4. Coordenadas - Mauricio Contreras
Anuncio
4. Coordenadas Matemáticas 4º ESO Opción B 1. Sistema de referencia. Coordenadas. Punto medio de un segmento 2. Ecuaciones de rectas. Paralelismo. Distancias 3. Ecuaciones de primer grado 4. Sistemas de ecuaciones 5. Inecuaciones 94 Coordenadas 1. Sistema de referencia. Coordenadas. Punto medio de un segmento COORDENADAS Una manera de localizar sin ambigüedad los puntos de un plano consiste en definir un sistema de referencia formado por un punto elegido arbitrariamente (denominado origen del sistema) y dos rectas (denominadas ejes y también arbitrarias) que pasan por el origen. Cada punto del plano queda identificado entonces por dos números (llamados coordenadas del punto). Así, en la siguiente figura, el sistema de referencia está formado por las rectas señaladas en grueso, el origen es el punto O y las coordenadas del punto A son: A=(1, 2). Se suele llamar X al eje horizontal e Y al otro eje. De esta forma, las coordenadas de cualquier punto P se escriben así: P=(x, y). La primera coordenada (x) se llama abcisa y la segunda coordenada (y) se llama ordenada del punto P. Si se cambia el sistema de referencia, es decir, si se subsituyen los ejes (y por tanto el origen) elegidos inicialmente por otros, la pareja de números que identifica cada punto del plano cambia también. Por ejemplo, las coordenadas del punto A anterior se convierten en A=(2, 4) si utilizamos el sistema de referencia de origen O'. 95 Matemáticas 4º ESO Opción B a) Halla, en el sistema de referencia O, las coordenadas de los puntos A, B, C, D y E. b) Determina las coordenadas de los puntos O, A, C, D y E cuando se toma como origen el punto B y como ejes las dos rectas que pasan por B. c) Si mantenemos la trama de la figura, ¿qué sistema de referencia ha de utilizarse para que el punto A tenga coordenadas A=(4, 5) ?. PUNTOS Y VECTORES a) Sabiendo que el punto A tiene por coordenadas (2, 3) y que el vector AB tiene por componentes (3,5), halla las coordenadas del extremo B. b) Halla las componentes del vector cuyo origen es el punto A=(3, 1) y cuyo extremo es el punto B=(2,3). 96 Coordenadas PARALELOGRAMO Los puntos A=(2, 1), B=(6, 2) y C=(7, 5) son vértices de un paralelogramo. Halla las coordenadas del cuarto vértice, D. PUNTO MEDIO Consideramos los puntos A=(a, b) y B=(c, d). Si M=(x, y) es el punto medio del segmento 1 AB, entonces se cumple: AM AB . 2 Ahora bien, AM=(xa, yb) y AB=(ca, db). Por tanto: ca ca ac x a x 2 2 2 . d b d b b d y b y b y 2 2 2 xa ac bd , Las coordenadas del punto medio son: M= , es decir la media aritmética de las 2 2 coordenadas de los extremos. a) Halla el punto medio del segmento AB, siendo A=(1, 3) y B=(5, 2). b) Halla las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo ABC, si las coordenadas de los vértices son: A=(2, 3), B=(3, 0) y C=(4, 2). CUADRILÁTERO Sean A=(1, 1), B=(7, 3), C=(5, 4) y D=(3, 6) los vértices de un cuadrilátero. Halla las coordenadas de los puntos medios de sus lados (M, N, P, Q). ¿Qué figura es el polígono MNPQ?. 97 Matemáticas 4º ESO Opción B 2. Ecuaciones de rectas. Paralelismo. Distancias RECTAS a) ¿Cuántas rectas pasan por un punto P?. b) ¿Cuántas rectas tienen la dirección de un vector v ?. c) ¿Cuántas rectas pasan por un punto P y tienen la dirección de un vector v ?. d) ¿Cuántas rectas pasan por dos puntos concretos, P y Q?. e) ¿Cuántas rectas pasan por un punto P y forman un ángulo con el eje OX?. DIBUJA RECTAS Dibuja en un sistema de referencia cartesiano: a) La recta que forman los puntos cuya primera coordenada es 2. b) La recta que forman los puntos cuya segunda coordenada es 3. c) La recta formada por todos los puntos que tienen la primera coordenada igual a la segunda. d) La recta formada por todos los puntos que verifican que su primera coordenada es igual a la opuesta de la segunda. DETERMINACIÓN DE UNA RECTA La pendiente de una recta es una medida de su inclinación. Decir que una carretera tiene una pendiente M del 10% equivale a decir que subimos una distancia igual al 10% de la que avanzamos, es decir, por cada 100 metros que avanzamos en horizontal, subimos 10 metros. 