dieléctrica y por ello en todo el volumen de
la esfera gaussiana elegida.
Pero como
ρ=
3q
4π R3
entonces se tiene:
q r3
Q= 3
R
este resultado pudo haberse obtenido a partir de una regla de tres simple:
La carga q se deposita sobre el volumen de la esfera dieléctrica mientras que la carga Q se deposita sobre el
volumen de la esfera gaussiana, lo que en forma de regla de tres simple es dada por:
q
4
π R3
3
=
Q
4 3
πr
3
Proporción que al resolverse para Q dá evidentemente el resultado:
q r3
Q= 3
R
que coincide totalmente con el cálculo ya efectuado.
Apliquemos ahora el Teorema de Gauss:
r r
2
∫ E ⋅ dS = E 4π r
=
esfera
radio r
A partir de esa ecuación, resolviendo para
Q
ε0
q r3
=
ε 0R3
E , tenemos:
E=
1
4πε 0
qr
R3
que nos señala que la magnitud del vector de intensidad de campo eléctrico dentro de la esfera dieléctrica
varía linealmente en función a la distancia desde el centro de la esfera, su valor inicial siendo 0, ya que en el
centro de la esfera dieléctrica, r = 0. Mientras que el valor máximo se encuentra cuando r coincide con R, el
radio de la esfera dieléctrica, y en ese momento, el campo eléctrico tiene la magnitud:
E=
1
q
4πε 0 R 2
que vuelve a coincidir con el valor que tendría el campo si se concentrara toda la carga de la esfera dieléctrica
en el centro de ella en forma de carga puntual.
Para calcular el campo en puntos externos a la esfera dieléctrica, el radio de la esfera gaussiana es tomado
como mayor al radio de la esfera cargada, es decir:
rfR
en este caso, la integral de flujo es idéntica a la anterior, lo que cambia es la carga total encerrada que
evidentemente es toda la carga de la esfera dieléctrica, es decir es la carga "q".
Por ello obtenemos al aplicar el Teorema de Gauss:
r r
2 = q
⋅
=
E
d
S
E
4
π
r
∫
ε0
esfera
radio r
de donde despejando E tenemos:
E =
1
4πε 0
q
r2
resultado que nos obliga a pensar que el comportamiento de la esfera dieléctrica es el mismo que se obtendria
al considerar que la carga de la esfera dieléctrica se concentra en una carga puntual colocada en el centro de la
misma, para todos los puntos colocados en la superficie de la esfera dieléctrica o fuera de ella.
Si recordamos los experimentos con electroscopios fundamentales, se verá que los experimentos de segunda
enseñanza con pelotitas de sauco, en los que se trataba de obtener conclusiones sobre el comportamiento de
las cargas eléctricas puntuales, los resultados obtenidos en esos experimentos pueden considerarse válidos,
gracias a las conclusiones que venimos de obtener al estudiar la distribución de esfera dieléctrica
estáticamente cargada.
En la figura anterior, se observa la variación E = E(r) de la magnitud del vector de intensidad de campo
eléctrico con la distancia r al centro de la esfera dieléctrica. En ese gráfico se evidencía que el valor máximo
de la magnitud del vector de intensidad de campo eléctrico es
E max =
1
4π ε 0
q
R2
El campo crece a partir del valor cero en forma lineal, después decae asintóticamente a cero conforme la
distancia tiende a infinito.
En la parte lineal la variación funcional es:
E (r ) =
qr
4πε 0 R 3
1
y coincide con el valor maximal cuando r = R .
Sería interesante obtener el perfil funcional del potencial eléctrico en todos los puntos del espacio en que se
encuentra la esfera dieléctrica:
Para ello debemos escribir el campo vectorial en coordenadas esféricas:
r
E (r ) =
1
qr
4πε 0 R3
êr
asimismo, debemos transcribir el gradiente del potencial en coordenadas esféricas:
∇V =
∂V
∂r
eˆr + 1 ∂ V eˆϕ + 1
r sin ( θ ) ∂ ϕ
r
∂V
∂θ
eˆθ
dada la estructura matemática del campo vectorial de vector de intensidad de campo eléctrico, tenemos las
siguientes ecuaciones:
1 qr
∂V
=−
4πε 0 R 3
∂r
∂V
1
r sin ( θ ) ∂ ϕ
;
=0
;
1 ∂V
=
r ∂θ
0
resolviendo esas ecuaciones diferenciales, podemos conocer la estructura matemática de la función Potencial
Eléctrico.
