- 7-1 - PROBLEMA Nº7 Cálculo de longitudes de pandeo y

PIEZAS A COMPRESIÓN
PROBLEMA Nº7
Cálculo de longitudes de pandeo y esbelteces mecánicas de diferentes tipos de
piezas de directriz recta sometidas a compresión:
a) Barras de estructura triangulada
Calcular las longitudes de pandeo de las barras que constituyen la estructura de
nudos articulados de la figura. Supóngase que hay condiciones de unión en el plano de la
estructura entre las barras 8 y 9, y que sus esfuerzos axiles son: N9=-8 t, N8=6 t.
2
9
8
1
3
7
45
10
L9 *
6
3m
5
4
5m
3m
SOLUCIÓN:
La tabla 3.2.4.2 de EA-95 dá los coeficientes β para barras de estructuras trianguladas.
Si tenemos en cuenta que la longitud de pandeo es Lk=L·β podemos confeccionar el cuadro:
BARRA LONGITUD
Nº
REAL
1
2-5
3
4-6
7-10
9
3 2
5
3 2
3
3
32 +52 = 34
COEFICIENTES (β)
LONGITUD DE PANDEO LK (metros)
PLANO
PLANO PERPEND.
PLANO
PLANO PERPEND.
1
1
1
1
0,8
β = 0,8 pero
1
1
1
1
1
3 2
3 2
5
5
3 2
3 2
3
2,4
0,8 8,5 = 2,33
3
3
0,66 34 = 3,85
L' 9 =
34
=
2
8 ,5
N 8⋅ L 9
N 9⋅L 8
β = 0 ,6 6 1
1− 0 , 7 5 ⋅
- 7-1 -
PIEZAS A COMPRESIÓN
b) Soportes de estructuras porticadas de una altura
b-1) Pórtico simple
Calcular la longitud de pandeo de un
q
Io
soporte correspondiente al pórtico biarticulado
I,A
de la figura suponiendo los datos siguientes:
I,A
L
P
I=I0=5690cm4
A=80cm2
L=10m
b=12m
P=15t
P1=8t
P1
b
SOLUCIÓN:
β = 0,5 ⋅ ( 1 + m) ⋅ 4 + 1,4 ⋅ ( c + 6 ⋅ s) + 0,02 ⋅ ( c + 6 ⋅ s)
m=
c=
s=
2
P1 8
= = 0,53 < 1
P 15
I ⋅ b 5690 ⋅ 12
=
= 1,2 < 10
I 0 ⋅ L 5690 ⋅ 10
4⋅I
4 ⋅ 5690
= 1,9 ⋅ 10−4 < 0,2
=
2
2
b ⋅ A 1200 ⋅ 80
β = 0,5 ⋅ ( 1 + 0,53) ⋅ 4 + 1,4 ⋅ ( 1,2 + 6 ⋅ 1,9 ⋅ 10−4 ) + 0,02 ⋅ ( 1,2 + 6 ⋅ 1,9 ⋅ 10−4 )
β = 2,09
LK = L ⋅ β = 10 ⋅ 2,09 = 20,9 m.
- 7-2 -
PIEZAS A COMPRESIÓN
b-2) Pórticos adosados
Calcular la longitud de pandeo de los soportes de la estructura doblemente
porticada de la figura, suponiendo los datos siguientes:
Io
Io
Io
I,A
Io
I2
P
L
I,A
P2
I=1940cm4 ;
A=28,5cm2
I2=I ;
I0=1320cm4
P=4t ;
P2=6t
b=12m ;
L=4,4m
P
b
b
SOLUCIÓN:
En tabla 3.2.4.3 Caso 2a de la EA-95 tenemos
* Coeficientes adimensionales:
p=
s=
P2 6
= = 1,5;
P 4
c=
I⋅b
1940 ⋅ 12
=
= 4 < 10 ;
I 0 ⋅ L 1320 ⋅ 4,4
4⋅I
4 ⋅ 1940
= 1,85 ⋅ 10−4 < 0,2 ;
=
2
2
b ⋅ A 1200 ⋅ 28,5
t=
9
9
C n = c + ⋅ s = 4 + ⋅ 1,89 ⋅ 10−4 = 4
4
4
* Soportes extremos.
