Factorización de Casos Especiales

Lección 6: Factorización de
Casos Especiales
Dra. Noemí L. Ruiz Limardo
2009 ©
Objetivos de la Lección
Al finalizar esta lección los estudiantes:
• Identificarán polinomios que representan una
Diferencia de Cuadrados, una Suma o Diferencia de
Cubos, y Trinomios Cuadráticos Perfectos.
• Factorizarán polinomios que representan productos
especiales: Diferencia de Cuadrados, Diferencia de
Cubos, Suma de Cubos y Trinomio Cuadrático
Perfecto.
• Factorizarán polinomios usando la estrategia de
Agrupación conjuntamente con Trinomios
Cuadráticos Perfectos o Diferencia de Cuadrados.
Introducción
• En la lección 2 estudiamos la multiplicación de
polinomios y conocimos los patrones que se forman
cuando tenemos productos especiales.
• Algunos de los productos especiales que estudiamos
fueron:
– Cuadrado de una Suma o una Resta
– Diferencia de Cuadrados
• En cada uno de esos productos se obtiene como
resultado un polinomio que representa un método de
factorización.
• En esta lección conoceremos los métodos de
factorización que se relacionan con estos productos
especiales.
Trinomios Cuadráticos
Perfectos
Explorando la factorización de Trinomios
Cuadráticos Perfectos
Factoriza los polinomios a continuación por el método de
Trinomios Cuadráticos:
x2 + 6x + 9 = (x + 3) 2
x2 + 10x + 25 = (x + 5) 2
x2 - 8x + 16 = (x - 4) 2
4x2 + 12x + 9 = (2x + 3) 2
25x2 - 20x + 4 = (5x - 2) 2
16x4 + 8x2 + 1 = (4x2 + 1) 2
Después de factorizarlos en tu
libreta, haz clic para ver resultados
¿Qué patrón observas en el resultado?
x2 + 6x + 9 = (x + 3) 2
x2 + 10x + 25 = (x + 5) 2
x2 - 8x + 16 = (x - 4) 2
4x2 + 12x + 9 = (2x + 3) 2
25x2 - 20x + 4 = (5x - 2) 2
16x4 + 8x2 + 1 = (4x2 + 1) 2
Observa que los
trinomios están
ordenados en forma
descendente.
La factorización produce el Cuadrado de una Suma
o el Cuadrado de una Resta. Estos representan dos
productos especiales que estudiamos previamente.
Recuerda
• El producto especial Cuadrado de una Suma o
Cuadrado de una Resta se puede representar
con la siguiente fórmula:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Producto Especial: Cuadrado de
una Suma
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
• Para elevar al cuadrado una suma, cuadramos
el primer término (a2), añadimos luego el
doble del producto de ambos términos (2ab),
y finalmente sumamos el cuadrado del
segundo término (b2).
Producto Especial: Cuadrado de
una Resta
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
• Para elevar al cuadrado una resta, cuadramos
el primer término (a2), añadimos luego el
doble del producto de ambos términos (-2ab),
y finalmente sumamos el cuadrado del
segundo término (b2).
Reflexión
• Si tenemos un trinomio cuadrático y
deseamos obtener los factores que se
multiplican para obtener ese polinomio, sin
tener que factorizar por el método de
Trinomios Cuadráticos, ¿qué debemos hacer?
• Observa que podemos usar el conocimiento
de los patrones que se forman para obtener
los factores sin tener que factorizar por
trinomios cuadráticos.
• Veamos….
¿Cómo son el primer término y el último
término de cada trinomio cuadrático?
x2 + 6x + 9 =
x2 + 10x + 25 =
x2 - 8x + 16 =
4x2 + 12x + 9 =
25x2 - 20x + 4 =
16x4 + 8x2 + 1 =
(x + 3) 2
(x + 5) 2
(x - 4) 2
(2x + 3) 2
(5x - 2) 2
(4x 2 + 1) 2
Haz clic para
ver los
cuadrados
perfectos.
- El primer y tercer término de cada trinomio
cuadrático son cuadrados perfectos.
- Observa también que ambos términos son
positivos.
¿Cómo son el primer término y el último
término de cada trinomio cuadrático?
x2 + 6x + 9 =
x2 + 10x + 25 =
x2 - 8x + 16 =
4x2 + 12x + 9 =
25x2 - 20x + 4 =
16x4 + 8x2 + 1 =
(x + 3) 2
(x + 5) 2
(x - 4) 2
(2x + 3) 2
(5x - 2) 2
(4x 2 + 1) 2
- El primer y tercer término de cada trinomio cuadrático
son cuadrados perfectos.
