ψ ξ ξ ξ ψ

1.2.7
Principio de Incertidumbre
Volveremos otra vez a la discusión de la relación de incertidumbre, esta vez en términos de las características numéricas de los
observables. El objetivo principal de la discusión que vamos a presentar a continuación es mostrar que, por un lado, las relaciones de
incertidumbre son fundamentales para mantener la estabilidad de los sistemas cuánticos y están relacionadas directamente con las
propiedades ondulatorias de la materia a nivel microscópico, y por otro lado se surgen de manera rigurosa desde el aparato matemático
que se usa para calcular los valores promedios de los observables.
Las incertidumbres de la coordenada x y del componente conjugado del momento lineal p x están definidos como:
x 2 
x 
x

2
2
 x2  x ;
px 2 
 px 
px

2
 px 2  px
2
(1)
Sin perder la generalidad de demostración presentada a continuación podemos poner en nuestras fórmulas x  0 y px  0 . Esto se
logra mediante de desplazamiento del origen de coordenadas en los espacios de coordenadas cartesianas y de los momentos lineales
hacia los puntos correspondientes. En estos sistemas de coordenadas las fórmulas (1) se simplifican:
x 2  x 2 ;
px 2  px 2
(2)
En un estado dado por la función de onda   x, t  para un movimiento en la dirección x los valores esperados (2) según las fórmulas
(5) y (5a) de la sección anterior se calculan como:

x 2  x 2    *  x, t  x 2  x, t dx;

px 2  px 2  
2
(3)

2
2
  *  x, t     x, t  x dx 

2

  *  x, t  x   x, t  x dx 

En ese último caso para transformar la integra de una función
integración por partes (¡demuéstrelo!).
x 2
2

   x, t  x dx
2
(3a)

con la segunda derivado hemos utilizando el método de
Nuestra tarea consiste en establecer una relación posible entre y p x 2 . Con este fin
consideremos la integral:

2

I       x   x, t    x, t  x dx     x  *  x, t   *  x, t  x     x   x, t    x, t  x  dx


(4)
Aquí  es una variable real. Haciendo unas transformaciones algebraicas sencillas la expresión (4) para la función I   se reduce a la
siguiente:
I    A 2  B  C  0
(5)
donde los coeficientes A, B, C se definen como:

A    *  x, t  x 2  x, t  dx  x 2  x 2





(6)
B    x   *  x, t   x, t  x dx    *  x, t   x, t  dx  1




2
C    *  x, t  x     x, t  x  dx     x, t  x dx  p x 2
2

0
La integral para el coeficiente B   x, t  
x
arriba fue transformada usando el método de integración por partes y la condición Como la función subintegral de la expresión (4) es
no-negativa según la definición entonces para cualquier valor del parámetro  la integral es decir la expresión (5) deben ser no negativos
y por lo tanto los coeficientes de la función cuadrática deben satisfacer la condición
B2  4 A  C  0
Esta condición se cumple cuando según los resultados de cálculo (6)
x 2  px 2  2 4
(7)
Esta es la relación de incertidumbre dada en una forma rigurosa en la cual esta se utilizará durante todo nuestro curso a continuación.
Se ve que las incertidumbres x 2 y px 2 no pueden anularse simultáneamente y cuando incertidumbre de una de estas variables
decrece la incertidumbre de otra crece. Por eso, no se puede imaginar ningún experimento en el cual sería posible medir con absoluta
precisión la coordenada x y el momento lineal p x . Este resultado muestra la imposibilidad de la descripción del movimiento de
micropartículas en los términos de trayectorias. De esta manera la Mecánica Cuántica examina un nuevo tipo de objetos
fundamentalmente nuevos que no se puede describir usando leyes de mecánica clásica para masas puntuales. El principio de
incertidumbre consiste en la afirmación que incertidumbres surgen cuando es imposible medir parámetros clásicos para objetos de una
naturaleza diferente.