98 Coordenadas Con esta información podemos obtener el ángulo de inclinación de la carretera, ya que se cumple: M= tan α 10 0'10 = INV TAN 0'10 = 5'7º 100 Una recta queda determinada si conocemos: a) Dos puntos A(a, b) y B(c, d) por los que pasa. b) Un punto A(a, b) por el que pasa y un vector de dirección v=(m, n). c) Un punto A(a, b) por el que pasa y su pendiente M. d) Un punto A(a, b) por el que pasa y el ángulo que forma con el eje OX. a) Si el vector de dirección de una recta r es v = (2, 3), calcula la pendiente M de r y el ángulo que forma con el eje OX. b) Si una recta r pasa por los puntos A(2, 5) y B(3, 1), calcula la pendiente M de r y el ángulo que forma con el eje OX. c) Si la pendiente de una recta r es M=0'25, calcula un vector de dirección de la recta y el ángulo que forma con el eje OX. ECUACIÓN EXPLÍCITA Y ECUACIÓN IMPLÍCITA Podemos representar gráficamente la recta de ecuación y=2x+4 construyendo previamente una tabla de valores. Una vez dibujada la gráfica, podemos considerarla como el perfil de una carretera en la que por cada metro que avanzamos en dirección horizontal, subimos 2 metros en dirección vertical. Por lo tanto, la pendiente de esta recta es M = 2 y el ángulo que forma con el eje horizontal OX es: TAN =2 = INV TAN 2 =63'4º Por otra parte, la distancia del origen de coordenadas O al punto de corte de la recta con el eje OY es igual a 4 y se llama ordenada en el origen de la recta. 99 Matemáticas 4º ESO Opción B La ecuación explícita de la recta es de la forma y = M x + N, siendo M la pendiente de la recta y N la ordenada en el origen. Un vector de dirección de la recta es v = (1, 2). Pero no es el único, ya que los vectores (2, 4), (3,6), (5, 10), (2, 4) también tienen la misma dirección que la recta. Una recta tiene infinitos vectores de dirección. A partir de la ecuación explícita y = 2x + 4, podemos obtener la ecuación 2x y + 4 = 0, llamada ecuación implícita o general de la recta. La ecuación general o implícita de una recta es de la forma Ax + By + C = 0. A partir de la ecuación general podemos obtener la ecuación explícita sin más que despejar: Ax By C 0 By Ax C y de manera que la pendiente es: M A C x , B B A C y la ordenada en el origen es: N B B a) Halla la ecuación explícita de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 3). Obtén la pendiente y el ángulo que forma con el eje OX. b) Halla un vector de dirección de la recta, la ordenada en el origen y la ecuación general. c) Halla las ecuaciones explícita e implícita de las siguientes rectas. Determina en cada una de ellas la pendiente, la ordenada en el origen, un vector de dirección y el ángulo que forma con el eje OX. ECUACIONES Halla las ecuaciones de las siguientes rectas: a) Pasa por el punto P(2, 3) y tiene como vector director v=(5, 4). b) Pasa por el punto A(1, 2) y tiene pendiente 1. c) Pasa por los puntos D(3, 4) y E(1, 5). 100 Coordenadas TRAYECTORIA En un plano tenemos situados tres puntos, A(2, 1), B(0, 3) y C(2, 1). Un vehículo se dirige desde el punto A hasta el punto medio de B y C. ¿Pasará por el punto P(0, 1) ?. TRIÁNGULO Dado el triángulo de vértices A(5, 4), B(4, 1) u C(1, 2), halla: a) Las ecuaciones de sus tres lados. b) El punto medio del lado AC. c) La ecuación de la mediana del vértice B. EL BILLAR En una mesa de billar de 2'5 metros de largo y 1'5 metros de ancho, tenemos dos bolas A y B situadas a 70 y 20 cm de las bandas la A y a 50 y 30 cm la B. Calcula la ecuación de la trayectoria de A para hacer carambola directa en B. 101 Matemáticas 4º ESO Opción B RECTAS PARALELAS Dibuja, en un sistema de referencia cartesiano, las rectas de ecuaciones: a) y=3x2 b) y=3x c) y=3x+4 d) 6x2y+4=0 ¿Qué tienen en común y qué las diferencia?. Halla la pendiente y un vector de dirección de cada una de las rectas. Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Dos rectas paralelas tienen vectores de dirección proporcionales. PARALELAS a) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, 3) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B(1, 4) y C(3, 2). b) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto M(3, 5) y es paralela a la recta que pasa por los puntos N(2, 0) y P(1, 1). LA VISTA ENGAÑA Las rectas r y s del dibujo parecen paralelas. Pero ¿lo son realmente?. 102 Coordenadas PARALELOGRAMO Los puntos A(2, 1), B(5, 3) y C(7. 7) son vértices consecutivos de un paralelogramo. a) Halla las coordenadas del cuarto vértice D. b) Halla las ecuaciones de los cuatro lados. c) Halla las ecuaciones de las dos diagonales. DISTANCIAS La distancia entre dos puntos A(a, b) y B(c, d) es igual al módulo del vector AB. Para obtenerla usamos el teorema de Pitágoras: d(A, B)=d d2 c a2 d b2 d d(A, B) c a2 d b2 Calcula la distancia entre los puntos: A(3, 2) y B(1, 4). PARALELOGRAMO Los puntos A(1, 2), B(2, 5), C(6, 2) y D son vértices de un paralelogramo ABCD. a) Halla las coordenadas del vértice D opuesto al vértice B. b) Halla las ecuaciones de los cuatro lados y de las dos diagonales. c) Halla las longitudes de los cuatro lados y de las dos diagonales. 