pruebas para establecer comparaciones entre tratamientos

PRUEBAS DE COMPARACION ENTRE TRATAMIENTOS Y PRUEBAS DE
HOMOCEDASTICIDAD
ARMANDO AYALA MOYANO
HENRY CHACÓN ZAMORA
Asig: DISEÑO EXPERIMENTAL
Prof: SARA CRISTINA GUERRERO
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA
FACULTAD DE CIENCIAS AGROPECUARIAS
ESCUELA DE INGENIERÍA AGRONÓMICA
TUNJA-2010
PRUEBAS PARA ESTABLECER COMPARACIONES ENTRE TRATAMIENTOS
Diferencia Mínima Significativa
La Diferencia Mínima Significativa (DMS) sólo debe emplearse para comparar medias adyacentes en un
arreglo ordenado, aunque también se puede emplear para comparar las medias con un testigo o
tratamiento estándar.
La DMS es una prueba de t de Student que utiliza la varianza combinada, es decir:
Sd es el error estándar de la diferencia y su cálculo a partir de los datos de la ANDEVA es como sigue:
Donde:
r
CME
es
el
es el número de repeticiones.
cuadrado
medio
del
error
Ejemplo:
ANDEVA
Fuentes de variación
SC
GL
CM
F
Tratamientos
0.73
4
0.1825
4.1196
Repeticiones
0.096
2
0.048
1.0835
Error
0.354
8
0.0443
Total
1.1790
14
Promedios ordenados
B
8.05
A
7.85
C
7.74
D
7.51
E
7.45
El valor de la t se toma de la tabla con los grados de libertad del error.
Si la diferencia entre dos promedios seguidos excede el valor de 0.397, se la
declara significativa al nivel del 5%.
En este ejemplo, la DMS indica que no hay diferencias significativas entre
tratamientos adyacentes, pero la F de la ANDEVA indica que sí existen
diferencias si se comparan medias no adyacentes, en este caso, el investigador
podría optar por otro tipo de prueba de rango múltiple.
Prueba De Tukey
Prueba de Duncan
TEMA: DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR (DCA)
DESARROLLO TEMÁTICO
CALCULOS
Se desea comparar el efecto de 3 distanciamientos en el cultivo de maíz, dicha investigación se la realizará
con 3 repeticiones y 1 testigo.
Desarrollo:
4 tratamientos x 3 repeticiones = 12 unidades experimentales
Tratamientos:
T1 = Testigo (25 cm)
T2 = 50 cm
T3 = 75 cm
T4 = 100 cm
Mapa de Campo:
T4
T2
T3
T2
T3
T2
T1
T1
T4
T3
T4
T1
Datos tomados:
Producción de maíz en Kg.
55
115
90
120
98
135
70
75
50
88
42
67
Sistematización de la Información
Tratamientos
Análisis de la Varianza (ADEVA)
Cálculo del Factor de Corrección (FC)
Cálculo de los Grados de Libertad (GL)
GLT = total tratamientos - 1
GLT = (4 x 3) - 1
GLT = 11
GLt = número de tratamientos - 1
GLt = 4 - 1
GLt = 3
GLE = GLT - GLt
GLE = 11 - 3
GLE = 8
Cálculo de la suma de cuadrados total (SCT)
SCT =
(resultados tratamientos)2 - FC
SCT = [ (55)2 + (120)2 + (70)2 + (88)2 + (115)2 + (98)2 + (75)2 + (42)2 + (90)2 + ..............(135)2 + (50)2 +
(67)2 ] - FC
SCT = 9442.25
Suma de cuadrados de tratamientos (SCt)
Suma de los cuadrados del error (SCE)
SCE = SCT - SCt
SCE = 9442.25 - 9040.92
SCE = 401.33
Cálculo de los cuadrados medios (CMt)
Cuadrados medio error (CME)
Cálculo de F calculada (FC)
Determinación de Valores F Tabular
Para 0.05 es igual a 4.07
Para 0.01 es igual a 7.59
Interpretación
Como F calculada es mayor que F Tabular los resultados son altamente significativos (**).
