P00 Cálculo de errores y representaciones gráf

CÁLCULO DE INCERTIDUMBRES Y REPRESENTACIONES GRÁFICAS
INTRODUCCIÓN
El estudio de la Física es incompleto si no se apoya en experimentos de laboratorio que
permitan la comprensión de los fenómenos en estudio. Con los experimentos de laboratorio se
pretende llegar a la determinación cuantitativa de ciertas propiedades de la materia aunque, en algunas
ocasiones y a este nivel, puede ser suficiente la adecuada observación de aspectos puramente
cualitativos. Para llevar a cabo una determinación cuantitativa de una propiedad física, es necesario el
empleo de instrumentos de medida. Los valores de las magnitudes obtenidas con éstos, sea cual sea
su complejidad y sensibilidad, siempre tienen asociadas unas imprecisiones que denominamos
incertidumbres experimentales (o errores experimentales, de forma no muy afortunada). La
adecuada valoración y acotación de estas incertidumbres es lo que se detalla en estas páginas
iniciales.
La estimación de la incertidumbre que acompaña a una medida, o al resultado de un
experimento, no siempre es sencilla. Ello es debido a que en el proceso de medida intervienen un gran
número de factores externos que no podemos controlar, los cuales afectan de forma imprevisible al
resultado de aquél.
Si las mediciones se hacen directamente, la incertidumbre dependerá, tanto de la
sensibilidad del aparato utilizado, como de la habilidad y cuidado empleados por el experimentador.
Pero si la magnitud física a determinar proviene de otras magnitudes a través de una dependencia
funcional, el problema de la precisión del resultado se complica y debe ser tratado mediante criterios
estadísticos.
CLASIFICACIÓN DE LAS INCERTIDUMBRES
Todas las medidas experimentales vienen afectadas de cierta imprecisión inevitable, y uno
de los objetivos del cálculo de incertidumbres consiste, precisamente, en acotar el valor de dichas
imprecisiones: las incertidumbres experimentales.
Dado que el valor de las magnitudes físicas se obtiene experimentalmente como resultado
de medidas, debe admitirse como un postulado físico el hecho de que resulta imposible llegar a
conocer el valor exacto de una magnitud, ya que los procesos experimentales de comparación
con el patrón correspondiente en las medidas directas vienen siempre afectados de imprecisiones
inevitables. Por ello, en toda medida hemos de contentarnos, forzosamente, con un valor aproximado
de la magnitud, que resulta acotado por la sensibilidad (incertidumbre absoluta) del método de
medida utilizado.
i
ii
Técnicas experimentales en Física General
Errores sistemáticos y errores accidentales.
Los errores de medida pueden clasificarse en errores sistemáticos y errores
accidentales.
Los errores sistemáticos son aquellos que se producen, bien por un defecto de los
aparatos de medida utilizados, bien por su empleo erróneo por el observador (incorrecta calibración,
posición del cero, etc). Estos errores pueden eliminarse modificando el instrumento de medida o el
método de trabajo, según el caso. En lo que sigue, no nos ocuparemos de este tipo de errores que
con frecuencia son difíciles de detectar.
Los errores accidentales son aquellos que se deben a causas imponderables y, por tanto,
imposibles de controlar. Por ejemplo, pequeñas vibraciones producidas por algún agente externo al
experimento, fluctuaciones de las variables termodinámicas de estado, o la imperfección del método
aplicado. Estos errores pueden afectar, en cualquier sentido, al valor final de la medida. Para
controlar el efecto pernicioso que introducen en la medida, debemos repetir la medida de la magnitud
física en estudio y tomar como valor de ésta la media de los valores medidos. Este valor medio
tenderá, estadísticamente, al valor de dicha magnitud.
Incertidumbre absoluta e incertidumbre relativa
Como consecuencia de la imprecisión inevitable de la medida de una magnitud, resulta
imposible conocer el verdadero valor de la misma. Así pues, el resultado de cualquier medida, x , no
deberá ser nunca un simple valor, sino que éste irá acompañado de su correspondiente cota de
incertidumbre, denominada sensibilidad o incertidumbre absoluta, σ ( x)
Ahora bien, la incertidumbre absoluta no siempre es significativa. Una incertidumbre de 1
cm en la medida del diámetro de una esfera hueca pequeña es inadmisible, mientras que la misma
incertidumbre en la medida de un campo de fútbol carece de importancia. Por ello, es preciso recurrir
a la incertidumbre relativa. Ésta se define como el cociente entre la incertidumbre absoluta y el
correspondiente valor de la magnitud:
σ r ( x) =
σ ( x)
x
[1]
Es evidente que cuanto menor sea la incertidumbre relativa, más precisa habrá sido la medida
realizada. Las incertidumbres relativas se suelen expresar en porcentaje, es decir, la relación anterior
σ (x )
se utiliza en la práctica en la forma: σ r ( x ) =
100 %.
x
Cálculo de incertidumbres
iii
Expresión de las medidas
Una vez conocida la medida y su incertidumbre absoluta, el resultado se expresa en la forma
x ± σ ( x ) Unidades
[2]
teniendo en cuenta las siguientes observaciones:
a) La incertidumbre absoluta debe darse con una sola cifra significativa, a no ser que ésta
sea 1, en cuyo caso hay que dar dos cifras (suprimiendo las cifras siguientes y aumentando
en una unidad la última cifra si la primera suprimida es ≥ 5).
