MATERIAL DE ESTUDIO

Vice Rectoria Académica
Dirección de Desarrollo Curricular
Validación: Marzo 2016
GESTION FINANCIERA APLICADA
S4_ME_1
TEORÍA DEL PORTAFOLIO DE INVERSIÓN
1. DECISIONES SEGÚN CRITERIO DE LA MEDIA-VARIANZA: EL RIESGO Y LA DIVERSIFICACIÓN.
En esta parte se estudiara la teoría de la cartera (o portafolio de activos), como resultado se obtendrá un
conjunto de proposiciones que describen las características abstractas fundamentales de los portafolios
bajo determinados supuestos simplificadores, por un lado y por otro, un conjunto de normas que
prescriben la forma en que concretamente pueden constituirse carteras con determinadas
características que se consideran deseables.
Se analizaran las propiedades de los portafolios elegidos de acuerdo al criterio de optimización de la
media-varianza (CMV), puntualizando las características que deberán tener aquellos que son eficientes y
las ventajas de la diversificación de las inversiones. Se introducirá el concepto de frontera eficiente para
desarrollar las técnicas que permiten su concreto cálculo.
1.1. Análisis de portafolio con dos títulos.
Como una primera aproximación al caso general de portafolios constituido por “n” títulos, se analizaran
portafolios que contienen dos títulos solamente.
Sean los títulos 1 y 2 que tienen tasas de rendimiento aleatorias R1 y R2. Se supone que la proporción
invertida en cada uno de ellos es x1 y x2 respectivamente. El rendimiento aleatorio del portafolio es,
entonces:
Donde.
Dado que Rp es una variable aleatoria combinación lineal de las variables aleatorias R1 y R2, resulta que
su esperanza matemática, es decir el rendimiento esperado del portafolio es, de acuerdo a la fórmula:
(
(
)
)
(
)
Y su varianza es, según se ha demostrado:
(
)
(
)
Dónde:
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( ),
(
), y
(
)
Para facilitar el desarrollo matemático siguiente, se puede añadir la hipótesis que los títulos están
incorrelacionados, es decir
. Anticipamos que los resultados obtenidos son similares en el caso
general en que no se introduce esta hipótesis restrictiva. Bajo este supuesto:
(
)
Supondremos en lo sucesivo que los inversores toman sus decisiones en base al criterio de la media
varianza (CMV), es decir que a igualdad de rendimientos esperados (E(R1)=E(R2)) prefieren el portafolio
que tenga menor riesgo, o bien a igualdad de riesgo (
) prefieren el portafolio que ofrezca mayor
rendimiento esperado.
A fin de estudiar separadamente la influencia de los parámetros relevantes (riesgo y rendimiento), en las
decisiones de inversión, en una primera aproximación, que el inversor se desentiende del riesgo y basa
su elección únicamente en el rendimiento esperado, optando por aquel título que ofrezca el mayor
rendimiento esperado.
Concluyendo: los inversores que decidan tomando en consideración solamente el rendimiento esperado,
invertirán todos sus fondos en el activo que sea mayor.
Si ahora se prescindiera momentáneamente de la consideración del rendimiento esperado y se basaran
las decisiones de inversión solamente en los riesgos de las mismas, el inversor procuraría minimizarlo.
El riesgo del portafolio constituido por dos títulos del ejemplo, en la hipótesis que
ambos términos de la misma por ( ), se obtiene:
(
)
(
, dividiendo
)
Consideremos ahora el caso realmente interesante en que los inversores, para obtener un determinado
rendimiento, están dispuestos a asumir un cierto riesgo, y que además deben ceñirse a una restricción
presupuestaria.
Formalmente y de acuerdo al supuesto que hemos realizado, el problema se reduce a minimizar el riesgo
medido a través de la varianza sujeto a la restricción presupuestaria x1+x2=1. De esto se deducirá que el
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valor de las proporciones optimas
y
integran el portafolio óptimo. El planteo del problema
matemático, en el caso general es el siguiente:
(
Minimizar
)
(riesgo)
Sujeto a x1+x2=1 (Restricción presupuestaria)
Tenemos que
(
)
De la ecuación se deduce que x2=1- x1
Sustituyendo la expresión anterior:
(
(
)
)
(
)
Que representa la varianza del portafolio como una función de la única variable x1. La condición
necesaria y suficiente para la existencia de un mínimo es la anulación de la derivada primera y resulte
positiva la derivada segunda.
