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4º Opción A
ÁLGEBRA
Esquema resumen
1. OPERACIONES BÁSICAS
– Monomio: Producto de números y letras.
Ej: 3x²y
a) Suma: Se pueden sumar los que tengan las mismas letras elevadas a los mismos
exponentes.
Ej: 3x²y – 5xy + 4x²y = 7x² – 5xy
b) Producto: Se multiplican usando las propiedades de las potencias.
Ej: 3x²y · 2x³y² = 6x⁵y³
– Polinomio: Suma de varios monomios.
Ej: 4x³ + 2x – 3
a) Suma: (2x³ – x² + 3) + (3x² – x + 5) = 2x³ + 2x² – x + 8
b) Producto:
1) Monomio · Polinomio:
m · (a + b + c) = ma + mb + mc
2) Polinomio · Polinomio:
(m + n) · (a + b + c) = ma + mb + mc + na + nb + nc
3) Factor común:
ma + mb + mc = m·a + m·b + m·c = m · (a + b + c)
c) Productos notables:
1) (a + b)² = (a + b)·(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²
2) (a – b)² = (a – b)·(a – b) = a² – ab – ba + b² = a² – 2ab + b²
3) (a + b)(a – b) = a² – ab + ba – b² = a² – b²
d) División de polinomios por la regla de Ruffini:
Ej: (x³ – 3x² + 5) : (x + 2)
1º)
-2
x³
x²
x
x⁰
1
-3
0
5
RESULTADO: x² – 5x + 10 (resto = -15)
3º)