Cálculo del Coeficiente de Variación (CV) %
GRADOS DE
SUMA DE
F Tabular
FUENTE DE
CUADRADOS
LIBERTAD CUADRADOS
FC
VARIACION
MEDIOS
0.05 0.01
(SC)
(GL)
TOTAL
11
9442.25
TRATAMIENTOS
3
9040.92
58.90
4.07
7.59
ERROR
8
401.33
51.17
X
83.75
CV%
8.54
Prueba de Duncan
Cálculo de la Desviación Típica
Rangos mínimos de Duncan (RMD) y rangos mínimos significativos (RMS)
RMD
3.26
3.39
3.47
RMS
11.67
12.14
12.42
Ordenamiento de medias de menor a mayor
T4
T1
T3
T2
49.00
70.67
92.00
123.33
C
B
A
Comparación entre medias
123.33 - 49.00 = 74.33
Como es mayor al RMS 12.42, entonces es significativo.
70.67 - 49.00 = 21.67
Como es mayor al RMS 12.42, entonces es significativo.
Clasificación de los datos significativos:
123.33 - 12.42 = 110.91
A todos los valores de las medias que se hallan en el rango de 110.91 a 123.33 se identificarán con la letra A.
92.00 - 12.14 = 79.86
A todos los valores de las medias que se hallan en el rango de 77.86 a 92.00 se identificarán con la letra B.
70.67 - 11.67 = 59.00
A todos los valores de las medias que se hallan en el rango de 59.00 a 70.67 se identificarán con la letra C.
Interpretación de la Prueba de Duncan
Como se observa en los resultados de la Prueba de Duncan podemos confirmar que existen diferencias
estadísticas entre los tratamientos en estudios, obteniendo el mayor promedio T2 con 123.33 Kg. de
producción, en tanto que en T4 obtuvo el menor promedio con 49.00 kg.
PROCEDIMIENTOS PARA VERIFICAR EL AJUSTE A UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
(PRUEBAS DE NORMALIDAD)
Existen diferentes pruebas para verificar el ajuste de nuestros datos a una distribución de probabilidad. Las
dos más utilizadas son el contraste
Contraste
de Pearson, y la prueba de Kolmogorov-Smirnov.
de Pearson
La idea del contraste de Pearson es muy sencilla: se agrupan los datos en k clases (k>5), como si fuéramos a
construir un histograma, cubriendo todo el rango posible de valores, siendo deseable disponer,
aproximadamente, del mismo número de datos en cada clase y al menos de tres datos en cada una.
Llamamos Oi al número de datos observado en la clase i. Mediante el modelo de probabilidad que se desea
verificar se calcula la probabilidad Pi asignada a cada clase, y por lo tanto, para una muestra de n datos, la
frecuencia esperada según ese modelo de probabilidad es Ei=n.Pi.
Se calcula entonces el siguiente índice de discrepancia entre las frecuencias observadas y las que era
previsible encontrar si el modelo fuera el adecuado:
que se distribuye aproximadamente como una
si el modelo es correcto.
Si el modelo se especifica de forma completa con las probabilidades Pi, conocidas antes de tomar los datos,
el número de grados de libertad es k-1. Pero si se han estimado r parámetros del modelo a partir de los datos,
entonces los grados de libertad son k-r-1.
Prueba de Kolmogorov-Smirnov
Este contraste, que es válido únicamente para variables continuas, compara la función de distribución
(probabilidad acumulada) teórica con la observada, y calcula un valor de discrepancia, representado
habitualmente como D, que corresponde a la discrepancia máxima en valor absoluto entre la distribución
observada y la distribución teórica, proporcionando asimismo un valor de probabilidad P, que corresponde, si
estamos verificando un ajuste a la distribución normal, a la probabilidad de obtener una distribución que
discrepe tanto como la observada si verdaderamente se hubiera obtenido una muestra aleatoria, de tamaño n,
de una distribución normal. Si esa probabilidad es grande no habrá por tanto razones estadísticas para
suponer que nuestros datos no proceden de una distribución, mientras que si es muy pequeña, no será
aceptable suponer ese modelo probabilístico para los datos.
Prueba de Shapiro-Wilks
Aunque esta prueba es menos conocida es la que se recomienda para contrastar el ajuste de nuestros datos
a una distribución normal, sobre todo cuando la muestra es pequeña (n<30).