A partir de la segunda y tercera ecuaciones, es claro que la función potencial no depende de las coordenadas
esféricas ni φ ni θ en consecuencia, V sólo depende de la coordenada "r".
La primera de esas ecuaciones plantea una ecuación diferencial ordinaria lineal de coeficientes constantes y
no homogénea y de primer orden, cuya forma general tiene la forma:
df
+ a f = b (x )
dx
cuya solución general tiene la forma:
ax
−a x
−a x
f (x) =e ∫ b(x) e dx+c e .
De tal manera que en nuestra ecuación el coeficiente constante a cumple:
a =0
y entonces la solución general toma la forma:
f (x)=∫b(x) dx+c
de tal manera que nuestra ecuación diferencial tiene la solución:
V ( x) = − ∫
que al resolver la integral nos da:
1
4πε 0
qr
dr + C
3
R
V ( x) = −
1
4πε 0
q r2 1
( )+C
R3 2
como una ecuación diferencial sola no es un problema completo, y se necesita una condición inicial cuando
ella es de primer orden, el problema queda completado con la condición:
si r = R entonces V ( r ) =
1
4πε 0
q
R
al substituir esta condicion en la solución general tenemos:
V ( R) = −
1
4πε 0
q R2 1
1 q
( )+C=
3
2
4πε 0 R
R
que resulta en una ecuación algebraica lineal de primer grado en C, la cual despejándola da:
3 1 q
C =( )
2 4πε 0 R
por lo que la solución que se acopla a la condición inicial es:
1
V (r ) =
2
⎡
1 q r2
3 q ⎤
−
+
⎥
⎢
3
4πε 0 R ⎦
⎣ 4πε 0 R
función que nos da el potencial eléctrico en el interior de la esfera dieléctrica cargada.
En el centro de la esfera, el radio r vale cero, y por ello, el potencial es:
V (0) =
3
2
⎡ 1 q⎤
⎢
⎥
⎣ 4πε 0 R ⎦
que es igual a 1.5 veces el valor del potencial en la superficie de la esfera dieléctrica, donde el potencial es
igual a :
⎡ 1 q⎤
V ( R) = ⎢
⎥
⎣ 4πε 0 R ⎦
Por lo que respecta para los puntos fuera de la esfera dieléctrica, el campo eléctrico es similar al campo
eléctrico generado por una carga puntual colocada en el centro de la esfera dieléctrica, es decir tiene la
estructura matemática:
r
E
=
1
4πε 0
r
q r
r2 r
de ahí que el potencial eléctrico es similar al potencial provocado por una carga puntual, es decir:
V (r ) =
1
4πε 0
q
r
de tal manera que el perfil funcional del potencial eléctrico para una esfera dieléctrica uniformemente cargada
tiene la forma:
el potencial en el origen es 1.5 veces mayor que el valor que tiene el potencial en la superficie de la esfera
dieléctrica, este último valor es la ordenada del punto donde la gráfica cambia de parabólica en hiperbólica.
Cuando la distancia desde el centro de la esfera dieléctrica al punto donde se mide el potencial aumenta, el
potencial decae asintóticamente a cero en el infinito.
Para obtener una comparación interesante, podríamos calcular el potencial en el caso de una esfera metálica
cargada:
En ese caso, el campo eléctrico varía por medio de las relaciones funcionales siguientes:
⎧
⎪ r
⎪ 0 si 0 ≤ r <rR
r
q r
1
E ( r ) = ⎪⎨
si r = R
2
r
4
πε
r
0
⎪
r
q r
⎪ 1
si R < r
⎪ 4πε
2
r
0 r
⎩
Por medio de la relación fundamental entre potencial y vector de intensidad de campo eléctrico, es decir
r
E = − ∇V
podemos encontrar el potencial eléctrico en todos los puntos dentro y fuera de la esfera metálica cargada.