b) El valor medio debe tener el mismo orden de aproximación que su correspondiente
incertidumbre absoluta.
Como ejemplo, obsérvense las dos columnas de valores siguientes:
INCORRECTOS
CORRECTOS
3.418 ± 0.123
3.42 ± 0.12
6.3 ± 0.085
6.30 ± 0.09
46288 ± 1553
46300 ± 1600 = (4.63 ± 0.16)×104
428.351 ± 0.27
428.4 ± 0.3
0.01683 ± 0.0058
0.017 ± 0.006 = (1.7 ±0.6)×10-2
DETERMINACIÓN DE INCERTIDUMBRES
Magnitudes medidas directamente
Incertidumbre absoluta de cada medida
Si la medida directa se realiza con un instrumento de poca sensibilidad (por ejemplo, con
una regla graduada en milímetros para una medida de distancias relativamente cortas), al repetir la
medida encontraremos siempre el mismo resultado. En este caso, no merece la pena hacer varias
medidas, sino que realizaremos únicamente una sola, que es conveniente comprobar una segunda
vez para detectar algún posible error sistemático. Por lo general, aunque no siempre, se toma como
incertidumbre de la medida el valor de la división más pequeña que tiene el instrumento utilizado.
Como ejemplo de que no siempre la sensibilidad de un aparato es el valor de la división más
pequeña de su escala, véase la Figura 1, cuya lectura no es 16.2 ± 0.1 div (indicando que el intervalo
de imprecisión abarcaría desde 16.1 hasta 16.3, que es a todas luces excesivo) sino que su lectura
iv
Técnicas experimentales en Física General
puede darse como 16.25 ± 0.05 div, que sólo abarca desde 16.2 hasta 16.3, intervalo donde, con
total seguridad, está situado el índice del aparato al que corresponde la escala.
Figura 1.
Si el instrumento de medida es de mucha sensibilidad, al repetir una medida podemos
encontrar valores diferentes. Un ejemplo típico lo constituye la medida de un intervalo de tiempo con
un cronómetro digital que aprecie centésimas de segundo, pero arrancando y deteniéndolo
manualmente. Es evidente que la imprecisión de cada medida no es aquí de una centésima de
segundo: depende de la velocidad de reacción del experimentador. En estos casos, deben realizarse
varias medidas, xi , i = 1, L, N , a partir de las cuales se calcula el valor medio, x , definido como:
N
x=
∑x
i =1
i
N
[3]
Incertidumbre absoluta del valor de una magnitud de la que se han realizado varias medidas
Para conocer el número de medidas que es necesario realizar en la determinación
experimental de una magnitud física utilizaremos el siguiente procedimiento:
a) En primer lugar, se realizan 3 medidas y se calcula su valor medio x .
b) Luego, se calcula el porcentaje de dispersión, D:
D=
xmax − xmin
× 100%
x
c) Por último, se deduce el número de medidas a realizar de la siguiente manera:
Dispersión de las tres primeras
medidas
D < 2%
2% < D < 8%
8% < D < 12%
D > 12%
Número total de medidas que deben
realizarse
Bastan las tres medidas realizadas
Hay que hacer 3 medidas adicionales
Hay que realizar hasta 15
Hay que obtener una distribución de Gauss
[4]
Cálculo de incertidumbres
v
La incertidumbre absoluta del valor medio, σ ( x ) , se establece del siguiente modo:
1. Se han realizado hasta 3 medidas. Se calculan la incertidumbre absoluta media y la
incertidumbre de dispersión:
N
σ ( x) =
∑σ ( x )
i
i =1
N
σD =
xmax − xmin
[5]
4
Por último, se asigna a x como incertidumbre absoluta de la medida la que haya resultado
mayor de las dos: la incertidumbre media, que representa la sensibilidad del aparato, o la
incertidumbre de dispersión calculada.
2. Se han realizado más de tres medidas. En este caso es conveniente evaluar la
incertidumbre de dispersión como el valor medio del valor absoluto de las dispersiones
N
individuales de las medidas, es decir, σ D =
∑x
i =1
i
−x
. Al igual que en el caso anterior, se
N
compara esta incertidumbre de dispersión con la incertidumbre media y se asigna a la
medida x aquel valor que haya resultado mayor de las dos.
3. Si el número de medidas es grande ( N > 6 ), hay que hallar la desviación estándar
s=
1 N
∑ ( xi − x) 2 =
N − 1 i =1
(
N
x2 − x 2
N −1
)
y se toma como incertidumbre absoluta del valor medio σ ( x ) =
[6]
s
N
Determinación de la incertidumbre de una magnitud medida indirectamente
En muchos experimentos, las magnitudes a determinar no se miden directamente, sino que se
obtienen a través de una ecuación físico-matemática, de otras magnitudes que sí se miden
directamente. Puede ocurrir que de alguno de los datos, aunque conocido su valor, se desconozca su
incertidumbre (por ejemplo, si en la fórmula aparece el valor de la aceleración gravedad): la solución
a este problema se alcanza con tres métodos operativos distintos denominados problema directo,
semidirecto e inverso, tal como se describe a continuación.
vi
Técnicas experimentales en Física General
Problema directo
Se presenta si en la fórmula que relaciona la magnitud problema, q , con los datos, x, y,L ,
están todos totalmente determinadas en su valor y en su incertidumbre. En general, la forma de la
ecuación que relaciona dichas magnitudes puede escribirse en la forma:
q = f( x , y ,..., t )
[7]
donde q es la magnitud que depende de las variables independientes x, y,L , t cuyos valores y
incertidumbres conocemos, x ± σ ( x ), y ± σ ( y),L . Para calcular la incertidumbre absoluta,
utilizaremos la regla de la propagación cuadrática de incertidumbres. Si las incertidumbres son
aleatorias e independientes se tiene:
2