- Observa también que ambos términos son positivos.
¿Qué relación hay entre el término del
medio y los otros dos términos?
x2 + 6x + 9 =
x2 + 10x + 25 =
x2 - 8x + 16 =
4x2 + 12x + 9 =
25x2 - 20x + 4 =
16x4 + 8x2 + 1 =
(x + 3) 2
(x + 5) 2
(x - 4) 2
(2x + 3) 2
(5x - 2) 2
(4x 2 + 1) 2
Haz clic para
ver la relación.
-El término del medio es el doble del producto de la raíz cuadrada del
primer término por la raíz cuadrada del tercer término.
-Observa que el término del medio puede ser positivo o negativo.
El término del medio es el doble del producto de la
raíz cuadrada del primer término por
la raíz cuadrada del tercer término
x2 + 6x + 9 =
6x es el doble de la raíz cuadrada de x2, que es x, por la raíz
cuadrada de 9, que es 3, o sea: 6x = 2(3x)
x2 + 10x + 25 =
x2 - 8x + 16 =
10x es el doble de la raíz cuadrada de x2, que es x, por la
raíz cuadrada de 25, que es 5, o sea: 10x = 2(5x)
-8x es el doble de la raíz cuadrada de x2, que es x, por la
raíz cuadrada de 16, que es -4, o sea: -8x = 2(-4x)
4x2 + 12x + 9 =
12x es el doble de la raíz cuadrada de 4x2, que es 2x, por la
raíz cuadrada de 9, que es 3, o sea: 12x = 2(3.2x)
25x2 - 20x + 4 =
-20x es el doble de la raíz cuadrada de 25x2, que es 5x, por
la raíz cuadrada de 4, que es -2, o sea: -20x = 2(-2.5x)
16x4 + 8x2 + 1 =
8x es el doble de la raíz cuadrada de 16x4, que es 4x2, por
la raíz cuadrada de 1, que es 1, o sea: 8x2 = 2(1.4x2)
Trinomios Cuadráticos Perfectos
•
•
Los patrones descritos anteriormente
se pueden escribir mediante una
fórmula:
a2 + 2ab + b2
ó
a2 - 2ab + b2
Esta clase de trinomios cuadráticos se
llaman Trinomios Cuadráticos
Perfectos
Después de verificar que el trinomio cuadrático
es un Trinomio Cuadrático Perfecto…
• En vez de factorizar por el método de los trinomios
cuadráticos, podemos factorizar aplicando la siguiente
fórmula:
a2 + 2ab + b2 = ( a + b ) 2
a2 - 2ab + b2 = ( a - b ) 2
• O sea, sacamos la raíz cuadrada del primer término (a) y
del tercer término (b) y escribimos éstas raíces dentro de
un binomio elevado al cuadrado.
• Observa que:
– Si el signo del término del medio es suma, el binomio
es de suma.
– Si el signo del medio es de resta, el binomio es de
resta.
Recuerda que…
• Para poder aplicar la fórmula anterior, tenemos
que asegurarnos primero que el trinomio
cuadrático es un trinomio cuadrático perfecto.
• Esto es, que se dan los patrones que
distinguen el trinomio cuadrático perfecto:
– El primer y tercer término son cuadrados
perfectos y ambos positivos.
– El término del medio es el doble del producto de
la raíz cuadrada del primero por la raíz cuadrada
del tercero. El término del medio puede ser
positivo o negativo.
a2 + 2ab + b2 = ( a + b ) 2
a2 - 2ab + b2 = ( a - b ) 2
Identifica si el polinomio es un
trinomio cuadrático perfecto
3x2 + 4x + 16
• Observa que el primer término 3x2 no es un
cuadrado perfecto porque, aunque x2 es un
cuadrado perfecto, el 3 no lo es.
• Por tanto, el polinomio no es un trinomio
cuadrático perfecto.
Identifica si el polinomio es un
trinomio cuadrático perfecto
x2 + 6x + 11
• Observa que el último término 11 no es un
cuadrado perfecto.
• Por tanto, el polinomio no es un trinomio
cuadrático perfecto.
Identifica si el polinomio es un
trinomio cuadrático perfecto
x2 - 8x + 16
• El primer y tercer término son cuadrados perfectos y
ambos positivos.