Dentro de la esfera metálica, el campo eléctrico encontramos que es cero, es decir
r r
E =0
r
0 = − ∇V
de tal manera que
de donde se obtiene que
∂V
∂V
∂V
=
=
=0
∂x
∂y
∂z
de donde se obtiene que V no depende ni de x, ni de y, ni de z, por lo que simplemente es una constante, es
decir se cumple que dentro de la esfera conductora
V = constante
Entonces tenemos una conclusión muy importante que se cumple para todos los conductores cargados:
"Para todos los puntos dentro de un conductor cargado, el vector de intensidad de campo eléctrico es nulo
y el potencial eléctrico es constante"
Fuera y sobre la superficie de la esfera conductora, el vector de intensidad de campo eléctrico coincide con el
campo generado por una carga puntual colocada en el centro de la esfera conductora, por ello el potencial
eléctrico en esos puntos, cumple que es idéntico al potencial generado por la carga puntual antes mencionada,
en consecuencia el potencial eléctrico es tal que:
V (r)=
1
4πε 0
q
r
Por ello, la función de potencial eléctrico es dada por:
⎧ 1 q
⎪⎪ 4πε R para 0 ≤ r ≤ R
V(r)=⎨ 0 1 q
⎪
para r > R
⎪⎩
4πε 0 r
El primer valor de la función escalonada definida anteriormente, es obtenido fácilmente si se considera que el
potencial eléctrico debe ser una función contínua, y por ello debe coincidir con el potencial en la superficie de
la esfera conductora, donde ya dijimos que es igual al potencial debido a una carga puntual a una distancia
igual al radio de la esfera conductora.
En virtud de ello, el valor del potencial dentro y en la superficie de una esfera conductora cargada
estáticamente es igual a:
V (r)=
1
4πε 0
q
R
Por lo anterior se dice que la esfera conductora "se eleva" al potencial en su superficie, y el valor de ese
potencial es
V (r)=
1
4πε 0
q
.
R
De tal forma que el perfil de la gráfica de la función de potencial eléctrico alrededor de una esfera metálica
cargada uniformemente, es dado por:
El potencial eléctrico dentro de la esfera es constante y desciende asintóticamente a cero conforme la
distancia r tiende a infinito.
Es interesante analizar el campo eléctrico en la superficie de una esfera metálica cargada, en ese caso, el
campo eléctrico tiene el valor:
r
E =
r
R
1
4πε 0
q
R2 R
cuya magnitud es dada por
E =
como la superficie de la esfera vale
S=
1
4πε 0
q
R2
q
, sustituyendo ese valor en la expresión de la magnitud del
4π R 2
vector tenemos:
E=
q
Sε 0
pero el cociente
q
es la densidad superficial de carga eléctrica σ, por ellos se tiene que el vector de
S
intensidad de campo eléctrico es dado por:
E =
σ
ε0
resultado muy interesante que se identifica con el valor de la magnitud de vector de intensidad de campo
eléctrico muy cerca de la superficie de un conductor cargado:
ya que es dado por el cociente de la densidad de carga superficial dividido por la permitividad en el vacío.
Resultado que probaremos más adelante para cualquier conductor y cualquier densidad de carga superficial.
UNA DISTRIBUCIÓN ESPECIAL DE ESFERAS CONDUCTORAS
CONCENTRICAS CON CARGA ELECTRICA
La Figura siguiente presenta gráficamente dos esferas metálicas concéntricas, la exterior es un cascarón
esférico con radio interior r1 y radio exterior r2 , mientras que el radio de la esfera maciza interior es R . La
carga eléctrica que se distribuye en la esfera interior es Q.
Busquemos ahora el campo eléctrico en todos los puntos de la distribución, es decir, dentro de la esfera
interior, en su superficie, en el espacio comprendido entre la esfera interior y el cascarón, dentro del metal del
cascarón y finalmente en la superficie externa del cascarón y los puntos exteriores al arreglo.
El arreglo anterior presenta evidentemente una simetría esférica, por ello las superficies gaussianas para
estudio de este problema, son esferas centradas en el centro común del arreglo.