103 Matemáticas 4º ESO Opción B MEDIANAS Calcula las longitudes de las medianas del triángulo de vértices A(1, 2), B(2, 2) y C(1, 1). 3. Ecuaciones de primer grado DESCUENTOS a) En unos grandes almacenes hacen una rebaja del 20%. Un empleado de estos almacenes tiene además un 10% de descuento sobre el precio rebajado. Si en otros grandes almacenes hacen una rebaja del 30%, ¿dónde le conviene comprar?. b) En unos grandes almacenes hacen el 20% de descuento, pero hay que pagar un 15% de IVA. ¿Qué prefieres que te calculen primero, el descuento o el impuesto?. COMPRAVENTA I Una persona compró un coche por 17000 euros. Lo vendió por 18000 euros. Lo volvió a comprar por 19000 euros y de nuevo lo vendió por 20000 euros. ¿Crees que ha hecho un buen negocio?. COMPRAVENTA II Un comerciante norteamericano tiene una tienda de compra y venta. Un cliente le compra un objeto por 10 dólares. Pasados unos días, el cliente se da cuenta de que ese objeto no es de su agrado y decide volver a la tienda para devolverlo. El comerciante se lo compra, pero no le da más que 8 dólares. Una semana más tarde otro cliente va a la tienda y compra el objeto por 9 dólares. ¿Qué beneficio ha obtenido en total el comerciante?. 104 Coordenadas REFRESCO Una botella de refresco cuesta 100 céntimos de euro. El refresco vale 90 céntimos más que la botella. ¿Cuánto vale la botella?. GALLETAS Y ANIMALES Un criador tiene 10 animales. Cada animal es un perro o un gato. Ha comprado 56 galletas y las distribuye así: 5 galletas para cada gato y 6 para cada perro. ¿Cuántos gatos y cuántos perros hay?. EMPAREJANDO Empareja cada una de las expresiones de la izquierda con cada una de las de la derecha: 3b 15 Dentro de 5 años, la edad del padre será tres veces la edad del hijo. a2 4 La mitad de una herencia, más la tercera parte, más la quinta parte, más nueve millones, es igual a toda la herencia. p 220 500 El coste de 3 cuadernos es de 15 euros. x 3 27 El área de un cuadrado de lado a es igual a 4. 2x 2y 10 He pagado 500 ptas por 1 kg de peras y me han devuelto 220 ptas. x x x 9000000 x 2 3 5 El volumen de un cubo de arista x es igual a 27. y 3x 10 El perímetro de un rectángulo es igual a 10. 105 Matemáticas 4º ESO Opción B PLANTEA ECUACIONES En las siguientes situaciones, elige la incógnita y escribe una ecuación para conjeturar una solución. a) Triplico un número, a lo que da le resto 7 y el resultado es 5. ¿De qué número se trata?. b) Juan da la mitad de sus monedas (todas iguales) a Luis, éste da una tercera parte de las suyas a María. Ésta da la cuarta parte de sus monedas a Julia. Si Julia tiene 9 monedas, ¿cuántas tenía Juan al principio?. c) Un virus dobla su población cada 4 horas, después de un día completo hay 1600 virus en cierto cultivo. ¿Cuántos había al principio?. VOLVER AL PRINCIPIO En las siguientes secuencias de teclas de la calculadora, escribe ordenadamente todos los pasos necesarios para, partiendo del resultado final, A, volver al principio, N: a) N 2 + 5 = b) N + 3 2 4 c) N 2 3 1 = d) N x2 4 3 + 5 A 5 = A A = A ¿Es posible que en las secuencias anteriores A y N sean, los dos, números enteros?. Investiga. 106 Coordenadas TIPOS DE ECUACIONES a) Halla los números situados en los vértices de estos triángulos, sabiendo que los números que aparecen en las casillas centrales de cada lado son suma de los dos vértices correspondientes. Inventa otros casos, comprueba que son correctos y propónselos a tus compañeros: b) Halla los números que deben situarse en los vértices de cada uno de los siguientes cuadrados, si conoces las sumas de cada dos de ellos situadas en las casillas centrales de sus correspondientes lados. Razona que ocurre en cada caso: Hay ecuaciones que solamente tienen una solución. Se dice que son compatibles determinadas o de solución única. Hay ecuaciones que tienen infinitas soluciones. Se dice que son compatibles indeterminadas. Hay ecuaciones que no tienen solución. Se dice que son incompatibles. Las ecuaciones de grados 2, 3, 4, ... pueden tener solamente 2, 3, 4, ... soluciones. Se dice, en ese caso, que son compatibles. ECUACIONES EQUIVALENTES a) Escribe dos ecuaciones equivalentes a la dada en cada uno de los casos siguientes: x x 1) 2p 12 18 2) 3x 1 x 1 1 3) 3 2x 3 5 b) Escribe, para cada uno de los siguientes números, tres ecuaciones de las que sean solución: 3 a) 0 b) 1’ 7 c) 2 c) Encuentra entre las ecuaciones del segundo grupo las que sean equivalentes a alguna de las del primer grupo: Primer grupo Segundo grupo a) 4 x 1 d) 3x 2 x 6 b) x 2x 1 e) 2x 1 3x 4 c) 3x x 4 f) x 2x 1 x 1 x 1 g) 2 3 h) 