Pauta Prueba Nº 1 - Universidad de Concepción

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA AGRÍCOLA
DEPTO. DE AGROINDUSTRIAS
Juan Carlos Sandoval Avendaño
PAUTA PRUEBA Nº 1
MÉTODOS NUMÉRICOS - CÁLCULO NUMÉRICO
INGENIERÍA AMBIENTAL  INGENIERÍA CIVIL AGRÍCOLA
NOMBRE :___________________________________________ NOTA :________
TIEMPO MÁXIMO : 1 HORA 40 MINUTOS
FECHA : Ma 29/04/14
Î "
!
1) Sean E œ
Ï "
#
"
!
 "Ñ
"
y
Ò
"
Î ! Ñ
"
,œ
Ï  "Ò
+Ñ Resuelva el sistema usando el método de Jordan.
,Ñ Realice # iteraciones del método de Jacobiß usando el vector inicial
BÐ!Ñ œ Ð!ß !ß !ÑX ß y evalúe el test de detención.
(15 puntos)
Solución:
Las ecuaciones a usar son:
EÐ"Ñ œ Eß ,Ð"Ñ œ ,
EÐ5"Ñ œ N Ð5Ñ EÐ5Ñ
,Ð5"Ñ œ N Ð5Ñ ,Ð5Ñ ß 5 œ "ß #ß ÞÞß 8 Ð8 œ $ß luego 5 œ "ß #ß $Ñ
‡ Iteración " ÐPara 5
Î " Ð"Ñ !
Ð
+
"
Ð  #"
Ð"Ñ
Ð"Ñ
N œÐ
+""
Ð
Ð"Ñ
+$"

!
Ð"Ñ
Ï
+""
E
Ð#Ñ
œN
Î"
œ !
Ï!
,
Ð#Ñ
œN
Ð"Ñ
E
Ð"Ñ
œN
Ð"Ñ
 "Ñ
"
! Ò
#
"
#
Ð"Ñ Ð"Ñ
,
œN
œ "Ñ À
!Ñ
ÓÎ "
! ÓÐ  !
œ
Ó
"
Ó
Ï  "
"
"Ò
Ð"Ñ
Î"
Eœ !
Ï"
Î"
,œ !
Ï"
!
"
!
!
"
!
!
"
!
!Ñ
Î"
Ó
! œ !
Ï"
"Ò
! ÑÎ "
!
!
" ÒÏ  "
#
"
!
!
"
!
!Ñ
!
"Ò
 "Ñ
"
" Ò
! ÑÎ ! Ñ Î ! Ñ
!
"
"
œ
ÒÏ
Ò
Ï
"
"
 "Ò
1
‡ Iteración # ÐPara 5 œ #Ñ À
N
Ð#Ñ
Î"
Ð
Ð
œÐ !
Ð
Ï!
!Ñ
ÓÎ "
ÓÐ
!Ó
œ !
Ó
Ï!
"Ò
Ð#Ñ

+"#
Ð#Ñ
+##
"
Ð#Ñ

+$#
Ð#Ñ
+##
 #"
"
 #"
!Ñ Î"
!Ó
œ !
Ï!
"Ò
Î "  # ! ÑÎ " #  " Ñ Î "
"
!
! "
"
E œN E œ !
œ !
Ï !  # " ÒÏ ! #
Ò
Ï!
!
Î "  # ! ÑÎ ! Ñ Î  # Ñ
"
!
"
"
,Ð$Ñ œ N Ð#Ñ ,Ð#Ñ œ !
œ
Ï !  # " ÒÏ  " Ò Ï  $ Ò
Ð$Ñ
Ð#Ñ
!Ñ
!
"Ò
#
"
#
Ð#Ñ
 $Ñ
"
 #Ò
!
"
!
‡ Iteración $ ÐPara 5 œ $Ñ À
N Ð$Ñ
Î"
Ð
Ð
œÐ
Ð !
Ï!
Ð$Ñ
!

"

