Introducción y modelo

En los siglos XVII y XVIII matemáticos como Newton, Leibniz, Bernouilli y sobre
todo Lagrange, que tanto habían contribuido al desarrollo del cálculo infinitesimal,
se ocuparon de obtener máximos y mínimos condicionados de determinadas
funciones.
Posteriormente, el matemático francés Jean Batiste-Joseph Fourier fue el primero
en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que actualmente llamamos
Programación Lineal.
Si exceptuamos al matemático Gaspar Monge, quien en 1776 se interesó por
problemas de este género, debemos remontarnos al año 1939 para encontrar
nuevos estudios relacionados con los métodos de la actual Programación Lineal.
En este año, el matemático ruso Leonidas Vitalyevich Kantorovitch publica una
extensa monografía titulada “Métodos matemáticos de organización y planificación de la
producción”, en la que por primera vez se hace corresponder a una extensa gama de
problemas una teoría matemática precisa y bien definida llamada, hoy en día,
Programación Lineal.
En 1941, se formula por primera vez el problema del transporte, estudiado
independientemente por Kopmans y por Kantorovitch, razón por la cual se le suele
conocer con el nombre de Kopmans-Kantorovitch.
Tres años más tarde, G. Stigler plantea otro problema particular conocido con el
nombre de “régimen alimenticio opcional”. En estos años posteriores a la II Guerra
Mundial, en E.E.U.U. se asumió que la eficaz coordinación de todas las energías y
recursos de la nación era un problema de tal complejidad, que su resolución y
simplificación pasaban necesariamente por los modelos de optimización que
resuelve la Programación Lineal.
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En 1947, G. B. Dantzig formula, en términos matemáticos, el enunciado estándar al
que cabe reducir todo problema de Programación Lineal. Dantzig, junto con una
serie de investigadores del United States Departament of Air Force, formarían el
grupo que dio en denominarse Scoop, siendo una de las primeras aplicaciones de
los estudios del grupo el puente aéreo de Berlín. Posteriormente, se constituyen en
E.E.U.U. distintos grupos de estudio para ir desarrollando las diferentes
ramificaciones de la Programación Lineal.
Respecto al método del Simplex, señalar que su estudio comenzó en 1951 y fue
desarrollado por Dantzig. Este algoritmo es básico en la resolución de los
problemas de Programación Lineal, fundamentales en economía general, economía
de empresas y planificación, aunque en principio sus aplicaciones fueron militares.
De forma general, los problemas de optimización lineal tienen la siguiente
estructura:
•
Existe un cierto objetivo a alcanzar, un beneficio máximo, un coste
mínimo o mínimo período de tiempo del sistema que se estudia.
•
Generalmente, hay un gran número de variables que deben manejarse
simultáneamente y de diferentes tipos.
•
Existen muchas interacciones entre las variables.
•
A veces, existen objetivos contradictorios con el objetivo principal del
problema.
Dicho de otro modo, un problema de Programación Lineal se caracteriza, como su
propio nombre indica, por funciones lineales de las variables que involucra; el
objetivo es lineal en las variables, y las restricciones son también ecuaciones o
inecuaciones lineales en las variables de decisión.
Los campos de aplicación de la Programación Lineal son muy numerosos. Entre
otros, se pueden citar:
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•
El campo de las aplicaciones militares.
•
El campo de las Matemáticas Puras y Aplicadas.
•
El campo de la Economía y, especialmente, de la Economía de la
Empresa. Aquí, las aplicaciones se tienen en numerosos sectores: la
industria química y del petróleo, las industrias alimenticias, la
metalurgia, la producción y distribución de energía eléctrica, la minería,
los transportes, la agricultura y ganadería, etc.
También los tipos de problemas son muy variados, entre ellos están:
•
Las mezclas (industria del petróleo, nutrición de animales, etc.).
•
La afectación del personal (problemas de asignación de tareas).
•
La distribución y el transporte.
•
El almacenaje.
•
Los planes de producción.
•
Los problemas compuestos de inversión, producción, almacenaje y
distribución.
•
Los estudios de circulación.
•
El problema del viajante de comercio.
Para la Teoría Económica, en general, la aportación que ha hecho la Programación
Lineal es muy valiosa, ya que muchas interrelaciones que en principio podían estar
explicadas de forma vaga, están en la actualidad cuantificadas y perfectamente
definidas. El atractivo que la Programación Lineal ofrece en cualquier otro tipo de
disciplinas, hay que buscarlo en la sencillez de las técnicas matemáticas que utiliza,
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la riqueza o posibilidades que ofrece su teoría, y la facilidad computacional que se
tiene para los problemas lineales en contraposición con los no lineales. Al mismo
tiempo, nos permite organizar la información cuantitativa en un modelo de
expresión matemática accesible para expertos en otras profesiones.
Otra razón de la popularidad de la formulación lineal, tanto para el objetivo como
para las restricciones, es que es a menudo la menos difícil de definir, lo cual lleva
en múltiples ocasiones a linealizar objetivos no lineales, con la consiguiente
aproximación de su óptimo.
Por simplicidad en los cálculos y claridad en la exposición, el estudio no se
concretará en una aplicación particular. Los ejemplos que utilizaremos para
describir la técnica puramente formal son de pequeñas dimensiones y
económicamente irreales.
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El problema general de Programación Lineal consiste en la búsqueda del óptimo
(máximo o mínimo) de una función lineal de n variables x j , j = 1, ..., n, ligadas por
relaciones lineales (ecuaciones o inecuaciones) llamadas restricciones.
Entre las restricciones se distinguen:
1. Las del tipo x j ≥ 0 , imponiendo a una parte o al conjunto de las
variables ser no negativas. Usualmente, son llamadas restricciones de
no negatividad.
2. El resto de las restricciones, del tipo que sean, a las que a veces de les
denomina restricciones verdaderas.
Exceptuando el caso de los problemas lineales en números enteros, las variables
pueden tomar cualquier conjunto de valores reales que satisfagan las restricciones.
Precisamente, se tratará de encontrar, de entre estos posibles valores, aquel que de
un mejor valor a la función lineal antes mencionada.
Las restricciones son normalmente inecuaciones o ecuaciones. Se puede suponer,
siempre que sea necesario, que algunas inecuaciones se han multiplicado por – 1,
para que todas las desigualdades tengan el mismo sentido, y que algunas variables
se han sustituido por sus opuestas para que las únicas condiciones suplementarias
impuestas a estas variables sean restricciones de no negatividad.
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2.2. MODELIZACIÓN DEL PROBLEMA
La traducción algebraica que podemos hacer para la formulación del objetivo,
tratará de optimizar (minimizar o maximizar) la función lineal:
f (x1 , , xn ) =
n
∑c x
j
j
j =1
siendo constantes los coeficientes c j .
Del mismo modo, para la formulación del sistema de restricciones:
n
∑a x
ij
j
≥ bi ,
i = 1, ..., p
j
= bi ,
i = p + 1, ..., m
j =1
n
∑a x
ij
j =1
xj ≥ 0,
j = 1, ..., q
x j cualquiera
j = q + 1, ..., n
Un significado apropiado para cada una de las cantidades que intervienen sería el
siguiente:
x j : nivel de actividad j-ésima.
cj :
Por tanto, n denotará el número de
actividades.
margen de beneficio o coste que supone producir una unidad de la
actividad j-ésima.
aij : cantidad del i-ésimo recurso requerido para producir una unidad de la
bi :
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j-ésima avtividad. Por tanto, m denotará el número de recursos.
cantidad disponible del i-ésimo recurso o su requerimiento.