-2
x
x⁰
1 -3
0
5
-2
-2
-2·(-5)
1 -5 0+[-2·(-5)]
1
2º)
x³ x²
x³
x²
x x⁰
1
-3
0 5
-2·1
1 -3+(-2·1)
4º)
x³
x²
x
x⁰
1
-3
0
5
-2
10 -20
-5
10 -15
-2
1
1
4º Opción A
ÁLGEBRA
Esquema resumen
– Factorización de polinomios
1º) Sacar factor común.
2º) Identificar un producto notable si lo hay.
3º) Dividir por la regla de Ruffini, buscando entre los divisores perfectos del término
independiente (el que no tiene x), de forma que el resto sea 0.
Ej: x⁴ + 2x³ – x² – 2x
1º) Factor común:
x·x·x·x + 2·x·x·x – x·x – 2·x = x·(x³ + 2x² – x – 2)
2º) ¿ x³ + 2x² – x – 2 es un producto notable? NO
3º) Dividimos por Ruffini probando en el divisor los números 1, -1, 2 y -2
x³
x²
x
x⁰
x²
x
x⁰
1
2
-1
-2
1
3
2
1
3
2
-1
-2
3
2
0
2
0
1
1
-1
1
Es decir, hemos dividido el polinomio por (x – 1) y por (x + 1), y nos ha
quedado (x + 2).
Luego, el polinomio factorizado queda:
x⁴ + 2x³ – x² – 2x = x·(x–1)·(x+1)·(x+2)
a) Raíces de un polinomio: Son los valores que debe tener x para que el valor del polinomio
sea 0.
Ej: x⁴ + 2x³ – x² – 2x = 0
Si x = 0 ; x = 1 ; x = –1 ; x = –2
Se ve fácilmente porque
x⁴ + 2x³ – x² – 2x = x·(x–1)·(x+1)·(x+2) = 0
x=0
o bien
x–1=0: x=1
o bien
x + 1 = 0 : x = –1
o bien
Es decir:
x + 2 = 0 : x = –2
2
4º Opción A
ÁLGEBRA
Esquema resumen
2. ECUACIONES:
– Son propuestas de igualdad que se cumplen para un valor de la variable (o incógnita).
Tenemos que averiguar el valor que debe tener la variable para que la igualdad sea cierta. Para
ello debemos dejar a un lado de la igualdad (o miembro) la variable y al otro los números.
Podemos hacer cualquier operación siempre que la hagamos en los dos miembros de la
ecuación.
– ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
Ejemplo:
3x x−5
−
= x2
2
3
3·3x −2 · x−5
=x 2
6
6·
x19
= x 2· 6
6
Reduzco a común denominador cada miembro y opero.
Multiplico ambos miembros por el número necesario
para simplificar el denominador.
x19−12=6x12−12
Resto en ambos miembros el mismo número para que
desaparezca de uno de ellos.
x7−x =6x−x
Resto en ambos miembros las x necesarias para que
desaparezcan de uno de ellos.
7 5x
=
5 5
Divido en ambos miembros por el número necesario
para que la x quede sola.
7
=x
5
Comprobación de que la solución es correcta. Sustituyo x por el valor obtenido:
7
−5
5
7
−
= 2
2
3
5
22 −18
5
5
17
−
=
2
3
5
Como la igualdad es correcta, la solución es correcta.
22 18 17
 =
10 15 5
6636 102
=
30
30
102 102
=
30
30
3
7
5
3
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Esquema resumen
– ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Operamos (igual que en las anteriores) hasta dejarlas de la forma ax² + bx + c = 0 y
aplicamos la fórmula:
Pueden tener:
x=
−b± b² −4 · a · c
2·a
2 soluciones (si b²–4·a·c>0 )
1 solución DOBLE (si b²–4·a·c=0 )
0 soluciones (si b²–4·a·c<0 )
Ejemplo:
 x3 ²2x=313x
Opero
x² 6x92x=313x
x² 6x92x−3−13x=313x−3−13x
x² −5x6=0
a=1
b=–5
c=6
x=
−−5±−5 ²−4 ·1 · 6
2 ·1
x=
5± 1 5±1
=
2
2
x=
51
=3
2
5−1
x=
=2
2
−b± b² −4 · a · c
2·a
2 soluciones
x=
– ECUACIÓN POLINÓMICA DE GRADO MAYOR QUE 2
Operamos (igual que en las anteriores) hasta dejar un 0 en uno de los miembros, y
factorizamos el polinomio.
Ejemplo:
2x⁴ – 5x³ – 2x² + 5x = 0
x·(2x³ – 5x² – 2x + 5) = 0
Factorizamos el polinomio usando la Regla de Ruffini
x·(x–1)·(x+1)·(2x–5) = 0
Hacemos cada factor igual a 0
x=0
:
x=0
x–1=0
:
x=1
x+1=0
:
x=–1
2x – 5 = 0 :
x=
5
2
4 Soluciones
4
4º Opción A
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Esquema resumen
– ECUACIÓN BICUADRADA
Es un tipo particular de ecuación polinómica que se puede expresar de la forma
ax⁴ + bx² + c = 0.
Ejemplo:
x⁴ – 3x² + 2 = 0
Hacemos el cambio x² = t (así que x⁴ = t²) y tenemos una ecuación de segundo grado
t² – 3t + 2 = 0
a=1
b=–3
c=2
t=
−−3± −3 ²−4· 1 · 2
2· 1
t=
3± 1 3±1
=
2
2
t=
31
=2
2
Deshacemos el cambio: x² =t ⇔ x=± t :
t=
3−1
=1
2
Deshacemos el cambio: x² =t ⇔ x=± t :
x= 2
x=− 2
x=  1=1
x=− 1=−1
4 soluciones
– ECUACIÓN RACIONAL (tiene x en el denominador)
Operamos igual que en las anteriores, factorizando los polinomios del denominador y
sacando mínimo común múltiplo de los denominadores. Los eliminamos multiplicando
miembro a miembro y resolvemos la ecuación resultante.
Ejemplo:
x1
x −1

