Cap_1 Introduccion

ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UN SISTEMA MECÁNICO
ARO –BARRA CON LIGADURAS NO HOLÓNOMAS
PROYECTO FIN DE CARRERA
Capítulo 1.
Introducción.
1.1- Antecedentes Históricos.
Todos hemos observado en algún momento el curioso movimiento de una moneda
girando sobre una mesa. En el caso más simple, mientras la moneda rueda su centro de
gravedad se mantiene a una cota constante y va descendiendo paulatinamente. En la
etapa final la inclinación del plano de la moneda con la horizontal es prácticamente
nula, la velocidad angular del punto de contacto aumenta drásticamente y el giro de la
moneda al rodar disminuye.
El estudio de este fenómeno tiene sus antecedentes en el siglo XVIII, en los
estudios y experimentos sobre dinámica en superficies inclinadas llevados a cabo por
Galileo y Coulomb. Sin embargo, estos estudios se limitaban al movimiento de esferas
que descendían rodando por una pendiente.
Una de las características que presenta un disco al rodar es su inestabilidad en el
plano lateral. Bajo la influencia de la gravedad, el disco rueda dirigiéndose hacia el lado
en que se produce la inclinación. Presenta un movimiento de precesión giroscópica en
torno al eje vertical en tanto en cuanto el movimiento se mantenga, cayendo en caso de
pararse.
Las primeras investigaciones sobre un disco que rueda sin deslizar sobre una
superficie plana horizontal con simetría dinámica, fueron llevados a cabo por G. Slesser
(1861), N. Ferrers (1872), K. Neumann (1886) y A. Firkandt (1892). Estos estudios
permiten alcanzar, después de varios intentos infructuosos por parte de Neumann y
Lindelöf, las correctas expresiones para las ecuaciones de movimiento. Estas ecuaciones
difieren de las habituales formas mecánicas de Lagrange o Hamilton en el hecho de que
las restricciones no holónomas impuestas muestran que la velocidad del punto del
contacto entre el disco y la superficie plana es en todo instante nula.
Presentado por: D. Juan de Dios Rey Morillo
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S.A. Chaplygin (1897) fue el primero en demostrar la integrabilidad del problema
del disco rodante. Presentó en un informe la reducción del problema al análisis de
cuadraturas hipergeométricas, en el cual también mostró la integrabilidad del problema
de movimiento de un disco que rueda con simetría dinámica sobre un plano horizontal.
En este último caso, el problema se reduce a la integración de ecuaciones diferenciales
de segundo orden. La integración de las ecuaciones de movimiento del disco en
funciones hiperelípticas, fue también presentada en 1900 de manera independiente entre
sí y de Chaplygin por P. Appel y D. Korteweg. En 1903 el mismo resultado fue
redescubierto por E. Gellop, quién hizo uso de las funciones de Legendre.
A pesar de las cuadraturas hipergeométricas explícitas, algunas de las propiedades
cualitativas del movimiento de un disco no se estudiaron durante bastante tiempo. Los
estudios se centraron en le movimiento estacionario y su estabilidad. Algunas de las
propiedades cualitativas se han llegado a comentar en artículos de S.N. Kolesnikov y
Yu.N. Fedorov. El primero muestra que para la mayoría de las condiciones iniciales el
disco nunca llega a caer, mientras que el segundo presenta el estudio del sistema
reducido. Análogos resultados fueron obtenidos para un disco con asimetría dinámica y
para un disco moviéndose en un plano inclinado (problemas no integrables). Entre los
trabajos modernos que analizan el movimiento rodante del disco se encuentran los
correspondientes a O.M. O’Reily, R. Cushman, J. Hermans, D. Kemppainen y A.S.
Kuleshov que se centran en el estudio de las bifurcaciones y la estabilidad de
movimientos estacionarios del disco.
Resultados generales del análisis cualitativo del movimiento de rodadura fueron
obtenidos por N.K. Moshuk. Su trabajo incluye análisis de frecuencia, aplicación de
teoría KAM y propiedades cualitativas básicas del movimiento del punto de contacto. El
punto de contacto realiza un movimiento complejo: traza ciclicamente curvas cerradas
que giran como un sólido rígido, con velocidad angular constante, en torno a un punto
fijo.
Fig 1.1: Disco Rodante inclinado y distintos parámetros.
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1.2- Modelo del Sistema Dinámico.
1.2.1- Descripción del sistema.
El sistema mecánico a investigar en el proyecto consiste en un aro y una barra
solidaria al mismo, dispuesta diametralmente al primero, con densidad de masa
uniforme para ambas partes y considerando que rueda sin deslizar sobre una superficie
plana, sometido exclusivamente a la acción de la gravedad.
La elección de este sistema frente al de un disco homogéneo, sin espesor, viene
determinada por la posibilidad de comparar el efecto que el tensor de inercia, con
momentos de inercia distintos en cada una de la direcciones principales del sistema
mecánico en estudio, tendría sobre el conjunto de las ecuaciones diferenciales
resultantes.
La condición de rodadura sin deslizamiento implica que la velocidad del punto de
contacto será nula en todo momento. Este hecho se reflejará mediante la imposición de
restricciones no holónomas al sistema.
Fig 1.2: Sistema Aro-Barra. Ejes intermedio (2) y local (3).
Fig 1.3: Ejes de referencia global (0) e intermedio (1).
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Fig 1.4: Ejes de referencia intermedios (1) y (2).
1.2.2- Esquema y definición de los parámetros.
En las figuras 1.2, 1.3 y 1.4 se muestran el esquema del conjunto aro-barra, junto
con los parámetros y los ejes de referencia considerados al modelar el sistema.
El sistema es definido mediante el vector de posición del punto de contacto C
respecto al sistema global de referencia O, y tres ángulos:
•ϕ, denominado ángulo de guiñada, es el giro que se produce cuando el punto de
contacto cambia su trayectoria en el plano.
•θ, ángulo de caída.
•ψ, ángulo de rotación del sistema respecto a un eje solidario al mismo, que pasa
por el centro de gravedad y que es perpendicular al plano en el que se encuentra
contenido el primero.
Estos cinco parámetros (ϕ, θ, ψ, xC ,yC ) serán nuestras coordenadas generalizadas
(q1, q2, q3, q4, q5).
1.3- Objetivos del Proyecto.
El objeto del proyecto es, descrito nuestro sistema como un caso particular o
modificado del disco homogéneo sin espesor, obtener las expresiones diferenciales de
movimiento a partir de las ecuaciones de Lagrange, considerando la influencia que
sobre las expresiones halladas tiene el hecho de que los momentos de inercia sean
diferentes en cada uno de los ejes principales de inercia, encontrar los puntos de
equilibrio para los movimientos elementales que se consideren y en último lugar,
obtener de forma cualitativa información sobre la estabilidad de nuestro sistema.
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