Como lo hemos calculado en los arreglos ya estudiados, la integral de flujo sobre las esferas gaussianas que
utilizaremos, cumple:
r r
2 q
∫ E ⋅ dS = E 4π r =
ε0
esfera
radio r
donde la carga "q" es la carga neta encerrada por la superficie gaussiana, y ella tiene radio r.
Por principio de cuentas, analizaremos los puntos internos a la esfera maciza, observamos en la figura
siguiente que la esfera gaussiana elegida tiene radio r<R .
Dentro de esa esfera gaussiana, no existe carga porque la esfera es conductora y toda la carga se va hacia la
superficie de la misma, en virtud de lo cual la carga neta encerrada "q" es nula, en consecuencia el teorema de
Gauss nos da:
r r
2
∫ E ⋅ dS = E 4π r
esfera
radio r
=
0
ε0
=0
de donde despejando la magnitud del vector de intensidad de campo eléctrico nos da:
r
E =0
Es decir, el vector de intensidad de campo eléctrico en el interior de la esfera maciza es cero.
Analicemos qué pasa sobre la superficie de la esfera maciza:
En este caso, el radio "r" de la esfera gaussiana y el radio R de la esfera metálica maciza son idénticos, por
ello la carga total encerrada por la superficie gaussiana es precisamente "Q", en consecuencia, a partir del
Teorema de Gauss, tenemos:
r r
2
∫ E ⋅ dS = E 4π R
=
esfera
radio r
Q
ε0
y despejando la magnitud del vector de intensidad de campo eléctrico tenemos:
r
E
=
1
4πε 0
Q
R2
de tal manera que el vector de intensidad de campo eléctrico es tal que:
r
E=
1
4πε 0
Q
R2
eˆr
sin gran dificultad, es evidente que para los puntos colocados fuera de la esfera maciza pero entre ella y la
superficie interna del cascarón, que el campo tiene la misma estructura algebraica, ya que la integral de flujo
es igual en valor, y la carga total encerrada en este caso es también "Q", por ello podemos asegurar que el
vector de intensidad de campo eléctrico es:
r
E=
1
4πε 0
q
r2
eˆr
Ahora nos interesa qué sucede con la parte interna del metal que conforma el cascarón de esfera, es decir
cuando el radio de la superficie gaussiana se encuentra con un valor tal que:
r1 < r < r2
la figura siguiente nos muestra la situación:
En este caso, debe cumplirse que el vector de intensidad de campo eléctrico en el interior del metal que
compone el cascarón esférico debe tener un valor idéntico a cero, porque ya concluimos anteriormente que en
un metal cargado estáticamente, el vector de intensidad de campo eléctrico es nulo.
Esto significa que la carga neta encerrada por la esfera gaussiana cuyo radio está comprendido entre r1 y
r2
debe tener un valor neto nulo para que el Teorema de Gauss dado por
r r
2 q
∫ E ⋅ dS = E 4π r =
ε0
esfera
radio r
se cumpla, originando la obligación de que el vector de intensidad de campo eléctrico sea nulo, es decir, si
r
E =0
entonces, de la ecuación
E 4π r 2 =
nos permite asegurar que E es nulo si y solo si
q
ε0
q = 0.
Para que esto suceda, es necesario que la carga neta encerrada por la superficie Gaussiana sea nula, y esto sólo
sucede si existe junto con la carga de la esfera maciza metálica, una carga idéntica de signo contrario. Esto
significa que si la carga de la esfera maciza interior es positiva y de valor +Q, entonces la carga que coexiste
con ella en el interior de la superficie gaussiana que estamos estudiando, es -Q.
Como para cualquiera que sea el valor del radio de la superficie gaussiana que nos ocupa, r1 < r < r2 se
cumple que el vector de intensidad de campo eléctrico es cero, entonces el valor límite para que esto pase, es
que ese radio sea infinitesimalmente mayor a r1.
No obstante, cuando r = r1, se tiene que debe existir continuidad con el campo que hay en el espacio
comprendido entre la superficie de la esfera maciza y el radio interior del cascarón de la esfera ( r1 ).