2x 1 5 x 1 5 107 Matemáticas 4º ESO Opción B Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Para obtener una ecuación equivalente a una dada podemos: Sumar o restar en ambos miembros la misma cantidad o expresión. Multiplicar los dos miembros de la igualdad por un mismo número distinto de cero. Esto se traduce en las siguientes normas de actuación: Lo que en un miembro está sumando, pasa al otro restando. Lo que en un miembro está multiplicando (y es distinto de cero), pasa al otro miembro dividiendo. ECUACIONES RUTINARIAS Resolver una ecuación es encontrar todas sus soluciones, para lo que puedes utilizar diversas técnicas y procedimientos. Resolver una ecuación algebraicamente es encontrar todas sus soluciones, aplicando las mismas técnicas que para obtener ecuaciones equivalentes. El principio más general para resolver ecuaciones es éste: Si haces algo en un miembro de la igualdad, hazlo también en el otro para que la igualdad se siga conservando. Ves desembarazándote de lo que te molesta hasta que consigas aislar la incógnita. Si en este proceso vas a repetir muchas veces la misma cosa, merece la pena que busques un atajo. Por ejemplo, si tienes que multiplicar los dos miembros de la igualdad primero por 3, luego por 5 y luego por 7, podrías adelantar trabajo si directamente multiplicas toda la ecuación por el mínimo común múltiplo. Otro atajo, más aburrido, consiste en usar la llamada regla de los cuatro pasos: Quitar denominadores. Agrupar y transponer. Quitar paréntesis. Despejar la incógnita. Utiliza alguna técnica que domines para resolver las siguientes ecuaciones: a) 3x 7 1 2x 13 b) 2x 3 3x 7 5 c) x x 12 3 5 d) x x x 34 x 2 3 5 e) x 9 3x 4 x 3 3 4 3 f) x 3 x 5 x 1 4 6 9 g) 5x 1 x 4 2x 3 1 3 2 5 h) 3x 1 x 1 27x 19 2x 1 2 4 20 5 108 Coordenadas LOS DISCÍPULOS DE PITÁGORAS Se cuenta que al preguntarle a Pitágoras el número de sus discípulos, contestó con el siguiente acertijo: “Tres son mujeres. La mitad de los hombres estudia matemáticas, una cuarta parte física y una séptima parte guarda silencio”. ¿Cuántos discípulos tenía Pitágoras?. DIOFANTO DE ALEJANDRÍA En la tumba del matemático griego Diofanto figuraba el siguiente epitafio: ¡Caminante!. Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh, milagro!, cuán larga fue su vida, cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubrióse su barbilla. Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó un quiquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan sólo la mitad de la de su padre. Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo. ¿Cuántos años vivió Diofanto?. ¿Qué más datos de su vida puedes conocer?. 109 Matemáticas 4º ESO Opción B CUADRADOS MÁGICOS En un cuadrado mágico todas las líneas (filas, columnas y diagonales) dan la misma suma. Por ejemplo: 2 7 6 9 5 1 4 3 8 a) Calcula un valor de x que sustituido en las casillas del cuadrado adjunto haga de éste un cuadrado mágico. Para ello plantea las ecuaciones que consideres necesarias: 2x 2 x x 1 x 2 x 2 5x 6 3x 3 2x 1 x 1 b) Simplifica las sumas de cada una de las ocho líneas de este cuadrado. BALANZAS Para conservar el equilibrio en la balanza 4, ¿cuántos círculos necesitas?. LOS CUATRO HERMANOS Cuatro hermanos tenían 4500 euros entre todos. El tercero de ellos soñaba: “Si al primero le diesen 200, al segundo le quitasen 200, a mi me doblasen lo que tengo y al cuarto se lo redujesen a la mitad, todos tendríamos al final lo mismo”. ¿Cuántos euros tenía cada hermano al principio?. 110 Coordenadas 4. Sistemas de ecuaciones CON DOS INCÓGNITAS a) ¿Cuántos chicos y chicas hay en un grupo de 8 amigos?. b) Si divides un segmento de 10 cm en dos partes, ¿cuál es la longitud de cada una de las partes?. En las actividades anteriores tienes que utilizar ecuaciones con dos variables desconocidas, es decir, con dos incógnitas. Por ejemplo, en la primera debe ser x y 8 , siendo x = número de chicas, y = número de chicos. Las soluciones se expresan mediante puntos de una recta o en una tabla de valores: Nº chicas Nº chicos X Y 0 8 1 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 1 8 0 Como x e y son números naturales, hay una cantidad finita de soluciones, que son las indicadas en la tabla. En la actividad (b), en cambio, hay infinitas soluciones, ya que las variables x e y pueden ser números cualesquiera. c) Divide un segmento de 6 cm en tres partes de forma que la primera sea de doble longitud que la segunda. Representa gráficamente las soluciones y escribe una tabla con algunas de ellas. d) La suma de tres números desconocidos es 15. El segundo es 3 unidades mayor que el primero. Representa gráficamente las soluciones y construye una tabla con algunas de ellas. Distingue tres casos, según que los números buscados sean: 1) naturales; 2) enteros; 3) números cualesquiera. AUTOBUSES a) Una empresa tiene 10 autobuses grandes y 5 pequeños. Cada uno de los grandes tiene 22 asientos más que cada uno de los pequeños. El total de plazas de la empresa es de 700. ¿Cuántos asientos tiene cada autobús?. 