• El término del medio es el doble del producto de la
raíz cuadrada del primero, x, por la raíz cuadrada
del tercero, -4.
• Si el término del medio es negativo significa que la raíz
cuadrada es negativa.
• Recuerda que la raíz cuadrada de 16 puede ser 4 ó -4, ya
que 42 = 16 y (-4) 2 = 16.
• Por tanto, el polinomio es un trinomio cuadrático
perfecto.
Identifica si el polinomio es un
trinomio cuadrático perfecto
x2 + 14x - 49
• Observa que el último término es negativo.
• Por tanto, el polinomio no es un trinomio
cuadrático perfecto.
Identifica si el polinomio es un
trinomio cuadrático perfecto
•
•
•
•
100x2 + 81 – 180x
Observa que el trinomio no está en orden descendente. Para
facilitar el poder identificarlo colocamos en orden
descendente:
100x2 – 180x + 81
El primer y tercer término son cuadrados perfectos y ambos
positivos.
El término del medio es el doble del producto de la raíz
cuadrada del primero, 10x, por la raíz cuadrada del tercero, 9.
Por tanto, el polinomio es un trinomio cuadrático perfecto.
Factorización de Trinomios
Cuadráticos Perfectos
Importante
• Cuando los polinomios son trinomios
cuadráticos perfectos, se pueden factorizar
aplicando la fórmula en vez de usar el
proceso general para trinomios cuadráticos.
• Pero, si se te olvida la fórmula de los
trinomios cuadráticos perfectos, recuerda
que siempre los puedes factorizar por el
método de trinomios cuadráticos ya que
siempre serán trinomios cuadráticos
además de perfectos.
Ejemplo 1
• Factoriza aplicando la fórmula de trinomios cuadráticos
perfectos:
x2 + 10x + 25
• Primero, nos aseguramos que el trinomio es un trinomio
cuadrático perfecto. En este caso el primer y tercer término
son cuadrados perfectos positivos (x2 y 25) y el término del
medio es el doble del producto de las raíces cuadradas del
primero y el tercero (2.5x), por tanto es un trinomio
cuadrático perfecto.
• Podemos aplicar la fórmula de trinomios cuadráticos
perfectos, esto es: Construimos un binomio compuesto por la
raíz cuadrada del primero (x) y la raíz cuadrada del tercero (5).
Expresamos el binomio elevado al cuadrado:
x2 + 10x + 25 = (x + 5) 2
Ejemplo 2
• Factoriza aplicando la fórmula de trinomios cuadráticos
perfectos:
x2 + 14x + 49
• Primero, nos aseguramos que el trinomio es un trinomio
cuadrático perfecto. En este caso el primer y tercer término
son cuadrados perfectos positivos (x2 y 49) y el término del
medio es el doble del producto de las raíces cuadradas del
primero y el tercero (2.7x), por tanto es un trinomio
cuadrático perfecto.
• Podemos aplicar la fórmula de trinomios cuadráticos
perfectos, esto es: Construimos un binomio compuesto por la
raíz cuadrada del primero (x) y la raíz cuadrada del tercero (7).
Expresamos el binomio elevado al cuadrado:
x2 + 14x + 49 = (x + 7) 2
Ejemplo 3
• Factoriza aplicando la fórmula de trinomios cuadráticos
perfectos:
9x2 - 30x + 25
• Primero, nos aseguramos que el trinomio es un trinomio
cuadrático perfecto. En este caso el primer y tercer término
son cuadrados perfectos positivos (9x2 y 25) y el término del
medio es el doble del producto de las raíces cuadradas del
primero y el tercero (2 . -5 . 3x), por tanto es un trinomio
cuadrático perfecto.
• Podemos aplicar la fórmula de trinomios cuadráticos
perfectos, esto es: Construimos un binomio compuesto por la
raíz cuadrada del primero (3x) y la raíz cuadrada del tercero
(-5). Expresamos el binomio elevado al cuadrado:
9x2 - 30x + 25 = (3x - 5) 2
Ejemplo 4
• Factoriza aplicando la fórmula de trinomios cuadráticos
perfectos:
16x2 + 49 + 56x
• Primero, acomodamos en orden descendente:
16x2 + 56x + 49
• Verificamos que cumple con las características de un trinomio
cuadrático perfecto.