=2
x²−2x
x
x1
x−1

=2
x ·  x−2
x
m.c.m. = x·(x–2)
 x −1 x−2
x1

=2
x ·  x−2
x · x−2
x1 x²−3x−2
=2
x ·  x−2
Multiplico por x·(x–2) ambos miembros para
simplificar el denominador.
x · x−2·
x 1x² −3x−2
=2 · x ·  x−2
x · x −2
x² −2x3=2x²−4x
5
4º Opción A
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Esquema resumen
x² −2x3−2x²4x=2x²−4x−2x²4x
a=-1 : b=2 : c=3
−x²2x3=0
x=
−2± 2²−4 ·−1· 3
2· −1
x=
−2±4
−2
x=
−24
=−1
−2
x=
−2−4
=3
−2
2 Soluciones
– ECUACIÓN CON RADICALES
Aislamos la raíz en un miembro operando como en los casos anteriores y elevamos al
cuadrado ambos miembros.
Siempre hay que verificar las soluciones porque, al elevar al cuadrado, pueden aparecer
soluciones falsas.
Ejemplo:
x−  2x−3=1
x−1= 2x−3
 x−1 ²=  2x−3
2
x² – 2x + 1 = 2x – 3
x² – 2x + 1 – 2x + 3 = 2x – 3 – 2x + 3
* x² – 4x + 4 = 0
a=1 : b=-4 : c=4
x=
−−4± −4 ²−4 · 1· 4
2 ·1
x=
4±0
=2
2
1 Solución DOBLE
* x² – 4x + 4 = 0
(x – 2)² = 0
También se puede resolver factorizando
x = 2 DOBLE
Verificamos que la solución sea correcta:
2− 2 · 2−3=1
2− 1=1
2–1=1
La igualdad es correcta, así que la solución es correcta
6
4º Opción A
ÁLGEBRA
Esquema resumen
3. SISTEMAS DE ECUACIONES
– Un sistema es un conjunto de ecuaciones con varias variables (o incógnitas), cuya solución es
el valor de las variables que hace que se verifiquen todas a la vez.
– Sistemas de ecuaciones lineales: Todas las ecuaciones que componen el sistema son
polinomios de primer grado.
– Tipos de sistemas según sus soluciones:
a) SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO: Tiene una solución única.
b) SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO: Tiene infinitas soluciones.
c) SISTEMA INCOMPATIBLE: No tiene solución.
– Métodos de resolución de sistemas:
a) MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Despejamos una variable de una ecuación y sustituimos su valor en la otra.
Lo usamos cuando sea fácil despejar una variable de una ecuación pero no de la otra.
Ejemplo:
x y =3
x− y =1
}
x−3− x=1
Despejo y de la primera ecuación: y=3-x
Sustituyo su valor en la segunda y resuelvo la ecuación.
2x−3=1
x=2
Ahora sustituyo el valor de x en la primera ecuación.
y=3−2
y=1
b) MÉTODO DE IGUALACIÓN
Despejamos la misma variable de las dos ecuaciones e igualamos sus valores.
Lo usamos cuando sea fácil despejar la misma variable en ambas ecuaciones o cuando
queramos representar gráficamente el sistema.
Ejemplo:
x y =3
x− y =1
}
3− x=x−1
Despejo y de las dos ecuaciones:
y=3−x
x−1= y
}
Igualo los dos valores de y y resuelvo la ecuación
4=2x
x=2
Ahora sustituyo el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones.
y=3−2 :
y=1
7
4º Opción A
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Esquema resumen
c) MÉTODO DE REDUCCIÓN
Multiplico una o las dos ecuaciones por un número tal que, al sumarlas, una de las
variables desaparezca.
Lo usamos cuando veamos que esta operación es fácil. Es el método más rápido cuando
se puede hacer.
Ejemplo:
}
x y =3 
x− y =1 }
x y =3
x− y =1
Sumo las dos ecuaciones:
2x0=4
2x=4
Resuelvo la ecuación
x=2
Ahora sustituyo el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones.
y=3−2
y=1
O bien vuelvo a aplicar el método de reducción, ahora restando:
}
x y =3 −
:
x− y =1
02y=2
y=1
4. INECUACIONES
– Son propuestas de desigualdad que se cumplen para infinitos valores de la variable (o
incógnita). Tenemos que averiguar el intervalo en el que la desigualdad sea cierta. Podemos
hacer las mismas operaciones que con las ecuaciones, teniendo siempre en cuenta que la x
debe quedar en el lado en que sea positiva.
Ejemplo:
3x x−5
−
≤ x2
2
3
93x−2x−10
≤x2
6
6·
x 19
≤ x 2· 6
6
x19≤6x12
7≤5x
7
≤x
5
:
[
7
,∞
5

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Esquema resumen
– Inecuaciones de segundo grado
x² −5x6≥0
Cambiamos la desigualdad por una igualdad y resolvemos la ecuación:
x² −5x6=0
x=
−−5±−5 ²−4 ·1 · 6
2 ·1
x=2 : x=3
2 Soluciones
Estos dos valores dividen la recta Real en tres intervalos: ( −∞ , 2 ) , (2, 3) y ( 3,∞ )
Damos a la x un valor en el primero de ellos (por ejemplo: x=0)
0² – 5·0 + 6 = 6 > 0
Si
x ∈−∞ , 2 , entonces
Si x=2 ,
Si
x ∈ 2,3 ,
Si x=3 ,
Si
x ∈3, ∞ ,
Esto significa que:
x² – 5x + 6 > 0
entonces
x² – 5x + 6 = 0
entonces
x² – 5x + 6 < 0
entonces
x² – 5x + 6 = 0
entonces
x² – 5x + 6 > 0
CAMBIA DE SIGNO
CAMBIA DE SIGNO
Luego la solución es: −∞ , 2 ]∪ [ 3,∞ 
9