+"$
Ð$Ñ
+$$
Ð$Ñ
!
+#$
Ð$Ñ
+$$
"
Ñ
ÓÎ "
ÓÐ
œ
Ó
Ó !
Ï!
Ò
!
"
!
 $
Î"
# Ñ
Ð
" Ó
 # œ !
" Ò Ï!
!
"
!
 $# Ñ
" Ó
" Ò
#
$
Î " !  # ÑÎ " !  $ Ñ Î " !
" Ó
! "
"
EÐ%Ñ œ N Ð$Ñ EÐ$Ñ œ Ð ! "
œ ! "
#
Ï
Ò
Ï! !
Ï! !
" Ò ! ! #
$
&
Î " !  # ÑÎ  # Ñ Î # Ñ
" Ó"
,Ð%Ñ œ N Ð$Ñ ,Ð$Ñ œ Ð ! "
œÐ "Ó
#
#
Ï
Ò
Ï! !
Ï $Ò
" Ò $
! Ñ
!
 #Ò
Hemos obtenido un sistema diagonal.
EÐ%Ñ B œ ,Ð%Ñ
B" œ &#
Î"
Ê !
Ï!
!
"
!
B# œ  "#
! ÑÎ B" Ñ Î # Ñ
!
B# œ Ð  " Ó
Ê
#
ÒÏ
Ò
#
B$
Ï $Ò
&
 #B$ œ  $ Ê B$ œ $#
,Ñ
Jacobi.
Recordemos que E œ H  P  Y ß
Î" ! !Ñ
Î! !
Hœ ! " !
Pœ ! !
Ï! ! "Ò
Ï" !
con
! Ñ
!
 "Ò
2
Î!
Y œ !
Ï!
#
!
!
" Ñ
"
! Ò
BÐ5"Ñ œ Q BÐ5Ñ  .
con Q œ H" ÐP  Y Ñ y
Î"
"
Notemos que H œ !
Ï!
Luego
Î! !
Q œPY œ ! !
Ï" !
Î ! Ñ
"
.œ,œ
Ï  "Ò
Ð!Ñ
Iteración " Ð5 œ !Ñ À B
BÐ"Ñ œ Q BÐ!Ñ  . œ
¾
BÐ"Ñ œ
Î ! Ñ
"
Ï  "Ò
Î!
!
Ï"
. œ H" ,
"
! !Ñ
Î"
" !
œ !
Ò
Ï!
! "
! Ñ Î!
!
 !
Ò
Ï!
"
#
!
!
!
"
!
!Ñ
! œM
"Ò
" Ñ Î!
" œ !
! Ò Ï"
" Ñ
"
 "Ò
#
!
!
Î!Ñ
œ !
Ï!Ò
#
" ÑÎ ! Ñ Î ! Ñ Î ! Ñ
!
"
! 
"
"
œ
ÒÏ
Ò
Ï
Ò
Ï
!
"
!
"
 "Ò
ã
ã ã
ã
ãÎ ! Ñ Î ! Ñã ãÎ ! Ñã
ã
ã ã
ã
"
"
/<<9< œ ¼BÐ"Ñ  BÐ!Ñ ¼ œ ã
 ! ãœã
ãœ"
ãÏ
ã ãÏ
ã
Ò
Ï
Ò
Ò

"
!

"
ã
ã ã
ã
Iteración # Ð5 œ "Ñ À
Ð#Ñ
B
Ð"Ñ
œQB
Î!
. œ !
Ï"
#
!
!
" ÑÎ ! Ñ Î ! Ñ
"
"
"

œ
 " ÒÏ  " Ò Ï  " Ò
Î  $Ñ Î ! Ñ Î  $Ñ
"
"
#

œ
Ï " Ò Ï  "Ò Ï ! Ò
Î  $Ñ
Ð#Ñ
¾ B œ #
Ï ! Ò
ã
ã ã
ã
ãÎ  $ Ñ Î ! Ñã ãÎ  $ Ñã
ã
ã ã
ã
#
"
"
/<<9< œ ¼BÐ#Ñ  BÐ"Ñ ¼ œ ã