(
)
(
)
Despejando x1 se obtiene:
De donde:
Puede demostrarse que, si existen estos valores, corresponden a un mínimo por cuanto hacen positiva la
derivada segunda.
1.2. Carteras eficientes.
Tenemos los siguientes dos activos con sus correspondientes rendimientos para diferentes escenarios,
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Observemos como hay una cierta relación entre los rendimientos de los dos activos. Cuando el
rendimiento de X1 aumenta, también lo hace el rendimiento de X2 y cuando el rendimiento de X1 se
reduce, otro tanto ocurre con el rendimiento de X2. Es decir, lo que sucede con uno de los activos nos da
información sobre lo que sucede con el otro. Esto significa que ambos activos tienen una correlación
significativa.
La covarianza es una medida de correlación. Para calcular la covarianza de los activos X1 y X2, debemos
primero contar con las medias y desviaciones estándar,
La covarianza vendrá dada por la siguiente expresión:
La covarianza resultó positiva porque los rendimientos de ambos activos se mueven en la misma
dirección. Pero si cuando el rendimiento de X1 aumentara, el de X2 hubiese tendido a bajar, la covarianza
hubiera sido negativa.
Otra medida de correlación es el coeficiente de correlación. Puede demostrarse que este coeficiente
siempre está comprendido entre un valor mínimo de –1 y un valor máximo de +1. En nuestro ejemplo el
coeficiente de correlación es:
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Este valor tan cercano al tope superior de +1 nos dice que hay una fuerte relación positiva entre los
retornos de los dos activos.
Por tanto se entiende por cartera o portafolio de inversiones al conjunto de activos que conforman una
inversión. Por ejemplo, si invertimos $100 en el activo A, $200 en el activo B y $100 en el activo C,
decimos que ello representa una cartera de $400 conformada por la inversión del 25% en A, 50% en B y
25% en C.
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Conducta de los inversores1.

Uiii
Uii
Ui
M
1

Fuente: Teoría Microeconómica. 20072.
1.3. Portafolios construidos con tres o más títulos.
Cuando tenemos más de dos activos no estamos limitados al reparto de proporciones entre dos
alternativas sino que se puede formar un sinnúmero de portafolios; pero siempre lo que nos interesa es
detectar aquellas con las combinaciones más convenientes de desviación estándar y rendimiento
esperado. En otras palabras, si por ejemplo tenemos dos carteras, ambas con rendimiento esperado de
10% pero una de ellas con desviación estándar mayor que la otra, descartamos la de mayor desviación
estándar y nos quedamos con la menos riesgosa.
Este problema parece difícil de solucionar, sobre todo si contamos con muchos activos. Sin embargo, es
factible hacerlo y se puede demostrar que el conjunto de portafolios resultante sigue una curva similar a
la que obtuvimos con sólo dos activos. La diferencia es que, en la medida que incorporamos más y más
oportunidades de inversión, la curva tiende a abrirse, de manera que estamos en capacidad de obtener
rendimientos esperados mayores para los mismos niveles de desviación estándar o, alternativamente,
Las curvas de indiferencia Ui, Uii, Uiii son funciones convexas de  y , que es lo que sucede en el caso de la
mayoría de las funciones de utilidad correspondiente a la aversión al riesgo.
1
2
Teoría Microeconómica. Walter Nicholson. 2007.
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desviaciones estándar menores para los mismos rendimientos esperados. A continuación ilustramos una
forma en que la adición de más activos podría reflejarse en las referidas curvas:
A cada curva correspondiente a un grupo determinado de activos se le conoce como la Frontera de
Mínima Varianza para dicho conjunto de activos. La razón de esta denominación es obvia. Cada punto de
la frontera de mínima varianza corresponde a la cartera con la menor varianza posible para cada nivel de
rendimiento esperado.
1.4. Efectos de la diversificación.
Hasta ahora hemos supuesto que todos los activos son transables de manera que la frontera de mínima
varianza puede ser optimizada mediante la conformación de portafolios con las proporciones deseadas
de cada activo disponible.
En realidad todos los inversionistas poseen activos no transables. Con ello nos referimos a aquellos
activos que no pueden ser vendidos o con los que el inversionista no está dispuesto a negociar. Por
ejemplo, no podemos entregar el fruto de nuestro trabajo del resto de nuestras vidas a cambio de un
pago inmediato, dado que la esclavitud está prohibida. Algunas retribuciones sociales proveídas o
reguladas por muchos gobiernos tampoco pueden ser vendidas, tales como el seguro social y los
beneficios de los programas de salud o planes de retiro. De manera similar, muchos inversionistas no
estarían dispuestos a incluir sus viviendas como un activo más que en cualquier momento puede ser
liquidado por el simple motivo de que ello mejoraría la composición de sus carteras de inversiones.