• Podemos aplicar la fórmula de trinomios cuadráticos
perfectos, esto es: Construimos un binomio compuesto por la
raíz cuadrada del primero (3x) y la raíz cuadrada del tercero
(-5). Expresamos el binomio elevado al cuadrado:
16x2 + 56x + 49 = (4x + 7) 2
Ejemplo 5
• Factoriza aplicando la fórmula de trinomios cuadráticos
perfectos:
-20xy + 4y2 + 25x2
• Primero, acomodamos en orden descendente:
25x2 - 20xy + 4y2
• Verificamos que cumple con las características de un trinomio
cuadrático perfecto.
• Aplicando la fórmula tenemos que la factorización es:
25x2 - 20xy + 4y2 = (5x – 2y) 2
Ejercicios de Práctica
Instrucciones
• Factoriza completamente los polinomios
a continuación en tu libreta.
• Después de hacer el ejercicio, haz clic
para ver resultados.
Factoriza aplicando la fórmula de
Trinomios Cuadráticos Perfectos
x2 - 10xy + 25y2 = (x - 5y) 2
9x2 + 6xy + y2 =
(3x + y) 2
36 - 12x4 + x8 =
(6 - x 4 ) 2
x4 + 8x2 + 16 =
(x 2 + 4) 2
Factoriza aplicando la fórmula de
Trinomios Cuadráticos Perfectos
4x2 - 20xy + 25y2 =
x2 + 12x + 4 =
(2x - 5y) 2
No es trinomio cuadrático perfecto. Tampoco se
puede factorizar por trinomios cuadráticos. El
polinomio es primo.
x2 + 16x + 64 =
(x + 8) 2
x6 - 6x3 + 9 =
(x 3 - 3) 2
x2 + 18x - 81 =
No es trinomio cuadrático perfecto. Tampoco se
puede factorizar por trinomios cuadráticos. El
polinomio es primo.
Diferencia de
Cuadrados
Reflexión
• Hay polinomios que representan una diferencia de
dos cuadrados perfectos.
• Por ejemplo:
x2 - 9
x2 - y2
16 - a2
• Recuerda que diferencia significa resta.
• Para aprender a factorizar esta clase de polinomios,
hagamos un ejercicio de exploración en la próxima
pantalla . . .
Multiplica los siguientes binomios:
(x + 5) (x – 5) =
x2 - 25
(y – 3) (y + 3) =
y2 - 9
(3x + 6) (3x – 6) =
9x2 - 36
(7 + 4y) (7 – 4y) =
49 – 16y2
Después de multiplicar en tu libreta,
haz clic para ver resultados.
¿Qué patrón observas en el resultado?
(x + 5) (x – 5) = x2 – 25
(y – 3) (y + 3) =
y2 – 9
(3x + 6) (3x – 6) = 9x2 – 36
(7 + 4y) (7 – 4y) =
49 – 16y2
El patrón es:
1.
El resultado es un binomio.
2.
El binomio es de resta.
3.
Los dos términos del binomio son cuadrados perfectos.
El resultado representa la diferencia de dos cuadrados perfectos.
¿Qué relación hay entre los dos binomios que
se multiplican y el binomio que se obtiene en
el resultado?
(x + 5) (x – 5) =
x2 – 25
(y – 3) (y + 3) = y2 – 9
(3x + 6) (3x – 6) = 9x2 – 36
2
49
–
16y
(7 + 4y) (7 – 4y) =
-Los dos factores son iguales, excepto que tienen signos contrarios, uno
es de +, y el otro es de – .
-Cada término de los binomios que se multiplican es la raíz cuadrada de
cada término del binomio en el resultado.
-El binomio en el resultado es una diferencia de dos cuadrados
perfectos.
¿Cómo hallar los dos factores partiendo
del polinomio que es una diferencia de
dos cuadrados perfectos?
1. Se extrae la raíz cuadrada de cada
término del binomio.
2. Se colocan las raíces cuadradas en dos
factores diferentes. A uno se le coloca el
signo de +, y al otro se le coloca el signo
de – .
Factorización de Diferencia de
Cuadrados
Ejemplo 1
• Factoriza: x2 – 9
• Verificamos que el polinomio es una diferencia
de dos cuadrados perfectos.
• Extraemos la raíz cuadrada de cada término del
binomio y colocamos las raíces en dos factores
diferentes. A uno le colocamos el signo de +, y
al otro le colocamos el signo de – .
x2 – 9 = (x + 3) (x – 3)
Ejemplo 2
• Factoriza: 25y6 – 49x2
• Verificamos que el polinomio es una diferencia
de dos cuadrados perfectos.