ãœã
ãœ$
ãÏ
ã ãÏ
ã
Ò
Ï
Ò
Ò
!
" ã ã
"
ã
ã
3
ú
2) En un trabajo experimental se han obtenido los valores que a continuación
se indican
>
"Þ!! $Þ!! 'Þ!! *Þ!! "&Þ!!
CÐ>Ñ &Þ"# $Þ!! #Þ%) #Þ$% #Þ")
+
Si el modelo que describe el fenómeno está dado por CÐ>Ñ œ , 
> ß entonces
determineß por el método de los mínimos cuadradosß las constantes + y ,.
(15 puntos)
Solución:
Tenemos que
+
"
,>
"
,
>
CÐ>Ñ œ , 
> Ê CÐ>Ñ œ + Ê CÐ>Ñ œ +  + Ê VÐ>Ñ œ E  F >
"
donde VÐ>Ñ œ CÐ>Ñ
ß E œ ,+ ß F œ +"
La tabla a usar es À
>
"Þ!! $Þ!! 'Þ!! *Þ!!
VÐ>Ñ œ
"
CÐ>Ñ
!Þ#!
!Þ$$
!Þ%!
!Þ%$
"&Þ!!
!Þ%'
Los elementos básicos son À :" Ð>Ñ œ " ß :# Ð>Ñ œ >
El sistema a resolver es À
 :" ß :" 
 :" ß :# 
E
 Vß :" 
œ”
”  : ß: 
•”
•
 :# ß :# 
F
 Vß :#  •
#
"
 :" ß :"  œ ! :" Ð>3 Ñ œ ! " œ &
&
&
 :" ß :#  œ  :# ß :"  œ ! :" Ð>3 Ñ :# Ð>3 Ñ œ ! >3 œ $%
3œ"
3œ"
&
&
 :# ß :#  œ ! :## Ð>3 Ñ œ ! >#3 œ $&#
3œ"
&
3œ"
&
 Vß :"  œ ! VÐ>3 Ñ :" Ð>3 Ñ œ ! VÐ>3 Ñ œ "Þ)#
3œ"
&
3œ"
&
 Vß :#  œ ! VÐ>3 Ñ :# Ð>3 Ñ œ ! >3 VÐ>3 Ñ œ "%Þ$'
3œ"
&
3œ"
&
3œ"
3œ"
Por lo tanto,
 :" ß :" 
”  : ß: 
#
"
&
” $%
 :" ß :# 
E
 Vß :" 
œ”
Ê
•”
•
 :# ß :# 
F
 Vß :#  •
$%
E
"Þ)#
œ”
Ê E ¸ !Þ#&#$"( à F ¸ !Þ!"'%#%
•”
•
$&# F
"%Þ$' •
4
"
Luego, F œ +" Ê + œ F
Ê + ¸ '!Þ)*
E œ ,+ Ê , œ + E Ê , ¸ Ð'!Þ)*ÑÐ!Þ#&#$"(Ñ Ê , ¸ "&Þ$(
'!Þ)*
Finalmenteß la función buscada es CÐ>Ñ œ "&Þ$(
> ú
3) Obtenga la descomposición de Cholesky para la matriz de Gram Q œ Ð73 4 Ñß
3 œ !ß " à 4 œ !ß " donde 73 4 œ  :3 ß :4  ß :3 ÐBÑ œ Ð+ BÑ3 ß + Á ! y
 0 ß 1  œ '! 0 ÐBÑ 1ÐBÑ .B
"
Solución:
7
Q œ ” !!
710
(15 puntos)
701
 :! ß :! 
œ”
•
7""
 :" ß :! 
 :! ß :" 
 :" ß :"  •
 :! ß :!  œ '! :! ÐBÑ .B œ '! " .B œ '! .B œ "
"
"
"
"
"
"
 :" ß :!  œ  :! ß :"  œ '! :! ÐBÑ :" ÐBÑ .B œ '! +B .B œ +'! B .B œ +#
"
"
"
#
 :" ß :"  œ '! :#" ÐBÑ .B œ '! Ð+BÑ# .B œ +# '! B# .B œ +$
+
#
+#
$
Luego, Q œ – +
"
#
—
Notemos que Q es simétrica, y además definida positiva. En efecto,
k"k œ "
»+
"
#
+
#
+#
$
+
+
+
» œ $  % œ "#  !ß pues + Á !
#
#
#
Podemos obtener la factorización de Cholesky sin problemas.
" +#
6
!
6"" 6#"
X
Q œ P P Ê – + +# — œ ” ""
Ê
•”
6#" 6##
! 6## •
#
–+
"
#
+
#
+#
$
—œ”
6#""
6#" 6""
$
6"" 6#"
#
6#"  6###
•Ê
" œ 6#"" Ê 6"" œ È" Ê 6"" œ "
5
+
#
œ 6"" 6#" Ê 6#" œ +#
+#
$
k+k
+
œ 6##"  6### Ê 6### œ +$  +% Ê 6### œ "#
Ê 6## œ È
"#
Por lo tanto, P œ ”
#
6""
6#"
#
"
!
œ
6## • – +#
#
!
k+k
È"#
—ú
4) Escriba un programa en C que lea el orden 8 y los elementos +3 4 y ,3 4 de
dos matrices cuadradas E y Fß respectivamenteß y calcule
 Eß F  œ X <+D+ÐF X EÑ
(15 puntos)
Solución:
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main()
{
int i,j,k,n;
float traza=0.0;
printf("\nn : ");
scanf("%i",&n);
float a[n][n], b[n][n], bt[n][n], bta[n][n];
for(i=0;i<=n-1;i++)
for(j=0;j<=n-1;j++)
{
printf("\na[%i][%i] = ",i+1,j+1);
scanf("%f",&a[i][j]);
}
for(i=0;i<=n-1;i++)
for(j=0;j<=n-1;j++)
{
printf("\nb[%i][%i] = ",i+1,j+1);
scanf("%f",&b[i][j]);
}
6
for(i=0;i<=n-1;i++)
for(j=0;j<=n-1;j++)
bt[i][j]=b[j][i];
for(i=0;i<=n-1;i++)
for(j=0;j<=n-1;j++)
{
bta[i][j]=0.0;
for(k=0;k<=n-1;k++)
bta[i][j]=bta[i][j]+bt[i][k]*a[k][j];
}
for(i=0;i<=n-1;i++)
traza=traza+bta[i][i];
printf("\n<A,B> = %0.5f\n\n",traza);
system("PAUSE");
return 0;
}
ú
7