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La presencia de activos no transables supone una frontera de mínima varianza menos óptima que la que
se obtendría si dichos activos no se hiciesen presentes.
2. CONSTRUCCIÓN DE LA FRONTERA EFICIENTE.
2.1. Calculo teórico de la frontera eficiente.
Combinemos la frontera de mínima varianza con las curvas de indiferencia para dar solución al problema
de optimización de cartera para un inversionista en particular. Como de costumbre recurramos a la
representación gráfica para visualizar este proceso.
Como podemos observar la solución es obvia. La cartera óptima será aquella que arroje el máximo valor
de la utilidad esperada, y ello se logra en el punto de contacto entre la frontera de mínima varianza y la
curva de indiferencia más elevada.
Obsérvese que la forma convexa de las curvas de utilidad, característica de inversionistas adversos al
riesgo, garantiza que siempre el portafolio óptimo esté sobre la rama superior de la frontera de mínima
varianza. A esta rama superior se le conoce como la Frontera Eficiente y corresponde al conjunto de los
máximos rendimientos esperados para cada nivel de desviación estándar.
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2.2. Propiedades de la frontera eficiente.
Como conclusión de la frontera eficiente, podemos decir que:










Una cartera se define como el conjunto de activos que conforman una inversión.
El rendimiento esperado de una cartera es el promedio ponderado de los rendimientos esperados de
los activos que la componen.
La desviación estándar del rendimiento de un portafolio es menor o igual que el promedio
ponderado de las desviaciones estándar de los rendimientos de los activos que la componen.
A menor correlación entre sus activos más alejada estará la desviación estándar de una cartera del
promedio ponderado de las desviaciones estándar de dichos activos y viceversa.
Para cualquier número de activos, es posible determinar todas las carteras que arrojan mínima
desviación estándar para cada nivel de rendimiento esperado. El conjunto de estos portafolios define
una curva que se denomina la Frontera de Mínima Varianza.
A menor correlación entre los activos más se acerca el vértice de la frontera de mínima varianza al
eje de los rendimientos esperados y viceversa.
Cuando es posible realizar inversiones negativas en los activos (posiciones cortas), las desviaciones
estándar de las carteras de la frontera de mínima varianza pueden tomar valores tan elevados como
se desee.
A mayor número de activos más ancha tiende a ser la frontera de mínima varianza y, por tanto, más
altos serán generalmente los rendimientos esperados máximos para cada nivel de desviación
estándar (o equivalentemente, más bajas son las desviaciones estándar mínimas para cada nivel de
rendimiento esperado).
A la rama superior de la frontera de mínima varianza se le denomina Frontera Eficiente.
Combinando la frontera eficiente con las curvas de indiferencia se determina la cartera óptima para
un inversionista particular.
2.3. Construcción de la frontera eficiente cuando existen restricciones de ventas descubiertas.
Una Frontera Eficiente define los portafolios factibles (canastas de inversión) que cumplen con el
requisito de minimizar el riesgo para todo nivel de retorno. En términos matriciales el problema se
reduce a:
n
n
n
Minimizar    x   2 xi x j ij
2
i 1
2
i
2
i
i 1 j i
s.a.
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n
E( Rp )   xi E( Rp )
i 1
n
x
i 1
i
1
xi  0
Donde :
 i2
 ij
varianza del activo i
covarianza del activo i con el activo j
Esta especificación nos indica que la frontera eficiente incluye aquellas ponderaciones xi de los distintos
activos i que cumplan con las condiciones de minimización de la varianza para cada nivel de riesgo
preestablecido, obedeciendo a que los ponderadores deben sumar 100% y no pueden en forma
individual estar fuera del rango del 0% al 100% como porcentaje de inversión.
Al resolver el problema de minimización propuesto se están escogiendo los puntos que corresponden a
la envolvente superior de los alternativos posicionamientos que cumplen con las restricciones del
problema.