Mide el ajuste de la muestra a una recta, al dibujarla en papel probabilístico normal. Este tipo de
representación también lo proporcionan algunos programas de estadística, de tal manera que nos permite
además apreciar el ajuste o desajuste de forma visual:
En escala probabilística normal se representa en el eje horizontal, para cada valor observado en nuestros
datos, la función de distribución o probabilidad acumulada observada, y en el eje vertical la prevista por el
modelo de distribución normal. Si el ajuste es bueno, los puntos se deben distribuir aproximadamente según
una recta a 45º. En la imagen vemos que en este ejemplo existe cierta discrepancia.
En cualquier caso siempre es adecuado efectuar una representación gráfica de tipo histograma de los datos, y
comparar el valor de la media y la mediana, así como evaluar el coeficiente de asimetría y apuntamiento,
además de llevar a cabo una representación en escala probabilística de la distribución de probabilidad
esperada versus observada, como la de la figura.
Posibles soluciones cuando se rechaza la hipótesis de normalidad
Si rechazamos o dudamos de la normalidad de nuestros datos, existen varias soluciones posibles:

Si la distribución es más apuntada que la normal (mayor parte de los valores agrupados en torno de
la media y colas más largas en los extremos), se debe investigar la presencia de heterogeneidad en
los datos y de posibles valores atípicos o errores en los datos. La solución puede ser emplear
pruebas no paramétricas.



Si la distribución es unimodal y asimétrica, la solución más simple y efectiva suele ser utilizar una
transformación para convertir los datos en normales.
Cuando la distribución no es unimodal hay que investigar la presencia de heterogeneidad, ya que en
estos casos la utilización de transformaciones no es adecuada y los métodos no paramétricos
pueden también no serlo.
Una alternativa muy interesante a los métodos paramétricos y a las pruebas no paramétricas
clásicas, la constituye la metodología de estimación autosuficiente ya esbozada en otro artículo de
esta serie.
Transformaciones para conseguir datos normales
La utilización de transformaciones para lograr que los datos se ajusten a una distribución normal es en
muchas ocasiones la solución más natural, ya que existen gran cantidad de parámetros biológicos que tienen
una distribución asimétrica como la de la figura de la izquierda, y que se convierten en aproximadamente
simétricas al transformarlas mediante el logaritmo.
Tenemos problemas con la transformación logarítmica ln(x) si la variable puede tomar el valor 0, por lo que en
esos casos, o incluso si existen valores muy pequeños, será adecuado emplear la transformación ln(x+1).
Cuando la desviación típica de los datos es proporcional a la media o cuando el efecto de los factores es
multiplicativo, en lugar de aditivo, está indicado el uso de la transformación logarítmica.
Otra transformación posible es
, que es aplicable cuando las varianzas son proporcionales a la media, lo
que ocurre a menudo cuando los datos provienen de una distribución de Poisson (recuentos).
Otra transformación habitualmente empleada es 1/x, que también precisa que sumemos una cantidad a cada
valor si existen ceros.
Estas tres transformaciones comprimen los valores altos de los datos y expanden los bajos, en sentido
creciente en el siguiente orden:
(la que menos), ln x, 1/x.
Si la concentración de datos está, a diferencia de la figura anterior, en el lado de la derecha y la cola en la
izquierda, se puede utilizar la transformación x², que comprime la escala para valores pequeños y la expande
para valores altos.
Cuando los datos son proporciones o porcentajes de una distribución binomial, las diferencias con una
distribución normal son más acusadas para valores pequeños o grandes de las proporciones, utilizándose
entonces transformaciones basadas en
.
En todos los casos para los cálculos estadísticos basados en la teoría normal, se utilizarán los valores
transformados, pero después para la presentación de los resultados se efectuará la transformación inversa
para presentarlos en su escala de medida natural.
PRUEBAS DE HOMOCEDASTICIDAD (HOMOGENEIDAD DE VARIANZA)
Prueba De Levene
Uno de los pasos previos a la comprobación de si existen diferencias entre las medias de varias muestras es
determinar si las varianzas en tales muestras son iguales (es decir, si se cumple la condición de
homogeneidad de varianzas o homoscedasticidad), ya que de que se cumpla o no esta condición dependerá
la formulación que empleemos en el contraste de medias.
Existen varias pruebas que permiten comprobar la igualdad de varianzas (F de Fisher, Fmax de Hartley,
prueba de Bartlett, etc), pero aquí desarrollaremos la prueba de Levene que es la que emplea SPSS. Para su
cálculo se siguen los siguientes pasos:

1.- Calcular la diferencia (en valor absoluto) entre cada valor y la media de su grupo:
donde...