111 Matemáticas 4º ESO Opción B Sea x = número de asientos de un autobús grande. Sea y = número de asientos de un autobús pequeño. El enunciado expresado en ecuaciones es: 10 x 5 y 700 . x y 22 A un conjunto de varias ecuaciones que deben verificarse simultáneamente, lo llamaremos sistema de ecuaciones. El anterior es un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, pero pueden haber sistemas de tres o más incógnitas y ecuaciones, e incluso, puede que sean de grado 2 o superior. Resolver un sistema es encontrar los valores de las incógnitas que verifican todas las ecuaciones. Existen tres métodos para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas: Método de reducción. Consiste en multiplicar las ecuaciones por números adecuados y después sumarlas con el objetivo de eliminar una incógnita: 10 x 5 y 700 . Multiplicamos la primera por 1, y la segunda por 10. x y 22 10 x 5 y 700 . Restamos las dos igualdades, obteniendo: 15 y = 480, de donde 10 x 10 y 220 y 480 32 . Para hallar el valor de x, sustituimos el valor de y en cualquiera de las dos 15 ecuaciones dadas, o volvemos a aplicar el método de reducción para eliminar la incógnita y. Comprueba que x = 54. Método de sustitución. Consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir el valor obtenido en la otra ecuación para obtener el valor de la otra incógnita. 10 x 5 y 700 . Despejamos x en la segunda ecuación: x = y + 22 x y 22 Sustituimos esta expresión de x en la primera ecuación: 10 y 22 5 y 700 Resolvemos esta ecuación. Quitando paréntesis: 10 y 220 5 y 700 . De donde: 15 y = 480 Luego: y 480 32 . Sustituimos este valor de y en la ecuación x = y + 22, obteniendo: 15 x = 54 Método de igualación. Consiste en despejar una misma incógnita en las dos ecuaciones y después igualar las expresiones obtenidas. De esta forma se obtiene una ecuación en la otra incógnita que podemos resolver. 1 10 x 5 y 700 x 70 y . Despejamos x en las dos ecuaciones: 2 x y 22 x 22 y Igualando las dos expresiones obtenidas: 70 1 3 y 22 y . De donde: y 48 . 2 2 Luego: y = 32. Sustituyendo este valor de y en cualquiera de las ecuaciones obtenemos x = 54. 112 Coordenadas b) Otra empresa de la competencia dispone de 12 autobuses grandes y 6 pequeños, de tal manera que cada uno de los grandes tiene 18 asientos más que cada uno de los pequeños. Si el número total de plazas es de 756, ¿cuál es la capacidad de cada tipo de autobús?. ¿Con qué empresa se viajará más cómodamente?. MÉTODO GRÁFICO Una ecuación de primer grado con dos incógnitas a x + b y = c representa una recta. Luego cada una de las ecuaciones de un sistema de primer grado con dos incógnitas representa una recta: ax by c recta r dx ey f recta s Por lo tanto, un método que puedes usar para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas consiste en dibujar, en unos mismos ejes, las gráficas de las rectas r y s que representan las dos ecuaciones. Se pueden presentar tres casos: r y s se cortan en un punto r y s son coincidentes r y s son paralelas sistema con solución única infinitas soluciones sistema sin solución Un sistema con solución única se dice que es compatible determinado. Un sistema con infinitas soluciones se dice compatible indeterminado. Un sistema sin solución se dice que es incompatible. Utiliza el método gráfico para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones, indicando si son compatibles o incompatibles, determinados o indeterminados: a) 2x 5y 16 x 3y 3 6x y 5 d) 3x 3y 15 b) 5x y 3 15x 3y 2 3x 2y 8 e) x y 5 2 3 x 2y 3 c) 2x 4y 6 f) 3x 9y 6 4x 12y 8 113 Matemáticas 4º ESO Opción B VARIANDO LADOS a) El perímetro de un rectángulo es 16 cm. Si el lado mayor se disminuye en 2 cm y el lado menor aumenta en 1 cm, el nuevo perímetro es de 14 cm. ¿Cuál es la medida de los lados?. 