• Extraemos la raíz cuadrada de cada término del
binomio y colocamos las raíces en dos factores
diferentes. A uno le colocamos el signo de +, y
al otro le colocamos el signo de – .
25y6 – 49x2 = (5y3 + 7x) (5y3 – 7x)
Ejemplo 3
• Factoriza: x4 – y8
• Verificamos que el polinomio es una diferencia
de dos cuadrados perfectos.
• Extraemos la raíz cuadrada de cada término del
binomio y colocamos las raíces en dos factores
diferentes. A uno le colocamos el signo de +, y
al otro le colocamos el signo de – .
x4 – y8 = (x2 – y4) (x2 + y4)
Haz clic para ver continuación.
Ejemplo 3
•
•
•
•
•
x4 – y8 = (x2 – y4) (x2 + y4)
Este ejercicio puede seguir factorizándose.
Observa que el primer factor (x2 – y4) se puede volver
a factorizar por diferencia de cuadrados.
Si factorizamos este factor tenemos:
x2 – y4= (x – y2) (x + y2)
La factorización completa sería:
x4 – y8 = (x – y2) (x + y2) (x2 + y4)
Observa que el factor (x2 + y4) no es una diferencia de
cuadrados ya que es una suma.
Reflexión
¿Cómo reconocer cuando el polinomio
se puede factorizar por Diferencia de
Cuadrados?
El polinomio tiene que tener las siguientes
características:
1. El polinomio es un binomio.
2. El binomio es de resta.
3. Cada término del binomio es un cuadrado
perfecto.
Recuerda cuáles son los cuadrados
perfectos…
De los coeficientes numéricos y constantes:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 144, …
De las variables:
x2, x4, x6, x8, x10, x12, x14, …
Observa que el exponente de la variable es un
número par. La raíz cuadrada de una potencia se
obtiene dividiendo el exponente por 2.
Ejercicios de Práctica
Instrucciones
• Factoriza completamente los polinomios a
continuación en tu libreta y luego haz clic para
ver los resultados.
• Recuerda que debes asegurarte de que está
completamente factorizado.
• Esto significa que ya no puede factorizarse
más, o sea, que todos los factores son primos.
Factoriza completamente
x2 – 81
x2 – 25y2 =
= (x + 9) (x – 9)
(x + 5y) (x – 5y)
9x4 + 16 = No se puede factorizar. Hay una
suma. El polinomio es primo.
x8y6 – 144 = (x4y3 + 12) (x4y3 – 12)
El orden de los factores no altera el resultado. Por eso puedes escribir
los factores en cualquier orden, primero el de suma y luego el de
resta, o al revés.
Factoriza completamente
4x2 – 9 = (2x – 3) (2x + 3)
36 – 49x10 = (6 – 7x5) (6 + 7x5)
1 – 16x2 = (1 – 4x) (1 + 4x)
64x2 – y2 =
x2
– 6 =
(8x – y) (8x + y)
No se puede factorizar. El 6 no es un
cuadrado perfecto. El polinomio es primo.
Suma o Diferencia
de Cubos
Reflexión
• A veces tenemos que factorizar
polinomios que representan una suma o
diferencia de dos cubos perfectos.
• Esta clase de polinomios se factoriza
aplicando una fórmula.
• Para poder entender la fórmula, veamos
un ejercicio de exploración.
Multiplica los siguientes polinomios:
(x + 2) (x2 – 2x + 4) = x3 + 8
(y – 1) (y2 + y + 1)
= y3 – 1
(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3
(a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3
Después de multiplicar en tu libreta,
haz clic para ver resultados.
¿Qué patrones observas en el resultado?
(x + 2) (x2 – 2x + 4) = x3 + 8
(y – 1) (y2 + y + 1)
= y3 – 1
(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3
(a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3
En el resultado el patrón es:
1.
El resultado es un binomio.
2.
El binomio es de resta o de suma.
3.
Los dos términos del binomio son cubos perfectos.
¿Qué patrones observas en los factores
que se multiplican?
(x + 2) (x2 – 2x + 4) = x3 + 8
(y – 1) (y2 + y + 1)
= y3 – 1
(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3
(a – b)
(a2
+ ab +
b2)
3 – b3
a
=
En los factores que se multiplican el patrón es:
-Los dos polinomios que se multiplican son un binomio y un
trinomio cuadrático.
-En el binomio hay una suma o una resta.