Xij: es la puntuación del sujeto i perteneciente al grupo j.
j:

es la media del grupo j.
2.- Calcular la media de las diferencias de cada grupo:
donde...
Dij: es la suma de las puntuaciones D en el grupo j.
nj: es el tamaño del grupo j.

3.- Calcular la media total de las diferencias:
donde...
Dij: es la suma de las puntuaciones D de todos los sujetos.
N: es la suma de todos los sujetos.

4.- Calcular la suma de cuadrados intragrupo (SCintra):


5.- Calcular la suma de cuadrados intergrupo (SCinter):
6.- Calcular los grados de libertad:
G.L.(inter) = k -1; siendo k el número de grupos.
G.L.(intra) =
; siendo nj el tamaño muestral del grupo j.
7.- Calcular la media cuadrática intergrupos (MCinter)= SCinter / G.L.inter
8.- Calcular la media cuadrática intragrupos (MCintra)=SCintra / G.L.intra
9.- Calcular la F = MCinter / MCintra
Prueba De Ji Cuadrada De Bartlett



En las pruebas paramétricas de estadística, como la t de Student y el análisis de varianza de Fischer, se exige
como requisito previo la homogeneidad de las varianzas. Esta técnica es un valioso auxiliar para decidir la
homogeneidad o heterogeneidad del error estadístico.
Al respecto, se debe considerar que la varianza corresponde a la suma de las diferencias de los valores
individuales en relación con el promedio, elevadas al cuadrado y divididas entre los grados de libertad, es
decir, son variaciones alrededor de la medida de tendencia central, representativa de la muestra con la cual se
estudia un fenómeno, sin embargo, no se puede saber si esas variaciones se deben a errores dados por el
fenómeno en sí o a errores del observador o del método para efectuar las mediciones.
Cuando existen dos o más grupos de población que se desea comparar y las varianzas son iguales, se puede
considerar que la fuente de error es la misma, en caso contrario, si son desiguales, se tiene la probabilidad de
que otra fuente desconocida de error en alguna de las muestras intervenga desfavorablemente en los
resultados del análisis estadístico.
En las tareas de la investigación científica de los fenómenos psicológicos es poco probable que al medir las
observaciones en dos o más muestras poblacionales, la variación sea idéntica. Por lo general, esas varianzas
tienen números diferentes y el investigador cae en la incertidumbre de decidir si las fuentes de error fueron las
mismas o si intervinieron uno o más agentes de variación. La prueba de ji cuadrada de Bartlett permite saber,
en función de la probabilidad, si la discrepancia entre varianzas fue dada por el azar o por otros factores de
error no deseados por el experimentador.
La X2 de Bartlett se define matemáticamente con la ecuación siguiente:
Donde:
X2Bartlett
=
valor
estadístico
de
ln
=
logaritmo
2
=
n
=
tamaño
de
la
muestra
K
=
número
de
grupos
N = tamaño total (sumatoria de las muestras).
esta
del
prueba.
natural.
varianza.
grupo.
participantes.
Pasos:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2)
de cada grupo.
2
(n - 1).
Transformar la varianza de cada grupo en el logaritmo natural y multiplicarla por los grados de
2 (n - 1).
Obtener la sumat
- 1).
2 (n - 1).
2 (n - 1)) entre la
sumatoria de los grados de
- 1)), transformar el resultado en logaritmo natural y
multiplicarlo
por
la
sumatoria
de
los
grados
de
libertad:
7.
Obtener
8.
EDividir la diferencia obtenida entre el factor de ajuste, el cual está en función del número de grupos
que
intervienen
en
el
análisis
estadístico:
9.
la
diferencia
del
paso
6
y
5.
El valor obtenido corresponde al estadístico ji cuadrada de Bartlett. Calcular los grados de libertad
(gl): gl = K - 1.
10. Comparar el valor de ji cuadrada de Bartlett con los valores críticos de la distribución de ji cuadrada
de Pearson.
11. Decidir si se acepta o rechaza la hipótesis.
Ejemplo:
Un investigador realizó un estudio para mostrar que los niveles de ansiedad de las personas obsesas que
asisten de manera constante a tratamiento para control de peso corporal es mayor que el de los obesos que
no asisten a tratamiento. Él desea saber si las varianzas de los grupos son homogéneas o no.