2 cm 1 cm x x b) El perímetro de un triángulo isósceles es de 15 cm. Si duplicamos el lado desigual, el nuevo triángulo es equilátero. ¿Cuánto miden los lados del primer triángulo?. PASTELES Marisa compró 4 merengues y 6 lionesas. Pagó 1280 céntimos de euro. Ángel compró 1 merengue y 12 lionesas. Pagó 1160 céntimos de euro. ¿Cuál era el precio de cada merengue y el precio de cada lionesa?. JAULAS Y CONEJOS Un granjero dispone de cierto número de jaulas y de conejos. Si introduce 4 conejos en cada jaula, quedan tres conejos libres. Si introduce 5 conejos en cada una, queda una jaula con dos conejos menos. ¿Cuántos conejos y cuántas jaulas hay?. EDADES Invirtiendo los dígitos de la edad de Carmen se obtiene la de su abuela. La diferencia de sus edades es de 45 años. Si la suma de los dígitos es 7, halla la edad de cada una de ellas. 114 Coordenadas HEXÁGONOS MÁGICOS Las parejas de números que ocupan los vértices opuestos del hexágono de la figura adjunta (unidos mediante las diagonales) suman lo mismo. Hállalos en cada uno de los siguientes casos y comprueba si cumplen la condición pedida: MACETAS Una empresa de productos plásticos recibe el encargo de preparar cierto número de macetas en un plazo fijo. Si fabricara 250 macetas cada día, faltarían 150 macetas al finalizar el plazo. Si fabricara 260, sobrarían 80 macetas al final del plazo. ¿Cuál era el plazo y cuántas las macetas encargadas?. LA PISTA DE CARRERAS Una pista de carreras está dividida en tres secciones. La longitud de la primera y la segunda juntas es de 632 m; la longitud de la segunda y tercera juntas es de 537 m, y la de la tercera y primera juntas 919 m. ¿Cuál es la longitud de la pista?. PÁJAROS Una tienda de pájaros los tiene clasificados en dos tipos: grandes y pequeños. Los grandes cuestan el doble que los pequeños. Una señora entró a comprar 5 pájaros grandes y 3 pequeños. No sabemos lo que se gastó, pero podemos darte una información algo enrevesada: Si hubiese comprado 3 pájaros grandes y 5 pequeños se hubiese gastado 2000 pesetas menos. ¿Cuánto vale un pájaro grande y uno pequeño?. 115 Matemáticas 4º ESO Opción B VIAJE A LA LUNA En un viaje de la Tierra a la Luna un astronauta le cuenta a otro algo curioso que acaba de sucederle: Al dirigir su mirada a la Tierra y a la Luna, ambas se le aparecen como dos bolas de igual tamaño. ¿A qué distancia de la Tierra se encuentra la nave de los astronautas?. Datos: La distancia entre la Tierra y la Luna es de 378000 km; el diámetro de la Luna es de 3480 km y el de la Tierra de 12760 km. NAVEGANDO POR EL RÍO Un bote navega entre dos puntos A y B de un río a favor de la corriente a 25 km/h. Al volver de B a A sólo alcanza 8 km/h. Halla la velocidad desarrollada por el bote en aguas tranquilas y la velocidad de la corriente. ENCUENTRO Un automovilista sale de Alicante a las 8 h 30 m con destino a Peñíscola. Piensa llevar una velocidad media de 90 km/h. A la misma hora un motociclista sale de Peñíscola con destino a Alicante; su velocidad media estimada será de 80 km/h. La distancia entre Peñíscola y Alicante es de 340 km. ¿A qué hora y a qué distancia de cada ciudad se cruzarán?. 116 Coordenadas EXTRAÑAS CONDICIONES Intenta encontrar un número de dos cifras en cada uno de los siguientes casos: a) La cifra de las decenas debe ser 4 unidades inferior a la cifra de las unidades. Si el número se escribe invirtiendo el lugar de sus cifras y se le resta el número buscado, se obtiene 27. b) La cifra de las decenas debe ser inferior en 3 unidades a la cifra de las unidades. Se cumple también la segunda condición del caso (a). HISTORIAS PARA FÓRMULAS Elige algunas de las expresiones que siguen a continuación e inventa una historia comercial, geométrica, numérica, ..., que se adapte a cada una de ellas. a) 2 3 A B 3 7 b) x5 x3 5 6 d) a 1 a a 1 36 e) a 2 b2 c2 g) 6x 3y 120 h) 2n 3b 40 j) 3n b 25 c 3b 2 k) c 4b 2 c) a bcd x 4 f) a b a b a2 b2 m m 15 m 2 4 i) x2 2x 1 x 12 x y 5 l) y z 23 x z 22 MUCHAS LETRAS Sabiendo que se trata de sumas horizontales y verticales, averigua qué dígito corresponde de cada letra. Ten en cuenta que cada letra representa un solo valor. A B C D E F G B 29 C D B G E H B F 27 B C I J E B F I 31 E H E H E E H H 40 J G D C E J D G 27 F I A J E C D B 32 26 20 24 19 22 27 21 27 117 Matemáticas 4º ESO Opción B 5. Inecuaciones RELACIONES a) ¿Qué relación existe entre el número de veces que te puede tocar la lotería nacional en un año y el número de semanas del mismo ?. b) No es fácil contar el número de pelos que hay en la cabeza de una persona, pero puedes dar una relación que debe cumplir dicho número. Intenta escribirla. c) No con todas las ternas de segmentos pueden construirse triángulos. Si dos lados de un triángulo miden 6 y 10 decímetros respectivamente, ¿qué relaciones debe verificar el otro lado ?. DESIGUALDADES a) ¿Qué relación deben cumplir los puntos de la semirrecta más gruesa incluido el punto 2 ?. b) Los puntos de la región rayada verifican una relación ; los de la blanca, otra ; y los de la recta frontera, otra. ¿Qué relaciones ?: En las cuestiones anteriores has utilizado la relación “ser menor que”. Se escribe así : a<b y expresa que b-a es un número real positivo. Se suelen utilizar otros símbolos de desigualdad : a b, significa a < b ó a = b ; se lee “a menor o igual que b”. b > a, significa a < b ; se lee “b mayor que a”. b a, significa b > a ó b = a ; se lee “b mayor o igual que a”. 