Lo anterior significa que en la superfice interior del cascarón de la esfera, el campo debe obligadamente valer
r
E (r
1
)=
1
4πε 0
Q
eˆ
r1 r
Analicemos con más cuidado esta situación:
En las figuras anteriores planteamos un artificio para aplicar el Teorema de Gauss a nuestro problema, y es el
artificio que nombraremos como "la cajita de píldoras", en ella suponemos que la superficie gaussiana para
analizar el campo en las cercanías de la superficie interior del cascarón conductor, es una pequeña superficie
cilíndrica cuyas tapas circulares se colocan de tal manera que, una se encuentra sumergida en el cuerpo
metálico del cascarón y la otra fuera de él pero hacia dentro del cascarón.
Supondremos que ese cilíndro es muy pequeño, de tal manera que el área de sus tapas redondas podemos
denominarlas ∆S.
Denominemos por h la altura del cilíndro, deseamos sea considerada como muy pequeñita, de tal manera
que el campo eléctrico en la tapa del lado del espacio entre la esfera maciza y el cascarón, sea el campo de
puntos muy cercanos a la superficie interna del cascarón.
Represente
r
d S el elemento diferencial de superficie en ambas tapas de la cajita de píldoras.
En la figura anterior observamos que el vector de intensidad de campo eléctrico existe en el espacio
comprendido entre la esfera maciza y el cascarón, pero dentro del cuerpo del cascarón ese vector de
intensidad de campo eléctrico es nulo por tal razón sobre la tapa que se encuentra inmersa en el cascarón no
hay campo eléctrico y es nulo.
r r
De lo anterior, el producto escalar E ⋅ dS = 0 sobre la tapa dentro del cuerpo del cascarón.
r
Sobre la otra tapa, el vector de intensidad de campo eléctrico E tiene misma dirección pero sentido
r
contrario al vector
r r
E ⋅ dS = E dS .
dS
en consecuencia su producto escalar es negativo y dado por:
Dentro de la cajita de píldoras, hemos señalado otro círculo de igual área a las tapas, en él está depositada una
carga eléctrica que puede decirse es la responsable de la aparición del vector de intensidad de campo eléctrico
r
E en la tapa con campo eléctrico.
En la parte "redonda" del cilindro, (la comprendida entre las tapas del mismo), tiene dos regiones, una con
campo eléctrico (la que está dentro del espacio esfera maciza - cascarón) y otra sin campo eléctrico (la
comprendida dentro del cuerpo del cascarón).
En la Figura siguiente clarificamos la situación:
A partir de la última Figura, podemos concluir que la integral de Flujo debe evaluarse en una superfice que se
descompone en 4 partes:
-
La tapa dentro del cascarón (S1 ).
La tapa en el espacio entre esfera maciza y cascarón (S2 ).
La parte redonda del cilindro dentro del cascarón (S3 ).
La parte redonda del cilindro dentro del espacio esfera maciza - cascarón (S4 ).
Por lo tanto, la integral de flujo se calcula desarrollando:
r r
r r
r r
r r
r r
∫ E ⋅ dS = ∫ E ⋅ dS + ∫ E ⋅ dS + ∫ E ⋅ dS + ∫ E ⋅ dS
S1
caja de
pildoras
S2
S3
S4
calculemos cada una de esas integrales:
r
Sobre la superficie S , los vectores E
1
tiene el valor:
y
r
dS
forman un ángulo de 180°, por ello el producto escalar
r r
E ⋅ dS = E dS cos(180°) = − E dS
r
E
constante sobre la tapa de la cajita de píldoras, porque ella tiene un área
con el valor de la magnitud de
muy pequeña y los vectores de campo no varían significativamente, y puede considerase que ese vector es
constante, en consecuencia la integral tiene el valor:
r
r r
∫ E ⋅ dS = −E ∫ dS = − E ∆S
S1
S1
ya que el área de la superficie S1 es precisamente
Para la superficie S2, el vector
∆S .