Especificaciones: Participaron 28 personas obesas (hombres y mujeres). 14 personas obesas que no asistían
a tratamiento y 14 que asistían de manera regular a algún tipo de tratamiento. A los 28 participantes se les
solicitó que dieran respuesta a la escala de estado de ansiedad (IDARE), la cual está diseñada para evaluar el
grado de ansiedad ante situaciones cotidianas. Los puntajes de la escala varían en un rango de 20 a 80
puntos, siendo los puntajes más altos los indicativos de un mayor nivel de ansiedad.
Elección
de
la
prueba
El modelo experimental tiene dos muestras independientes. Véase: Flujograma 4
estadística.
Planteamiento de Hipótesis.


Hipótesis alterna (Ha). El investigador, al observar los valores de las varianzas de los dos grupos,
percibe que son diferentes entre sí, pero ignora si las fuentes de error son las mismas. La hipótesis
se refiere a que las varianzas, de acuerdo con lo observado, son diferentes..
Hipótesis nula (Ho). Las diferencias observadas entre las varianzas se debe al azar; por lo tanto, son
iguales y la fuente de error probablemente es la misma.
Nivel
de
Para todo valor de probabilidad igual o menor que 0.05, se acepta Ha y se rechaza Ho.
Zona
de
Para todo valor de probabilidad mayor que 0.05, se acepta Ho y se rechaza Ha.
significación.
rechazo.
Aplicación de la prueba estadística.
Primeramente se determina el tamaño de la muestra y las varianzas de cada grupo, con lo cual creamos una
tabla de apoyo.
2 = 558.9286 / (14 - 1) = 42.99
1
2 = 837.5 / (14 - 1) = 64.42
2
Cálculo de ln.
Para este cálculo utilizamos una tabla logarítmica de base 10 (logaritmos comunes)
2 = 42.99 = 0.6325 + 1 = 1.6325
1
2 = 64.42 = 0.8089 + 1 = 1.8089
2
El logaritmo de base (10) del numero neperiano es 0.4343. Al dividir un logaritmo de base (10) de un número
entero entre 0.4343, se obtiene el logaritmo natural de ese número, entonces:
N = 28
K=2
(n - 1) = 26E
2 (n - 1) = 1396.33
2 (n - 1) = 103
Entonces tenemos ya los cálculos requeridos para poder aplicar la prueba X2 Bartlett.
*Hacemos un paréntesis para calcular el (ln) de:
Continuamos con el cálculo de la X2 de Bartlett.
Calculamos los grados de libertad (gl):
gl = K - 1 = 2 -1 = 1
El valor de ji cuadrada de Bartlett calculado se compara con los valores críticos de la distribución de ji
cuadrada de Pearson, y resulta que el valor 3.48 con 1 grado de libertad corresponde a una probabilidad de
0.05.
Decisión.
Como el valor de ji cuadrada de Bartlett es notoriamente menor que el crítico, el cual equivale a 0.05, la
probabilidad de ji cuadrada de 0.46 con 1 grado de libertad mayor que 0.05. Por lo tanto, se acepta Ho y se
rechaza Ha.
Interpretación.
Existe homogeneidad de las varianzas, es decir, aún cuando los valores de error estadístico difieren entre sí,
el procedimiento señala que es un efecto aleatorio y existe gran probabilidad de que la fuente o fuentes de
variación sean las mismas.
Prueba de Box-Jenkins
Al finalizar esta parte el lector deberá estar en la posibilidad de elaborar sus propios modelos usando el
método de Box-Jenkins. Al ir siguiendo las etapas él verá como es la experiencia práctica. No es aquí una
parte teórica donde se revise digamos el teorema de Wold, sino el objetivo es usar la técnica. Es por tanto
necesario que al revisar sus lecturas, simultáneamente use su PC para analizar las series económicas de su
interés.
Transformaciones útiles en la práctica. Es común que la serie inicial que se desea analizar sea una serie
evolutiva, el lector puede recordar las gráficas del PIB, las manufacturas, el nivel general de precios, la masa
monetaria, etc. Estas son series evolutivas, ya que la variable va creciendo conforme pasa el tiempo.
Las series con las que se trabaja se les llama: series estacionarias en covarianza, lo que esto quiere decir es
que son series que:
A) Oscilan alrededor de un nivel constante.