β=
1 + 0,4 ⋅ C n 2 + p 1 + 0,4 ⋅ 4 2 + 1,5
⋅
=
⋅
= 1,56
1 + 0,2 ⋅ C n
2 + t 1 + 0,2 ⋅ 4
2 +1
L K = β ⋅ L = 1,56 ⋅ 4,4 = 6,86 m
* Soporte intermedio.
β=
1 + 0,4 ⋅ C n 2 + p
t
⋅
⋅
= 1,27
1 + 0,2 ⋅ C n
2+ t
p
L K = β ⋅ L = 1,27 ⋅ 4,4 = 5,59 m
c) Pilares de edificios.
- 7-3 -
I2
=1
I
PIEZAS A COMPRESIÓN
Calcular las longitudes de pandeo de los pilares Nº2 y Nº7 del edificio de la figura
a partir de los datos que se acompañan y suponiendo:
1º) Existen recuadros arriostrados.
2º) No hay recuadros arriostrados.
g
9
d
5
h
10
e
6
1
11
f
I2=I3=70000cm4
2m
I6=I7=48000cm4
3m
L
c
I10=I11=30000cm4
Ia=Ic=30000cm4
4
3
2
12
8
7
b
a
DATOS:
i
Ib=45000cm4
5m
Id=If=24000cm4
Ie=30000cm4
5m
8m
5m
SOLUCIÓN:
I V IW
+
L V LW
K=(grado de empotramiento de un pilar en el plano del pórtico)=
I I p I V IW
+
+
+
L L P L V LW
I, L=Momento de Inercia y Longitud del Pilar en cuestión
IP, LP=Momento de Inercia y Longitud del Pilar adyacente en el nudo
IV, LV=Momento de Inercia y Longitud de la Viga Izquierda, si esta unida rígidamente
IW, LW=Momento de Inercia y Longitud de la Viga Derecha, si esta unida rígidamente
-K=1, Si el pilar se empotra en la cimentación.
-K=0, Si la unión del extremo considerado al nudo no es rígida ó si en la cimentación
se enlaza con una rótula.
PILAR Nº2:
- 7-4 -
PIEZAS A COMPRESIÓN
* Grado de empotramiento en el nudo superior:
K 2 ,2
Ia
Ib
30000 45000
+
+
La Lb
500
800
= 0,279
=
=
70000 48000 30000 45000
I2
I6
Ia
Ib
+
+
+
+
+
+
500
300
500
800
L2 L6 La Lb
* Grado de empotramiento en el nudo inferior:
K1,2 =0, (por estar articulado a la cimentación)
Entrando en tablas 3.2.4.4 A y 3.2.4.4 B de EA-95 tenemos:
-Recuadros arriostrados (tabla 3.2.4.4 A):
β = 0,936 → L K = 5 ⋅ 0,936 = 4,68m
-Recuadros sin arriostrar (tabla 3.2.4.4 B):
β = 2,87 → L K = 5 ⋅ 2,87 = 14,35m
PILAR Nº 7
* Grado de empotramiento en el nudo inferior:
K1,7
I b Ic
45000 30000
+
+
L b Lc
800
500
=
= 0,279
=
I 7 I 3 I b I c 48000 70000 45000 30000
+ +
+
+
+
+
L7 L 3 L b Lc
300
500
800
500
* Grado de empotramiento en el nudo superior:
- 7-5 -
PIEZAS A COMPRESIÓN
K2 ,7
If
Lf
24000
500
=
=
= 0,13
I 7 I11
If
48000 30000 24000
+
+ 0+
+
+
L7 L11
Lf
300
200
500
0+
Entrando en tablas 3.2.4.4 A y 3.2.4.4 B de EA-95 tenemos:
-Recuadros arriostrados (tabla 3.2.4.4 A):
K1 = 0,279 ; K2 = 0,13
β = 0,91 →
L K = 3 ⋅ 0,91 = 2,73m
- Recuadros sin arriostrar (tabla 3.2.4.4 B):
K1 = 0,279 ; K2 = 0,13
β = 2,19 →
LK = 3 ⋅ 2,19 = 6,57 m
- 7-6 -
PIEZAS A COMPRESIÓN
d) Piezas de sección constante sometidas a compresión variable.