∂ q
 ∂q
∂ q

σ (q ) =  σ ( x)  +  σ ( y ) + L +  σ (t ) 
∂ x
 ∂ y
∂t


2
2
[8]
Como ejemplos de propagación de incertidumbres, damos en la Tabla 1 casos particulares que son
los más usuales y que el alumno debe deducir.
Tabla 1.- Propagación de incertidumbres
Función
Incertidumbres variables
independientes
Incertidumbre
variable dependiente
q = kx
x ± σ ( x)
σ (q ) = k σ (x )
q = ± x ± y ±L
x ± σ ( x)
y ± σ ( y )L
q = kxα y β L
x ± σ ( x)
y ± σ ( y )L
σ (q ) =
σ r (q ) =
[σ (x )]2 + [σ ( y )]2 + L
[ασ r ( x)]
2
+ [ βσ r ( y ) ] +L
2
Problema semidirecto
Se presenta si en la fórmula que relaciona la magnitud problema, q , con los datos, existen
algunos de estos, m, nL , cuyas incertidumbres son desconocidas. Si la fórmula citada presenta la
forma explícita: q = f( x , y ,L, m, n,L) , puede escribirse:
2

∂ q
 ∂ q
∂q
 ∂ q

σ ( q) = 
σ ( x)  + 
σ ( y)  + L + 
σ ( m)  +  σ ( n)  + L
∂ x
 ∂ y
∂ m
 ∂ n


2
2
2
[9]
Cálculo de incertidumbres
vii
Para evitar, en lo posible, que las incertidumbres introducidas al elegir la sensibilidad de
medida de las magnitudes con incertidumbre desconocida influyan de forma notable en la
incertidumbre de la magnitud problema q , se opera como sigue.
1. Se sustituyen en la expresión [9] los valores de todas las magnitudes e incertidumbres
conocidas; se tiene así en esta expresión unos términos totalmente determinados cuya suma
resulta un número A , y otros k términos sin determinar, ya que falta conocer las
incertidumbres correspondientes.
2
∂q
∂ q