118 Coordenadas ¿CIERTO O FALSO? ¿Cuáles de las siguientes desigualdades son ciertas y cuáles son falsas ? : 1) 5 1 2) 5 1 3) 1 < 5 4) 2 < 3 5) 2/5 < 3/5 6) 3/5 < 5/6 7) 1/5 > 3/4 8) 2 3 9) 3 5 3 INECUACIONES Cuando en cualquier miembro de una desigualdad aparece una (o varias) variables, se dice que es una inecuación y que la variable es la incógnita. Así, x > 1,5 es una inecuación en la que la variable x puede tomar valores mayores que 1,5. (Es decir, los puntos de la semirecta gruesa excluyendo 1,5). Todos estos puntos son soluciones de la inecuación, de forma que la inecuación tiene infinitas soluciones. a) Describe mediante inecuaciones las siguientes regiones de la recta numérica : b) Dadas las siguientes inecuaciones, señala la región de la recta numérica que les corresponde : 1) x < 2 2) x > 1 ó x < 1 3) x 1 y x 1 MANIPULANDO DESIGUALDADES En cada una de las desigualdades: 3<5; 3<5 ; 3<2 : a) suma el mismo número positivo a cada miembro ; b) suma el mismo número negativo a cada miembro ; c) multiplica por el mismo número positivo cada miembro ; d) multiplica por el mismo negativo cada miembro. Comenta los resultados obtenidos. 119 Matemáticas 4º ESO Opción B Habrás comprobado las siguientes propiedades : 1) Si a < b, entonces a + c < b + c, para todo número real c. a c < b c, si c > 0 2) Si a < b, entonces a c > b c, si c < 0 Con estas propiedades podemos despejar la incógnita de una inecuación siguiendo el mismo procedimiento que para resolver una ecuación. Resuelve cada una de las inecuaciones que siguen y representa el conjunto de soluciones, en cada caso, sobre la recta : 1) 2 x < 3 2) 4 x 2 6 3) 1 / x < 1 / 2 4) x 3 2x + 1 2 2 5 3 5) 1 2 x 2 3 SOFTWARE INFORMÁTICO Cierta empresa de software informático cobra por sus servicios 100 euros, más 7,50 euros. por hora de programación. Otra de la competencia establece sus honorarios en 1000 euros, cualquiera que sean las horas de programación. ¿En qué condiciones interesará una u otra?. ZUMOS Queremos mezclar zumo de 3 euros / litro con zumo de 4 euros / litro, para obtener zumo de precio inferior a 3'60 euros / litro. ¿Cuántos litros de cada tipo de zumo podemos mezclar por cada 100 litros ?. CAMISAS Una empresa textil ha fabricado 1500 camisas con un coste de producción de 3 euros. por unidad. Si vendiendo todas las camisas obtiene un beneficio de más de 6000 euros, ¿a qué precio vende cada unidad?. 120 Coordenadas REGIONES En la región adjunta, la recta que pasa por los puntos (1, 0) y (0, 1) divide al plano en dos semiplanos : el rayado y el blanco. ¿Qué relación debe cumplir un punto (x, y) del plano para pertenecer a uno de dichos semiplanos ?. Los puntos (x, y) que pertenecen a la recta frontera de los semiplanos cumplirán la igualdad: y=x+1 Cualquier punto (x, y) del semiplano rayado tiene una ordenada mayor que la del punto de la recta con igual abcisa, luego : y>x+1 Cualquier punto (x, y) del semiplano blanco tiene una ordenada menor que la del punto de la recta con igual abcisa, luego: y<x+1 En la figura adjunta se indican los resultados anteriores. En cada uno de los casos que siguen, indica la relación que deben verificar los puntos de cada uno de los semiplanos y los de la recta frontera: DIBUJA REGIONES Dibuja las regiones del plano cartesiano que representan cada una de las inecuaciones que siguen: 1) x + y < 3 2) 2 x 3 y 4 3) 2 x > y 6 4) x 3 y 6 5) x + 5 y = 6 MESAS Y SILLAS Cierto fabricante produce sillas y mesas para lo que requiere la utilización de dos secciones de producción : la sección de montaje y la sección de pintura. La producción de una silla requiere 1 hora de trabajo en la sección de montaje y 2 horas en la de pintura. Por su parte, la fabricación de una mesa requiere 3 horas en la sección de montaje y 1 hora en la de pintura. La sección de montaje sólo puede estar 9 horas diarias en funcionamiento, mientras que la de pintura sólo 8 horas diarias. El beneficio que se obtiene produciendo mesas es doble que el que se obtiene produciendo sillas. ¿Cuál debe ser la producción diaria de mesas y sillas para que el beneficio sea máximo ?. 