-Los dos términos del binomio son la raíz cúbica de los dos
términos que aparecen en el polinomio del resultado.
¿Qué haríamos si queremos obtener los
factores partiendo del polinomio en el
resultado?
• Para obtener el binomio sacamos la raíz cúbica de cada
término en el polinomio del resultado.
• Escribimos en el binomio el mismo signo que aparezca
en el polinomio, ya sea + ó –.
• Veamos...
a3 + b3 = (a + b) (…)
a3 – b3 = (a – b) (…)
• Para obtener el trinomio cuadrático, veamos la próxima
pantalla.
¿Qué haríamos para obtener el trinomio?
• Para obtener el trinomio cuadrático, nos concentramos en
el binomio obtenido en el primer factor.
a3 + b 3
a3 – b3
=
=
(a + b) (a2 – ab + b2)
(a – b) (a2 + ab + b2)
• El primer término del trinomio es el cuadrado del primer
término del binomio.
(a + b) (a2 – ab + b2)
(a – b) (a2 + ab + b2)
• El segundo término del trinomio es el producto de los dos
términos del binomio, con el signo opuesto al signo que
aparezca en el binomio.
(a + b) (a2 – ab + b2)
(a – b) (a2 + ab + b2)
• El último término del trinomio es el cuadrado del último
término del binomio, con el signo de + siempre.
(a + b) (a2 – ab + b2)
(a – b) (a2 + ab + b2)
Fórmula para factorizar Suma o
Diferencia de Cubos
• El proceso anterior se puede resumir en una
fórmula.
• Para factorizar la suma o diferencia de dos
cubos, aplicamos la fórmula siguiente:
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
Pasos a seguir para factorizar cubos:
• Sacamos la raíz cuadrada de cada término del
polinomio y escribimos el mismo signo de + ó – . Esto
nos dará el primer factor, o sea, el binomio.
• Luego, nos concentramos en el binomio construido en
el paso anterior para obtener el otro factor que es un
trinomio.
• Elevamos al cuadrado el primer término del binomio y
este será el primer término del trinomio.
• Multiplicamos los dos términos del binomio pero con
el signo opuesto. Este será el segundo término del
trinomio.
• Por último, elevamos al cuadrado el segundo término
del binomio con el signo de + siempre. Este será el
último término del trinomio.
Importante recordar cuáles son los
cubos perfectos
En los coeficientes numéricos o constantes:
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000,...
En las variables:
x3, x6, x9, x12, x15, x18, x21, x24, …
Observa que los exponentes de las variables son
múltiplos de tres. La raíz cúbica de una potencia se
obtiene dividiendo el exponente por 3.
Importante
• Cuando los polinomios representan cubos
perfectos, se pueden factorizar aplicando
la fórmula de factorizar cubos.
• Pero, para poder aplicar la fórmula hay que
asegurarse de que el polinomio tiene las
características que tiene que tener un
polinomio que representa una suma o una
diferencia de dos cubos perfectos.
• Veamos...
Características del polinomio que
representa el método de cubos
1. El polinomio es un binomio.
2. El binomio es de resta o de suma.
3. Cada término del binomio tiene que ser un
cubo perfecto.
Factorización de Suma o
Diferencia de Cubos
Ejemplo 1
Factoriza: a3 + 8
• Verificamos que el polinomio tiene las características de una
suma de cubos.
• Sacamos la raíz cúbica de cada término y lo colocamos en un
binomio.
a3 + 8 = (a + 2)
• Para construir el trinomio nos fijamos en el binomio
construido anteriormente y aplicamos la fórmula:
a3 + 8 = (a + 2) (a2 – 2a + 4)
La fórmula:
-Elevamos al cuadrado el primer término del binomio y este será el primer término del
trinomio.
-Multiplicamos los dos términos del binomio pero con el signo opuesto. Este será el segundo
término del trinomio.
-Elevamos al cuadrado el segundo término del binomio con el signo de + siempre. Este será
el último término del trinomio.
Ejemplo 2
Factoriza: 27x3 – 1
• Verificamos que el polinomio tiene las características de una
suma de cubos.
• Sacamos la raíz cúbica de cada término y lo colocamos en un
binomio.
27x3 – 1 = (3x – 1)
• Para construir el trinomio nos fijamos en el binomio
construido anteriormente y aplicamos la fórmula:
27x3 – 1 = (3x – 1) (9x2 + 3x + 1)
La fórmula:
-Elevamos al cuadrado el primer término del binomio y este será el primer término del
trinomio.