∂q
∂z
σ (q ) =  σ ( x )  +  σ ( y ) + L − + 
σ (m) +  σ (n ) + L
∂x
∂m
14444444444444244444444444443
 ∂ y
14444444444444244444444444443
 ∂ n


2
2
2
2
[10]
kT
A
2. Cada uno de estos k términos sin determinar se sustituye por una incógnita T , común para
todos ellos, con lo que la expresión [10] toma la forma:
σ 2 (q) = A + kT
[11]
3. Si exigimos que se cumpla la condición
kT = pA ,
[12]
eligiendo para p un valor adecuado se consigue que la incertidumbre introducida en q por
los k términos sin determinar sea pequeña frente a la contribución introducida por las
incertidumbres conocidas incluida en A . Sustituyendo [12] en [11] se tiene
σ (q ) =
( 1+ p ) A
[13]
como valor de la incertidumbre buscada para q .
3. Por último, resulta que, una vez elegido p , a partir de la ecuación [12] se obtiene el valor
A
desconocido de T = p . Al igualar ahora cada uno de los k términos sin determinar de la
k
expresión [10] a este valor de T hallado, puede despejarse cada una de las incertidumbres
desconocidas
σ ( m), σ (n), L , con las que deberemos medir las magnitudes
correspondientes.
viii
Técnicas experimentales en Física General
Problema inverso.
A veces, interesa obtener el valor de la magnitud problema, q , con incertidumbre absoluta ya
prefijada, y, en este caso, debe operarse así:
1. A partir de la expresión [10] que da la incertidumbre absoluta de q , se sustituyen con sólo
dos cifras significativas tanto la incertidumbre prefijada de q como los valores de las
magnitudes y las incertidumbres conocidas.
2. Como antes, los términos totalmente determinados se agrupan en su suma A y cada uno de
los restantes se sustituye por una misma incógnita T , resultando igualmente:
σ 2 (q ) − A
σ (q) = A + kT → T =
k
2
[14]
pero en la que ahora se conoce el valor de σ ( q ) .
3. Conocido T , se opera como en el caso anterior para determinar las incertidumbres
desconocidas de los datos para acotar sus valores. Como es natural, el problema carece de
solución cuando A > σ 2 (q ) .
CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS
Muchos de los fenómenos físicos que se pueden estudiar experimentalmente en el
laboratorio llevan a una distribución de valores que se pueden representar gráficamente. La
representación gráfica de éstos supone una gran ayuda visual para la interpretación física de los
fenómenos, ya sea a través del reconocimiento de la forma matemática de la curva resultante, o a
través del estudio de sus características.
Para que una representación gráfica sirva para estos fines, es preciso que se realice
siguiendo una serie de criterios generales que se expresan a continuación.
1. La mayor parte de las representaciones gráficas de datos experimentales se hacen
empleando papel milimetrado. En particular, éste es el tipo de papel que debe emplearse
en todas las gráficas que aparecen en las prácticas de este curso.
2. En el caso en que la ley física estudiada adquiera la expresión matemática y = log x ó
y = ex , se emplea papel semilogarítmico (en uno de los ejes presenta una escala
logarítmica). Si dicha ley es de la forma y = x p , se utiliza papel doble logarítmico (con
escala logarítmica sobre ambos ejes).
3. Para el correcto trazado de los ejes deben tenerse en cuenta las siguientes indicaciones:
a) La gráfica ha de llevar un título suficientemente explícito en la parte superior o a pie de
figura.
Cálculo de incertidumbres
ix
b) Hay que dibujar los dos ejes dentro de la zona milimetrada. Los márgenes no deben
ser empleados como ejes.
c) En el eje de abscisas se sitúa la variable independiente del fenómeno estudiado y en
el de ordenadas la correspondiente variable dependiente.
d) En el extremo de ambos ejes deben aparecer indicadas las magnitudes representadas y