B) Estas oscilaciones presentan regularidad en su comportamiento, ya que no hay explosiones de volatilidad
(la desviación estandar) y por último.
C) Los patrones de co-movimiento (la autocorrelación) de la serie con su pasado no dependen del momento
(en el tiempo) donde se le mire.
Este último punto mostrará ser vital; ya que si analizamos la tendencia a moverse ayer (usando los datos) y
obtenemos una ecuación que la reproduzca, esta formula va a generar los pronósticos, ¿por que funciona?
porque el co-movimiento revelado en la muestra es el mismo que presentará a futuro. En otras palabras la
teoría establece una correspondencia entre funciones de autocovarianza (y autocorrelacion) y modelos
ARMA. Los datos nos llevan a la función de autocorrelación, la teoría nos dice su modelo ARMA con este
proyectamos y por ser una serie estacionaria en covarianza el patrón de co-movimiento ayer es el de mañana.
El modelo correcto debe ser capaz de anticipar, puesto que captura la estructura del proceso que genera a los
datos.
Si se tiene una serie que no sea estacionaria, ya sea que la media m(t), la varianza s²(t), o la autocorrelación
r(t,k) dependan de t. Lo que implica que al pasar el tiempo cambia el nivel, la dispersión o el grado de enlace
lineal entre las observaciones que están a la misma distancia.
Las variables económicas observadas en general presentan una tendencia hacia el crecimiento, por lo que
esta teoría no se puede aplicar directamente. Lo que se hace es realizar una transformación que modifique a
la serie original en otra serie que si sea estacionaria en covarianza, lo usual es pasar a tasas de crecimiento o
primeras diferencias (llamada también variación absoluta)
Las transformaciones frecuentes de aplicar son:
1. Cambio porcentual: Zt% = 100*( Zt - Zt-1) / Zt-1
2. Cambio porcentual en Logs: Zt%= 100* Log( Zt / Zt-1 )
Note que: 100* Log( Zt / Zt-1 )= 100*[ Log( Zt ) - Log(Zt-1)]
Si el crecimiento de Z es chico los dos caminos dan resultados muy similares ya que al desarrollar hasta
orden dos en la serie de Taylor se tiene:
Log( Zt / Zt-1) ~ [ Zt - Zt-1] / Zt-1 - { [Zt / Zt-1] -1}² /2
El termino cuadrático [ { [Zt / Zt-1] -1}² /2 ] es chico si el crecimiento es moderado.
3. Logaritmos Zt= Log( Zt ) este requiere que Zt>0.
4. Diferencias de logaritmos:
W t = Log( Xt) - Log( Yt ) = Log( Xt / Yt)
5. Primeras diferencias DZt = ( Zt - Zt-1)
6. Segundas diferencias D²Zt = DZt - DZt-1
o sea: D²Zt = Zt - 2 Zt-1 + Zt-2
7. d-esimas diferencias DdZt = (1-B)dZt
8. Diferencia estacional (1 - B4) Zt = Zt - Zt-4
9. Diferencia estacional (1 - B12) Zt = Zt - Zt-12
Las dos últimas son usadas con datos trimestrales y mensuales respectivamente, lo que hacen es filtrar la
componente estacional, es decir la eliminan.
Una decisión importante al construir un modelo si la serie original, { Z t } no es estacionaria pero es posible
asumir que existen (p,d,q) tales que:
A.- Hay una valor d que es el orden de diferenciación W t= (1-B)dZt, pasamos a una serie ya diferenciada W t
la cual si es estacionaria ya que son constantes la media m , la varianza s2 y la covarianza r(k) ya no
depende del tiempo.
B.- Debido a que W t ya es un proceso estacionario puramente no determinista,. Existe una representación
MA que se puede reparametrizar como un ARMA(p,q).
Esta idea siempre estará presente en el desarrollo, trabajaremos con series que ya son estacionarias y que
les podemos asociar su modelo ARMA.
El método de trabajo de Box-Jenkins es constructivo, o sea no se trata de decir que existe el modelo y ya, sino
de mostrar como se establece esta representación lineal. La idea es ir por etapas: transformaciones iniciales,
identificación, estimación, validación, pronóstico son las componentes del método que muestra explícitamente
que la serie original Zt se puede modelar por un ARIMA(p,d,q).