-Multiplicamos los dos términos del binomio pero con el signo opuesto. Este será el segundo
término del trinomio.
-Elevamos al cuadrado el segundo término del binomio con el signo de + siempre. Este será
el último término del trinomio.
Ejemplo 3
Factoriza: 64 – 125x3
• Verificamos que el polinomio tiene las características de una
suma de cubos.
• Sacamos la raíz cúbica de cada término y lo colocamos en un
binomio.
64 – 125x3 = (4 – 5x)
• Para construir el trinomio nos fijamos en el binomio
construido anteriormente y aplicamos la fórmula:
64 – 125x3 = (4 – 5x) (16 + 20x + 25x2)
La fórmula:
-Elevamos al cuadrado el primer término del binomio y este será el primer término del
trinomio.
-Multiplicamos los dos términos del binomio pero con el signo opuesto. Este será el segundo
término del trinomio.
-Elevamos al cuadrado el segundo término del binomio con el signo de + siempre. Este será
el último término del trinomio.
Ejemplo 4
Factoriza: 24a3 + 3
• Este polinomio no tiene las características de una suma de
cubos ya que 24 no es un cubo perfecto, pero podemos
factorizar por factor común. Veamos:
24a3 + 3 = 3 (8a3 + 1)
• El polinomio dentro del paréntesis es una suma de cubos.
Factorizamos la suma de cubos y tenemos:
24a3 + 3 = 3 (8a3 + 1)
= 3 (2a + 1) (4a2 – 2a + 1)
Ejemplo 5
Factoriza: x6 – 1
• Este polinomio puede factorizarse por Diferencia de Cubos o
Diferencia de Cuadrados. Siempre que tengamos esta
situación, factorizamos primero por diferencia de cuadrados .
• Veamos:
x6 – 1 = (x3 + 1) (x3 – 1)
• Ahora factorizamos cada factor por el método de los cubos y
tenemos:
x6 – 1 =
(x3 + 1)
(x3 – 1)
= (x + 1) (x2 – x + 1) (x – 1) (x2 + x +1)
Ejercicios de Práctica
Instrucciones
• Factoriza completamente los polinomios a
continuación en tu libreta.
• Después, haz clic para ver los resultados.
Factoriza completamente
x3 - 27
= (x – 3) (x2 + 3x + 9)
x3
2 - xy + y2)
(x
+
y)
(x
=
+
y3
5x3 + 40y3 =
x6 + y 9
Sacamos el 5 como factor común primero
y luego factorizamos la suma de cubos
que resulta: 5 (x + 2y) (x2 - 2xy + 4y2)
=
(x2 + y3) (x4 - x2y3 + y6)
Factoriza completamente
+ 125
=
(x + 5) (x2 – 5x + 25)
216 – x3
=
(6 – x) (36 + 6x + x2)
64 – x3
=
(4 – x) (16 + 4x + x2)
64x3 + 9
=
x3
No se puede factorizar.
El 9 no es un cubo perfecto.
Agrupación
Reflexión
• A veces tenemos un polinomio de cuatro términos que solo
puede factorizarse usando la estrategia de agrupación.
• En la lección 3 estudiamos el método de factorización de
factor común y la estrategia de agrupación.
• En esa ocasión vimos que cuando tenemos un polinomio de
cuatro términos en el cual algunos de los términos comparten
un factor común, pero no todos, podemos agrupar los
términos que comparten el factor común para factorizarlos y
luego es probable que se pueda volver a factorizar.
• En aquel momento, la estrategia de agrupación nos permitió
factorizar dos veces usando el método de factor común en
ambas ocasiones.
Reflexión
• En esta lección veremos que podemos usar la
estrategia de agrupación para factorizar el
polinomio por alguno de los métodos
estudiados hasta el momento, además de
factor común.
• Veamos ejemplos en las próximas pantallas.
Ejemplo 1
Factoriza completamente: x3 + 3x2 – 4x – 12
• Este polinomio tiene cuatro términos. Si agrupamos
los primeros dos términos y los últimos dos,
podemos sacar un factor común en cada grupo.
Veamos:
x3 + 3x2 – 4x – 12 = (x3 + 3x2) + (– 4x – 12)
= x2 (x + 3) + –4(x + 3)
• Ahora podemos volver a factorizar ya que ambos
comparten al factor común (x + 3).
• Continuamos en la próxima pantalla.