sus correspondientes unidades entre paréntesis. Por ejemplo: v (m/s).
e) Los ejes se marcan de modo que las escalas sean claras y regularmente distribuidas
(módulos 1, 2, 5, 10,...), de modo que abarquen todo y sólo el intervalo
correspondiente de valores experimentales.
f) Los datos experimentales no deben anotarse sobre los ejes.
4. Los datos experimentales deben figurar en el gráfico mediante una marca clara (aspa, cruz,
punto, rectángulo,...) que lo identifique con precisión, alrededor del cual se dibujan las
barras de incertidumbre, dos segmentos rectilíneos vertical y horizontal que abarcan desde
y − σ ( y) hasta y + σ ( y ) la primera y desde x − σ ( x ) hasta x + σ ( x ) la segunda.
5. Las gráficas deben ser líneas finas y continuas, nunca quebradas. Las líneas quebradas
provienen de la unión mediante segmentos de puntos consecutivos y sólo pueden servir para
guiar la mirada. La ley física vendrá representada por la curva que mejor se ajuste al
conjunto de valores experimentales.
T 2 (s 2)
La Figura 2 es un ejemplo típico de cómo debe presentarse una gráfica.
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0
50
100
150
200
250
300 350
m (g)
Figura 2.- Ejemplo sencillo de representación gráfica
x
Técnicas experimentales en Física General
Determinación de la incertidumbre sobre una gráfica
Si no disponemos de la expresión matemática que relaciona las magnitudes físicas, q = f(x ) ,
pero si de una representación gráfica de dicha dependencia, la incertidumbre σ ( q ) puede deducirse
directamente del gráfico si se conoce la incertidumbre σ ( x) .
Para ello, se obtienen los valores x ± σ ( x ) de la variable independiente que nos llevarán
directamente, a través de la gráfica, a los correspondientes qmax y qmin de la variable dependiente
(Figura 3). Estimaremos la incertidumbre de q con la expresión:
σ ( q) =
qmax − qmin
2
[15]
Figura 3.- Determinación de la incertidumbre sobre una gráfica
INTERPOLACIÓN
Es frecuente que se necesite obtener valores de algunas magnitudes físicas a partir de tablas
numéricas. Podemos clasificar éstas en dos tipos: de simple entrada, cuando la variable dependiente
q es sólo función de una variable independiente x , es decir, q = f( x) , y de doble entrada, cuando
q depende de dos variables independientes q = f( x , y ) .
Cálculo de incertidumbres
xi
Interpolación en tablas de simple entrada
Nuestro objetivo es determinar el valor de q para un valor de x no incluido en la tabla. Se
comienza por encontrar aquellos valores de x entre los que se encuentra nuestro valor no tabulado.
Así pues, si x1 < x < x2 , la tabla presentará la forma de la Tabla 3.
Tabla 3.- Tabla de simple entrada
x
...
...
q
x1
q1
x2
q2
...
...
Considerando que para el intervalo de x1 a x2 la expresión q = f( x) puede aproximarse
linealmente, podremos escribir:
q = q1 +
q2 − q1
( x − x1 )
x2 − x1
[16]
que permitirá determinar q en función de x. La incertidumbre aproximada de q es:
σ ( q) =
q2 − q1
σ ( x)
x2 − x1
[17]
Interpolación en tablas de doble entrada
Se quiere encontrar el valor de q = f( x , y ) a partir de una tabla de doble entrada, para
valores de x tal que x1 < x < x2 y para valores de y tal que y1 < y < y2 , tal y como se ejemplifica
en la Tabla 4.
Tabla 4.- Tabla de doble entrada
y
x
...
x1
x2
...
...
...
...
...
...
y1
...
q11
q21
...
y2
...
q12
q 22
...
...
...
...
...
...
xii
Técnicas experimentales en Física General
Admitiendo, como antes, una relación aproximadamente lineal entre dichos intervalos, se
calcula z mediante la expresión aproximada:
q = q11 +
q21 − q11
q −q
( x − x1 ) + 12 11 ( y − y1 )
x2 − x1
y2 − y1
[18]
y la incertidumbre viene dada en este caso, por la expresión:
2
2
q −q
  q − q11

