2. Muestreo Aleatorio Estratificado 2. Muestreo Aleatorio Estratificado

2. Muestreo Aleatorio Estratificado
2.1 Selección de una muestra aleatoria estratificada. Notación.
L = número de estratos
N = tamaño de la ppoblación
n = tamaño de la muestra
N i = tamaño del estrato
ni = tamaño de la muestra del estrato i
L
N = ∑ Ni
n = ∑ ni
µi = media poblacional del estrato i
y i = media muestral del estrato i
L
i =1
i =1
τ i = total poblacional del estrato i
muestral
del estrato
i
Cuasivarianza
muestral
del estrato
i
Si2 = varianza
σ i2 = varianza poblacional del estrato i
lp = proporción muestral del estrato i
i
pi = proporción poblacional del estrato i
ci = coste de una observación del estrato i
1
2. Muestreo Aleatorio Estratificado
2.2 Estimación de la media, proporción y total poblacionales.
L
N i y i = τ i
τ = ∑τ i
i =1
L
τ st = ∑ Ni yi
i =1
L
L
S2 N − n
Vl (τ st ) = ∑ N i2 Vl ( y i ) = ∑ N i2 i i i
ni N i
i =1
i =1
y stt =
τ st
N
=
1
N
L
∑ Ni yi
i =1
1
Vl ( y st ) = 2
N
y st ≠ y
L
∑ Ni2Vl ( y i ) =
i =1
1
N2
L
N i2
∑
τ st ≠ τ = N y
i =1
Si2 N i − ni
ni N i
2
1
2. Muestreo Aleatorio Estratificado
2.3 Determinación del tamaño muestral.
V ( y st ) =
2 V ( y st ) = B
1
N2
L
N
∑
i =1
2
i
σ i2 N i − ni
N i2σ i2
∑
L
n=
ni = nωi
ni N i − 1
D=
B2
4
D=
B2
4N 2
ωi
i =1
L
N D+∑
N iσ i2
2
i =1
N i2 pi qi
∑
L
σ i2 = pi qi
n=
D=
B2
4
D=
B2
4N 2
ωi
i =1
L
N 2D + ∑ N i pi qi
i =1
(media)
(total )
( proporción)
(total )
3
2. Muestreo Aleatorio Estratificado
2.4.1 Asignación óptima.
N jσ j
ωj =
L
∑
i =1
p jq j
Nj
cj
ωj =
Niσ i
ci
cj
L
∑N
i =1
i
pi qi
ci
Minimiza el coste de obtención de la muestra para un límite del error de estimación fijado.
L
n=
Nσ
∑
i
i =1
L
i
Ni σ i
ci
i =1
L
N D+∑
N iσ
2
L
∑
ci
i =1
n=
N
∑
i =1
i
i =1
i
pi qi
ci
L
N D+∑
N i pi qi
2
2
i
L
N
∑
pi qi ci
i =1
Minimiza el límite del error de estimación para un coste de obtención de la muestra fijo.
n=
L
Nσ
C ∑ i i
ci
i =1
L
Nσ
∑
i =1
i
i
ci
L
n=
C∑ Ni
i =1
L
N
∑
i =1
i
pi qi
ci
pi qi ci
c1n1 + c2 n2 + c3 n3 = C
c1ω1n + c2ω2 n + c3ω3n = C
n=
C
c1ω1 + c2ω2 + c3ω3
5
2
2. Muestreo Aleatorio Estratificado
2.4.2 Asignación de Neyman.
Si c1 = c2 = ... = ci = ... = cL
coincide con la Optima
C
Caso
numérico:
éi
ωj =
(∑ N σ )
2
L
N jσ j
n=
L
∑Nσ
i
i =1
i
i
i =1
i
L
N 2D + ∑ N iσ i2
i =1
Caso dicotómico:
(∑ N
ωj =
N j pjqj
n=
L
∑N
i =1
i
pi qi
i =1
)
2
L
pi qi
i
L
N 2D + ∑ N i pi qi
i =1
5
2. Muestreo Aleatorio Estratificado
2.4.3 Asignación proporcional.
σ 12 = σ 22 = ... = σ i2 = ... = σ L2
Si c1 = c2 = ... = ci = ... = cL
coincide con la Optima
L
Caso numérico:
ωj =
Caso dicotómico:
Nj
N
i
i =1
ND +
2
i
L
1
N
Nσ
∑
i =1
i
2
i
L
ωj =
Nj
N
Ventajas:
y st = y
n=
∑N σ
lp = lp
st
n=
N pq
∑
i
i =1
ND +
1
N
i i
L
∑N pq
i =1
i
i i
τ st = τ
Resuelve complicaciones en la asignación para varias mediciones muestrales
6
3
2. Muestreo Aleatorio Estratificado
2.4.3 Asignación proporcional.
Determinación del tamaño muestral y asignación para varias estimaciones
Asignación óptima/Neyman
1ª estimación:
ti
ió n = 100
ω1 = 0,10
0 10 ⇒ n1 = 10
ω2 = 00,90
90 ⇒ n2 = 90
2ª estimación: n = 40
ω1 = 0,50 ⇒ n1 = 20
ω2 = 0,50 ⇒ n2 = 20
Asignación proporcional
11ª estimación: n = 100
ω1 = 0,30 ⇒ n1 = 30
ω2 = 0, 70 ⇒ n2 = 70
2ª estimación: n = 40
ω1 = 0,30 ⇒ n1 = 12
ω2 = 0, 70 ⇒ n2 = 28
7
2. Muestreo Aleatorio Estratificado
2.5 Estratificación después de seleccionar la muestra.
3.6 (Ejercicio 17, relación tema 3) En una ciudad se sabe que el 30% de los
Ejemplo 2.6
hogares tienen calefacción eléctrica. Al realizar una encuesta sobre el consumo de
energía (valor en euros de la factura bimensual) se obtuvieron los siguientes resultados:
Tipo Calefacción Nº casas Valor total de las facturas desviación típica muestral
Eléctrica
60
5730
200
No electrica
40
2080
90
Obtenga una estimación del valor medio de la factura de electricidad en la ciudad. Dé
un límite ppara el error de estimación.
8
4
2. Muestreo Aleatorio Estratificado
2.5 Estratificación después de seleccionar la muestra.
Solución:
y1 =
y st =
1
N
5730
= 95,5€
60
2
2
Ni
∑N y =∑ N
i =1
i
i
1
Vl ( y st ) = 2
N
N
∑
i =1
2
2
N
N2 S2
= ∑ i2 i = ∑  i
N
n
i =1
i =1  N
i
2080
= 52€
40
y i = (0,30 × 95,5) + (0, 70 × 52) = 65, 05€
i =1
2
y2 =
2
i
2
Si2 N i − ni
N2 S2 N − n
= ∑ i2 i i i =
ni N i
ni N i
i =1 N
2
2
2
 Si2 
2 200  
2 90 
 =  0,30
 +  0, 70
 = 159, 225
60  
40 
 ni 
2 Vl ( y st ) =25,24€
y=
5730 + 2080 7810
=
= 78,10€
60 + 40
100
9
2. Muestreo Aleatorio Estratificado
¿Muestreo aleatorio estratificado o muestreo aleatorio simple?
TRABAJO 1 (muestreo aleatorio estratificado)
Ejercicio 4.4 Se desea estimar el salario medio de los empleados de una empresa
empresa.
Se decide clasificarlos en dos estratos: los que tienen contrato fijo y los que poseen
un contrato temporal. Los primeros son 2AB y su salario varía entre 1ABC y 2300
euros mensuales. Los contratos temporales son 3BC y su salario está comprendido
entre 700 y 10BA euros mensuales.
1) ¿Cuál debe ser el tamaño total de la muestra para que al estimar el salario medio
mensual el error de estimación sea inferior a 3B euros?
2)) ¿¿Cuál debe ser su asignación
g
(tamaño
(
de la muestra en cada estrato)?
)
10
5
2. Muestreo Aleatorio Estratificado
¿Muestreo aleatorio estratificado o muestreo aleatorio simple?
EJERCICIOS RESUELTOS. TEMA 1 (muestreo aleatorio simple)
3. (Ejercicio 18, relación tema 2) El Centro de Estadística desea estimar el salario medio de
los trabajadores de los invernaderos de una región. Se decide clasificarlos en dos
estratos, los que poseen contrato fijo y los que tienen un contrato temporal. El salario
de los contratos fijos está comprendido entre los 11.200
200 y 22.200
200 euros mensuales
mensuales, el
salario de los contratos temporales está comprendido entre 500 y 1.700 euros
mensuales. ¿Cuál debe ser el tamaño muestral total y su asignación para que se estime
el salario medio de los contratos fijos con un error inferior a 100€ y el salario medio de
los contratos temporales con un error inferior a 120€?`
SOLUCIÓN:
Ri
Ri
≈ σi
4
σ i2
2.200‐1.200=1000
1.700‐500=1.200
250
300
62.500
90.000
n1 =
n2 =
σ 12
D1
σ 22
D2
=
σ 12
=
σ 22
B12
4
B22
4
=
=
62.500 62.500
=
= 25
10.000
1002
4
4
90.000 90.000
=
= 25
14.400
1202
4
4
11
6