Calcular la longitud de pandeo para el soporte con un extremo empotrado y el
otro articulado, sometido a la carga de compresión linealmente variable que se indica.
Suponer que se trata de la parte inferior de un
pilar de una nave, tal que a la altura de la
cabeza de esta parte del pilar esté situada la
viga carril que inmoviliza dicho extremo y por
ello lo consideramos como una articulación.
SOLUCIÓN:
Según la tabla 3.2.4.5: C=1,65; K=5,42
así tenemos:
β=
66
N*
1 + 1,65 ⋅
170 = 0,55
N =
5,42
K
1+ C ⋅
→ LK = 0,55 ⋅ 8 = 4,4 m
e) Cálculo de esbelteces de piezas compuestas.
Calcular las esbelteces mecánicas respecto a los dos planos del perfil compuesto
de 6m que se muestra en la figura. Suponer el pilar empotrado-articulado y sometido a
dos cargas centradas de 25t y 20t, aplicadas a los 4 y 5m del empotramiento.
(L 3 5 x 4 )
(L 4 0 x 4 )
( IP E 1 4 0 )
L1
L1
L1=70cm
- 7-7 -
6 m
4 m
5 m
s=13cm
20 t
25 t
PIEZAS A COMPRESIÓN
SOLUCIÓN:
Vamos a obtener primeramente la longitud de pandeo de la pieza (tabla 3.2.4.6 EA95)
)
L1 2
= = 0,3 →
L 6
)
L1 1
= = 0,16 →
L 6
β12 = 0,225 ;
α1 =
β22 = 0,317 ;
)
25
= 0,5
20 + 25
α2 =
)
20
= 0,4
45
)
)
β = α1 ⋅ β12 + α2 ⋅ β22 = 0,5 ⋅ 0,225 + 0,4 ⋅ 0,317 = 0,515
de donde la longitud de pandeo será: L k = β ⋅ L = 0,515 ⋅ 6 = 3,09 m
* Datos del perfil IPE 140:
A=16,4cm2,
Ix=541cm4,
Iy=44,9cm4, ix=5,74cm,
iy=1,65cm
* Esbelteces.
La esbeltez para el pandeo en el plano perpendicular al eje x (eje material) será:
λx=
L k 3,09 m 309cm
=
=
= 53,83
5,47cm
i
ix
La esbeltez mecánica ideal en el plano perpendicular al eje de inercia libre vale:
⎛L ⎞ m
2
λ i = ⎜ k ⎟ + ⋅ ( λ1 )
⎝ iy ⎠ 2
2
siendo:
- 7-8 -
PIEZAS A COMPRESIÓN
m=(nº de perfiles simples)=2
Lk=(longitud de pandeo)=3,09m
Iy
2( 44,9 + 16,4 ⋅ ( 13 / 2)
iy =
=
A
2 ⋅ 16,4
2
)
= 6,7cm
⎛ d3
A
s3 ⎞
λ 1( montantes y diagonales) = π ⋅
⋅⎜
+
⎟
n ⋅ L1 ⋅ s2 ⎝ A D A M ⎠
A=Área de la sección bruta de los cordones = 16,4·2=32,8cm2
L1=Máxima luz parcial del cordón = 70cm
s=Separación entre ejes de cordones = 13cm
n=nº de planos de presillas iguales = 2
d=longitud de una diagonal = 132 + 702 = 7119
, cm
AD=Sección bruta de una diagonal=(L40.4) = 3,08cm2
AM=Sección bruta de un montante=(L35.4) = 2,67cm2
así se tiene que λ1 vale:
3
⎛ ( 7119
( 13 cm) 3 ⎞
32,8 cm2
, cm)
λ 1 = π⋅
⋅
+
⎟ = 40,17
2 ⎜
2,67 cm2 ⎠
2 ⋅ 70 cm ⋅ ( 13 cm) ⎝ 3,08 cm2
de modo que la esbeltez ideal vale:
⎛ 309 cm ⎞ 2
2
⎟ + ⋅ ( 40,17) = 6116
,
λi= ⎜
⎝ 6,7 cm ⎠ 2
2
- 7-9 -