σ (q ) =  21 11 σ ( x)  +  12
σ ( y) 
x
−
x
y
−
y
 2
1
  2
1

[19]
AJUSTE DE LA RECTA POR EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
Es muy frecuente que la representación de valores experimentales a que se hace referencia
en apartados anteriores, dé como resultado una distribución de puntos rectilínea (Figura 2). En este
caso, es importante deducir matemáticamente la ecuación de la línea recta que mejor se ajusta a
todos los puntos experimentales.
Obtención de la recta que mejor se ajusta
La forma de dicha recta es:
y = Ax + B
[20]
en la que tendremos que determinar los parámetros A (pendiente) y B (ordenada en el origen), de
forma que dicha recta cumpla la condición de que los puntos experimentales queden distribuidos a
ambos lados de la recta, y además lo más cercanos posible a ésta.
Supongamos que hemos realizado un experimento y hemos tomado N valores
experimentales de la variable independiente x y de la variable dependiente y; esto es:
( x1 , y1 ) ; ( x2 , y2 ) ;L; ( xN , y N )
Los valores de la pendiente, A, y de la ordenada en el origen, B, se obtienen imponiendo la
condición de que la función objetivo:
N
S ( A , B ) = ∑  yi − ( Axi + B) 
2
[21]
i =1
tome un valor mínimo. Derivando esta expresión respecto a A y B y aplicando la condición de mínimo
se encuentra que
Cálculo de incertidumbres
A=
NS xy − S x S y
B=
∆
S xx S y − S xS xy
xiii
[22]
∆
siendo
N
S x = ∑ xi ;
i =1
N
S y = ∑ yi ;
i =1
N
N
S xx = ∑ x2i ;
S xy = ∑ xi yi ; ∆ = NS xx − S x S x
i =1
[23]
i =1
y N es el número total de puntos empleados para el ajuste.
Si la recta pasa por el origen de coordenadas, el problema se simplifica notablemente,
puesto que al ser B = 0 , resulta, como fácilmente puede comprobarse, que
A=
S xy
[24]
Sxx
proporcionando esta ecuación directamente la pendiente de la recta.
Para dar una idea de la dependencia entre las variables, se suele utilizar el denominado
coeficiente de correlación r. Dicho coeficiente expresa el grado con que se ajusta la nube de puntos a
la línea recta obtenida. Su valor está comprendido entre ±1. Cuanto más lejos se halle del cero, y por
tanto más próximo a uno en valor absoluto, mejor será el ajuste. La expresión para determinar el
coeficiente de correlación viene dada por:
r=
NSxy − Sx S y
∆ NS yy − S y S y
N
siendo
S yy = ∑ yi
2
i=
[25]
1
Incertidumbre en las medidas de y
En el proceso de medida de los pares de valores ( xi , yi ) nos habremos formado
seguramente alguna idea acerca de sus incertidumbres. En cualquier caso, saber como estimar la
incertidumbre de los valores yi a partir de su análisis es una cuestión importante. Aunque los valores
yi no son N medidas de la misma cantidad y por lo tanto no podemos estimar su incertidumbre a
partir de la dispersión de sus valores, si podemos estimar fácilmente su incertidumbre σ ( y) . Las
desviaciones  yi − ( Axi + B )  sugieren que un buen estimador de la incertidumbre σ ( y) puede ser:
σ ( y) =
1
S(A , B) =
N −2
2
1 N
 yi − ( Axi + B ) 
∑
N − 2 i =1
[26]
xiv
Técnicas experimentales en Física General
Determinación de las incertidumbres de A y B
Una vez conocidos A, B y σ ( y) , vamos a proceder a estimar sus incertidumbres absolutas.
Se demuestra que las incertidumbres de A y B pueden estimarse usando las expresiones:
σ A = σ ( y)
N
∆
σ B = σ ( y)
S xx
∆
[27]
Con frecuencia, fundamentalmente si el número de puntos es elevado y las incertidumbres
parecidas, para la determinación de los errores de A y B es suficiente aplicar el método de Hibbie:
1
−1
2
2
2 r
σA = A
N −2
σ B2 = σ A2
S xx
N
[28]
Es interesante efectuar los ajustes por mínimos cuadrados con detalle, ya que ello nos
permitirá comprobar si los datos experimentales obtenidos presentan alguna anomalía, si hay algún
valor incorrecto, si hay comportamientos no lineales, etc.
Por ello, no es aconsejable introducir los datos en una calculadora y tomar, sin más, los
valores de A y B que aquella nos proporcione. Mucho más instructivo es efectuar los cálculos “a
mano” o mediante una hoja de cálculo.