Continuación de Ejemplo 1
Factoriza completamente: x3 + 3x2 – 4x – 12
• Factorizando por factor común nuevamente, tenemos:
x3 + 3x2 – 4x – 12 = (x3 + 3x2) + (– 4x – 12)
= x2 (x + 3) + –4(x + 3)
= (x + 3) (x2 – 4)
• Ahora, podemos continuar factorizando ya que el último
factor (x2 – 4) representa una diferencia de cuadrados:
= (x + 3) (x – 2) (x + 2)
• La factorización completa sería:
x3 + 3x2 – 4x – 12 = (x + 3) (x – 2) (x + 2)
Ejemplo 2
Factoriza completamente: a3 + a2 – 16a – 16
• Agrupamos y sacamos factor común:
a3 + a2 – 16a – 16 = (a3 + a2) + (– 16a – 16)
= a2 (a + 1) + –16(a + 1)
• Ahora podemos volver a factorizar por factor común:
= (a + 1) (a2 – 16)
• Podemos seguir factorizando ya que el último factor (a2 – 16)
es una diferencia de cuadrados:
= (a + 1) (a + 4) (a – 4)
• La factorización completa es:
a3 + a2 – 16a – 16 = (a + 1) (a + 4) (a – 4)
Ejemplo 3
Factoriza completamente: x2 + 6x + 9 – y2
• En este polinomio podemos agrupar los primeros tres
términos ya que éstos representan un trinomio cuadrático
perfecto:
x2 + 6x + 9 – y2 = (x2 + 6x + 9) – y2
= (x + 3) 2 – y2
• Ahora podemos volver a factorizar por diferencia de
cuadrados:
= ([x + 3] + y) ([x + 3] – y )
= (x + 3 + y) (x + 3 – y )
• La factorización completa es:
x2 + 6x + 9 – y2 = (x + 3 + y) (x + 3 – y )
Ejemplo 4
Factoriza completamente: x2 + 2x + 1 – y2
• En este polinomio podemos agrupar los primeros tres
términos ya que éstos representan un trinomio cuadrático
perfecto:
x2 + 2x + 1 – y2 = (x2 + 2x + 1) – y2
= (x + 1) 2 – y2
• Ahora podemos volver a factorizar por diferencia de
cuadrados:
= ([x + 1] + y) ([x + 1] – y )
= (x + 1 + y) (x + 1 – y )
• La factorización completa es:
x2 + 2x + 1 – y2 = (x + 1 + y) (x + 1 – y )
Ejemplo 5
Factoriza completamente: y2 – 8y + 16 – 9x2
• En este polinomio podemos agrupar los primeros tres
términos ya que éstos representan un trinomio cuadrático
perfecto:
y2 – 8y + 16 – 9x2 = (y2 – 8y + 16) – 9x2
= (y – 4) 2 – 9x2
• Ahora podemos volver a factorizar por diferencia de
cuadrados:
= ([y – 4] + 3x) ([y – 4] – 3x )
= (y – 4 + 3x) (y – 4 – 3x )
• La factorización completa es:
y2 – 8y + 16 – 9x2 = (y – 4 + 3x) (y – 4 – 3x )
Ejemplo 6
Factoriza completamente: 64p2 – (x2 + 8x + 16)
• En este polinomio lo que está entre paréntesis es un trinomio
cuadrático perfecto, podemos factorizarlo y tenemos:
64p2 – (x2 + 8x + 16) = 64p2 – (x + 4) 2
• Ahora podemos volver a factorizar por diferencia de
cuadrados:
= (8p + [x + 4]) (8p – ([x + 4])
= (8p + x + 4) (8p – x – 4)
• La factorización completa es:
64p2 – (x2 + 8x + 16) = (8p + x + 4) (8p – x – 4)
Ejercicios de Práctica
Instrucciones
• Factoriza completamente los polinomios a
continuación en tu libreta.
• Después, haz clic para ver los resultados.
Factoriza completamente
m3 – 7m2 – 4m + 28 =
(m – 2) (m + 2) (m – 7)
a3 – ab2 – 2a2 + 2b2 =
(a – b) (a + b) (a – 2)
(a + b) 2 – 100 =
(a + b + 10) (a + b – 10)
144 – (p – 8 ) 2 = (12 – p + 8 ) (12 + p – 8 )
= (20 – p) (4 + p)
a2 + 2ab + b2 – 9 = (a + b – 3) (a + b + 3)