Según el análisis, queda claramente establecido que la relación existente entre retornos esperados y
riesgo (desviación estándar) para los distintos portafolios eficientes es directa. Si se desea incrementar
los retornos de un portafolio se debe considerar el incremento subyacente en el riesgo del portafolio
propuesto. La evidencia muestra que para niveles bajos de riesgo es posible incrementar retornos sin
una adición significativa de volatilidad, sin embargo esta relación es cada vez menos válida de manera
que llega un momento en que la unidad de retorno adicional genera incrementos en la volatilidad muy
por encima de los niveles observados a niveles de retornos bajos.
Tal como se ha discutido, el diseño de una frontera eficiente requiere de dos insumos determinantes.
Primero, el vector de retornos esperados, que proviene del análisis de retorno total para todos los
activos elegibles de una cartera potencial, y segundo, de la matriz de riesgo, conocida como la matriz de
varianzas y covarianzas de los retornos, la cual tiene diversas alternativas de generación.
La visión tradicional es asumir que la matriz de varianzas y covarianzas esperada se puede obtener de los
datos históricos directamente. Esta metodología asume que las características de riesgo históricas
persistirán en un futuro.
Esta ambigüedad numérica impulsa la adopción de métodos correctivos para la matriz de riesgo.
Algebraicamente la matriz de varianzas y covarianzas puede descomponerse en tres matrices:
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 ( nxn )
1 0
0 2
 ... ...
0 ...
0 0
...
0
0
...
...
...
...
...
...
0
...
...
...
...  n
 12
 21 1
  31  32
... ...
 n1 ...
nxn
1
 13
 23
1
...
...
...  1n
... ...
... ...
... ...
... 1
1
0
 ...
0
0
nxn
0 ... 0
2
...
...
0
0
... ... 0
... ... ...
... ... ...
... ...  n
  C  
nxn
La primera y última matriz () corresponden a una diagonal de desviaciones estándar, mientras que la
matriz C que se ubica entre estas últimas es la matriz simétrica de correlaciones.
Una segunda alternativa considera obtener las volatilidades directamente de valoraciones de mercado
por medio de la utilización de opciones sobre los instrumentos que conforman el portafolio potencial. La
volatilidad implícita de cada opción asociada a cada instrumento serviría de proxy para definir el vector
de desviaciones estándar. Esta última posibilidad ha quedado más bien como propuesta, puesto que si
bien es factible encontrar este vector de volatilidades, en la práctica existen múltiples instrumentos
alternativos que hacen dificultosa su elección, lo cual implica incertidumbre en la unicidad de la solución.
La matriz de correlaciones C no tiene contraparte de mercado al no existir algún instrumento del cual se
pueda deducir al menos en forma implícita su valor. Existen básicamente tres alternativas para obtener
esta matriz. Siendo la más simple, la que considera directamente las correlaciones históricas de los
retornos de los activos bajo análisis.
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FUENTES DE INFORMACIÓN:
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







Bodie Zvi, Merton Robert C. (1999). Finanzas. Chile: Prentice Hall.
Copeland & Weston. (1983). Financial Theory And Corporate Policy.
BAUMOL, (1980), “Teoría Económica y Análisis de Operaciones”, 4° edición, Colombia, Prentice
Hall.Inc.
BREALEY, Richard A.;MYERS, Stewart C., (1998), “Fundamentos de financiación empresarial”,5°
edición, España, Mc. Graw Hill.
ELTON Edwin J. y GRUBER Martín J.,(1995), “Modern Portfolio Theory and Investment Analysis”,
Estados Unidos, John Wiley & Sons,INC.
MARKOWITZ,H.( marzo de 1952), “Selección de Carteras” Journal of Finance, Recopilación de
Weston Fred J. y Woods Donald H., Barcelona, (1970), Editorial Gustavo Gili S.A.
MARKOWITZ,H., (1992), “Mean-Variance Analysis In Portfolio Choice and Capital Markets”,USA.
Blackwell
MESSUTI D. J., ALVAREZ V. A. y GRAFFI H. R.,(1992), “Selección de inversiones”, Argentina,
Macchi
ROSS Stephen A.; WESTERFIELD, Randolph W.; JAFFE, Jeffrey.(2000), “Finanzas Corporativas”,
Mc.Graw-Hill 5° edición.
SHARPE, William F, (1976), “Teoría de la Cartera y del Mercado de Capitales”, España, Ediciones
Deusto S.A.
SHARPE, William F, (1964), “Los precios de los bienes de Capital: Una Teoría del equilibrio de
mercado bajo condiciones de riesgo.” Journal of Finance. Recopilación de Weston, J. Y Woods,
Donald H., Barcelona, (1970), Editorial Gustavo Gilli S.A.
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