121 Matemáticas 4º ESO Opción B SOLUCIÓN : Con los datos del problema podemos construir la siguiente tabla : MONTAJE PINTURA SILLAS 1 2 MESAS 3 1 Sea x=número de sillas ; y=número de mesas. Debe ser x 0, y 0. La sección de montaje sólo esta disponible 9 horas diarias : x + 3y 9 La sección de pintura sólo está disponible 8 horas diarias : 2x + y 8 El conjunto de restricciones del problema es el dado por el siguiente sistema de inecuaciones : 1 y = x + 3 r 3 El recinto de validez (conjunto de puntos solución del sistema de inecuaciones formado por las restricciones) es el de la figura siguiente: x0 y 0 x + 3y 9 3y x + 9 2x + y 8 y 2x + 8 y 1 x+3 3 y = 2x + 8 s r x 0 3 122 s y 3 2 x 0 4 y 8 0 Coordenadas Si 1 silla produce un beneficio de 1 euro, 1 mesa produce un beneficio de 2 euros. Por lo tanto, el beneficio produciendo sillas es x y el beneficio produciendo mesas es 2y. Luego el beneficio total es B = x + 2y (Función objetivo) 1 B x + . Para maximizar el beneficio hay que maximizar la 2 2 ordenada en el origen de esta recta. El problema es equivalente a encontrar la recta de mayor ordenada en el origen de todas las que pasan por el recinto de validez y son 1 paralelas a la recta t: y = x , de la cual construimos una tabla de valores: 2 x y 0 0 2 -1 De donde : 2y = x + B y = En la figura se observa que el beneficio máximo se obtiene en el punto P, intersección de r y s, para lo que hay que resolver el siguiente sistema : 1 x + 3 3 s : y = 2x + 8 r : y= Resolviendo el sistema se obtiene x = 3, y = 2. Solución : Se deben producir 3 sillas y 2 mesas para maximizar el beneficio. CHOCOLATE Un fabricante de chocolate elabora dos tipos de cajas de bombones, de 250 gramos y de 300 gramos respectivamente. Obtiene un beneficio de 5 euros por cada caja de las primeras, y de 6,5 euros por cada caja de las últimas. Si dispone de 100 kg. de chocolate para confeccionar las cajas, y el número de cajas pequeñas debe ser, al menos, igual al de cajas grandes, ¿cuántas de cada tipo debe hacer si desea obtener un beneficio máximo ?. SOLUCIÓN : Sea x=número de cajas pequeñas ; y=número de cajas grandes. Debe ser x 0, y 0, x y. Como se dispone de 100 kg =100000 de chocolate, debe ser 250 x + 300 y 100000 2,5 x + 3 y 1000 El conjunto de restricciones del problema viene dado por el siguiente sistema de inecuaciones: 123 Matemáticas 4º ESO Opción B y 0 x y 2,5 1000 2,5 1000 2,5x + 3y 1000 x+ y= x+ r 3y 2,5x + 1000 y 3 3 3 3 El recinto de validez es el indicado en la siguiente figura: x0 r x 0 100 y 333,3 250 Los vértices de esta región de validez son los puntos O, P y Q. Las coordenadas de P se obtienen resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las rectas r e y=x: 2,5 1000 Resolviendo el sistema, obtenemos x = y = 181,81 182. y= x+ 3 3 y= x Luego P(182, 182). Las coordenadas de Q se obtienen como intersección de las rectas r e y=0. 2,5 1000 Resolviendo el sistema, obtenemos x = 400, y = 0 y= x+ 3 3 y=0 Luego Q(400, 0). El beneficio es B = 5 x + 6,5 y . Calculemos el beneficio en cada uno de los vértices de la región de validez: En O(0, 0) B(0, 0) = 5 0 + 6,5 0 = 0 En Q(400, 0) B(400, 0) = 5 400 + 6,5 0 = 2000 euros. En P(182, 182) B(182, 182) = 5 182 + 6,5 182 = 2093 euros. Solución : El beneficio máximo se obtiene para el punto P, es decir, hay que fabricar 182 cajas pequeñas y 182 cajas grandes. 124 Coordenadas ELECTRODOMÉSTICOS En una tienda de electrodomésticos se quiere lanzar una oferta de frigoríficos a 500 euros y lavadoras a 450 euros. Cada venta de un frigorífico supone 10 minutos del tiempo de un vendedor y 5 minutos del tiempo de un instalador. La venta de una lavadora requiere 8 minutos del vendedor y 12 minutos del instalador. Se dispone de 4 vendedoras y 3 instaladores, que trabajan 4 horas diarias útiles. ¿Cuántos frigoríficos y lavadoras interesa poner a la venta durante los 20 días hábiles de la campaña ?. DEPORTES En un curso hay 120 chicas y 156 chicos. El centro subvenciona con 180 euros cada equipo de baloncesto, formado por 5 chicos y 8 animadoras, y con 200 euros cada equipo de voleibol, formado por 6 chicas y 6 animadores. ¿Cuántos equipos de cada deporte conviene formar para conseguir la máxima subvención posible ?. MATERIAL ESCOLAR Con el comienzo del curso se van a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas ; en el primer bloque pondrán 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos ; en el segundo pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6,5 y 7 euros, respectivamente. ¿Cuántos paquetes les conviene poner de cada tipo para obtener los máximos beneficios ?. 125 Matemáticas 4º ESO Opción B 126