r
E es nulo, por ello la integral cumple que:
r
r r
∫ E ⋅ dS = 0 ∫ dS = 0 ∆S = 0
S2
S2
En la superficie S3, El campo eléctrico también es nulo, en consecuencia la integral tiene el mismo valor que
la anterior:
r
r r
∫ E ⋅ dS = 0 ∫ dS cos(90°) = 0 (0) = 0
S3
S3
Tenemos que para la superficie S4 , el ángulo entre los vectores es de 90°, por ello el coseno vale cero y en
consecuencia el producto escalar de los vectores de intensidad de campo eléctrico y el de diferencial de
superficie es nulo, así que al integrarlo, la integral resulta nula:
r r
∫ E ⋅ dS =
S4
∫
S4
r r
E dS cos(90°) =
∫
S4
r r
E dS 0 = 0
concluimos que tres de esas integrales se anulan, es decir se anulan las integrales sobre las superficies S2 , S3
y S4. Por ello la integral de flujo tiene el valor total:
r r
r r
E
⋅
d
S
=
E
∫ ⋅ dS +0 + 0 + 0 = − E ∆S
∫
S1
caja de
pildoras
La carga encerrada por la cajita de píldoras es dada por
q = σ ∆S
de tal manera que tenemos por usar el Teorema de Gauss, la relación siguiente:
− E ∆S =
a partir de esta relación, eliminando
q
ε0
σ ∆S
ε0
∆S , tenemos:
E =−
Por otro lado, a la distancia
=
σ
ε0
r1 , el campo eléctrico debe tener la magnitud:
E =
1
Q
4πε 0 r1 2
de donde obtenemos la identidad:
E=
al despejar la densidad de carga superficial
Q
σ
=
−
4πε 0 r1 2
ε0
1
σ , se obtiene:
σ =−
Q
4 π r12
relación que nos indica que: ¡la distribución de cargas sobre la superficie interior del cascarón hay
depositada una carga negativa!
Además, 4 π r1 es el área de la superficie interior del cascarón esférico metálico, y la carga Q es
exactamente la magnitud de la carga depositada en la esfera maciza del centro del arreglo.
2
A partir de este resultado concluimos que la carga distribuida en la superficie interna es de magnitud Q, pero
negativa, es decir de signo contrario a la carga Q depositada en la esfera maciza central del arreglo.
La figura esquematiza cómo la carga interna del cascarón exterior es depositada, en su superficie y con la
misma magnitud de carga, pero de signo contrario a la depositada en la esfera maciza.
El principio de conservación de la carga eléctrica, impone ahora una condición importante:
El cascarón esférico no estaba cargado originalmente, sólo se carga bajo la influencia de la esfera metálica
interna maciza, es por ello que debe continuar neutro durante todo el proceso, eso obliga a pensar que la
superficie externa del conductor se electrice de tal manera que adquiere la carga +Q, es decir, la superficie
externa del conductor queda cargada con carga opuesta a la que adquiere la superficie interna del cascarón,
por ello, la superficie externa del cascarón adquiere una densidad superficial de carga de valor:
σ ′=
Q
4 π r2
2
Final mente, sin necesidad de realizar cálculo alguno, es evidente que para el exterior del cascarón, el campo
eléctrico es tal que , su comportamiento es el mismo como si la carga +Q se depositara en el centro de la
esfera macisa en una carga puntual.
En consecuencia, el Vector de intensidad de campo eléctrico tiene simetría radial, y se comporta como el
campo generado por una carga puntual con una magnitud que se comporta funcionalmente por:
0 para 0≤ r < R
⎧
⎪ 1 Q
para R ≤ r < r1
⎪
2
4
πε
0 r
E ( r ) = ⎪⎨
0 para r1 < r < r2
⎪
⎪ 1 Q para r2 ≤ r
⎪⎩ 4 πε 0 r 2
De tal manera que podemos asegurar que el cascarón metálico sirve para crear una zona de discontinuidad del
vector de intensidad de campo eléctrico en la cual su valor se anula. Sin embargo, el campo eléctrico se
comporta en la zona comprendida entre la superficie de la esfera maciza y la superficie interior del cascarón
como si sólo existiera una carga puntual de valor Q en el centro de la esfera maciza, y fuera de la superficie
exterior del cascarón, se tiene el mismo comportamiento. Sólo en el cuerpo de la esfera maciza y del cuerpo
interno del cascarón, el vector de intensidad de campo eléctrico es nulo.
La figura siguiente esquematiza la gráfica de comportamiento de la magnitud del vector de intensidad de
campo eléctrico: