La energía mecánica

EDUCACIÓN SECUNDARIA PARA PERSONAS ADULTAS – NIVEL II
ÁMBITO CIENTÍFICO-TECNOLÓGICO
UNIDAD 1. TEMA 5 – La energía mecánica
La energía mecánica
1.Concepto de energía mecánica
La energía mecánica es la energía que se debe a la posición y al movimiento de un cuerpo, por
lo tanto, es la suma de las energías potencial (gravitatoria y elástica) y cinética de un sistema
mecánico. Expresa la capacidad que poseen los cuerpos con masa de efectuar un trabajo.
En este tema estudiaremos la energía potencial gravitatoria y la energía cinética, así como el
principio de conservación de la energía mecánica cuando sólo entran en juego esos dos tipos de
energía.
2.Energía potencial gravitatoria
2.1.Definición y cálculo
Es la energía asociada a la posición (altura) que tiene un cuerpo con respecto a un nivel de
referencia. Depende de la masa (m) del cuerpo , de la altura (h) y de la aceleración de la
gravedad (g = 9,81 m/s2).
E p = m⋅g⋅h
→
E p = 9,81⋅m⋅h
m
En la fórmula anterior la energía potencial se mide en julios (J),
la masa en kilogramos (kg) y la altura en metros (m).
Ejemplo 1. Calcula la energía potencial, con respecto al nivel de
la calle, que tendrá una persona de 70 kg de masa si se
encuentra en un piso que está a 30 m de altura respecto a la
calle.
Nivel de referencia
h
E p = m⋅g⋅h = 70⋅9,81⋅30 = 20.601 J
Ejemplo 2. Una grúa de construcción sube una carga hasta una
altura de 15 m. Calcula la masa que tendrá la carga si su energía
potencial a esa altura es de 147.150 J.
E p = m⋅g⋅h
Figura 1: Energía potencial
147.150 = m⋅9,81⋅15 → 147.150 = 147,15⋅m
147.150
Despejando la masa : m =
= 1.000 kg
147,15
→
Ejemplo 3. Un montacargas, cuyo sistema de elevación tiene un rendimiento del 100%, consume
50.000 J para elevar una carga de 500 kg a una determina altura h. Calcula a qué altura habrá
subido la carga.
E p = m⋅g⋅h
50.000 = 500⋅9,81⋅h → 50.000 = 4905⋅h
50.000
Despejando la altura : h =
= 10,2 m
4.905
IES Mateo Alemán
→
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UNIDAD 1. TEMA 5 – La energía mecánica
2.2.Gráficas
Vamos a representar los datos de la tabla asociada a la energía
potencial de una persona de 55 kg que está escalando una montaña
de 100 metros de altura. La fórmula de cálculo será:
E p = m⋅g⋅h = 55⋅9,8⋅h = 539⋅h
Cada cierta altura, calculamos la energía potencial que tiene y, así,
confeccionamos una tabla de datos como la que ves (se ha tomado g
= 9,8 m/s2).
Altura (m)
0
10
20
40
60
80
100
Ep (J)
0
5390
10780
21560
32340
43120
53900
Figura 2: Energía potencial
Si representamos los datos de la tabla en un sistema de ejes coordenados, de manera que el eje
x representa la altura y el eje y la energía potencial, obtenemos la siguiente gráfica.
Energía potencial en función de la altura
Energía potencial (J)
60000
50000
40000
30000
20000
10000
0
Altura (m)
Figura 3: Energía potencial en función de la altura
Observamos que se trata de una función lineal, ya que es una recta que pasa por el origen.
También podemos decir que la energía potencial es directamente proporcional a la altura, lo
que significa que si duplicamos la altura, se duplicará la energía potencial.
La expresión genérica de una función lineal es y = a·x, donde a es un valor numérico fijo. En
nuestro ejemplo:
• y = energía potencial = Ep.
• a = m·g = 55·9,8 = 539.
• x = altura = h.
Por tanto, en términos matemáticos la función lineal sería: y = 539·x.
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UNIDAD 1. TEMA 5 – La energía mecánica
Cambiemos ahora de problema. Supongamos que tenemos varios cuerpos, de masas
comprendidas entre 1 y 10 kg y que queremos calcular a qué altura debe estar cada uno de ellos
para tener una energía potencial de 980 J. La fórmula de cálculo será:
E p = m⋅g⋅h
→ 980 = m⋅9,8⋅h → h =
980
9,8⋅m
→ h=
100
m
Calculando la altura (h) para cada valor de masa (m) obtenemos la siguiente tabla:
Masa (kg)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Altura (m)
100
50
33,33
25
20
16,67
14,29
12,5
11,11
10
Si representamos los datos de la tabla en un sistema de ejes coordenados, de manera que el eje
x representa la masa y el eje y la altura, obtenemos la siguiente gráfica.
En este caso obtenemos una
gráfica con forma curva, en lugar
de recta. Es lo que se llama en
matemáticas una función
inversa, porque podemos
observar que para que la energía
potencial sea constante, la
altura y la masa deben ser
inversamente proporcionales.
Es decir, que cuando una se
duplica, la otra se reduce a la
mitad, cuando una se triplica, la
otra se reduce a la tercera
parte, y así sucesivamente.
Curva de energía potencial constante
Altura en función de la masa
100
90
80
70
Altura (m)
60
50
La expresión genérica de una
función inversa es:
40
30
y=
20
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Masa (kg)
Figura 4: Curva de energía potencial constante
y=
IES Mateo Alemán
8
10
a
x
donde a es un valor numérico
fijo. En nuestro ejemplo:
• y = altura = h.
• a = Ep/g = 980/9,8 = 100.
• x = masa = m.
Por tanto, en términos
matemáticos nuestra función
inversa sería:
100
x
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UNIDAD 1. TEMA 5 – La energía mecánica
3.Energía cinética
3.1.Definición y cálculo
Es la energía asociada al movimiento. Depende de la masa (m) y del cuadrado de la velocidad
(v2).
Ec =
m⋅v
2
2
En la fórmula anterior la energía cinética se mide en julios (J), la masa en kilogramos (kg) y la
velocidad en metros/segundo (m/s). Sin embargo, en la práctica se usa más la unidad km/h
cuando se trata de velocidades de vehículos. Por tanto, debemos saber qué relación existe entre
ambas unidades.
1
m
m 1 km 3.600 s 3.600
=1 ⋅
⋅
=
km/h = 3,6 km/h
s
s 1.000 m
1h
1.000
Es decir: 1 m/s = 3,6 km/h. Esto significa que:
•
Para pasar de m/s a km/h hay que multiplicar por 3,6.
•
Para pasar de km/h a m/s hay que dividir por 3,6.
Ejemplo 4. Un fórmula 1 va a 330 km/h y tiene una masa de 640 kg. Calcula: a) la energía
cinética del fórmula 1; b) la masa que debería tener un vehículo para tener la misma energía
cinética circulando a 100 km/h.
330 km/h
a) Energía cinética:
En primer lugar debemos pasar la velocidad de
km/h a m/s. Para ello dividimos por 3,6.
v = 330 km/h =
330
m/ s = 91,67 m/s
3,6
Figura 5: Ejemplo 1
A continuación, aplicamos la fórmula:
Ec =
640 kg
m⋅v 2 640⋅91,67 2
=
= 2.689.084 J
2
2
b) Masa del vehículo: ahora v = 100 km/h y Ec = 2.689.084 J y tenemos que averiguar la masa.
v = 100 km/h =
Ec =
IES Mateo Alemán
m⋅v 2
2
→ 2.689.084 =
100
m/s = 27,78 m/ s
3,6
m⋅27,78 2
2
→ 2.689.084 =
m⋅771,73
2
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2.689.084 = m⋅385,87
2.689.084
= 6.968,9 kg
385,87
→ despejando la masa : m =
Ejemplo 5. Calcula la velocidad (en km/h) a la que circula un automóvil de 2.000 kg de masa,
si su energía cinética es de 900.000 J.
Ec =
m⋅v 2
2
→ 900.000 =
2.000⋅v 2
2
→ 900.000 = 1.000⋅v
2
900.000
= 900 → v = √ 900 = 30 m/ s = 30⋅3,6 km/h = 108 km/ h
1.000
Despejando v 2 : v 2 =
3.2.Gráfica
Vamos a representar gráficamente la energía cinética de un automóvil de 2000 kg de masa para
velocidades comprendidas entre 0 y 144 km/h, es decir, entre 0 y 40 m/s. La fórmula de cálculo
será:
2
Ec =
2
m⋅v
2.000⋅v
=
= 1.000⋅v 2
2
2
Si en la fórmula anterior sustituimos v por diferentes valores comprendidos entre 0 y 40,
obtendremos las energías cinéticas correspondientes. La siguiente tabla muestra los resultados.
v (m/s)
0
5
10
15
20
25
Ec (J)
0
25000
100000
225000
400000
625000
Energía cinética en función de la velocidad
1800000
35
40
900000 1225000 1600000
Si representamos en unos ejes
coordenados los datos de la tabla
anterior obtendremos la siguiente
gráfica. Se trata de una función
cuadrática y su forma genérica es:
1600000
Energía cinética (J)
30
y = a·x2
1400000
1200000
donde a es un número fijo. Se
caracteriza porque cuando la x se
duplica, la y se cuadriplica y así
sucesivamente.
1000000
800000
600000
400000
En nuestro caso:
200000
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Velocidad (m/s)
Figura 6: Energía cinética en función de la velocidad
IES Mateo Alemán
•
y = energía cinética
•
a = m/2 =2.000/2 = 1.000
• x = velocidad
Es decir:
y = 1.000·x2
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4.Principio de conservación de la energía mecánica
Se entiende por energía mecánica (Em) la suma de la energía cinética (Ec), la energía potencial
gravitatoria (Ep) y la energía potencial elástica (Ee).
E m = E c +E p +E e
La energía mecánica de un cuerpo sometido a fuerzas puramente mecánicas se mantiene
constante. Es decir, que la energía mecánica en dos momentos diferentes (1 y 2) es la misma.
E m = E c +E p +E e = cte
→
E m1 = E m2 → E c1 +E p1+E e1 = E c2 +E p2 +E e2
Se entiende por fuerzas puramente mecánicas el peso, las debidas a muelles u otros
elementos elásticos, las de inercia y las reacciones (por contacto con otros cuerpos). No son
válidas, sin embargo, las fuerzas de rozamiento. Es más, cuando existe algún tipo de
rozamiento no se conserva la energía mecánica.
Nosotros vamos a trabajar solamente con casos en los que la energía mecánica es debida a la
suma de la energía cinética y de la energía potencial gravitatoria.
Ejemplo 6. Desde un balcón situado 10 m de altura se cae una maceta de 1,5 kg de masa.
Calcula la velocidad a la que impactará contra el suelo si despreciamos el rozamiento con el aire
durante la caída. Expresa el resultado en km/h.
Para resolver este problema vamos a utilizar el principio de
conservación de la energía mecánica, ya que durante la caída la única
fuerza que actúa sobre la maceta es la de su peso, ya que hemos
despreciado la del aire. La energía mecánica de la maceta tiene que
ser la misma en la posición 1 (balcón) que en la 2 (suelo).
1,5 kg
E c1+ E p1 = E c2 +E p2
En la posición 1 la energía cinética es 0, ya que la velocidad es 0,
mientras que en la posición 2 la energía potencial se anula, ya que la
altura es 0. Luego:
10 m
0+E p1= E c2 +0 → E p1= E c2
Es decir, cuando está en el balcón la energía mecánica de la maceta es
sólo potencial y cuando llega al suelo es sólo cinética. Por tanto, toda
la energía potencial se convierte en energía cinética. Teniendo en
cuenta las ecuaciones de cada tipo de energía:
m⋅v 2
m⋅g⋅h =
2
Sustituyendo:
v2
dividiendo por la masa : g⋅h =
2
→ 2⋅g⋅h = v 2 →
Figura 7: Conservación
de la energía mecánica
v = √ 2⋅g⋅h
v = √ 2⋅9,8⋅10 = √ 196 = 14 m/ s = 3,6⋅14 km/h = 50,4 km/h
Observa que la velocidad a la que llega la maceta al suelo no depende de su masa.
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Ejemplo 7. En una montaña rusa se intenta aprovechar el principio de conservación de la
energía mecánica para convertir la energía potencial gravitatoria en energía cinética y
viceversa. En la práctica el rozamiento de las ruedas de la vagoneta con los raíles y la
resistencia aerodinámica, producen una reducción de dicha energía mecánica a lo largo del
recorrido. Sin embargo, supongamos que en la montaña rusa de la figura se cumpliese el
principio de conservación de la energía, que la masa de la vagoneta con los ocupantes sea de
500 kg y que las diferentes alturas por las que va pasando sean: hA = 40 m, hB = 15 m, hC = 30
m y hD = 20 m. Calcula y muestra en una tabla la energía potencial, la energía cinética y la
velocidad de la vagoneta en los puntos A, B, C y D de la montaña rusa. Finalmente, representa
gráficamente las tres energías (mecánica, potencial y cinética) a lo largo del recorrido.
Figura 8: Energía mecánica en una montaña rusa
a) Energía potencial en cada punto:
E PA = m⋅g⋅h A = 500⋅9,8⋅40 = 196.000 J
E PB = m⋅g⋅hB = 500⋅9,8⋅15 = 73.500 J
E PC = m⋅g⋅hC = 500⋅9,8⋅30 = 147.000 J
E PD = m⋅g⋅h D = 500⋅9,8⋅20 = 98.000 J
b) Energía cinética en cada punto. Para ello aplicamos el principio de conservación de la
energía mecánica:
• En el punto A: E M = E PA+ E CA Pero como : E CA = 0 entoces : E M = E PA = 196.000 J
• En el punto B: E M = E PB +E CB → E CB = E M −E PB = 196.000−73.500 = 122.500 J
• En el punto C: E M = E PC +E CC → ECC = E M −E PC = 196.000−73.500 = 49.000 J
• En el punto D: E M = E PD +E CD → ECD = E M −E PD = 196.000−98.000 = 98.000 J
c) Velocidad en cada punto. Partiendo de la energía cinética calculamos la velocidad:
• En el punto A: v CA = 0
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• En el punto B:
E CB =
√ √
m⋅v 2B 500⋅v 2B
E CB
122.500
=
= 250⋅v 2B → v B =
=
= 22,14 m/s
2
2
250
250
Si la expresamos en km/h:
• En el punto C:
vC =
• En el punto D:
vD =
v B = 3,6⋅22,14 km/h = 79,7 km/h
√ √
√ √
E CC
49.000
=
= 14 m/ s = 3,6⋅14 km/h = 50,4 km/h
250
250
E CD
98.000
=
= 19,8 m/ s = 3,6⋅19,8 km/h = 71,3 km/h
250
250
d) Tabla de resultados:
Puntos
A
B
C
D
Energía mecánica (J)
196000
196000
196000
196000
Energía potencial (J)
196000
73500
147000
98000
Energía cinética (J)
0
122500
49000
98000
Velocidad (km/h)
0
79,7
50,4
71,3
e) Gráficas. En el eje x pondremos los diferentes puntos del recorrido y en el eje y los valores de
las energías (mecánica, potencial y cinética).
Conservación de la energía mecánica
250000
Energías (J)
200000
Energía mecánica (J)
150000
Energía potencial (J)
100000
Energía cinética (J)
50000
0
A
B
C
D
Puntos del recorrido
Figura 9: Conservación de la energía mecánica
Podemos observar cómo la energía potencial varia de la misma forma que la altura en la
montaña rusa, mientras que la energía cinética lo hace de forma inversa, de manera que la suma
de las dos, que es la energía mecánica, permanece constante.
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Ejemplo 8. Una vagoneta de una montaña rusa parte del punto A, situado a una altura h =30 m
con respecto a otro punto B (ver imagen). La vagoneta junto con los pasajeros tiene una masa de
500 kg. Despreciando las pérdidas de energía por rodadura y por aerodinámica, calcula la
velocidad (en km/h) que llevará la vagoneta en el punto B. (Utiliza g = 9,8 m/s2).
Figura 10: Montaña rusa
Se trata de un problema de conservación de la energía mecánica. Es decir, la energía mecánica
de la vagoneta en el punto A tiene que ser la misma que en el punto B.
E mA = E mB
En este caso la energía mecánica es la suma de la energía potencial y de la energía cinética. Por
tanto:
E PA + E CA = E PB + E CB
Sin embargo, en el punto A la energía cinética es 0, porque la velocidad en ese punto es 0. De la
misma manera en el punto B la energía potencial es 0 porque, la altura en ese punto es 0. Por
tanto, llegamos a la conclusión de que toda la energía potencial que tiene la vagoneta en el
punto A se convierte en energía cinética en el punto B.
E PA + 0 = 0 + E CB → E PA = E CB
Sustituyendo cada energía por su fórmula y simplificando:
m⋅g⋅h A =
m⋅v 2
v2
→ dividiendo por la masa : g⋅h A =
→ v 2 = 2⋅g⋅h A → v = √ 2⋅g⋅h A
2
2
Vemos que la velocidad no depende de la masa. Por último calculamos la velocidad:
v = √ 2⋅9,8⋅30 =√ 588 = 24,25 m/ s = 24,25⋅3,6 km/h = 87,3 km/ h
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